2015年重庆高2016级高二上期期末考试数学复习试题(四)(含答案)

2015年重庆高2016级高二上期期末考试

数学复习试题卷（理科）（四）

一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分） 1．如果命题"

()p q ?

∨”为假命题，则（ ）

A ．,p q 均为真命题

B ．q p ,均为假命题

C ．q p ,至少有一个为真命题

D ．q p ,中至多有一个为真命题

2．设双曲线)0,0(122

22>>=-n m n y m x

的焦距为x y 6=，则此双曲线的

方程为（ ）

A ．1622

=-

y x B ．124

422=-y x C ．1622=-y x D ．132422=-y x 3．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）

A ．若//,,l n αβαβ??，则//l n

B ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥

C ．若,l αβα⊥?，则l β⊥

D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 4．下列命题中，真命题是 （ ）

A ．00,20x x R ?∈≤使成立

B ．2,2x x R x ?∈>都有成立

C ．0=+b a 的充要条件是a

b

=-1 D ．1>a 且1>b 是1>ab 的充分条件

5．已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ） A ．1或3- B ．1-或3 C ．1或3 D ．1-或3

6．设c b a ,,分别是△ABC 中，C B A ,,所对边的边长，则直线0s i n

=++?c ay x A 与0sin sin =+?-C y B bx 的位置关系是( )

A ．平行

B ．重合

C ．垂直

D ．相交但不垂直 7．已知圆C ：02222=-+-y x x ，点)0,2(-A 及点),4(a B ，从A 点观察B 点， 要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ） A ．),1()1,(+∞?--∞ B ．),2()2,(+∞?--∞

C ．),33

4

()334,(+∞?-

-∞ D ．),23()23,(+∞?--∞ 8．一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为（ ）

A

．6+ B

．12+ C

．12+ D

．18+

9．点)1,3(-P 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左准线上.过点P 且方向为)5,2(-=的光线,经直线y =

－2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) A ．

2

2

B ．31

C ．33 (

D ．21

10．在R 上定义运算:(1)x y x y ??=-

．若方程1(2)kx ?-=有解，则k 的取值范围是（ ）

A ．[]0,1

B ﹒40,3??????

C ﹒10,3??????

D ﹒14,33??

????

二、填空题（本大题共5个小题，每题5分，共25分）

11．已知302010x y x y x y ++≥??

-≤??-+≥?则222415x y x y +-++的最大值为

12．已知()(1,5,1),2,14,2,24a b a x b =-=-+=，则x =

13．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是),4(a ，则当

||4a >时，||||PA PM +的最小值 （结果用a 表示）

14．已知??? ??-0,21A ，B 是圆F ：42122

=+??? ??

-y x (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交

BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为_____________

15．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：

①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1； ④平面PDB 1⊥平面ACD 1. 其中正确命题的序号是________

三、解答题（共6道题，共75分）

16．已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆4)3(:22=-+y x C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线

063:=++y x m 相交于点N ．

（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：AN AM ?是定值．

17．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，

14,2AA AB ==，点E ，F 分别在1CC 和1A A 上，且1A F CE =

（1）求证：1B F ∥平面BDE （2）若1

AO BE ⊥，求CE 的长； （3）在（2）的条件下，求二面角1A BE O --的余弦值．

18．(12分)已知椭圆)0(33:222>=+b b y x C . （1）求椭圆C 的离心率；

（2）若B A b ,,1=是椭圆C 上两点，且3=AB ，求△AOB 面积的最大值.

19．（12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，

BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；

（2）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求出EF

EA

的值；若不存在，说明理由．

20．（13分）已知曲线E 上的点到直线2y =-的距离比到点)1,0(F 的距离大1 （1）求曲线E 的方程；

（2）若过)4,1(M 作曲线E 的弦AB ，使弦AB 以M 为中点，求弦AB 所在直线的方程.

（3）若直线b x y l +=:与曲线E 相切于点P ,求以点P 为圆心，且与曲线E 的准线相切的圆的方程．

21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

F 的直线l 与C 相交

于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l

（1）求椭圆的方程；

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

2015年重庆高2016级高二上期期末考试

数 学复习试题 答 案（理科）

一．选择题

1—5 CBBDA 6—10 DDCCA 二．填空题

11．26 12.(1,1,-1)

13. 1 14. 224

13x y += 15. ①②④

三．解答题

16，解：（1）因为l 与m 垂直，直线m 的一个法向量为（1，3）， 所以直线l 的一个方向向量为=（1，3），所以l 的方程为，即3x ﹣y+3=0．

所以直线l 过圆心C （0，3）．

（2）由|PQ|=2得，圆心C 到直线l 的距离d=1， 设直线l 的方程为x ﹣ny+1=0，则由d==1．解得n=0，或n=，

所以直线l 的方程为x+1=0或4x ﹣3y+4=0． （3）因为CM ⊥l ，所以=（

+

）?

=

?

+

?

=

?

．

设N （x N ，y N ）

，则=（x N +1，y N ），又

=（1，3），

故

?

=（x N +1+3y N ）=（x N +3y N ）+1．

因为点N 在直线m 上，所以 x N +3y N +6=0，即x N +3y N =﹣6， 所以

?

=

?

﹣6+1=﹣5 （定值）．

17.解：解：（Ⅰ）证明：取1BE CE =，连结1EE 和1AE ,

∴1EE BC =，1EE ∥BC ，BC AD =，BC ∥AD ， ∴1EE AD =，1EE ∥AD ．∴四边形1AE ED 为平行四边形， ∴1AE ∥DE ， 在矩形11A ABB 中，11A F BE =，

∴四边形11B FAE 为平行四边形． ∴1B F ∥1AE ，1B F ∥DE ． ∵DE ?平面BDE ，1B F ?平面BDE ，∴1B F ∥平面BDE ．———4分

（Ⅱ）连结OE ，在棱柱1111ABCD A BC D -中，以OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为Y 轴建系，

3

4

CE =

．————8分 （Ⅲ）以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标

系． 11

(2,0,0),(2,2,),(0,0,4),(1,1,0)2B E A O ．

1117

(1,1,4),(2,0,4),(2,2,)2

OA A B A E =--=-=-，

由（Ⅱ）知1OA 为平面

OBE 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，

则 110

0A B A E ??=???=??n n ，即 2407

2202x z x y z -=???+-=??， 令1z =，所以 1(2,,1)4=-n ． ∴12

cos ,OA <>=n

∵二面角1A BE O --的平面角为锐角， ∴二面角1A BE

O --的余弦值为

6

． 12分 20. (Ⅰ)解：由x 2＋3y 2＝3b

2

得 222213x y b b +=，所以e ＝c

a

(Ⅱ)解：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，△ABO 的面积为S ． 如果AB ⊥x 轴，由对称性不妨记

A 的坐标为

)，此时S

＝12＝3

4

； 如果AB 不垂直于x 轴，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由22

,33,y kx m x y =+??

+=?

得x 2＋3(kx ＋m) 2

＝3， 即 (1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，又Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2) (3m 2－3)＞0，

所以 x 1＋x 2＝－2

613km

k

+，x 1 x 2＝223313m k -+， (x 1－x 2)2

＝(x 1＋x 2)2

－4 x 1 x 2＝2222

12(13)

(13)k m k +-+， ①

由

| AB |

| AB |(x 1－x 2)2＝

2

3

1k

+， ② 结合①，②得m 2

＝(1＋3k 2

)－22

2(13)4(1)k k ++．又原点O 到直线

AB 所以S ＝1

2

?

因此 S 2

＝34?221m k +＝34?[22131k k ++－2222(13)4(1)k k ++]＝34?[－14(22

131k k

++－2)2

＋１] ＝－316?(22

131k k ++－2)2

＋34≤34，

故．当且仅当22131k k ++＝2，即k ＝±

13

4

，故

S max

．

19. 解：（1） 因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE 则CEB ∠即为直线EC 与平面ABE 所成的角。设BC=,1，则AB=2

，

，所

以，则直角三角形CBE 中，

33

3

1s i n =

==∠CE CB CEB 即直线EC 与平面ABE

(2)假设存在，

取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥。因为平面⊥ABE 平面ABCD ，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由,,OA OD OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．则A(0,1，0)，B(0，-1,0)，C （1，-1,0），D （1,0，0），F （0，,1λλ-）

设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =， 因为(1,1,0),(0,1,1)BD BF λλ==+- ，则

0(1)(1)0a b b c λλ+=??

++-=?取1,(1,1,v =-(1,1,1)EC =-- 所以11110,=13v EC λλλ+=+-

=-解得，所以假设成立, 即存在点F 满足1

3

EF EA =时，有EC // 平面FBD ．

20.解（1）24x y =

（2）设1,122(,),(,)A x y B x y ，由211222

44x y x y ?=?

?=??得121212AB y y k x x -==-，所以直线AB 的方程为14(1)2y x -=-，

即270x y -+=

（3）设切点00(,)P x y ，由2

4

x y =得'2x y =，所以001,22x x ==，即点(2,1)P ，圆P 的半径为2，所

以圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.

21

、解(I ）设(,0)F c ，直线:0l

x y c --=

，由坐标原点O 到l

=

1c =.又c e a b a ==∴==（II ）由(I ）知椭圆的方程为22

:132

x y C +=.设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+

代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0?>。 由韦达定理有：1224,23m y y m +=-

+12

24

,23

y y m =-+．．．．．．．．① .假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：

点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即

22

1212()()132

x x y y +++=。 整理得

2222112212

122323466x y x y x x y y +++++=。又A B 、在椭圆上，即

22221122236,236x y x y +=+=.

故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将212121212(1)(1)()1x x

my my m y y m y

y =++=+++及①代入②解得2

1

2

m =

12y y ∴+=,12

x x +=22432232m m -+=+,即

3(,2P .