微积分学习方法一天学会微积分精修订
微积分学习方法一天学
会微积分
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
先看数
Yee 22:20:30
这是实数
这是虚数，虚数就是对过程的度量
实+虚数就成了复数这是狭义数，就是四维空间以内的
广义数，就是物理上要用到的
进入广义了，和爱的广义相对论对应它是描述空间里的事情的，所以会有方向（想象一个线，在空间内穿梭）狭义的虚数和广义的张量，都是一回事这二个比较难理解，因为涉及到一个重点
方程 = 变化(数)方程就是人们说的规则规则 = 函数(上面说的那些数）这就是方程了
还有个重点，数之外还有“自然规则” 如派，e, i 这些，这些就是人们说的自然规律再看一个图，你就明白了
你看看，这些东西，像环域群
一般也只有一些数学家搞,张量这些玩艺，也只有物理学家才用，就这么简单
你先有这概念，后来你就懂了,数学就是从点到面到空间
这句是重点，后面那些都是为了在空间里描述
打个比方
刚才是数，再说运算
到运算了
数 + 运算 = 算术
算术就是数学
你想象一下金箍棒能长能短，这个变化，也要用数学形容，所以有 + - 一个面，能扩展能收缩用数学形容，这是 X %
这里就出来问题了
左边的好求面积，右边的如何求
只能这样求用很多“规矩”的形状去填
后来，发现，其实这个问题可以转化为一个简单的问题
“数学都是降维度来处理问题的”
简化后，其实就是解决一个问题如何用直线去
“接近”曲线
如右边的，它可以分成很多很小的段,这个段越小，越精确
这就是微分,就是用线去模拟曲线
线性问题，到非线性问题
你想象用一个无限接受的规矩的方块（可能无数个）
去填一个不规矩的形状，就是积分,这是线与面二个层面的关系
这种其实就是解决非线性问题
非线性问题的解决工具就是微积分，就是东西不平滑了，如何计算的问题
左边是线性，右边是非线性
其实非线性就是函数函数 = 变化
这个不平滑的其实就是曲线，曲线就是函数无非是多几个函数
为了把刚才那个问题，数学化蓝线是一个曲线微分就是去用直线来模拟设这个直线为 f(x) 这个很小很小很小的模拟段长度为h 那么，其实f(x) 到 f(x+h)的变化就是曲线的变化它至少能够反映曲线的平滑程度，你想象一下就像用一根火柴沿着园边缘滑动越陡，说明它的变化越大，即曲线越不平滑
告诉你一个简单的理解方式
其实，每个数学名称是符合一点意思的
你可以按中文理解就成了
微分，就是很小的分
积分，当然就是把面积很小的堆在一起，和 + - 一样对，它能解决物理问题因为物理很多不是“平整”的，它可能是变化的所以不学微积分，思维会有局限，只知道整数，和线性变化
，互为逆远算
童心发作 22:55:33所以你说八卦是微积分那我就理解你的想法了……Yee 22:55:53你后面会理解的，八挂比这个高级多了你刚才问了一个问题估计你没忘，关于方程的
其实方程就是一个变化规律的总结这个好理解但是你想过，这个变化的规律也可能有规律么
这是二个层面数学上的“元”这个名词就是形容这个层次的
一元就是变化二元就是变化的变化
所以刚才那个微分的过程，就是无限小分的过程，其实这个过程也是一个变化的过程,
有些拗口，但这个好理解
变化，变化的变化OK，这就是多元微分了所以不学多元微分的，不知道变化的变化是可以描述的从微积分往上推二级如：变化 -> 变化的变化就到多元微分了以“二”为界
因为，变化的变化的变化的变化的变化，其实都可以简化为某个变化 -> 某个变化的变化这就是父子关系到关系数学里不超过 2 级的6级也只能化成2
刚才是文字版的
书上讲的，就是把这个过程“数学化”，其实也挺简单不会超过 + - X %
所有需要用到的“描述”，不是神学，刚才说的在四维空间内已经完备了你超不过这个系的
还有个导数的概念,刚才微积分已经讲完了其实就是这点东西
大学扯了一大堆，其实是没有从上往下看刚才先说数，是想你有一个框架的概念，跳不出四维空间的，那些东西
再来个实际点的干货进入数学描述
微分
所谓微分，即函数微小变化的规律。
一元微分
如果一个函数变化的规律能够线性归纳，即：
函数 = 线性变化 + 高阶无穷小
那么这个函数可微。
f(dx) = Adx + o(dx) (A为一个线性方程，dx 为变化量, o为一个阶度)
一元微分，即是对函数的一阶归纳。
定义
x 的微分 dx
函数在 x 点的微分： dy = 2xdx
函数的导数为： dy / dx = 2x = f'(x)
求解过程
f(x) = x^2
f'(x) = (x+dx)^2 - x^2
= x^2 + 2xdx + dx^2 - x^2
= 2x
结果:
函数变化量： f(x) = (x+dx)^2 - (x)^2 = +dx^2线性函数：A = 2x高阶无穷小的量：o(dx) = dx^2函数在 x 点的微分： dy = 2xdx函数的导数为： dy / dx = 2x = f'(x) 这段你先看一会这是一元微分，多元的，你理解了变化的变化，自己都能推出来了先看一下，我一会讲
大学里是这么讲的
看着晕，来个Wiki的国际版的好理解
你想象一下，如何去用一个“直线（线性）”来模拟“曲线（非线性）”
就是用一个直线去帖着它的边
蓝线就是这个去帖上去的直线
这个就比这个要帖得紧
你再想一下，如果这个的长度足够短（短到极限）是不是就是重合了
这个理解是重点结合一下那个坐标
如果这个直线在一个足够短的时候和曲线基本重合了，它就“约等于”这个曲线的一个小段了三角叫 delta 是表示一个“变化的段”先别管那个 d容易掉进去，先理解上面的
上面那个图说简单点就是：
x 变化了
的时候，y 变化了
这是针对那个直线而言的
别看那个曲线先
x 变化了
的时候，y 变化了
这是直线的变化描述
有点误差，==
应该是：
x 变化了
的时候，y 变化了 (针对曲线的变化）\的时候，y 变化了 dy (针对直线的变化）上面的理
解么曲线和直线在同样一段 x 变化的时候，是不同的
再说通俗点
的时候，y 变化了 (针对曲线的变化）这是曲线的变化，一个非线性问题的时候，y 变化了
dy (针对直线的变化）这是直线的变化，一个线性问题
好，用一个最简单的方法讲这个非常好理解你带着这个思路去
理解刚才说那个变化的变化理解么
变化也是有规律的
OK
变化是函数吧
函数其实就是X与Y的方程
最简单的理解
就是x变了，y变
y = 2x 这种
一个变量产生，同一条线上的另一个必须根据这个改变对因果
就是，X变化了一段，y也变化了一段这个好理解吧
精采的就是这里这个 X变化了一段它就是一个量
设 y = 2x 为 a那么b = 2a 其实就是描述这个变化的变化就是方程的方程你设这个变化为 dx 那么变化的过程如何能够变成
y = 某玩艺 * dx + 一个无限小的量
(上面就是微分的数学形式了)
这个某玩艺是一个线性方程（就是坐标系里是一个平整的线）
线性方程（几何表现就是平整的线，不弯的）*这个变化就是微分干的活了它把变化当成量计算了
这个是直线
直线里，X变了一段，Y是不是变了一段
这个是曲线，微分假设它变化了 dx （这是假设的，不要管它是什么）y 变化了 dy它把这个“变化”又建了一个方程
就是对“变化”设了一个方程，所以他把这个曲线变化的过程把他又可以放在坐标系里来研究了、这就是对”变化“求解的含义
说白了，变化（量）就是函数
变化（变化）它也是函数把变化当量来计算就是微积分干的活
主要是理解，它把变化当一个量了我举几个形象的例子
就是管它三七二十一，不管这个变化是什么，把它当一个数这样就能对变化进行规律总结了那个d 就是新发明的符号，指的就是变化
看这个图
这个变化在已有的知识里，是用形容的高中都有
是曲线的变化这个好理解么
dy 是直线的变化
来个干货，说不定好理解
f(x) = x^2 这是个方程
好理解吧
f = function
这是数学表达方式f(变化的量） = 变化的量的表达式
^ 就是阶
因为你打不出x的平方（你输不出来）
后来人家想了个方法，用^代表了
这样, == 来个简单的y = x^2y2 = (x+dx)^2 - x^2
不用管它是什么，它就是
(x+dx)^2 - x^2，这里为何要减
你没发现，前面其实就是(x的变化量)^2 - x^2么这个变化后的值减去变化前的值，是不是就是变化的值
这主浊变化的变化的值嘛就是按这样的顺序y = x^2 是不是一个曲线
是啊
黑的就是 y =x^2了
如何知道，它变化了一段后，这个长度是多少
像这个图，以前是求绿线（直线），你当然好求
但是现在换成了曲线，你知道，这个曲线在这段变化的量是多少你应该会想到，它其实在每个变化点都是不一样的
紫线处和红线处变化的就不同
所以它不能用一个很舒服的方程表示，只能求一个近邻求一个大约
红线的变化，和绿线的变化不是一样的
只能假设这个变化为一个量 dx
这个时候y变化了 dy，其实就是假设的
微分就是找“x变化了一段“的时候"y变化了多少“
就直接按数学方式也许也可以理解
微分就是找“x变化了一段“的时候"y变化了多少“这个要理解
你马上就会理解了
这个图现在微分就是需要知道黑线那个曲线在x变化时,y是如何变化的 (其实y就是变化量）
y = 表达式，y 就是变化的结果
你假设这个变化为三角x代进去其实就是已经建立了微分的表达式了后面就是求y = x^2y2 = (x+dx)^2 - x^2求上面的微分，就是下面的方式假设变化了dx 代进去一减，这个变化的量就出来了
刚才那个理解，估计有点难
就直接理解
我随便找的，红的和蓝的都不要看只关注那个黑的
黑线在下面的X变化的，y的变化我标出来了
就是要象形== 我画个干净点的图
看到那个曲线了么，那就是要解决的问题现在要解决的是：“知道X变化
时Y是如何变化的）这就么简单y是曲线在y轴上的投影响，（这儿用数学理解）这儿要象形结合数轴理解数轴发现出来就是把东西几何化
其实变化都可以反映在数轴上，其实就是X变化，Y是如何变化的方程其实就是对变化的过程总结方程又可以放在坐轴系里这是规律（代数）问题 -> 几何化的一种方式
说实际点
你做你那永动机
他有些变化，可以总结成方程吧
这个方程，如果可以画出来，它不一定是直线的
是这样的吧
一定不是
那玩意怪异
现在有个要命的问题
你如何知道，在一段时间，它变化了多少
现在要你给出来你如何做这个过程
比如这么个玩艺
它可能是“电”在“磁”的变化下的规律（你总结出来的方程）
我现在想知道，电变化了一段，磁变化了多少
如果是简单的如，速度变化，vt = s 这个就好求
这个s = vt 其实就是变化的量 = 一个常量 X 一个变化的量这就是个线性问题，它画出来也是个直线
如果是 s= vt * ab * ac 啥的，他如果能总结出来，就是上面那个玩艺，曲线，这叫非线性问题t = 时间 v =速度 s = 距离
这是最简单的线性问题
速度不变
如果速度是变化的呢
它就成曲线了
要你求变速（瞎动）的物体在一个时间内运动的距离你如何求
最后描几个点，它成了这么一个玩艺，它是一个方程。
现在看这个图，它在X的变化的时候，Y的变化，就是这个变化的量
这么将一个实际的问题 -> 方程化 -> 几何化了然后用最简单的方式……
结束
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
微积分公式与定积分计算练习
微积分公式与定积分计算练习(附加三角函数公式) 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼ ()x x e e '= ⑽ ()ln x x a a a '= ⑾ ()1 ln x x '= ⑿ () 1log ln x a x a '= ⒀ ( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂ ()21arctan 1x x '=+ ⒃() 21arccot 1x x '=-+⒄()1 x '= ⒅ '= 二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v ''' -??= ??? 三、高阶导数的运算法则 (１)()()() () () () () n n n u x v x u x v x ±=±??? ? (2)()() ()() n n cu x cu x =??? ? (3)()() () ()n n n u ax b a u ax b +=+??? ? (4) ()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 (1) ()() ! n n x n = (2) ()() n ax b n ax b e a e ++=? (3) ()() ln n x x n a a a = (4) ()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ??(5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6) () () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +???=- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则