大学物理习题册答案 (2)

O

A

2

练习 十三

(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)

一、选择题

1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ）

（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。

解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m -=++-=)(22(mg kl =),0222=+x dt x

d ω

弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m -=++-=αsin )(22 (mg kl =),0222=+x dt

x

d ω

2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前

2π； （B ）A 落后2π

；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。 解：(A)t A x A ωcos =,)2/cos(πω-=t A x B

3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T 。 解：(B)振幅矢量转过的角度6/πφ=?,所需时间12

/26/T T t =

=?=ππωφ, 4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31+=t x 和)π75.0π50cos(42+=t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ）

（A ）)π25.0π50cos(2+=t x ； （B ）)π50cos(5t x =；

（C ）π1

5cos(50πarctan 27

x t =+

+； （D ）7=x 。 解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算

)cos(210202122

2

1φφ-++=A A A A A 5)25.075.0cos(432432

2

=-??++=ππ

7

1

2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4

)25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011

0---+=++=++=tg tg A A A A tg πππππφφφφφ

5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ?和2l ?，且212l l ?=?，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ）

（A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。

解：(B) 弹簧振子的周期k m

T π

2=,11l mg k ?=, 22l mg k ?=,22

121=??=l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ）

(A) 2

max 2max /x m k v =； (B) x mg k /=；

(C) 2

2

/4T m k π=； (D) x ma k /=。 解：B

7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质

点的振动表式为 （B ） (A) )21cos(2++=αωt A x ； (B) )21

cos(2-+=αωt A x ； (C) )2

3

cos(

2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。解：(B)作旋转矢量图 A

)0(A

8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )312cos(1042π+π?=-t x (SI 制)。从t = 0时刻起，到质点位

置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为

（C ）

（A ）18s ； （

B ）16s ； （

C ）12s ； （

D ）14

s 。

解：(C)作旋转矢量图s t 2

/12//min ==?=ππωφ 二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______；ω =______；φ

0=______。 解：由图可知m cm A 1.010=

=,s T 12=,1

6//2-==s T ππω,

作旋转矢量得3/0πφ=

2．单摆悬线长l ，在悬点的铅直下方2/l 处有一小钉，如图所示。则单摆的左右两方振动

周期之比21:T T 为 。解：单摆周期g l T π2=,22=

=右左右

左

l l T T 3．一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。已知周期为T ，振幅为A 。

（1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）若t = 0时质点处于A x 2

1

=

处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。

解：作旋转矢量图,由图可知(1))22cos(

ππ-=t T A x ;(2))3

2cos(π

π+=t T A x

4．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k ，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为

2

k

,k m T 22π=;两个相同弹簧并联,劲度系数为k 2,k m T 22π=.

5．质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动

时，其振动能量E = 。解：弹簧振子振动周期k m T π2=,224T m k π=,振动能量222

2221A T

m kA E π==

6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为t A x π10cos 1=和t A x π12cos 2=，则它们的合振动频率为 ，拍频为 。

解：πνω2=,51=ν, 62=ν,合振动频率Hz 2

112

12=+=ννν,拍频Hz 112=-=?ννν

7．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。

解：作旋转矢量图12A A -; ??? ??+-=22cos )(12ππt T A A x 三、计算题 1．质量m = 10 g 的小球按如下规律沿x 轴作简谐振动：

)3

2

8cos(1.0π+

π=t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。

解：圆频率)/1(8s πω=,周期)(4/1/2s T ==ωπ,振幅m A 1.0=,初相3/20πφ= 振动速度最大值)/(5.28.081.0max s m A v ==?==ππω, 加速度最大值)/(634.6)8(1.02

222max s m A a ==?==ππω

振动的能量J mv kA E 222max 210125.35.201.02

1

2121-?=??===

2*. 边长为l 的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为0h ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运动，并求振动的周期T 和振幅A 。（水和木块的密度分别为12ρρ和）

解：木块平衡时：g l h mg 2

01ρ=,取液面为坐标原点，向下为x 轴正向,当木块浸入水中深度增加x 时

)(t A 4πO

)

0(A O )0(1A

mg F dt x d m +-=浮22

,xg l g l g h x l dt

x d l 213202122

32)(ρρρρ-=++-= x l g dt x d 212

2ρρ-=,02

022=+x dt x d ω,l g 21ρρω=,g

l T 1222ρρπωπ==, 022

020/h h v x A -=+=

ω

3.一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为0.25kg ，弹簧的劲度系数25N m k =?-1

。

(1) 求振动的周期T 和角频率ω； (2) 以平衡位置为坐标原点。如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式； (3) 求振动速度的表达式。 解：(1) 角频率)/1(1025.0/25/s m k ===ω,)(2.0/2s T πωπ== (2) 作旋转矢量图,由图可知3/0πφ=

??? ??+=310cos 15.0πt x （SI 制）, (3)??? ?

?

+-=310sin 5.1πt v （SI 制）

4． 一个弹簧振子作简谐振动，振幅m 2.0=A ，如弹簧的劲度系数N/m 0.2=k ，所系物体的质量kg 50.0=m ，试求：

（1）当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？（2）物体从正的最大位移处运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？

解(1)由题意，3k p E E =,2

2

212144kA kx E E E E p p k =

?==+=,得224x A = , 10.12

x A m =±=± (2) 由题意知 )/1(25.0/0.2/s m k ===

ω，

作旋转矢量图知：3/πφ=?，最短时间为)(6//s t πωφ=?=?

5．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为：

130.05cos 10π4x t ??=+ ???，210.06cos 10π4x t ?

?=+ ??

?（SI 制）

（1）求它们合成振动的振幅和初相。（2）另有一个振动300.07cos(10)x t φ=+，问0φ为何值时，31x x +的振幅最大；0φ为何值时，32x x +的振幅最小。

解：(1)由图可知m A A A 078.02

221=+=,0108.846

54

=+=-tg πφ

(2) 31x x +的振幅最大时πφφ4

3

100=

=; 32x x +的振幅最小时πφφ±=-200 ,)43(,450ππ?-=或

练习 十四 平面简谐波、波的能量

一、选择题

1．一个平面简谐波沿x 轴负方向传播，波速m/s 10=u 。0=x 处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 (B ) （A ）)2π20π2πcos(2++=x t y ；（B ）2π20π2πcos(2-+=x t y ； （C ）)2π20π2πsin(2++=x t y ；

（D ）2π20π2πsin(2-+=x t y 。 解：(B)由图可知s T 4=,0=x 处质点振动方程??? ??-=???

??+=22

cos 22cos 00ππφπt t T A y 波的表达式?????

?-+=??

???

?-??? ??+=???

?????-???

? ?

?-=2202cos 22102cos 222cos 2πππππππx t t x t t u x t y 2．一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为m/s 160=u ，0=t 时刻的波形图如图所示，则该波的表达

式(SI 制)为 ( C )

（A ）2π4ππ40cos(3-+=x t y ；（B ）2

π4ππ40cos(3++=x t y ；

（C ）)2π4ππ40cos(3--=x t y ；（D ）)2π4ππ40cos(3+-=x t y 。

解:(C)由图可知m 8=λ,s m u /160=,)/1(20/s u ==λν,)/1(402s ππνω== A

--)

O )0(A x =0处质点在t =0

时振幅矢量.

设0=x 处质点振动方程为()0040cos φπ+=t A y , 0=t 时0=x 处质点位移为零且向y 轴正向运动,

作旋转矢量图知20π

φ-

=,???

?

?-=240cos 30ππt y 波的表达式??? ??--=??

????-??? ??-=2440cos 3216040cos 3πππππx t x t y 3*. 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t

为 ( D ) (A) ]2)(cos[π

+'-=t t b u a y ；(B) ]2

)(2cos[π-'-π=t t b u a y ； (C) ]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ；(D) ]2

)(cos[π-'-π=t t b u a y 。

解:(D) 由图可知b 2=λ,b v v 2//==λν,b v /2ππνω==

t t '=时0=x 处质点位移为零且向y 轴正向运动,∴0cos 0=φ,0sin 0>-φ,2/0πφ-=

4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C )

（A ）它的势能转化成动能； （B ）它的动能转化成势能； （C ）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；

（D ）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

解：(C)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ??∝,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v 和x y ??/由

↑0到最大值.

5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B )

（A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，势能也为零； （C ）动能最大，势能也最大；（D ）动能最大，势能为零。 解：(B)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ??∝,质元在最大位移处,v 和x y ??/均为0.

6．频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为3/π，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m ； (B) 2.19 m ； (C) 0.5 m ； (D) 0.25 m 。

解:(C) 波长m u 3100/300/===νλ,φπλ???x ,2，)3//(2/3ππ=x ,m x 5.0= 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是4:21=I I ，则两列波的振幅之比21:A A 为 （A ）4； （B ）2； （C ）16； （D ）0.25。 ( B )

解：(B)波强u A I 2221ωρ=,42

22

121==A A I I

8．在下面几种说法中，正确的是： ( C )

（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B ）波源振动的速度与波速相同；

（C ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。 解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题

1． 产生机械波的必要条件是 和 。解：波源,介质.

2． 一平面简谐波的周期为s 0.2，在波的传播路径上有相距为cm 0.2的M 、N 两点，如果N 点的位相比

M 点位相落后6

π

，那么该波的波长为 ，波速为 。

解：φπλ???x ,2， φ

πλ?=?2x ,cm x 2426/22=?=??=ππ

φπλ,s cm T u /12/==λ

3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。

解：不能.波速由媒质的性质决定.

4． 处于原点（0=x ）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为)cos(Cx Bt A y -=，其中A 、B 、C 皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。 解：)(cos )/(cos )cos(u

x

t A c B x t B A Cx Bt A y -=-

=-=ω,C B u /=,B T /2/2πωπ==, C uT /2πλ==,λπφ/2/l =?,Cl l ==?λπφ/2,初相Cl -

5． 一平面简谐波沿x 轴正向传播，波动方程为]4

π

)(cos[+

-=u

x

t A y ω，则1L x =处质点的振动方程为 ，2L x -=处质点的振动和1L x =处质点的振动的位相差为=-12φφ 。

解：波方程中x 用特定值表示后即表示特定质点振动方程111cos ]4

)(cos[φπ

ωA u L t A y =+-

= 222cos ]4)(cos[φπωA u L t A y =++

=,u

L L )

(1212+=

-ωφφ 6．一平面简谐波（机械波）沿x 轴正方向传播，波动表达式为)2

1

cos(2.0x t y π-

π=(SI 制)，则x = -3 m 处媒质质点的振动加速度a 的表达式为____________________________。

解：)21

cos(2.0222x t t y a ππ--=??=π,t t a x πππsin 2.0)2

3cos(2.0223ππ-=+-=-=

三、计算题

1．一平面简谐波，振动周期0.5T =s ，波长λ = 10m ，振幅A = 0.1m 。当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿x 轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x 1 = λ /4处质点，在t 2 = T /2时刻的位移和振动速度。 解:由题意可知)/1(4/2s T ππω==,s m T u /205.0/10/===λ

(1) 设波源的振动表达式为)4cos(1.00φπ+=t y ,m y t 1.0,00== ,0,cos 1.01.000==∴φφ,t y π4cos 1.0= (2) 波动表达式)20/(4cos 1.0x t y -=π(SI 制)

(3) 将s t m x 25.0,5.221==代入波动表达式得:05.0cos 1.0)20/5.225.0(4cos 1.0==-=ππy 振动速度)20/(4sin 4.0/x t t y v --=??=ππ

将s t m x 25.0,5.221==代入,)/(4.05.0sin 4.0)20/5.225.0(4sin 4.0s m v πππππ-=-=--=

2．一振幅为0.1m ，波长为2 m 的平面简谐波。沿x 轴正向传播，波速为1m/s 。t = 2s 时，x =1m 处的质点处于平衡位置且向正方向运动。求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m 处质点的振动表达式.

解:由题意可知s m u m m A /1,2,1.0===λ,

)(2/s u T ==λ,)/1(/2s T ππω== (2)设x =1m 处的质点振动表达式)cos(1.0)cos(001φπφω+=+=t t A y

因为t = 2s 时，该质点处于平衡位置且向正方向运动

所以0)2cos(1.00=+φπ,0)2sin(1.00>+-φππ,2/0πφ-=,)2/cos(1.01ππ-=t y

波的表达式为()??????+-=??????-??? ?

?--=2cos 1.0211cos 1.0ππππx t x t y (SI 制)

(1) 令0=x 得,)2/cos(

1.0ππ+=t y (SI 制) (3) 令m x 5.1=得,()[])cos(1.02/5.1cos 1.0ππππ-=+-=t t y (SI 制)

3． 一平面简谐波在介质中以速度m/s 20=u 沿x 轴负方向传播，如图所示。已知a 点的振动表式为t y π4cos 3a =（SI 制）。 （1）以a 为坐标原点写出波动表达式。

（2）以距a 点m 5处的b 点为坐标原点，写出波动表达式。

解:(1))5

4cos(3)20(4cos 3)20(4cos 3x

t x t x t y ππππ+=+=-=(SI 制) (2))5

4cos(3)]205(4cos[3ππππ-+=--=x t x t y (SI 制)

4．某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点的位移为

0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u =2m/s 沿x 轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。

解:(1) 由题意可知)/1(/2,06.0s T m A ππω===,

设振动表达式为 )cos(06.00φπ+=t y ,

t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,∴5.0cos 0=φ,0sin 0>-φ,3/0πφ-= )3/cos(06.0ππ-=t y

u

a

b

a b

p u x O p 0 u x

(2) 波的表达式]3/)2/(cos[06.0]3/)2/(cos[06.0ππππ-+=--=x t x t y (SI 制) (3) 波长m uT 4==λ

5．一列沿x 正向传播的简谐波，已知01=t 和s 25.02=t 时的波形

如图所示。（假设周期s 25.0>T ）试求 （1）P 点的振动表达式；（2）此波的波动表式；

（3）写出o 点振动方程并画出o 点的振动曲线。

解:由图可知

s T 125.04=?=,m 6.0=λ,s m T v /6.0/==λ,)/1(2/2s T ππω== (1)P 点振动表达式)2/2cos(2.0)cos(0ππφω-=+=t t A y P P (SI 制) (2) 波动表式]2)6.03.0(2cos[2.0ππ---=x t y ]2)6.0(2cos[2.0ππ+-=x t (SI 制)

(3)O 点振动方程)2

2cos(2.0π

π+

=t y O (SI 制)

6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m 的圆柱形管行进，波的强度为9.0?10-3W/m 2，频率为300Hz ，波速为300m/s 。问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为π2的同相面间有多少能量？

解(1)35322100.3300/100.9/,2

1---??=?====

m J u I w u w u A I ωρ,35max 100.62--??==m J w w (2)J w d V w w s V 721062.44

1

,,-?====λπλ

练习 十五

知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应

一、选择题

1．如图所示，两列波长为λ 的相干波在P 点相遇．波在S 1点振动的初相是φ 1，S 1到P 点的距离是r 1；波在S 2点的初相是φ 2，S 2到P 点的距离是r 2，以k 代表零或正、负整数，则P 点是干涉极大的条件为： ( )

(A) λk r r =-12； (B) π=-k 212φφ；

(C)

π=-π+-k r r 2/)(21212λφφ； (D) 21122()/2r r k φφλ-+-=ππ。

解:(D) 111111cos )(2cos Φ=??

????+-=A u r

t A y p φπ,222222cos )(2cos Φ=??????+-=A u r t A y p φπ

πλ

πφφλ

πφφk r

r r r 2222112121212=-+-=---=Φ-Φ=?Φ

2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )

（A ）两波源连线的垂直平分线上； （B ）以两波源连线为直径的圆周上； （C ）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D ）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

解: (A)λ

πφφφ1210202r

r ---=?,对相干波源,1020φφ=,在垂直平线上0,12=?=φr r .

3．平面简谐波)π3π5sin(4y t x +=与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )

（A ）4sin 2π(2.5 1.5)y t x =+； （B ）4sin 2π(2.5 1.5)y t x =-； （C ）4sin 2π(2.5 1.5)x t y =+； （D ）4sin 2π(2.5 1.5)x t y =-。

解:(D)波方程)35sin(4y t x ππ+=中,x 为各质点相对平衡位置的位移,y 为质点平衡位置的坐标.

4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；

(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。 解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。

5. 在波长为λ 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) λ /4； (B) λ /2； (C) 3λ /4； (D) λ 。 解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为λ /2。

6*. 一机车汽笛频率为750 Hz ，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s ）． ( ) (A) 810 Hz ； (B) 699 Hz ； (C) 805 Hz ； (D) 695 Hz 。

)

m (

(y )

s

解: (B)Hz u u u T u u u u 69975025

340340(=?+=+=+=''=

'νλν源源） 7*. 设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S v ，若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R υ沿S 、R 连线向着声源S 运动，则接收器R 接收到的信号频率为： ( )

（A ）S v ； （B ）

S R

v u

u υ+； （C ）

S R v u u υ-； （D ）S R v u u υ-。 解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值νλνu

v u uT v u u 观

观+=+=''='

二、填空题

1．设1S 和2S 为两相干波源，相距0.25λ，1S 的相位比2S 的相位超前0.5π。若两波在1S 与2S 连线方向上的强度相同均为0I ，且不随距离变化。则1S 与2S 连线上在1S 外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在2S 外侧各点合成波的强度为_______________。

解: 1S 外侧πλ

λ

ππλ

πφφφ-=--=---=?25.025.02121020r r ,波的强度为零

2S 外侧025.025.02121020=---=---=?λ

λππλπφφφr r ，波的强度为04I

2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解: π 3． 一驻波表式为t x y 400cos π2cos 1042

-?=（SI 制），在1/6(m)x =处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。

解: ()m A 221026/12cos 104--?=??=π,m x 6/1=处质点振动方程为t y 400cos 1022-?=,质点速度的表式

t v 400sin 8-=(SI 制).

4． （a ）一列平面简谐波沿x 正方向传播，波长为λ。若在0.5x λ=处质点的振动方程为t A y ωcos =，

则该平面简谐波的表式为 。

（b ）如果在上述波的波线上L x =（0.5L λ>）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A '，则反射波的表式为 （L x ≤）。 解: (a )???

?

?--

=u x t A y 2/cos λω ??

?

??+-

=??? ??+-=πλπωωλωωx t A u u x t A 2cos 2cos (b )??

????-??? ?

?----

'=πλωu x L u L t A y 2/cos ???

??-+=λπλπωL x t A 42cos 5．一驻波方程为t x A y π100cos π2cos =(SI 制)，位于m x 8/31=的质元与位于m x 8/52=处的质元的振

动位相差为 。 解: t A t A y

x πππ100cos 2

2100cos 43cos

1

-==, t A t A y

x πππ100cos 2

2100cos 85cos

2

-==；位相差为0 6*. 一汽笛发出频率为Hz 700的声音，并且以15m/s 的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为m/s 330） 。

解:m u u T u u 45.0700/315/((==-=-='νλ）

）源源 三、计算题

1．波速为1

0.20m s u -=?的两列平面简谐相干波在P 点处相遇，两个波源S 1和S 2的振动表式分别为

100.1cos 2y t π=（SI 制）和200.1cos(2)y t π=+π（SI 制）。已知1PS 0.40m =，2PS 0.50m =，求： （1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P 点的位相差；（3）干涉后P 点的振动是加强还是减弱，以及P 点合振幅。

解:（1）设1r 为空间某点到波源S 1的距离, 2r 为空间某点到波源S 1的距离,则

)102cos(1.0)2.0/(2cos 1.0111r t r t y πππ-=-=（SI 制），

)102cos(1.0])2.0/(2cos[1.0222πππππ+-=+-=r t r t y （SI 制）

（2）在两波相遇处02

.040

.050.0221

21020=--=---=?π

πλ

π

φφφr r

（3）0=?φ,P 点的振动加强，合振幅为m 2.0

2. 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为)2/4cos(01.0ππ--=x t y (SI 制)。若在x = 5.00 m 处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程

)5.54cos(01.0)2/54cos(01.0πππ-=--=t t y

设反射波的表达式为)4cos(01.00φ++=x t y π

反射波引起分界面处质点的振动方程)54cos(01.00φπ++=t y ,反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后π

ππφπ-=--++)5.54(540t t πφ5.110-=

)2/4cos(01.0)5.114cos(01.0ππ++=-+=x t x t y ππ

3．设入射波的表达式为 )(2cos 1T

t

x A y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无

能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。 解: （1）入射波引起分界面处(x =0)质点的振动方程T t A y /2cos 10π=

反射波比入射波在x =0处引起质点的分振动相位落后π 反射波引起x =0处质点的振动方程[]π-=T t A y /2cos 20π

反射波的表达式为 ??????

-???

??-=πλx T t A y π2cos 2

（2）??

? ??-??? ??

+=+=22cos 22cos 221πππλπT t x A y y y

（3）波节 2,1,02

==k k

x λ

；波腹 2,1,04

)

12(=+=k k x λ

4*． 一声源的频率为Hz 1080，相对于地以m/s 30的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以5m/s 6的速率向左运动。设空气中的声速为m/s 331。求

（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。

解:（1）m u u T u u 279.01080/301/((==-=-='νλ）

）源源 （2）Hz T v u v u u 1421108030

33165

331)(=?-+=-+=''=

'源观λν （3）反射波的速率为m/s 331。

5*． 如图所示，试计算：

（1）波源S 频率为Hz 2040，以速度S υ向一反射面接近，观察者在A 点听得拍音的频率为Hz 3=?v ，求波源移动的速度大小S υ。设声速为m/s 340。

（2）若（1）中波源没有运动，而反射面以速度m/s 20.0=υ向观察者A 接近。观察者在A 点所听得的拍音频率为Hz 4=?v ，求波源的频率。 解: （1）2040340340)(1?+=+=''=

'=S s v T v u u u λνν 2040340340

)(2?-=-=''='=S

s v T v u u u λνν

3204034034022040340340

20403403402

212=?-??=?+-?-=-=?s s S S v v v v ννν

s m v S /25.0≈

（2）20401=ν,νλνν?-+=-+=''=

'=2

.03402

.0340)(2T v u v u u

A

48

.3392

.34012=-?=

-=?ννννν,Hz 3398=ν 练习 十九

知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能

一、选择题

1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T ，分子质量为m ，则分子速度在x 方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )

（A ）x υ=

（B ）x υ=

； （C ）m kT

x 23=υ； （D ）0=x υ。

解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个方

向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.

2． 若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）

（A ）pV /m ； （B ）pV /(kT )； （C ）pV /(RT )； （D ）pV /(mT )。 解: (B)理想气体状态方程NkT T N R N RT m N Nm RT M M pV A

A mol ====

3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）

（A ）气体的体积； （B ）气体的压强；

（C ）气体分子的平均动量；（D ）气体分子的平均平动动能。

解: (D)kT v m k 2

3

212==ε (分子的质量为m )

4．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）

（A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高； （C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。 解:(A) kT

v m k 23

212==

ε,2

2

22H O H O T T m m =(分子的质量为m ) 5．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）

（A ）温度和压强都升高为原来的2倍；

（B ）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍； （C ）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍； （D ）温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式23

1

v nm p =

,nkT p =即可判断. (分子的质量为m ) 6．一定量某理想气体按pV 2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ） （A ）将升高； （B ）将降低； （C ）不变； （D ）升高还是降低，不能确定。 解:(B) pV 2＝恒量, pV /T ＝恒量,两式相除得VT ＝恒量 二、填空题 1．质量为M ，摩尔质量为M mol ，分子数密度为n 的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k 称为____________常数。 解: RT M M pV mol

=; nkT p =;玻耳兹曼常数

2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。 解: 平均平动动能kT v m k 2

3

212==

ε,nkT p =?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m ) 3．理想气体的微观模型：

（1）___________________________________；（2）____________________________________； （3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。

解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。

4．氢分子的质量为3.3?10-24g ，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以105cm/s

的速率撞击在2.0cm 2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

解:232

41327123/1033.2102707.010103.3102cos 2m N m

ms kg s S Nmv ?=??????=----α (分子的质量为m ) 5．宏观量温度T 与气体分子的平均平动动能k ε的关系为k ε=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:kT k 2

3

=

ε, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 6*．储有氢气的容器以某速度v 作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体

分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s ，容器中气体分子的平均动能增加了__________J 。 解:

s m M T iR v T R i M M Mv mol mol /6.12010

27.031.85,22132=???=?=?=- 分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加

J T k i 23231042.27.01038.12

5

2--?=???=? 三、计算题

1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m 时，管顶离水银柱液面为0.12m 。管的截面积为2.0?10-4m 2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m 。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol ，0.76m 水银柱压强为1.013?105Pa ）

解：设管顶部氦气压强为p ,pa mHg p 451013.210013.176

.016.016.0?=??==

354106.5100.228.0m V --?=??= 由理想气体状态方程RT M M

pV mol

=

可得, 456mol 2.1310 5.6100.004

1.9110(kg)8.31(27273)

pVM M RT --????=

==??+ 2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为k ε= 6.21×10-21 J 。求：

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；

(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量N A ＝6.022×1023 mol -1，玻尔兹曼常量k ＝1.38×10-23 J ·K -1) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同

J v m kT k 2121021.62

123-?===ε,(分子的质量为m )

s m M N m v mol A k k /48410

0.3210022.61021.62223

23

212

=?????===--εε (2) 氧气的温度 K k T k 3001038.131021.623223

21

=????==--ε

3．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？

解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知

T R M M V p RT M M pV mol mol '='=

2,,p p T T p p 3,3300

)

177273(22='=+='=' (2) 根据分子平均平动动能公式可知 kT k 23

=ε,T k k

'='23ε,5.127273173273=++='='T T k k εε 根据方均根速率公式225.12/3//,3,32222=='=''

='=

T T v v M T R v M RT v mol

mol 4． 水蒸气分解为同温度T 的氢气和氧气H 2O →H 2＋

21O 2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和2

1

摩尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。 解：水蒸汽的自由度6=i ，RT RT i

M M E mol O H 32

2=?=

氢气和氧气的自由度均为5，RT RT RT E E O H 4

1525212522=?+=+ 内能的增量RT RT RT E 4

3

3415=-=

? 5．有 2×10-3 m 3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.75×102 J 。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总数

为 5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）因为RT M M PV mol =

，内能kT N RT M M E mol 2

525?==。 所以 2532/1035.110

251075.6252m N V E p ?=????==- （2）分子的平均平动动能J N E N E kT k 2122

2

105.710

4.55107

5.6353522323-?=????==?==ε J T kT k 2123105.71038.12

3

23--?=???==ε，K T 362=

6．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K ；另一半装有氧气，温度为310K ，

二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：设氦气、氧气的摩尔数分别为1μ、2μ，根据理想气体状态方程可知

112

RT V p μ=,222RT V p μ=,2112T T =μμ 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒 21

21E E E E '+'=+,RT RT RT RT 2

5

232523212211μμμμ+=+, )

/(53)/(53)/(53)/(535353212211122121212211T T T T T T T T T T T ++=

++=++=μμμμμμμμk T T T T 4.2845381221=+= 练习 二十

知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程

一、选择题

1． 在一定速率υ附近麦克斯韦速率分布函数 f (υ)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）

（A ）速率为υ的分子数； （B ）分子数随速率υ的变化；

（C ）速率为υ的分子数占总分子数的百分比；

（D ）速率在υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。

解：(D) Ndv

dN v f =)(,速率在v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）

（A ）这两种气体的平均动能相同； （B ）这两种气体的平均平动动能相同； （C ）这两种气体的内能相等； （D ）这两种气体的势能相等。

解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,3=i ;氢气为双原子(刚性)分子, 5=i 3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z 与温度T 的关系为 ( ) （A ）与T 无关； （B ）与T 成正比； （C ）与T 成反比； （D ）与T 成正比； （E ）与T 成反比。

解：(C)T

M R p

d d kT p M RT d n v z mol mol πππππ82822222=== 4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）

（A ）kT /4； （B ）kT /3； （C ）kT /2； （D ）3kT /2； （E ）kT 。 解：(C)

5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）

（A ）部分势能和部分动能； （B ）全部势能； （C ）全部转动动能； （D ）全部平动动能； （E ）全部振动动能。

解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0

6． 1mol 双原子刚性分子理想气体，在1atm 下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）

（A ）23J ； （B ）46J ； （C ）2077.5J ； （D ）1246.5J ； （E ）12500J 。 解：(C)J T R i M M E mol 5.207710031.82

5

12=???=?=?

二、填空题

1．)(υf 为麦克斯韦速率分布函数，

?∞

p

f υ

υυd )(的物理意义是_____________，?

∞

2

d )(2

υυυf m 的物理意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：

??

?∞∞

∞

==p p p v v v N dN dv Ndv

dN dv v f )(,∞~p v 速率区间内分子数占总分子数的百分率; 2 )(20202??∞∞=N dN

mv dv v f mv ,∞~0速率区间内分子的平均平动动能; 1)(0

=?

∞dv v f ;速率在∞~0内的分子数占总分子数的比率为1。

2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T 1和T 2且T 1

p v 大?1T

3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；

分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0

4．在温度为27℃时，2mol 氢气的平动动能为 ，转动动能为 。

解：分子平动自由度3, 平动动能为J RT kT N N A k A 747930031.8332

3

22=??==?=ε

分子转动自由度2, 转动动能为J RT kT N A 498630031.8222=??==?

5． 1mol 氧气和2mol 氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此

J kT 21231042.92731038.12525--?=???==ε;J 211042.9-?=ε; RT i M M E mol 2= ?2:1 6．2 mol 氮气，由状态A (p 1,V )变到状态B (p 2,V )，气体内能的增量为__________。 解：内能PV i RT i M M E mol 22==

,内能的增量V P P E )(2

5

12-=?

三、计算题

1*． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速率在υp 到υp +10m/s 之间的分子数N 2之比。

解：根据麦克斯韦速率分布函数可得

p v v

p

kT mv v v

e

v v v v e kT m N N p ?=?=?--2

2

)(2222/3)(4)2(4πππ(分子的质量为m ) p p v p

v e

N N v e

v N

N p

10

4,10)3000(

4

12)3000(

2

12

--==π

π，,)3000(2

)3000(

221e e v N N p

v p ?=-

s m M RT v mol

p /2183/2==，,78.0)2183

3000(2

)21833000

(221=?=-e e N N 2*

．假定大气层各处温度相同均为T ，空气的摩尔质量为mol M ，试根据玻尔兹曼分布律)

(0kT mgh

e n n -?=，

证明大气压强p 与高度h (从海平面算起)的关系是0mol ln p RT

h M g p

=?。并求上升到什么高度处，大气的压

强减到地面的75%。

解：kT mgh kT

mgh e p kTe

n nkT p /0/0--===,p

p

g M RT h mol 0ln =(分子的质量为m

)

3

4

ln 75.0ln 00g M RT p p g M RT h mol mol ==

3*．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N 个自由电子。电子气中电子的最大速率υF 叫做费米速率。电子的速率在υ与υ+d υ之间的概率为：

?

???

?>>>=)(

0)0( d 4d F F 2υυυυπυN V

A N N 式中A 为归一化常量。（1）由归一化条件求A 。（2）证明电子气中电子的平均动能

F 2F k 5

3)21

(53E m ==υε，此处E F 叫做费米能。

解：(1)1)(0=?∞

dv v f , 13443

02==?N A v N Adv v F

v F

ππ，343F v N A π=,323F

v dv v N dN = (2)F F V F V k E mv v dv v m dv v f mv F F 5

3215323)(2120342

0=??? ??===??ε 4．今测得温度为t 1＝15℃，压强为p 1＝0.76 m 汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：Ar λ＝ 6.7×10-8 m 和Ne λ=13.2×10-8 m ，求：

(1) 氖分子和氩分子有效直径之比d Ne / d Ar ＝？

(2) 温度为t 2＝20℃，压强为p 2＝0.15 m 汞柱高时，氩分子的平均自由程/

Ar λ＝？

解：(1)n d 2

21

πλ=, 22

Ar Ne Ne Ar d d =λλ,712.02.137

.6===Ne Ar Ar

Ne d d λλ (2) p d kT

22πλ=

,

15

.528815.076.02931122=??=?='T p p T Ar Ar λλ， m Ar Ar 71045.315.5-?=='λλ 5．真空管的线度为 m 2

10-，其中真空度为a p 3

10

33.1-?，设空气分子的有效直径为m 10103-?。求：

（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。

解：(1)317233/1021.33001038.11033.1m kT p n 个?=???==--,(2)s m M RT v mol /4670289

.0142.330031.888=???==π，

1

172027.591021.346710914.322---=??????==s n v d z π ，(3)m n

d z v 82.7212

===πλ 练习 二十一

知识点：热力学第一定律及其应用、绝热过程

一、选择题

1． 如图所示为一定量的理想气体的p —V 图，由图可得出结论 ( C ) （A ）ABC 是等温过程； （B ）T A >T B ； （C ）T A

解：(C)C C A A V p V p =?C A T T =;过A 、C 作等温线,B 在过A 、C 的等温线之上。

2． 一定量的理想气体，处在某一初始状态，现在要使它的温度经过一系列状态变化后回到初始状态的温度，可能实现的过程为 （ D ）

（A ）先保持压强不变而使它的体积膨胀，接着保持体积不变而增大压强； （B ）先保持压强不变而使它的体积减小，接着保持体积不变而减小压强；

（C ）先保持体积不变而使它的压强增大，接着保持压强不变而使它体积膨胀； （D ）先保持体积不变而使它的压强减小，接着保持压强不变而使它体积膨胀。

解：(D)作等温线,由于末状态和初状态温度相同,状态变化过程的起点、终点应在同一等温线上。

3． 气体的摩尔定压热容C p 大于摩尔定体热容C V ，其主要原因是 （ C ）

（A ）膨胀系数不同； （B ）温度不同； （C ）气体膨胀需作功； （D ）分子引力不同。 解：(C)根据热力学第一定律可知,对等容过程E Q V ?=;对等压过程A E Q p +?=。

4． 压强、体积和温度都相同（常温条件）的氧气和氦气在等压过程中吸收了相等的热量，它们对外作的功之比为 （ C ）

（A ）1:1； （B ）5:9； （C ）5:7； （D ）9:5。

解：(C)氧气为双原子分子, 氦气为单原子分子.由等压过程吸热和作功的表达式

:

)

m 33-

)(a 图)

(b 图T C M M Q p mol p ?=

,T R M M V p A mol ?=?=?p p C R Q A =?7

5

)2/5/()2/7/(2==RT R RT R A A He O 。 5． 一摩尔单原子理想气体，从初态温度T 1、压强p 1、体积V 1，准静态地等温压缩至体积V 2，外界需作多少功？ （ B ）

（A ）RT 1ln(V 2/V 1)；（B ）RT 1ln(V 1/V 2)；（C ）p 1(V 2-V 1)；（D ）(p 2V 2- p 1V 1)。

解：(B)RT M M pV

mol =

,2

111ln 12

1

2

1

V V RT M M dV V RT M M pdV A mol V

V mol V V =-=-=??外 。

6． 在p —V 图上有两条曲线abc 和adc ，由此可以得出以下结论：

（A ）其中一条是绝热线，另一条是等温线；（B ）两个过程吸收的热量相同； （C ）两个过程中系统对外作的功相等；（D 解：(D)对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。

7． 1mol 的单原子分子理想气体从状态A 变为状态B ，如果不知是什么气体，变化过程也不知道，但A 、

B 两态的压强、体积和温度都知道，则可求出： （ D ）

(A) 气体所作的功； (B) 气体内能的变化；

(C) 气体传给外界的热量； (D) 气体的质量。 解：(B) 对于一定质量的气体,内能是温度的单值函数。 二、填空题

1． 一定量的理想气体从同一初态a(p 0,V 0)出发，分别经两个准静态过程ab 和ac ，b 点的压强为p 1，c 点的体积为V 1，如图所示，若两个过程中系统吸收的热量相同，则该气体的比热容比γ =C p /C V =_________________。

解：)(a b V mol

ab T T C M M Q -=, )(a c p mol ac T T C M M Q -=, RT M M pV mol =

, ???? ??-=??? ??-R V p R V p C R V p R V p C p V 00100001,1/1/0

10

1--==V V p p C C V p γ 2． 如图所示，一理想气体系统由状态a 沿acb 到达状态b ，系统吸收热量350J ，

而系统做功为130J 。

（1）经过过程adb ，系统对外做功40J ，则系统吸收的热量Q =____________。 （2）当系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时，外界对系统做功为60J ，则系统吸收的热量Q =________。 解：根据热力学第一定律求解:J A Q E acb acb ab 220130350=-=-=?,

J E A Q ab adb adb 26022040=+=?+=,J E A Q ba ba ba 28022060-=--=?+=

3*． 对下表所列的理想气体各过程，并参照下图，填表判断系统的内能增量?E ，对外作功A 和吸收热量Q 4

(1) 外界传给系统的热量_________零；(2) 外界对系统作的功__________零； (3) 系统的内能的增量___________零；（填大于、等于、小于） 解：等于零；大于零；大于零；

5．压强、体积和温度都相同的氢气和氦气(均视为刚性分子的理想气体)，它们的质量之比为m 1∶m 2 =__________，它们的内能之比为E 1∶E 2 =__________，如果它们分别在等压过程中吸收了相同的热量，则它们对外作功之比为A 1∶A 2 =__________。(各量下角标1表示氢气，2表示氦气) 解：RT

M m

pV mol

=

,21422121===mol mol M M m m ;pV i RT i M m E mol 22==,352121==i i E E ; T C M m

Q p mol

p ?=,T R M m V p A mol ?=

?=?p p C R Q A =?

7

5

)2/5/()2/7/(2==

RT R RT R A A He

O

三、计算题

1． 标准状态下的0.014kg 氮气，压缩为原体积的一半，分别经过（1）等温过程，（2）绝热过程，（3）等

01

压过程。试计算在这些过程中气体内能的改变、吸收的热量和对外界所作的功。 解：(1) 等温过程，内能不变， 0=?E

吸收的热量和对外界所作的功J V V RT M M A Q Mol 7862

1

ln 27331.85.0ln 12-=???===

(2) 绝热过程，根据绝热方程K T T V V T T

3602,211211

2112===???

? ??=---γγγ,

内能的改变J T R M M T C M M E Mol V Mol 904)273360(31.82

5

5.025=-???=?=?=?

吸收的热量0=Q , 对外界所作的功J E A 904-=?-= (3)等压过程

22

11T V T V =，111222

1T T V V T == 内能增量J T R M M T C M M E Mol V Mol 1418)2732

273

(31.8255.025-=-???=?=?=

? 气体对外界所作的功为J T R M M T R M M V p A Mol Mol 565)2732

273

(31.85.0-=-??=?=?=?=

吸收的热量为 J A E Q 1983-=+?=

2． 2 mol 双原子分子理想气体从状态A (p 1,V 1)沿p -V 图所示直线变化到状态B (p 2,V 2)，试求：

(1) 气体的内能增量；(2) 气体对外界所作的功；(3) 气体吸收的热量； 解：(1) 内能增量)(25)(2112212V p V p T T R i M M E mol -=-=?

(2) 功等于直线AB 下的面积)(2

1

1122V p V p A -=

(3) 根据热力学第一定律得 )(31122V p V p E A Q -=?+= 3．如果一定量的理想气体，其体积和压强依照p a V /

=的规律变化，其

中a 为已知常量。试求： (1) 气体从体积V 1膨胀到V 2所作的功； (2) 气体体积为V 1时的温度T 1与体积为V 2时的温度T 2之比。 解：???

? ??-===?

?212221121

2

1V V a dV V a pdV A V V V V ， RT M M V a pV mol ==2 ,1221V V T T =∴ 4． 有单原子理想气体，若绝热压缩使其容积减半，问气体分子的平均速率变为原来的速率的几倍？若为

双原子理想气体，又为几倍？ 解：根据绝热方程1

2

21

1

1--=γγV T V T 由题意知，11

21122--=??

?

? ??=γγV V T T

根据平均速率公式mol

M RT v π8=

得,2

1

12122-==γT T v v

单原子26.12,3523

/11

2===+=

v v i i γ;双原子15.12,5725/112===+=v v i i γ 5．温度为27℃、压强为1 atm 的2 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍。

(1) 计算这个过程中气体对外所作的功；

(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程中的功 J V V

RT M M A Mol 54783ln 30031.82ln 1

2=???==

(2) 根据绝热方程得 K T T T V V T T 193300644.033,3

1

115/71121

1

2112=?====???

?

??=+-+---γγγ

绝热过程 0=?+E A

J T R M M T C M M E A Mol V Mol 4446)300193(31.82

5

225=-???-=?-=?-

=?-=

6．气缸内有2 mol 氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨

p p 1

2

胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。试求：在p ―V 图上大致画出气体的状态变化过程；

(2) 在这过程中氦气吸热多少？

(3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？ 解：(1) 如图

(2) 等压过程

2211T V T V =，K T T 600212==,J T T C M M Q p mol 1246530031.82

52)(1212=???=-= 绝热过程023=Q , 因此J Q Q Q 124652312=+=

(3) 因始末状态温度相同, 0=?E

(4) 根据热力学第一定律A E Q +?=得 J Q A 12456==

练习 二十二

知识点：循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵

一、选择题

1． 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为S 1

和S 2，则两者的大小关系为： （ ）

（A ）S 1>S 2； （B ）S 1

解：(C)绝热过程E A ?-=,内能改变相同,功相等,功的大小等于曲线下的面积. 2． “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外作功。”对此说法，有如下几种评论，哪个是正确的？ （ ）

（A ）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律； （B ）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律； （C ）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律； （D ）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。

解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机…

3． 一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ）

（A ）400J ； （B ）1450J ； （C ）1600J ； （D ）2000J ； （E ）2760J 。

解 (A)J Q A T T Q

A 4002.0,2.01000

800111

2===-=-=

4． 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ）

（A ）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功； （B ）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高； （C ）热量不可能从低温物体传到高温物体；

（D ）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。解 (D)E A Q ?+=

5*． 1mol 单原子理想气体从初态（p 1、V 1、T 1）准静态绝热压缩至体积为V 2其熵 （ ）

（A ）增大； （B ）减小； （C ）不变； （D ）不能确定。 解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程.

6*． 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由V 1增至V 2，此过程中气体的 （ ）

（A ）内能不变，熵增加； （B ）内能不变，熵减少； （C ）内能不变，熵不变； （D ）内能增加，熵增加。

解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把T dQ /理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变. 二、填空题

1． 一卡诺热机（可逆的），低温热源为27℃，热机效率为40%，其高温热源温度为________K 。今欲将该热机效率提高到50%，且低温热源保持不变，则

高温热源的温度增加________K 。500K ，100K 2． 有v 摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba ，其中acb 为半圆弧，ba 为等压过程，p c =2p a ，在此循环过程中气体净吸收热量为Q =_______vC p (T b -T a )。（填：>、<或=）。

解：<.由功的大小与V p -图上曲线下的面积关系讨论

b a p

)()()(2a b a a b a a b a acba acba V V p V V p V V p A Q -=---<=,)()(a b a a b V ab V V p T T C Q -+-=ν

3*．使4mol 的理想气体，在T =400K 的等温状态下，准静态地从体积V 膨胀到2V ，则此过程中，气体的熵增加是__________，若此气体膨胀是绝热状态下进行的，则气体的熵增加是________。解:23J/K ，0 4*．从统计意义来解释：不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。一切实际过程都向着______________________的方向进行。解:概率，概率大的状态

5．热力学第二定律的两种表述：开尔文表述： 。克劳修斯表述： 。

解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功，而其他物体不发生任何变化．克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体.

6*．熵是 的量度。解:熵是分子无序性或混乱性的量度. 三、计算题

1．一卡诺循环热机，高温热源温度是 400 K ．每一循环从此热源吸进 100 J 热量并向一低温热源放出80 J 热量。求：(1) 低温热源温度；(2) 这循环的热机效率。 解：(1)

2121T T Q Q =,K T Q Q T 32040010080

1122=?==, (2) %202.0100

8011`12==-=-=T T η 2． 如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a (p 1,V 1)开始，经过一个等体过程达到压强为p 1/4的b 态，

再经过一个等压过程达到状态c ，最后经等温过程而完成一个循环。求该循环过程中系统对外作的功A 和所吸的热量Q 。 解：对等温过程ca 有 c V p V p 4

111=

,14V V c = 0=ab A ，()()1111114

3

444V p V V p V V p A b c bc =-=-= 4ln 4ln ln 111

111V p V V V p Vc V RT M m A a mol ca -===

111111636.04ln 4

3

V p V p V p A A A A ca bc ab -=-=++=， 11636.0V p A Q -==

3．一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A →B 和C →D 是等压过程，B →C 和D →A 是绝热过程。已知：T C ＝ 300 K ，T B ＝ 400 K 。试求：此循环的效率。

解：由绝热方程得：11a a d d p T p T γγγγ----=，11b b c c p T p T γγγγ

----=

又 b a p p =，d c p p =，∴ a d b c T T T T = 或 c

d c b a b

T T T

T T T -=- AB 过程吸热 1p b a ()m Q C T T M =- CD 过程放热 2p c d ()m

Q C T T M

=-

循环效率为 -=-=1112Q Q ηc d b a T T T T --c b

125%T

T =-=

4．两台卡诺热机联合运行，即以第一台卡诺热机的低温热源作为第二台卡诺热机的高温热源。试证明它

们各自的效率1η及2η和该联合机的总效率η有如下的关系：=η1η+（1-1η）2η

解：循环为卡诺循环1

21111T T

Q A -==

η,232221T T Q A -==η

111121η-==Q A T T ,222231η-==Q A T T ,()()211

311ηη--=T T ()()()211211

3111111ηηηηηη-+=---=-==T T Q A

5*

．1kg0℃的冰，在0℃时完全熔化成水。已知冰在0℃时的熔化热334=λJ/g 。求冰

经过熔化过程的熵变，并计算从冰到水微观状态数增大到几倍。

解：冰在0

0C 时等温熔化，可以设想它和一个0

0C 的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程，因而

A

B

C

D O

V

p

1

1

A 2

3310334 1.2210273dQ Q m S T T T λ??=====??,又21

ln()S k Ω?=Ω。所以25

3.84102110

?Ω=Ω 6*．1mol 的理想气体由初态),(11V T 经某一过程到达末态),(22V T ，求熵变。设气体的V C 为常量。

解：2222

22111111

ln ln V V C dT T V dQ dE PdV dV S R C R T T T V T V +?===+=+????