圆幂定理及等幂轴的探究

圆幂定理及等幂轴的探究

麟游县九成宫初级中学 田宏刚

摘要：圆幂定理是平面几何中重要定理之一，有着及其广泛的应用。关于等幂轴的轨迹探究，

更能加深学生的逻辑思维。以上内容在2011版初中数学《课程标准》中不作要求，但对于学有余力，有兴趣爱好的初中读者，可作为提升知识、思想、方法的途径。对于在职教师，可作为阅读参考。

关键词：圆幂定理 等幂轴 探究

圆幂定理的发现及证明分析：我们知道，若p 为圆O （r ）外部一点，过点p 作割线 PAB 则

PA ·PB 为一常量,这一常量由⊙O （r ）与点P 决定，不因割线的位置而改变，这一定理称为割线定理，下面进行证明。

证：如图，设P 为⊙O 外一点，过点P 作圆O 的两条不同割线分别为PAB 和PA ′B ′，连接AA ′，BB ′，则AA ′B ′B 为圆的内接四边形，由圆内接四边形的外角等于内对角知：∠PAA ′=∠PB ′B ，又∵∠APA ′=∠B ′PB,∴△PAA ′∽△PB ′B ,∴ PA/PB ′=PA ′/PB ，因而PA ·PB=PA ′PB ′。 T

B ′

下面探究这一常量（定值）究竟是多少？有下面的定理。分析：设P 为圆O 的切线（如上图1）P A B 为圆O 的一条普通割线。而PA ′B ′是经过圆心O 的一条特殊割线，由上述割线定理知，

这一常是不因割线位置而改变。且P= P A ·PB=PA ′·PB ′总成立，而P A ·PB=(PO-r)(PO+r)=P O 2-r 2.由于PT 是切线，T 为切点，所以有RT △PTO,且有PO 2-R 2=t 2 (t 表切线PT 的长)于是切割线定理表述为：

设P 为O （r ）外一点。PT 为O 的切线。T 为切点，PAB 和PA ′B ′为圆O 的两条不同割线，

那么PA ·PB=PA ′PB ′= 2PT

文字语言表述为：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，那么这一点到割线上两割点的距离

之积等于这一点到圆的切线的长的平方。

仿此，若P 为圆O(r))内部一点，如(图2)过点P 作任一弦APB ，则PA,PB 为常量（证明是相交弦定理），为求这一常量P 是多少,可取过点P 与PO 垂直的弦A ′B =-PA 2 (此地用有向线段) =-（2r -2po ）=po 2- r 2,我们把P=PA ·PB=PO 2-r 2 （1）

定义为P 对于圆O （r ）的幂，这是一代数量，当p 在圆外时， 图2

P为正，其值等于由P所作的切线长的平方；当p在圆上时,PO2=r2;因而P=O;当P在圆内时，

幂P为负，此时，P A·PB=PA′·PB′正是相交弦定理，（如上图2）证明用到相似三角形的性质，

并以下面的引理为前提：

引理1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

（这一定理的证明在初中数学课本中讲过，不再赘述）下证

相交弦定理：设P为圆内任一点，过点P作圆的两条弦ＡＢ和Ａ′Ｂ′，则：

ＰＡ·ＰＢ＝ＰＡ′·ＰＢ′。

证：如图2，连结A′A和B′B，则∠A′AP=∠BB′P,又∵AB和A′B′相交于点P，∴∠APA′

=∠BPB′，因而△A′AP∽△BB′P，所以有AP/B′P=A′P/BP?P A·PB=PA′·PB′. 证毕

分析：相交弦定理是P在⊙O内的情况；割线定理是点P在⊙O外的情况，由割线定理的推

论切割线定理求得了点P在⊙O外时，圆幂P的值等于t2（t表切线的长），不论P在圆外，

圆上，圆内，圆幂P的值总是存在的，我们把相交弦定理，割线定理，切割线定理统称为圆

幂定理。其圆幂的概念由此而来，圆幂定理是平面几何中的重要定理，有着广泛的应用。

下面我们来介绍等幂轴的概念及其相关轨迹命题：

对于两个不同的定圆(圆心确定的圆)有等幂的点的轨迹，是垂直于连心线的一条直线，

此直线称为两圆的等幂轴。

此命题由下面的引理可以轻而易举得到。

引理2：到两定点距离的平方差为常量的点的轨迹，是垂直于两点连线的一条直线。

证法：设A,B为两定点，k为常量，先探求满足条件的MA2—MB2=K的点的轨迹（如图3）

探究：若M符合条件，显然M关于直线AB的对称点也符合条件，所以轨迹如果是直线，

必有直线上两点对称于AB，因而此直线与l垂直，所以只需知道这直线与AB交点N, 这个

轨迹就完全确定了，设AB上过点N垂直于AB的直线l上满足条件，（图3）由K=MA2—

MB2=( AN2+NM2)—（NB2+NM2）

=(AN+NB)(AN—NB)

=AB「AN—（AB—AN）」

=AB(2AN —AB)

解得AN=(

2

22

AB K

AB AB

+),由此式确定点N而垂直于AB的直线L.

证明: 1 .由刚才的探究过程，符合条件的点M在过AB上的定点N且垂直于AB的直线l上。

2．反之，在l上任取一点有：MA2—MB2=AN2—NB2=AN—（AB—AN）2

=AN2—AB2+2ABAN—AN2

=2AB 2—AB2

=2A B·(

2

22

AB K

AB AB

+)—AB2

=K

即点M满足条件。证毕

特别地，当K=O时，L就是众所周知的AB的中垂线，此时，L上的点M在AB中垂线上，

显然有MA2—MB2=0。

下由引理2来证两圆等幂轴的轨迹命题。

设两圆为圆O和圆O'，点P 对于两圆的幂各为：

P=PO2—r2及P′= PO′2—r ′2，则：

P对于两圆有等幂轴的充要条件是P=P'或PO 2—PO′2= r2—r′2≡K

证：1．（充分性）两圆有等幂，由上述分析及引理2推论其等幂轴是垂直于两圆连心线的一条直线。

2．（必要性）作两圆连心线的垂线，在垂线上取一点P，∵P=PO2—r2及P′=PO′2—r′2，所以P—P′=(PO 2—r2)—（P O′2—r′2）=（PO 2—P O′2）—（r2—r′2）所以即当PO 2—P O'2= r2—r′2≡K时，

显然有P—P′=0即P= P′证毕。

下面讲一下两圆的等幂轴的作法，若两圆相交，(图4)则两交点对于两圆的幂同等于零(P在圆上)所以等幂轴即两交点连线;若两圆相切,则等幂轴为两圆的公切线.（图5）若两圆无公共点，则任作一圆交圆O于A,B两点，交圆O′于A',B'两点。以P表AB与A'B'的交点,则P对于圆O 的幂P=PA g PB= PA′·PB′=点P对于圆O′的幂P′（图6）。

所以过点P作O O'的垂线即得等幂轴。

图3 图4

图5 图6