数值分析第五版答案(全)

第一章绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x

e x x δ-=

= 而ln x 的误差为()1

ln *ln *ln **

e x x x e x =-≈

进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n

f x x =，则函数的条件数为'()

|()

p xf x C f x = 又1

'()n f x nx

-=, 1

||n p x nx C n n

-?∴== 又

((*))(*)r p r x n C x εε≈?

且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *

456.430x =,*57 1.0.x =?

解：*

1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

13*

51()1021()1021()1021()1021()102

x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=?

***

124***1244333

(1)()()()()

1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***

123*********123231132143

(2)()

()()()

111

1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

24****

24422

(3)(/)

()()

0.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x

εεε---+≈

??+??=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343

V R π=

则何种函数的条件数为

3'4343

p R V R R C V R ππ===

(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又

(*)1r V ε=%1

故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ?)=1

?1%=

300

6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）

计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=-

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=?

100Y ∴的误差限为31

102

-?。

7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。解：25610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =

故 1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211

280.0178632827.98255.982

x =-=

≈

=≈+

2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求1

1N N

dx x ++?

？解

arctan(1)arctan 1N N

dx N N x

+=+-+?

设arctan(1),arctan N N αβ=+=。则tan 1,tan .N N αβ=+=

11arctan(tan())

tan tan arctan

1tan tan 1arctan

1(1)1

arctan 1

N N dx x N N

N N

N N αβ

αβαβ

αβ++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2

()A x x =

(*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21

(*)102

x ε-≤

? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 10．设2

12S gt =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。解：

1,02

S gt t =

> 2

(*)(*)S gt t εε∴= 当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*

(*)

(*)*

(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε=

当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？解：

02 1.41y =≈

201

(*)102

y ε-∴=?

又

1101n n y y -=-

10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又

21101y y =-

21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)......

y y εε∴=

1010010

8(*)10(*)

11010

102

y y εε

-∴==??=?

计算到10y

时误差为

102

?，这个计算过程不稳定。 12

．计算6

1)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

(3-, ， 99-

解：设6

(1)y x =-，

若x =

* 1.4x =，则*11

102x -ε()=?。

计算y 值，则 **

**1(1)

6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?ε()+ =

ε()+ =2.53ε()

若通过3

(3-计算y 值，则

**2****

**(32)6

32y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε() =

ε()- =30ε()

计算y 值，则 ***4

***7

**1

(32)

y x x y x x y x ε()=--3?ε()+ =6?

ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。

．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-+

计算，求对数时误差有多大？解

()ln(f x x =

, (30)ln(30f ∴=-

设(30)u y f ==

则*

u =29.9833

*41

u -∴ε()=?10

故

***

0.0167

y u u

u -1

ε()≈-ε()30- =

ε()

≈3?10

若改用等价公式

ln(ln(x x =-

则(30)ln(30f =-+ 此时，

***

59.9833y u u

u -1

ε()=∣-∣ε()30+ =

?ε()

≈8?10

第二章插值法

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;()()1

()(1)(2)()()2()()1

()(1)(2)

()()6

()()1

()(1)(1)

()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------=

=-+--

则二次拉格朗日插值多项式为

()()k k k L x y l x ==∑

0223()4()

(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+

-+=

+- 2．给出()ln f x x =的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144

x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-

若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ，则0.50.540.6<<

112

221

11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()

x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----=

=---=+

6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---

1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-

若采用二次插值法计算ln0.54时，

1200102021101201220212001122()()

()50(0.5)(0.6)

()()

()100(0.4)(0.6)

()()()()

()50(0.4)(0.5)

()()

()()()()()()()

x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------=

=----=++

500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)

x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-

3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当090x ≤≤时，令()cos f x x = 取0110,(

)606018010800

x h ππ

===?=

令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902

x π

当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

11111()()

()k k

k k k k k k

x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+--

插值余项为

111

()cos ()()()()2

k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=

-- 又

在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播

过程。

**11

2111*11

11*1*1

(())102

()(())(())

(())(

)

(())()

(())

k k k k k k k k k k k k k k k k

k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h

f x εεεεεε-++++++++++∴=?--=+----≤+--=-+-=

∴总误差界为

12*1*12*85

5()()

(cos )()()(())21

()()(())211

()(())22

1.0610102

0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=

---+≤?--+≤?+=?+?=? 4．设为互异节点，求证：（1）

0()n

k k

j j j x l x x

=≡∑ (0,1,,);k n =

（2）0

()()0n

k j

j j x

x l x =-≡∑ (0,1,

,);k n =

证明

（1）令()k

f x x =

若插值节点为,0,1,

,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0

()()n

k n j j j L x x l x ==∑。

插值余项为(1)1()

()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=

+ 又

,k n ≤

(1)()0()0

n n f R x ξ+∴=∴=

()n

k k

j j

j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =

000

(2)()()

(())()()(())

k j j j n n

j i k i k j j j i n

k i

i k

j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤又由上题结论可知

()n

k i

j j

j x l x x ==∑

()()0

i k i i

k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。

5设[]2

(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

101010

()()

()x x x x L x f x f x x x x x --=+--

=()

()

x b x a

f a f b a b x a

--=+--

1()()0

()0

f a f b L x ==∴=又

插值余项为1011

()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=

-- 011

()()()()2

f x f x x x x x ''∴=

-- []012

012102()()

1()()21()41

()4

x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????

=-=-又

∴21

max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

2111

()()()()()3!i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 211441

()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f

x -+-≤≤

'''∴≤---

设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

4343

21().627R x e h ∴≤=

若截断误差不超过610-，则

6243

6()10100.0065.R x h h --≤≤∴≤ 7．若44

2,.n n n n y y y δ=?求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =

44(1)n n y E y ?=-

404

4044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j n

j j n j

j j j

j n

n n

E y j y j y j y y -=+-=-=??

=- ?????

=- ?????=-? ???=-==∑∑∑ 114

2()n n y E E y δ-=-

422

()(1)2n

n n E E y E y y ----=-=?==

8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +?=（l 为正整数）。

解：函数()f x 的Taylor 展式为

2()(1)11

11()()()()()()2

!(1)!

m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++

++ 其中(,)x x h ξ∈+ 又

()f x 是次数为m 的多项式

(1)()0

()()()

m f f x f x h f x ξ+∴=∴?=+-

2()

1()()()2

m m f x h f x h f x h m '''=+

()f x ∴?为1m -阶多项式

2()(())f x f x ?=?? 2()f x ∴?为2m -阶多项式

依此过程递推，得()k

f x ?是m k -次多项式

()m f x ∴?是常数 ∴当l 为正整数时，

1()0m f x +?=

9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+? 证明

11()k k k k k k f g f g f g ++?=-

111111111()()k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k k k k

f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?

∴得证

10．证明

0010

n n k k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

证明：由上题结论可知

1()k k k k k k f g f g g f +?=?-?

101

(())()n k k

k n k k k k k n n k k k k

k k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴?=?-?=?-?∑∑∑∑

111

0110022111100

()()

()()()

k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑

0010

n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑

得证。 11．证明

n j n j y y y -=?

=?-?∑

证明

()n n j j j j j y y y --+==?

=?-?∑∑

102110

()()()

n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?

得证。

12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ，

证明：

00,02;(),1

k n

j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑

证明：

()f x 有个不同实根12,,

,n x x x

且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++

12()()()

()n n f x a x x x x x x ∴=--- 令12()()()()n n x x x x x x x ω=---

则

1()()k k n

n j j j j j n n

j x x f x a x ω===''∑

∑

而2313()()()()()()()n

n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+---

121()()

()n x x x x x x -+

+--- 1211()()()()()

()n

j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=-----

令(),k

g x x =

[]121,,

,()k n

n j n j

x g x x x x ω=='∑

则[]121,,

,()k n

n j n

j x g x x x x ω=='∑

又[]121

1,,,()k n

n j j n

x g x x x f x a =∴

='∑

00,02;(),1

k n

j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑

∴得证。

13．证明n 阶均差有下列性质：（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,

,,,,;n n F x x x cf x x x =

（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+

证明：（1）

[]120011()

,()

()()

()

j n

n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑

[]120011()

,()

()()()

j n

n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x x =-+=----∑

011()

()()()()

j n

j j

j j j j j n cf x x

x x x x x x x =-+=

----∑

011()

(

)()()()

()

j n j j

j j j j j n f x c x

x x x x x x x =-+=----∑

[]01,,,n cf x x x =

∴得证。

(2)()()()F x f x g x =+

[]00011()

,()

()()()

j n

n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x =-+∴=----∑

0011()()()()()()

j j n

j j

j j j j j n f x g x x

x x x x x x x =-++=

----∑

0011()

)()()()()

j n

j j j j j j j n f x x

x x x x x x x =-+=

----∑

011()

)()()()

()

j n j j

j j j j j n g x x

x x x x x x x =-+----∑

[][]00,,,,n n f x x g x x =+

∴得证。

14．7

()31,f x x x x =+++求01

72,2,,2F ???

?及0182,2,,2F ???

?。

解：

74()31f x x x x =+++

若2,0,1,

,8i

i x i ==

则[]()01(),,

,!n n f f x x x n ξ=

[](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴===

[](8)018()

,08!

f f x x x ξ==

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22

311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ξξ++=--∈

解：

若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件

()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113

11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =- 由插值条件可知1()()0k k R x R x +== 且1()()0k k R x R x +''==

()R x ∴可写成221()()()()k k R x g x x x x x +=--

其中()g x 是关于x 的待定函数，

现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数

2231()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----

根据余项性质，有

1()0,()0k k x x ??+==

313()()()()()()()()()0

k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=

223

11()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=

1()0k x ?+'=

由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使

12()0,()0?ξ?ξ''==

即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。

根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点，故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点，依此类推，(4)

()t ?

在1(,)k k x x +内至少有一个零点。

记为1(,)k k x x ξ+∈使

(4)(4)(4)3()()()4!()0f H g x ?ξξξ=--=

又

(4)3()0H t =

(4)1()

(),(,)4!

k k f g x x x ξξ+∴=∈

其中ξ依赖于x

(4)221()

()()()4!

k k f R x x x x x ξ+∴=--

分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,

,)k x k n =，设步长为h ，即

0,0,1,,k x x kh k n =+=在小区间1[,]k k x x +上

(4)22

1(4)

1()

()()()4!1()()()()4!

k k k k f R x x x x x R x f x x x x ξξ++=--∴=--

22(4)122(4)14

(4)44(4)1

()()max ()

1[()]max ()

4!2

11max ()

4!2

max ()384k k a x b k k a x b a x b a x b

x x x x f x x x x x f x h f x h f x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤

---+-≤=?=

16．求一个次数不高于

次的多项式

P （x ），使它满足

(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

0101010,10,10,1

x x y y m m ====== 1

01001012

()()()

()(12

)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+--=---=+-∑∑

10110102

()(12)()(32)x x x x x x x x x x x α--=---=-

202

1()(1)()(1)x x x x x x

ββ=-=-

22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22

301()()()()P x H x A x x x x =+--

其中，A 为待定常数

3222

(2)1

()2(1)

P P x x x Ax x =∴=-++-

A ∴=

从而2

21()(3)4

P x x x =

- 17．设2

()1/(1)f x x =+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。解：

若0105,5x x =-= 则步长1,h =

0,0,1,

,10i x x ih i =+=

()1f x x

+ 在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为

1111()()()i i

h i i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x ++++--=

+--

122

111

()

()11i i

i i x x x x x x ++=-+-++ 各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x == 当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x == 当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x == 当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x == 当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x == 误差

55max ()()max ()8i i h x x x x h f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤ 又

()1f x x =

+ 22

2233

2(),

(1)62

()(1)2424()(1)x

f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=

+-'''=

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

数值分析第五版全答案chap1

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析第五版答案(全)

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为***** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又 1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =, *57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=%1

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第五版全答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

数值分析第五版答案

第一章绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7．求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。解：2 5610x x -+= ，故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

数值分析第五版答案

第一章绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。解： *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51 ()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 6．设028Y = ，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=- 10099Y Y ∴=- 9998Y Y = 9897Y Y =-…… 10Y Y =- 依次代入后，有1000100Y Y =- 即1000Y Y = 27.982, 100027.982Y Y ∴=-

数值分析第四版习题和答案解析

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

《数值分析》第五章答案

习题5 1．导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式：?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式：))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式：?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解：(1) )()(a f x f ≈， )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈，??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??，),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ ，法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+，)2 ()2(b a f b a H +'=+'，则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ， ),(b a ∈ξ 于是 2．考察下列求积公式具有几次代数精度：（1） ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ；（2） )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。解：（1）当1)(=x f 时，左=1，右=1+0=1，左=右；当x x f =)(时，左21= ，右=2 1 210=+，左=右；当2 )(x x f =时，左=3 1 ，右=1，左≠右，代数精度为1。

数值分析作业答案(第5章)

5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。证明由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=，其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。又由A L A a a T 121110=????? ?，其中

??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ，可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定

数值分析第五版复习资料

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q %1

数值分析习题集及答案

数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 .

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误

数值分析习题

第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2 π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设? -=1 1dx e x e I x n n ，求证：（1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）

第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。（拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）

数值分析第五章答案

数值分析第五章答案【篇一：数值分析第五版计算实习题】第二章 2-1 程序： clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);

y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下： 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时， s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时，s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3（1）程序： clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n

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