初级中学数学二次函数做题技能
初中数学二次函数做题技巧
I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√
b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）
y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^
2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c （a，b，c为常
数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大。）则称y 为x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x 是自变量，y 是x 的函数 二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c 为常数,a ≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h ，k) ]：y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x 轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c ，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b ±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
中考数学精选例题解析：一次函数（1）
知识考点：
掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。 精典例题：
【例1】二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，那么abc 、ac b 42
-、b a +2、
c b a +-24这四个代数式中，值为正的有（ ）
例1图
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 解析：∵a
b
x 2=
＜1 ∴b a +2＞0 答案：A
评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42
-的符号，若x 轴标出了
1和－1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c b a +-的符号。
【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2
向下平移1个单位，再
向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。
分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
解：可设新抛物线的解析式为2
)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为
1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）
∴1)521(02
+-+=a ，解得4
1
-
=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(4
1
2+--
=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。
另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称； 探索与创新：
【问题】已知，抛物线2
2
)1(t t x a y +--=（a 、t 是常数且不等于零）的顶点是A ，
如图所示，抛物线122
+-=x x y 的顶点是B 。
（1）判断点A 是否在抛物线122
+-=x x y 上，为什么？
（2）如果抛物线2
2)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。
解析：（1）抛物线2
2
)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，
2t ）
，而1+=t x 当时，222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2
t ，所以点A 在抛物线122
+-=x x y 上。
（2）①顶点B （1，0），0)11(2
2
=+--t t a ，∵0≠t ，
∴1-=a ；②设抛物线2
2
)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为C ，∴B （1，0），C （12+t ，
0），由抛物线的对称性可知，△ABC 为等腰直角三角形，过A 作AD ⊥x 轴于D ，则AD ＝BD 。当点C 在点B 的左边时，)1(12
+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B
的右边时，1)1(2
-+=t t ，解得1=t 或0=t （舍）。故1±=t 。
评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。 跟踪训练： 一、选择题：
1、二次函数c bx ax y ++=2
的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论：
①abc ＜0； ②2
4b ac <；
③1-=-b ac ； ④02<+b a ； ⑤a
c
OB OA -
=?；
问题图
⑥024<+-c b a 。其中正确的有（ ）
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
2、二次函数c bx x y ++=2
的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图
像的解析式为122
+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）
A 、6、4
B 、－8、14
C 、4、6
D 、－8、－14
3、如图，已知△ABC 中，BC ＝8，BC 边上的高4=h ，D 为
BC
上一点，EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，△DEF 的面积为y ，那么y 关于x 的函数图像大致是（ ）
3题图
A B C D
4、若抛物线2
ax y =与四条直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则
a 的取值范围是（ ）
A 、
41≤a ≤1 B 、21≤a ≤2 C 、21≤a ≤1 D 、4
1
≤a ≤2 5、如图，一次函数b kx y +=与二次函数c bx ax y ++=2
的大致图像是（ ）
3题图
3题图
3题图
3题图
A B C D
二、填空题：
1、若抛物线232)1(2
-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 。
第3题图
F
E
D C
B
A
2、二次函数542
+-=mx x y ，当2-
的增大而增大。则当1-=x 时，y 的值是 。
3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。
4、已知抛物线n mx x m y +--=4)2(2
2
的对称轴是2=x ，且它的最高点在直线
12
1
+=
x y 上，则它的顶点为 ，n ＝ 。 三、解答题：
1、已知函数m x m x y +--=)2(2
的图像过点（－1，15），设其图像与x 轴交于点A 、
B ，点
C 在图像上，且1=?ABC S ，求点C 的坐标。
2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系）。根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
O
O
3、抛物线2
x y =，2
2
1x y -=和直线a x =（a ＞0）分别交于A 、B 两点，已知∠AOB ＝900。
（1）求过原点O ，把△AOB 面积两等分的直线解析式； （2）为使直线b x y +=
2与线段AB 相交，那么b 值应是怎样的范围才适合？
4、如图，抛物线t ax ax y ++=42
与x 轴的一个交点为A （－1，0）。 （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCDDC 二、填空题：
1、2；
2、－7；
3、1)2(2
1
2+-=x y ；4、
（2，2），2-=n ； 三、解答题：
1、C （23+，1）或（23-，1）、（3，－1）
2、（1）t t S 22
12
-=；
（2）10月；（3）5.5万元 3、（1）x y 4
2=
；（2）－3≤b ≤0 4、（1）B （－3，0）；（2）342
++=x x y 或342
---=x x y ； （3）在抛物线的对称轴上存在点P （－2，2
1
），使△APE 的周长最小。
中考数学精选例题解析 函数与一元二次方程
知识考点：
1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；
2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x 轴的交点情况；
3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。 精典例题：
【例1】已抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y （m 为实数）。
（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
（2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。
分析：抛物线与x 轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m 应满足的条件。
略解：（1）由已知有?
??>=?≠-0012
m m ，解得0≠m 且1≠m （2）由0=x 得C （0，－1）
又∵1
-=?=
m m
a AB ∴211
2121=?-?=??=?m m OC AB S ABC ∴34=
m 或54=m ∴132312--=x x y 或15
6
512---=x x y
【例2】已知抛物线)6(2)8(2
2
2
+++-=m x m x y 。
（1）求证：不论m 为任何实数，抛物线与x 轴有两个不同的交点，且这两个点都在x
轴的正半轴上；
（2）设抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴交于B 、C 两点，当△ABC 的面积为48平方单位时，求m 的值。
（3）在（2）的条件下，以BC 为直径作⊙M ，问⊙M 是否经过抛物线的顶点P ？ 解析：（1）0)4(2
2
>+=?m ，由082
21>+=+m x x ，0)6(22
21>+=m x x 可得
证。
（2）)6(8)8(4)(2222122121+-+=-+=-=m m x x x x x x BC
＝42
+m
)6(22
+=m OA
又∵48=?ABC S ∴
48)6(2)4(2
1
22=+?+?m m 解得22
=m 或122
-=m （舍去） ∴2±=m
（3）16102
+-=x x y ，顶点（5，－9），6=BC
∵69>-
∴⊙M 不经过抛物线的顶点P 。
评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。 探索与创新：
【问题】如图，抛物线4
)(22
c x b a x y ++-=，其中a 、b 、
c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边。
（1）求证：该抛物线与x 轴必有两个交点；
（2）设有直线bc ax y -=与抛物线交于点E 、F ，与y 轴交于点M ，抛物线与y 轴交于点N ，若抛物线的对称轴为a x =，△MNE 与△MNF 的面积之比为5∶1，求证：△ABC 是等边三角形；
（2）当3=?ABC S 时，设抛物线与x 轴交于点P 、Q ，问是否存在过P 、Q 两点且与
y 轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）))(()(2
2
c b a c b a c b a -+++=-+=?
∵0>++c b a ，0>-+c b a ∴0>? （2）由
a b
a =+2
得b a = 由??
???-=+
+-=bc
ax y c x b a x y 4)(22
得：0432=++-ac c ax x 设E （1x ，1y ），F （2x ，2y ），那么：a x x 321=+，ac c x x +=4
2
21 由MNE S ?∶MNF S ?＝5∶1得：215x x = ∴215x x =或215x x -=
由021>?x x 知215x x -=应舍去。
由???==+2
12153x x a x x 解得22a
x =
∴ac c a +=??
?
??42522
，即04522=--c ac a
∴ c a =或05=+c a （舍去） ∴ c b a ==
∴△ABC 是等边三角形。
（3）3=?ABC S ，即
34
32
=a ∴2=a 或2-=a （舍去）
∴2===c b a ，此时抛物线142
+-=x x y 的对称轴是2=x ，与x 轴的两交
点坐标为P （32-，0），Q （32+，0）
设过P 、Q 两点的圆与y 轴的切点坐标为（0，t ），由切割线定理有：OQ OP t ?=2
∴1±=t
故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）
评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。 跟踪训练： 一、选择题：
1、已知抛物线m x m x y +-+=)1(52
与x 轴两交点在y 轴同侧，它们的距离的平方等于
25
49
，则m 的值为（ ） A 、－2 B 、12 C 、24 D 、－2或24 2、已知二次函数c bx ax y ++=2
1（a ≠0）与一次函数m kx y +=2（k ≠0）的图像交于
点A （－2，4），B （8，2），如图所示，则能使21y y >成立的x 的取值范围是（ ） A 、2-
第2题图
第4题图
3、如图，抛物线c bx ax y ++=2
与两坐标轴的交点分别是A 、B 、E ，且△ABE 是等腰直
角三角形，AE ＝BE ，则下列关系：①0=+c a ；②0=b ；③1-=ac ；④2
c S ABE =?其
中正确的有（ ）
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 4、设函数1)1(22
++-+-=m x m x y 的图像如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，线段
OA 与OB 的比为1∶3，则m 的值为（ ） A 、
31或2 B 、3
1
C 、1
D 、2 二、填空题：
1、已知抛物线23)1(2
----=k x k x y 与x 轴交于两点A （α，0），B （β，0），且
1722=+βα，则k ＝ 。
2、抛物线m x m x y 2)12(2
---=与x 轴的两交点坐标分别是A （1x ，0），B （2x ，0），
且
12
1
=x x ，则m 的值为 。 3、若抛物线12
12
-++-
=m mx x y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，且∠ACB ＝900，则m ＝ 。
4、已知二次函数1)12(2
--+=x k kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x )(21x x <，则对于
下列结论：①当2-=x 时，1=y ；②当2x x >时，0>y ；③方程1)12(2
--+x k kx ＝
0有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-
k x x 2
1241+=-，其中
所有正确的结论是 （只填写顺号）。 三、解答题：
1、已知二次函数c bx ax y ++=2
（a ≠0）的图像过点E （2，3），对称轴为1=x ，
它的图像与x 轴交于两点A （1x ，0），B （2x ，0），且21x x <，102
22
1=+x x 。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P ，使△POA 的面积等于△EOB 的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
2、已知抛物线42)4(2
++-+-=m x m x y 与x 轴交于点A （1x ，0），B （2x ，0）
两点，与y 轴交于点C ，且21x x <，0221=+x x ，若点A 关于y 轴的对称点是点D 。
（1）求过点C 、B 、D 的抛物线解析式；
（2）若P 是（1）中所求抛物线的顶点，H 是这条抛物线上异于点C 的另一点，且△HBD 与△CBD 的面积相等，求直线PH 的解析式；
3、已知抛物线m mx x y 22
3
212--=
交x 轴于点A （1x ，0）
，B （2x ，0）两点，交y 轴于点C ，且210x x <<，112)(2
+=+CO BO AO 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB 为锐角、钝角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。
参考答案
一、选择题：CDBD 二、填空题：
1、2；
2、2
1
；3、3；4、①③④ 三、解答题：
1、（1）322
++-=x x y ；（2）存在，P （131+，－9）或（131-，－9）
2、（1）862
+-=x x y ；（2）103-=x y
3、（1）22
3
212--=
x x y ；（2）当30<
聚能教育
《数学学科知识与教学能力》(高级中学)教师资格证
《数学学科知识与教学能力》（高级中学） 一、考试目标 1．数学学科知识的掌握和运用。掌握大学本科数学专业基础课程的知识和高中数学知识。具有在高中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。 2．高中数学课程知识的掌握和运用。理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。 3. 数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。 二、考试内容模块与要求 1.学科知识 数学学科知识包括大学本科数学专业基础课程和高中课程中的数学知识。 大学本科数学专业基础课程的知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学课程中与中学数学密切相关的内容，包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换等内容及概率与数理统计的基础知识。 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 高中数学知识是指《课标》中所规定的必修课全部内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。 其内容要求是：理解高中数学中的重要概念，掌握高中数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学中常见的思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。 2．课程知识 了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。 熟悉《课标》所规定教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 了解《课标》各模块知识编排的特点。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3．教学知识 了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。 掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题 1、平行于x轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、平行于y轴的线段最值问题 1）首先表示出线段两个端点的坐标 2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标 3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题 1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴 2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标 3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长 4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和） 5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数 6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可 二、二次函数周长最值问题 1、矩形周长最值问题 1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值 2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长 3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值 1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量 2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长 三、二次函数面积最值问题 1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴） 1）首先表示出所需的边长及高 2）利用求面积公式表示出面积 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 2、不规则图形面积最值问题 1）分割。将已有的不规则图形经过分割后得到几个规则图形 2）再分别表示出分割后的几个规则图形面积，求和 3）得到一个面积关于自变量的二次函数 4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值 或1）利用大减小，不规则图形的面积可由规则的图形面积减去一个或几个规则小图形的面积来得到
二次函数基础知识过关训练123456
1、二次函数的三种表达式： ； ； ； 2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是一条 ； （1）=++=c bx ax y 2 ；对称轴 ；顶点坐标 ； （2）a 决定图象开口 ； （3）若0>a ，则开口 ；则=x 时，=m i n y ； 若0a ，则 时，y 随x 的增加而增大；则 时，y 随x 的增加而减小； 当0ab 时，则抛物线的对称轴在y 轴 ； （6）若0=b 时，则抛物线的对称轴为 或 ； （7）若ab <0时，则抛物线的对称轴在y 轴 ； （8）若0>?时，则抛物线与x 轴有 交点； （9）若0=?时，则抛物线与x 轴有 交点或 ； （10）若0c 时，则抛物线交y 轴于 轴； （14）当1=x 时，则抛物线必过（ ， ）； （15）当1-=x 时，则抛物线必过（ ， ）； （17）当0=x 时，则抛物线必过（ ， ）； （18）函数图象的平移问题遵守 ； （19）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象 关于x 轴的对称的解析式为 ； 关于y 轴的对称的解析式为 ； 关于原点对称的解析式为 ； 20、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过),,(),,(21n x B n x A 对称轴 ； 21、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过),0,(),0,(21x B x A 则=-21x x ；
初中数学解题方法大全
初中数学解题方法大全 数学解题方法 一、选择题： 对于选择题，关键是速度与正确率，所占的时间不能太长，否则会影响后面的解题。提高速度与正确率，方法至关重要。方法用得恰当，事半功倍，希望大家灵活运用。做选择题的主要方法有：直接法、特值法、代入法（或者叫验证法）、排除法、数形结合法、极限法、估值法等。 （一）直接法： 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的．这类题型可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法．这种解法最常用，解答中也要注意结合选项特点灵活做题，注意题目的隐含条件，争取少算．这样既节约了时间，又提高了命中率。例：方程的解为（） A B C D 解：直接计算，同时除以300，再算的x=750。 （二）特值法： 用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等。特值法一般和排除法结合运用，达到少计算的目的，从而提高速度。 例：如图，在直角坐标系中，直线l对应的函数表达式是（） 解：看图得，斜率k>0,排除CD，再在AB中选，取特值x=0,则 y=-1,结果选A。 （三）代人法： 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法．例3．（20XX年安徽）若对任意x∈R,不等式（A）<－1（B）||≤1（C）||<1（D）≥1 解： 化为化为，显然恒成立，由此排除答案A、 D
2021届高考数学一轮基础过关训练8：二次函数与幂函数
1．幂函数y＝x m2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为() A．0B．1 C．2 D．3 解析：选C.因为y＝x m2－4m (m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，所以m2－4m<0，即0
解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2 k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2 k ≤1，解得k ≥2. 当k <0时，2 k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间 [1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( ) A ．(－4，2) B ．(－2，4) C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4. 6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ??? ?????1 31 2，b ＝f (ln π)，c ＝f ????－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0 解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数． 因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b 2a ＝2， 则4a ＋b ＝0， 又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.
初中数学解题技巧(超级完整)
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版) 选择题目在试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。 1.排除选项法： 选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。 2.赋予特殊值法： 即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。 3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果： 这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。 4、直接求解法： 有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元 5、数形结合法： 解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。 6、代入法： 将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。 7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。 8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。 例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( ) (A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B. 9、待定系数法： 要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。 10、不完全归纳法： 当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。 以上是我们给同学们介绍的选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。 初中填空题解法大全 一.数学填空题的特点： 与选择题同属客观性试题的填空题，具有客观性试题的所有特点，即题目短小精干，考查目标集中明确，答案唯一正确，答卷方式简便，评分客观公正等。但是它又有本身的特点，即没有备选答案可供选择，这就避免了选择项所起的暗示或干扰的作用，及考生存在的瞎估乱猜的侥幸心理，从这个角度看，它能够比较真实地考查出学生的真正水平。考查内容多是“双基”方面，知识复盖面广。但在考查同样内容时，难度一般比择题略大。 二.主要题型： 初中填空题主要题型一是定量型填空题，二是定性型填空题，前者主要考查计算能力的计算题，同时
初级中学数学学科知识与教学能力
初级中学数学学科知识与教学能力 初级中学数学学科知识与教学能力一、考试目标 1.学科知识的掌握和运用。掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学的知识。具有在初中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。 2.初中数学课程知识的掌握和运用。理解初中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)规定的教学内容和要求。 3. 数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。 二、考试内容模块与要求 1.学科知识 数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。 大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程知识是指高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的
内容以及选修3—1(数学史选讲)，选修4—1(几何证明选讲)、选修4—2(矩阵与变换)、选修4—4(坐标系与参数方程)、选修4—5(不等式选讲)以及初中课程中的全部数学知识。 其内容要求是：理解中学数学中的重要概念，掌握中学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。 2.课程知识 了解初中数学课程的性质、基本理念和目标。 熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3.教学知识 掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。 掌握数学教学评价的基本知识和方法。 4.教学技能 (1)教学设计 能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。
二次函数综合题解题方法与技巧
图1 图 2 压轴题解题技巧练习 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、 动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、 x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点， 是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、圆 2． 如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长； （3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长 ． 2
第二十二章-二次函数-过关自测卷
第二十二章过关自测卷 （100分,45分钟） 一、选择题（每题4分，共32分） 1.抛物线y=ax2+bx－3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（） A.－2 D.－15 2.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） 图1 图2 =－2x2 =2x2 =－1 2x2 =1 2 x2 ! 3.〈恩施州〉把抛物线y=1 2 x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（） =1 2 (x+1)2－3 =1 2 (x－1)2－3 =1 2 (x+1)2+1
=1 (x－1)2+1 2 4.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a ≠0）中的x与y的部分对应值如下表： 给出了结论： （1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3； ＜x＜2时，y＜0； （2）当－1 2 （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是（） 【 5.〈舟山〉若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（） A.直线x=1 B.直线x=－2 C.直线x=－1 D.直线x=－4 6.设一元二次方程（x－1）（x－2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）＜α＜β＜2
＜α＜2＜β C.α＜1＜β＜2 D.α＜1且β＞2 ? 7.〈内江〉若抛物线y=x2－2x+c与y轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.当x=1时，y的最大值为－4 D.抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0） 8.〈南宁〉已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（） A.图象关于直线x=1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4 C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根 D.当x＜1时，y随x的增大而增大 \ 图3 二、填空题（每题4分，共32分） x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值9.已知抛物线y=－1 3
初中数学教师资格证复习资料学科知识与教学技能
模块二：课程知识 第一章初中数学课程的性质与基本理念 第一节：影响初中数学课程的主要因素 1、初中数学课程是一门国家课程，内容主要包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手段。它体现了国家从数学教育与教学的角度，对初中阶段学生实现最终培养目标的整体规划。 2、影响初中数学课程的主要因素包括： 一、数学学科内涵： （1）数学科学本身的内涵（数学的知识、方法和意义等） （2）作为教育任务的数学学科的内涵（理解数学的整体性特征，领悟相关的数学思想，应用数学解决问题的能力等） 二、社会发展现状： （1）当代社会的科学技术、人文精神中蕴含的数学知识与素养等 （2）生活变化对数学的影响等 （3）社会发展对公民基本数学素养的需求。 三、学生心理特征。 初中数学课程是针对初中学生年龄特征和知识经验而设置的，因此学生的心理特征必然会影响着具体的课程内容、 （1）适合学生的数学思维特征 （2）学生的知识、经验和环境背景 第二节、初中数学课程性质 一、基础性 （1）初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须要用到的。（2）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础。 （3）由于数学学科是其他科学的基础，因此数学课程内容也是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础 因此，义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础 二、普及性 （1）初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及，即每一个适龄的学生都有充分的机会学习它 （2）初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的努力而掌握 三、发展性
二次函数压轴题解题思路
?二次函数压轴题解题思路路 ?一、基本知识 1会求解析式 2.会利利?用函数性质和图像 3.相关知识：如?一次函数、反?比例例函数、点的坐标、?方程。图形中的三?角形、四边形、圆及平?行行线、垂直。?一些?方法：如相似、三?角函数、解?方程。?一些转换：如轴对称、平移、旋转。 ?二、典型例例题： （?一）、求解析式 1.（2014?莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式； 2.（2012?莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式； 练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位?长度，再向上平移2个单位?长度后，所得函数的表达式为（） A.y=﹣2（x+1）2+2 B.y=﹣2（x+1）2﹣2 C.y=﹣2（x﹣1）2+2 D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2 （?二）、?二次函数的相关应?用 第?一类：?面积问题 例例题.（2012?莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0） 与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．） （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的?面积； 2.（2014?莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线 y=ax2+bx+c经过O、C、D三点． （1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．） （3）若△AOC沿CD?方向平移（点C在线段CD上，且不不与点D重合）， 在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的?面积记为S，试求S的最?大值．
金榜学苑二次函数基础过关训练题
金榜学苑二次函数基础过关训练题 一、选择题 1、抛物线3)2(2 +-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x 2.二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ）A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5.已知反比例函数x k y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图 象大致为（ ） x 6.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 7.抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8.二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1
9.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 2. 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B . （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△P AB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标. 数学课堂教学技能训练 课程简介： 本课程主要内容为数学课堂教学的基本介绍和训练，包括数学课堂教学的导入、结束、语言等技能。本课程的特点之一是数学课堂教学技能设置全面，而且不限于课堂教学本身；特点之二是紧密结合数学课堂教学实践，本课程需大量课堂教学案例，并给出必要的点评，有利于准教师进一步地细细揣摩；特点之三是每章都设有情景引入；特点之四是在每章后设置了技能训练实践的项目供学生思考与训练，以便加深理解，消化所学技能；特点之五是章节设计的主线围绕技能训练，有关技能必要的理论阐述尽量简化，以突出技能的操作方法和实施要点。 教学简纲： 第一章数学课堂教学设计与课后反思 第一节数学学课堂教学与设计 第二节数学课堂课后反思 第二章数学课堂导入技能 第一节数学课堂导入技能运用的目的与设计原则 第二节数学课堂导入技能的类型与方法 第三节数学课堂导入技能实施要点 第三章数学课堂结束技能 第一节数学课堂结束技能类型与使用方法 第二节数学课堂技能实施要点及误区分析 第四章数学课堂语言技能 第一节数学课堂语言技能结构要素与类型 第二节数学课堂语言技能基本要求 第五章数学课堂讲解技能 第一节数学课堂技能实施要点 第二节数学课堂讲解技能实施要点 第六章数学课堂强化技能 第一节数学课堂强化技能类型与实施方法 第二节数学课堂强化技能实施误区 第七章数学课堂变化技能 第一节数学课堂变化技能的类型与方法 第二节数学课堂变化技能实施要点 第八章数学课堂多媒体设计与使用技能 第一节数学课堂多媒体设计与使用技能类型与方法 第二节数学课堂多媒体设计与使用技能实施要点 第九章数学课堂观察技能 第一节课堂观察的对象与范围 第二节课堂观察技能的使用方法 C x x y y A O B E D A C B C D G 图1 图 2 A P O B E C x y 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)， 其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3 ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积． 九年级数学《二次函数》过关题浙教版 1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A. B. 12．请写出一个 开口向下，且函数有最大值2的二次函数的解析式是 . 13．抛物线y =x 2+8x －4与x 轴的交点坐标是______ ___. 14.已知二次函数y=x 2+x+m ，当x 取任意实数时，都有y>0，则m 的取值范围是 . 15.把抛物线y=2x 2 －4x －5若绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是 . 若关于X 轴对称 得到的新抛物线的解析式是 16．如图是二次函数y ax bx c 12=++和一次函数y mx n 2=+的图象，观察图象， 写出y y 21≥时x 的取值范围：____ ___。 18．二次函数y=(x －3)(x+2)的图象的对称轴是____ ___。 若把抛物线y=x 2+bx+c 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y=x 2 ， 则b 为___ c 为___ 。 19．把抛物线 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系 式___________ 22．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ， ．（1）求该二次函数的解析式；（2）当x 满足什么条件时，函数值y 随着x 的增大而减小？（3）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． 27.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大. 25.在平面直角坐标系中，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点，且与y 轴交于D(0,3)，直线l 是抛物线的对称轴。(1) 求该抛物线的解析式。 (2) 若过点A(-1,0)的直线AB 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式。 初中数学学科知识与教 学能力 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 《数学学科知识与教学能力》（初级中学） 一、考试目标 1．学科知识的掌握和运用。掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学的知识。具有在初中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。 2．初中数学课程知识的掌握和运用。理解初中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。 3.数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。 二、考试内容模块与要求 1.学科知识 数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。 大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程知识是指高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）以及初中课程中的全部数学知识。 其内容要求是：理解中学数学中的重要概念，掌握中学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。 2．课程知识 了解初中数学课程的性质、基本理念和目标。 熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3．教学知识 掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。 掌握数学教学评价的基本知识和方法。 4．教学技能 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5） （1）求该函数的关系式； （2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标； （3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积． 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式； （2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标； （3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积． 【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4， 将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1， ∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3； （2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）， 令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1， 即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）； （3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧）， 由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）， 当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位， 故A'（2，4），B'（5，﹣5）， ∴S△OA′B′=1 2 ×（2+5）×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15． 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的 人教版数学九年级上册《第二十二章二次函数》过关自测 卷 （100分,45分钟） 一﹨选择题（每题4分，共32分） 1.抛物线y=ax2+bx－3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（） A.－2 B.2 C.15 D.－15 2.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） 图1 图2 A.y=－2x2 B.y=2x2 C.y=－1 2x2 D.y=1 2 x2 3.〈恩施州〉把抛物线y=1 2 x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（） A.y=1 2 (x+1)2－3 B.y=1 2 (x－1)2－3 C.y=1 2 (x+1)2+1 D.y=1 2 (x－1)2+1 4.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c（a﹨b﹨c为常数且a≠0）中的x与 y的部分对应值如下表： 给出了结论： （1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3； ＜x＜2时，y＜0； （2）当－1 2 （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0 5.〈舟山〉若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（） A.直线x=1 B.直线x=－2 C.直线x=－1 D.直线x=－4 6.设一元二次方程（x－1）（x－2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（） A.1＜α＜β＜2 B.1＜α＜2＜β C.α＜1＜β＜2 D.α＜1且β＞2 7.〈内江〉若抛物线y=x2－2x+c与y轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的是（） 数学教学技能 三、讲解技能的构成要素 讲解技能是课堂教学中，教师充分利用各种信息通道，使知识信息转化为学生的贮存状态，再运用到解决实际问题中去的行为方式。讲解技能的构成要素主要有：语言结构、讲解结构、组织引导形成连接、使用例证、获得反馈等五要素。 1.语言结构 语言结构是指教师在课堂教学过程中，要求教师的语言通俗易懂；讲解生动、形象，富于感染力；表述流畅，思路清晰，突出学科性和科学性。 数学教师的语言应该是准确、规范、富有逻辑性和启发性的,更应该生动有趣，通俗易懂. 讲解技能从语言结构来讲，有以下要求： (1)讲解语言要准确、发音清晰、结构完整、注意科学性。 教师在讲解时阐述例证，推导结论，提出问题和解答问题时，语言都应该准确无误，符合科学性。也即是教师在对知识进行讲解时，句子的意义要确切、明白，句子所指要明确；句子的结构要完整，不能只有前言没有后语；用词要准确，特别是数学术语一定要准确，注意用词及语言的科学性。 (2)讲解语言要形象、生动。 语言的准确、结构完整、符合科学性并不意味着讲解的语言就一定是干巴巴的、冷冰冰的。讲解语言要体现教师的教学激情、要能激发学生的学习兴趣，就要求讲解的语言必须富有情感，讲解的语言必须生动、形象。 (3)讲解语言应具有逻辑性和启发性。 逻辑的严谨性是数学的一大特点。讲解数学知识必须注意语言的逻辑性，这是数学学科本身特点所决定的，同时，语言的逻辑性也是培养学生逻辑思维能力的好材料。因此，教师讲解时的语言要条理清楚，层次分明，且具有说服力。恰当地运用数学的专业术语，为学生提供思维严谨、步骤清晰的模仿范例。 当然，逻辑的严谨性又使得数学教材具有其独特的特点：教材中对教学内容往往是以结果的形式来呈现的，这就要求教师在教学前作好还原工作，并在教学中进行讲解的时候注重启发性，启发学生通过联想、想象、分析、对比、归纳等，去探索数学知识的发生、发展过程。 在数学教学中还要注重讲解的启发性。讲解的启发性在于能把抽象的数学问题具体化、深奥的数学对象形象化，从而提高学生的思维能力。教师要善于从教材内容出发，针对教学重点、难点，启发学生积极思考，使学生学会怎样分析问题，解决问题。 (4)讲解语言的节奏感。 讲解教学中，教师应当灵活地运用语言技巧，特别是把握语言的节奏。 首先，讲解中语音、语速、语调、音量应适合讲解内容和情感的需要。同样的内容，用不同的语速、语调、音量来表述，就会给学生造成不同的印象。所以讲解的语言、语调一定要有节奏，有轻重缓急之分，要使学生收到清楚的信息。 其次，讲解中应恰当、灵活地运用"停顿"来控制节奏。数学课堂教学语言不能处处"连续"。数学教学是教师引导学生进行数学思维活动的过程，如果对数学问题用"连续"不间断的语言讲下来，则学生没有思考的余地。所以，从培养学生思维的角度来说，教师在讲解过程中应当恰当地、合理地、有目的地运用"停顿"，给学生思考的机会和时间。 2.讲解结构 讲解结构是指教师在分析学生学习心理、认知结构和教材的知识结构的基础上，对讲解全过程的统筹规划和设计。最新数学课堂教学技能训练(1)
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