连续函数的运算和初等函数的连续性

初等函数及其连续性

初数研究期末专题论文 教师一班105012013066 邱燕华

初等函数及其连续性 【摘要】：本文主要分为三部分。第一部分利用初等函数的定义及Yanzu 引理重点讨论初等函数的判定方法；第二部分利用初等函数的连续性定义，详细讨论初等函数的连续性；第三部分简要提一下函数连续性在中学中的运用。 关键词：初等函数，连续性，Yanzu 引理 【正文】： 一、初等函数 1、初等函数的定义 定义1：由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做[1]初等函数。 注：基本初等函数包括常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。 2、初等函数的分类 如果一个函数是用基本初等函数f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加、减、乘、除、乘方、开方得到初等函数称为代数函数，否则称为超越函数；f1(x)=x 和f2(x)=c 经过有限次加减乘除得到的代数函数称为有理函数，否则称为无理函数；有理函数中，仅经过有限次加、减、乘得到的初等函数称为有理整函数，否则称为有理分函数 [2]。（如下图示） ?????????????????有理整函数有理函数有理分函数代数函数无理函数初等函数超越函数 3、初等函数的判定方法 （1）根据定义判定 例1、判断下列函数是否为初等函数 ①12 2sin (1)x e y g x ??=? ?+?? ，②y lg(1y = 解： ①122sin (1)x e y g x ??=??+?? 可以看成是122sin ,,,1()x v y u u v e w x g w ====+复合而成的复合函数，12 2sin (1)x e y g x ??∴=??+??是初等函数。 ②∵ -1≤cosx ≤1, ∴-2-cosx 无意义, ∴y=-2-cosx 不是初等函数。 ③2lg ,1,1, lg(1y u u v v x y ==+++=∴== 复合而成的复合函数是初等函数 例2、判断下列函数是否为初等函数

第一章 函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知

的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ②

要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

函数的极限及函数的连续性典型例题

函数的极限及函数的连续 性典型例题 Last revision on 21 December 2020

函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。②。

例6．设，问常数k为何值时，有存在 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限 解析：由，，∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。 三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0

函数的连续性的例题习题(一)

函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&） 由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有 lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==， 但从（&）知，0 lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以 lim 0x y ?→?=。

函数的连续性的例题与习题

函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&） 由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有 lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==， 但从（&）知，0 lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以 lim 0x y ?→?=。

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

函数极限与连续

第三节函数极限与连续 一、函数极限内容网络图 二、内容与要求 1. 理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则

3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限. 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．函数极限的概念 定义1.10 。 定义1.11 把1中“”换成“”。 定义1.12 把1中“”换成“”。 定理1.4 且 定义1.13 设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 定义1.14 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。

此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 定义1.15设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理 1.5 且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 定义1.16时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 定义1.17 。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 定义1.18 。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以 是。 定理1.6 。 其中。 定义1.19 若时，都有，称时是有界量。

极限的概念_函数的连续性详解

第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε， 换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε <-a a n 成立 这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列 ,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。 否则我们就说数列{}a n 是发散的。

函数的连续性及极限的

第四节函数的连续性及极限的应用 1?函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x) X X o 存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.?函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件. (1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在； X x o (3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函 x x o 数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点x o 处 不连续?那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算： ① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。 g(x) ② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。 4?函数f(x)在(a , b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数. f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在 并且等

于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5?函数f(x)在［a, b］上连续的定义： 如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)， x a 在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连 x b 续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值? 7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 ?点击双基 1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又

连续函数的运算性质

§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 【导语】 对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。 【正文】 一、连续函数的四则运算 定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)() f x g x g x ≠均在0x 处连续． 二、复合函数的连续性 定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续． 从运算的角度看，有 000 lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序． 三、反函数的连续性 定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续． 例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续． 解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ①② ③④ 解析：①。 ②。 ③。 ④。例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根， ∴ m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又，

∴，∴ f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。 ∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且， ∴，∴ a=1, b=0。 例5．求下列函数极限 ①② 解析：①。 ②。 例6．设，问常数k为何值时，有存在？ 解析：∵，。 要使存在，只需， ∴ 2k=1，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？ 解析：由，， ∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。

三、训练题： 1．已知，则 2．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0

函数的连续性及极限的

第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且0 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数 f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在 函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限

存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )， 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A

函数的极限与函数的连续性

1 / 11 第一章 函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的ε—δ定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 设v u ,表示数列变量n x 或函数变量，在同一个极限过程中,lim ,lim B v A u ==该极限过程可以是数列极限或函数极限中的任一种,A 、B 、a 、β是常数，则极限有以下性质。

2 / 11 注 X 的形式与极限过程相关，当u 、v 是数列时，n n X |{=≥}N ，N 是某个自然数； 当u 、v 是函数变量，极限过程是- →0x x 时，),(00x x X δ-=，极限过程是 ),(,00δx U X x x =→时，其余类推。 （III ）基本极限公式 e n n n n n =+=∞→∞→)1 1(lim ,01lim ， )0(1lim lim ,0)1(lim >===-+∞ →∞ →∞ →a a n n n n n n n n n n n n n n )1(lim ,2 1 )(lim 2-= -+∞ →∞ →不存在 ,)1 1(lim , )1(lim 10 e x e x x x x x =+=+∞→→ ,11lim ,1sin lim 00=-=→→x e x x x x x ,01 sin lim , 1) 1ln(lim 0==+→→x x x x x x x x e 1 lim →不存在， x x x | |lim 0→不存在。 （IV ）极限之间的联系 （1）)(lim )(lim )(lim 0 x f A x f A x f x x x x x x - +→→→==?= （2）.)(lim )(lim )(lim A x f x f A x f x x x ==?=-∞ →+∞ →∞ → （3）?=→A x f x x )(lim 0 对任意趋于0x 的数列n x ，有A x f n n =∞ →)(lim 2．无穷小量与无穷大量 （I ）概念 无穷小量 在指定极限过程中以零为极限的变量

第一章函数的极限与函数的连续性

第一章函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的￡ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可 1

2 商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0) v 比较性质 (1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v (2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v 有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界 (2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。 存在性质 (1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 (2) 夹逼准则：若u v ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个 变量u 、v 、国极限过程相同)。 注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数; 1 l x m o xsin ;= , 1 lim e x 不存在, x (IV )极限之间的联系 (1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x) i x o 十 x T x o — (2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A. X - X ) - . X (3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 A v 是函数变量， 极限过程是X — xj 时, X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是 x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。 (III )基本极限公式 lim 0, n t ：n lim ( 一 n 1 — n) = 0, n 「 1 lim (1 )n = e , + n lim Q n = lim =1(a > 0) n n j ：: lim ( . n 2 n n _. lim (-1)不存在 n —jpc 1 lim (1 X )，=e, X 0 lim (1 丄广=e, x r ：： x X n X 叫 X Hx lim 凶不存在。 x 10 x

函数、极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A 卷） 1.选择题（正确答案可能不止一个）。 （1）下列数列收敛的是（ ）。 A . n n x n n 1 )1(--= B . n x n n 1 )1(-= C . 2sin πn x n = D . n n x 2= （2）下列极限存在的有（ ）。 A . x x sin lim ∞→ B . x x x sin 1 lim ∞→ C . 121lim 0-→x x D . 121 lim 2+∞→n n （3）下列极限不正确的是（ ）。 A . 2)1(lim 1=+-→x x B . 111lim 0=+→x x C . ∞=-→2124lim x x D . +∞=+→x x e 2 0lim （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（ ）。 A . )0(12→--x x B . )0(sin →x x x C . )(+∞→-x e x D . )0()1 sin 2(12→-+x x x x （5）如果函数. 0;0; 0,1sin ,,sin 1 )(>=

极限与连续

第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函

《数学分析》习题 第十五章多元函数的极限与连续性

第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1．设(){} ,n n n P x y =是平面点列，()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=，且0lim n n y y →∞ =. 2． 设平面点列{}n P 收敛，证明{}n P 有界. 3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2,|E x y y x = <； (2)(){}22,|1E x y x y = +≠； (3)(){},|0E x y xy = ≠； (4)(){},|0E x y xy = =； (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+； (6)()1,|sin ,0E x y y x x ? ?==>????； (7)(){}22,|10,01E x y x y y x = +==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 4．设F 是闭集，G 是开集，证明\F G 是闭集，\G F 是开集. 5．证明开集的余集是闭集. 6．设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ，满足 ()01,2,n P P n ≠=且0lim n n P P →∞ =. 7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8．用致密性定理证明柯西收敛原理. 9．设E 是平面点集，如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10．设E 是平面上的有界闭集，()d E 是E 的直径，即 ()()',''sup ',''P P E d E r P P ∈=.