N维空间几何体质心的计算方法

N维空间几何体质心的计算方法

摘要：本文主要是求一个图形或物体的质心坐标的问题，通过微积分方面的知识来求解，从平面推广到空间，问题也由易到难。首先提出质心或形心问题，然后给出重心的定义，再由具体的例子来求解相关问题。

关键字：质心重心坐标平面薄板二重积分三重积分

一．质心或形心问题：

这类问题的核心是静力矩的计算原理。

1.均匀线密度为M的曲线形体的静力矩与质心：

静力矩的微元关系为

,

dMx yudl dMy xudl

==.

其中形如曲线L（

(),

y f x a x b

=≤≤）的形状体对x轴与y轴的静力矩分别

为(

b

a y

f x S

=

?

，

(

b

y a

M u f x

=?

设曲线AB

L

的质心坐标为（

,x y），则,,

y x

M M

x y

M M

==

其

中()

b

a

M u x d x u l

==

?

为AB

L

的质量，L为曲线弧长。

若在式

y

M

x

M

=

与式

x

M

y

M

=

两端同乘以2π，则可得

到22()

b

a y

xl f x S

ππ

==

?

,

22(

b

a x

yl f x S

ππ

==

?

,其中x

S 与y

S

分别表示曲线AB

L

绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的侧面积。

2．均匀密度平面薄板的静力矩与质心：

设f(x)为

[],a b

上的连续非负函数，考虑形如区域

{}

(,),0()

D x y a x b y f x

=≤≤≤≤

的薄板质心，设M为其密度，利用微元法，小曲边梯形MNPQ的形心坐标为

1

(,()),

2

y f y x y x x

≤≤+?

，当分割无限细化时，可当小曲边梯形MNPQ的质量视为集中于点

1

(,())

2

x f x

处的一个质点，将它对x轴与y轴分别取静力矩微元可有

1

()()

2

x

dM u f x f x dx

=

，

()

y

dM uxf x dx

=

.两个静力矩为2

1

()

2

b

x a

M u f x dx

=?

?

,

()

b

x a

M u xf x dx

=?.设质心坐标为(,)

x y，则有()

y b

a

M u

x xf x dx

M M

==?

，

2

1

()

2

y b

a

M u

y f x dx

M M

==?

.其中

()

b

a

M u f x dx MA

==

?

为该

均匀密度薄板的质量，A 为面积。 二．平面图形的重心： 给定一个曲线

12(),(),,y f x y f x x a x b ====围成的图形，它是一个物质平面图形，我

们考虑均匀的面密度，即单位面积的质量为常数，它在图形的各部分都等于δ.将所给图形用直线

1,,,n x a x x x x b ==== ，划分成宽为12,,,n x x x ??? 的窄条，每个窄条的

质量等于它的面积和密度δ的乘积。如果每个窄条用以

i x ?为底，高为21()()i i f f ξξ-的

矩形来代替，其中

12i i

i x x ξ-+=

，则这窄条的质量将近似等于

[]21()()(1,2,,)

i i i i m f f x i n δξξ?=-?= ，这个窄条的重心将近似位于相应的矩形的重

心上：

21()()(),()2i i i i i c f f x y ξξξ+==

现在把每个窄条用一个质点来代替，它的质量等

于对应窄条的质量，并且集中于该窄条的重心处，我们来求整个图形的重心坐标的近似

值。

[][]2

1

2

1

()()()()i

i

i

i

c i

i

i

f f x

x f f x

ξδξξδξξ-?≈

-?∑∑，

[][][]1221211

()()()()2()()i i i i i i c i i i

f f f f x y f f x ξξδξξδξξ+-?≈

-?∑∑当

max 0

i x ?→时

取

极

限

，

则

得

[][]2

1

2

1

()()()()b a

c

b a

x f x f x dx x f x f x dx

-=

-??，

[][][]2121211()()()()2()()b

a c b

a f x f x f x f x dx y f x f x dx

+-=-??.这些公式任何均匀的平面图形都适用，可看

出重心的坐标是与密度无关的。例：求抛物线与直线所围成的重心的坐标（如图）

解：在这种情况下，

21()()f x f x ==因此

0520

235

2

5

a c x a x

=

=

= ,

0c y =.

三．重心

1.物体的重心是指物体各部分所受重力的合力的作用点，在生产实际中，常常要确定物体的重心。例如：炼钢用钢水包的包轴位置，就与钢水包的重心有关，如果包轴

低于重心，用天平调动钢包时就会翻转，如果包轴高于重心过多，则倒出钢水时翻转困难。因此，我们总是将包轴安装于略高于重心的地方，这时显然需要确定重心的位置。 本段将利用定积分来计算任意形状的均匀平面薄板的重心位置，显然，若于其重心处支持之，则此薄板必保持水平平衡而不倾斜。

设均匀薄板是由曲线

1()y y x =，2()y y x =和直线x b =围成的平面图形，我们要求此

平面的重心(,)G x y ，用u 表示此薄板单位面积的重量，则微面积

s d 的重量为12()u y y dx -，

其重心G 的坐标为

12

(,

)2y y x +，显然整个薄板的重量为12()b a u y y dx -?，由力学知，合力

对任一轴的力矩，等于各分力对该轴力矩之和，取对y 轴的力矩，得

1212()()b b a a u y y dx x ux y y dx ??-?=-??

??,取对x 轴的力矩得

121212()()2b b

a a y y u y y dx y u y y dx +??-?=-???

??,由此两式，即得确定薄板重心坐标的公式：

1

2

121

2

2222

121212()()()(1)11()()2

2()b b a a

b a

b b a

a

b

a x y y dx x y y dx

x s y y dx

y y dx y y dx y s y y dx

?--?

==

-?

??--??

==?

-??????

?

其中s 标薄板的面积，由公式(1)知均匀薄板的重心只与薄板的形状有关，而与薄板单位面积的重量无关。

特别，若

2()0y x ≡，则得曲边梯形薄板重心坐标公式:

b a

b a xydx x ydx =??

,

2

12b a

b a y dx y ydx =??.

例：试求半径为R 的半圆形均匀薄板的重心。

解：由于

2

2R s π=

,1y =

2y =故知重心G 的坐标(,)x y 为：

12023222

2

()22

2()40.42332

b R a

R

x y y dx

x s

R R x R

R R πππ

-=

=

-=-?

=

≈??，

22121()20

b a

y y dx y s -=

=?

.

四．利用二重积分来求一般的非均匀薄板的重心

设有非均匀平面薄板D ，其上每点的密度为(,)x y ρρ=，设薄板D 的重心坐标为

(,)x y ，考虑D 中微面积dD ，它的微质量为： (,)dm x y dD ρ=，它关于y 轴与x

轴的力矩分别为：

(,)xdm x x y dD ρ=与(,)ydm y x y dD ρ=

把这些微质量的力矩加起来，即得薄板D 关于y 轴与x 轴的力矩为：

(,)(,)D

D

D

xdm x x y dD x x y dxdy

ρρ==??????与

(,)(,)D

D

D

ydm y x y dD y x y dxdy

ρρ==??????

薄板的总质量，于是根据重心的定义，得求重心坐标的公式：

(,)(,)(2)

(,)(,)D

D

D

D D D xdm x x y dxdy x m

x y dxdy ydm y x y dxdy y m x y dxdy ρρρρ??

=

=

?

?

?

???==???????????????

特别，若薄板是均匀的，即(,)x y ρ=常数，则得求均匀薄板重心坐标公式：

D

xdxdy

x D

=

??，

D

ydxdy

y D

=

??.

对于均匀薄板，我们有

[]21()

()21()()y x b

b a

y x a D

xdxdy dx xdy x y x y x dx

==-???

??，

[][]{}

2211()

2

()()()22

21

21()()2

y x y x b b

a y x a D y x

b a y ydxdy dx ydy dx y x y x dx ?? ?== ???

=-??????故

()2

1b a

x y y dx

x D

-=

?，

()2

22112b a

y y dx y D -=

?

.

五．设一立体在空间占据区域T ，那么立体的体积为

T

V d x d y d z

=???

设(,,)x y z ρρ=,(,,)x y z T ∈是立体在点(,,)x y z 的密度，其中T 是它所占据的空间区域，那么该立体的质量为 (,,)T

M x y z dxdydz ρ=???

立体重心的坐标公式为：

1T

x xdxdydz

V

=

???，

1T

y ydxdydz

V

=

???，

1T

z zdxdydz

V

=

???.

这里x ，y ，z 是区域T 的几何重心的坐标。

例：求平面0x =,0z =,1y =,3y =,23x z +=所围之棱柱的重心坐标。 解：先求棱柱的体积

33

3201

33

301

03

203(3)2

1

(3)

292

z T

V dxdydz dx dy dz

x

dx dy x dx x x -==-==-=-=??????

???

现在求重心的坐标

338

2010221

99x

T x xdxdydz xdx dy dz -===??????， 338

2010222

99x T y ydxdydz dx ydy dz -===??????， 338

2010221992x T z zdxdydz dx dy zdz -===??????.

参考文献：1.《微积分与解析几何》，电子工业出版社，1985年11月出版，作者：R E??约翰逊F L??基奥克斯特。

?2．《微分与积分学》，吉林人民出版社，1983年9月出版，作者：N PISKUNOV

3.《数学分析》，山东科学技术出版社，1985年出版，作者：郭大钧陈玉妹袭卓明

4．《高等数学解题手册》，天津科学技术出版社，1983年12月出版，作者：丹科波波夫科热夫尼科娃。