雕琢分而治之最近点对算法-SpringerStaticContentServer
雕琢分而治之最近点对算法
我们改进著名的 Bentley 和 Shamos 的分而治之算法来求平面最近点对。对于平面上的 n 个点，我们的最近点对算法保持最优的 O(n log n) 时间复杂度，并且，利用一个包装圆性质，计算不超过 7n/2 个距离。这个结果改进了葛等人的(3n log n)/2 计算距离复杂度。我们提供实验结果来比较分而治之平面最近点对算法的四种不同版本，并提出两个有效的启发式算法。
最近点对问题是计算几何中最古老的问题之一; 其基本版本是计算某平面点集中最小的两点距离。Shamos 和 Hoey 于1975年首次提出了一个基于V oronoi 图的时间复杂度为O(n log n) 的算法来解决这个问题。自此, 最近点对问题及其许多变种已经得到了广泛的研究, 有超过百篇的研究论文在此方向发表。其中最有名的算法由 Bentley 和 Shamos 提出，其时间复杂度在任何维数为O(n log n)，这在代数运算树模型里是最优的。在一个支持随机及间接寻址等功能的更强大的机器模型里, 更快的算法是可能的,然而他们通常较为复杂。在实践中, Bentley 和 Shamos 的简洁的分而治之算法往往是解决最近点对问题的最佳选择。的确, 许多计算几何和算法的标准教科书都选择 Bentley 和 Shamos 的算法作为范本来展示分而治之的算法设计思想。
对于解决计算机科学中的基本问题的算法，除了通常的对于运行时间的分析, 其各种计算资源的使用要求也时常被详细估计。举例来说, Franceschini 和Geffert 设计的一个排序算法仅用O(n log n) 次比较, O(n) 次数据移动, O(1) 个辅助存储，和 O(n log n) 次算术运算。最近点对问题是计算几何学中的一个重要问题，其算法分析很自然的也应包括更详细复杂的内容。周等人观察到欧几里德距离的计算通常比其他的基本运算更花时间，于是提出了一个“计算距离复杂度”来测量最近点对算法中计算距离的次数。他们为最近点对问题设计的一种改进型的分治算法具有计算距离复杂度2n log n。最近,葛等人进一步改进了该算法,并把其计算距离复杂度降低到 (3n log n)/2。这些改进型的分治最近点对算法仍然保留着其最坏情况下 O(n log n) 的时间复杂度。在这篇文章里，我们提出一个更新版本的分治最近点对算法,并进一步降低其计算距离复杂度到 7n/2。人们普遍认为一个理论上最佳的算法并不一定是实践中最有效的算法。通过实验分析
方法,我们有时可以发现隐藏在计算复杂度背后的有趣事实。为了更好的理解分治最近点对算法, 我们对其具有不同计算距离复杂度的四种不同版本进行了实证研究来比较它们的速度。我们还提出两个启发式算法，并通过实验来研究它们对进一步提高算法速度的有效性。我们从我们的实验研究中体会到，设计和实施一个有效的算法需要平衡严格的数学分析和仔细的工程雕琢。
0007算法笔记——【分治法】最接近点对问题
问题场景：在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一。 问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点的所有点对中，该点对的距离最小。严格地说，最接近点对可能多于1对。为了简单起见，这里只限于找其中的一对。 1、一维最接近点对问题 算法思路： 这个问题很容易理解，似乎也不难解决。我们只要将每一点与其他n-1个点的距离算出，找出达到最小距离的两个点即可。然而，这样做效率太低，需要O(n^2)的计算时间。在问题的计算复杂性中我们可以看到，该问题的计算时间下界为Ω(nlogn)。这个下界引导我们去找问题的一个θ(nlogn)算法。采用分治法思想，考虑将所给的n个点的集合S分成2个子集S1和S2，每个子集中约有n/2个点，然后在每个子集中递归地求其最接近的点对。在这里，一个关键的问题是如何实现分治法中的合并步骤，即由S1和S2的最接近点对，如何求得原集合S中的最接近点对，因为S1和S2的最接近点对未必就是S 的最接近点对。如果组成S的最接近点对的2个点都在S1中或都在S2中，则问题很容易解决。但是，如果这2个点分别在S1和S2中，则对于S1中任一点p，S2中最多只有n/2个点与它构成最接近点对的候选者，仍需做n^2/4次计算和比较才能确定S的最接近点对。因此，依此思路，合并步骤耗时为O(n^2)。整个算法所需计算时间T(n)应满足:T(n)=2T(n/2)+O(n^2)。它的解为T(n)=O(n^2)，即与合并步骤的耗时同阶，这不比用穷举的方法好。从解递归方程的套用公式法，我们看到问题出在合并步骤耗时太多。这启发我们把注意力放在合并步骤上。 设S中的n个点为x轴上的n个实数x1,x2,..,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。我们显然可以先将x1,x2,..,xn排好序，然后，用一次线性扫描就可以找出最接近点对。这种方法主要计算时间花在排序上，在排序算法已经证明，时间复杂度为O(nlogn)。然而这种方法无法直接推广到二维的情形。因此，对这种一维的简单情形，我们还是尝试用分治法来求解，并希望能推广到二维的情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2，使得S1={x∈S|x≤m}；S2={x∈S|x>m}。这样一来，对于所有p∈S1和q∈S2有p 1、概述 在机床的实际加工中，被加工工件的轮廓形状千差万别，各式各样。严格说来，为了满足几何尺寸精度的要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件的轮廓形状来生成。然而，对于简单的曲线，数控装置易于实现，但对于较复杂的形状，若直接生成，势必会使算法变得很复杂，计算机的工作量也相应地大大增加。因此，在实际应用中，常常采用一小段直线或圆弧去进行逼近，有些场合也可以用抛物线、椭圆、双曲线和其他高次曲线去逼近（或称为拟合）。所谓插补是指数据密化的过程。在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运行，以满足加工精度的要求。 机床数控系统的轮廓控制主要问题就是怎样控制刀具或工件的运动轨迹。无论是硬件数控（NC）系统，还是计算机数控（CNC）系统或微机数控（MNC）系统，都必须有完成插补功能的部分，只是采取的方式不同而已。在CNC或MNC中，以软件（程序）完成插补或软、硬件结合实现插补，而在NC中有一个专门完成脉冲分配计算（即插补计算）的计算装置——插补器。无论是软件数控还是硬件数控，其插补的运算原理基本相同，其作用都是根据给定的信息进行数字计算，在计算过程中不断向各个坐标发出相互协调的进给脉冲，使被控机械部件按指定的路线移动。 有关插补算法问题，除了要保证插补计算的精度之外，还要求算法简单。这对于硬件数控来说，可以简化控制电路，采用较简单的运算器。而对于计算机数控系统来说，则能提高运算速度，使控制系统较快且均匀地输出进给脉冲。 经过多年的发展，插补原理不断成熟，类型众多。从产生的数学模型来分，有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出的数值形式来分，有基准脉冲插补（又称脉冲增量插补）和数据采样插补。在基准脉冲插补中，按基本原理又分为以区域判别为特征的逐点比较法插补，以比例乘法为特征的数字脉冲乘法器插补，以数字积分法进行运算的数字积分插补，以矢量运算为基础的矢量判别法插补，兼备逐点比较和数字积分特征的比较积分法插补，等等。在CNC系统中，除了可采用上述基准脉冲插补法中的各种插补原理外，还可采用各种数据采样插补方法。 本文将介绍在数控系统中常用的逐点比较法、数字积分法、时间分割法等多种插补方法以及刀具半径补偿计算原理。 2、逐点比较法 逐点比较法是我国数控机床中广泛采用的一种插补方法，它能实现直线、圆弧和非圆二次曲线的插补，插补精度较高。 《数据结构》必须掌握的知识点与算法 第一章绪论 1、算法的五个重要特性（有穷性、确定性、可行性、输入、输出） 2、算法设计的要求（正确性、可读性、健壮性、效率与低存储量需求） 3、算法与程序的关系： （1）一个程序不一定满足有穷性。例操作系统，只要整个系统不遭破坏，它将永远不会停止，即使没有作业需要处理，它仍处于动态等待中。因此，操作系统不是一个算法。 （2）程序中的指令必须是机器可执行的，而算法中的指令则无此限制。算法代表了对问题的解，而程序则是算法在计算机上的特定的实现。 （3）一个算法若用程序设计语言来描述，则它就是一个程序。 4、算法的时间复杂度的表示与计算（这个比较复杂，具体看算法本身，一般关心其循环的次数与N的关系、函数递归的计算） 第二章线性表 1、线性表的特点： （1）存在唯一的第一个元素；（这一点决定了图不是线性表） （2）存在唯一的最后一个元素； （3）除第一个元素外，其它均只有一个前驱（这一点决定了树不是线性表） （4）除最后一个元素外，其它均只有一个后继。 2、线性表有两种表示：顺序表示（数组）、链式表示（链表），栈、队列都是线性表，他们都可以用数组、链表来实现。 3、顺序表示的线性表（数组）地址计算方法： （1）一维数组，设DataType a[N]的首地址为A0，每一个数据（DataType类型）占m个字节，则a[k]的地址为：A a[k]＝A0+m*k（其直接意义就是求在数据a[k]的前面有多少个元素，每个元素占m个字节） （2）多维数组，以三维数组为例，设DataType a[M][N][P]的首地址为A000，每一个数据（DataType 类型）占m个字节，则在元素a[i][j][k]的前面共有元素个数为：M*N*i+N*j+k，其其地址为： A a[i][j][k]＝A000+m*(M*N*i+N*j+k)； 4、线性表的归并排序： 设两个线性表均已经按非递减顺序排好序，现要将两者合并为一个线性表，并仍然接非递减顺序。可见算法2.2 5、掌握线性表的顺序表示法定义代码，各元素的含义； 6、顺序线性表的初始化过程，可见算法2.3 7、顺序线性表的元素的查找。 8、顺序线性表的元素的插入算法，注意其对于当原来的存储空间满了后，追加存储空间（就是每次增加若干个空间，一般为10个）的处理过程，可见算法2.4 9、顺序线性表的删除元素过程，可见算法2.5 10、顺序线性表的归并算法，可见算法2.7 11、链表的定义代码，各元素的含义，并能用图形象地表示出来，以利分析； 12、链表中元素的查找 13、链表的元素插入，算法与图解，可见算法2.9 14、链表的元素的删除，算法与图解，可见算法2.10 15、链表的创建过程，算法与图解，注意，链表有两种（向表头生长、向表尾生长，分别用在栈、队列中），但他们的区别就是在创建时就产生了，可见算法2.11 16、链表的归并算法，可见算法2.12 17、建议了解所谓的静态单链表（即用数组的形式来实现链表的操作），可见算法2.13 18、循环链表的定义，意义 19、循环链表的构造算法（其与单链表的区别是在创建时确定的）、图解 迭代最近点算法综述 摘要：三维点集配准问题是计算机技术中的一个极其重要的问题，作为解决三维点集配准问题的一个应用较为广泛的算法，ICP算法得到了研究者的关注，本文以一种全新的思路从配准元素的选择、配准策略的确定和误差函数的求解等3个方面对三维点集配准的ICP算法的各种改进和优化进行了分类和总结。 关键词：三维点集；迭代最近点；配准 1引言 在计算机应用领域，三维点集配准是一个非常重要的中间步骤，它在表面重建、三维物体识别、相机定位等问题中有着极其重要的应用[1]。对于三维点集配准问题，研究者提出了很多解决方案，如点标记法、自旋图像、主曲率方法、遗传算法、随机采样一致性算法等等，这些算法各有特色，在许多特定的情况下能够解决配准的问题。但是应用最广泛的，影响最大的还是由Besl和Mckay在1992年提出的迭代最近点算法[2]（Iterative Closest Point，ICP），它是基于纯粹几何模型的三维物体对准算法，由于它的强大功能以及高的精确度，很快就成为了曲面配准中的主流算法。 随着ICP算法的广泛应用，许多研究者对ICP算法做了详细的研究，分析了该算法的缺陷和特点，提出了许多有价值的改进，推动了这一重要算法的发展。本文着眼于ICP算法的发展历程，详细介绍了ICP算法的基本原理，总结其发展和改进的过程，对于该算法的各个阶段的发展和变化做了简单的论述。 2ICP算法原理 2.1ICP算法原理 ICP算法主要用于三维物体的配准问题，可以理解为：给定两个来至不同坐标系的三维数据点集，找出两个点集的空间变换，以便它们能进行空间匹配。假定用{}表示空间第一个点集，第二个点集的对齐匹配变换为使下式的目标函数最小[3]。 ICP算法的实质是基于最小二乘法的最优匹配算法，它重复进行“确定对应关系点集—计算最优刚体变换”的过程，直到某个表示正确匹配的收敛准则得到满足。ICP 算法的母的是找到目标点集与参考点之间的旋转R和平移T变换，使得两匹配数据中间满足某种程度 度量准则下的最优匹配。假设目标点集P的坐标为{}及参考点集Q的坐标为 目录 1031 输油管道问题 (2) 解题思路 (2) 程序代码 (2) 1032 邮局选址 (5) 解题思路 (5) 程序源代码 (5) 1034 集合划分2 (7) 解题思路： (7) 程序源代码： (7) 1033 集合划分 (9) 解题思路 (9) 程序源代码 (9) 1031 输油管道问题 解题思路 本题目可以分为两个步骤： 1、找出主管道的位置； 2、根据主管道的位置，计算各个油井到主管道的长度之和。 根据题意，设主管道贯穿东西，与y 轴平行。而各个子油井则分布在主输油管道的上下两侧。如下图： 由上图，其实只需要确定主管道的y 坐标，而与各个子油井的x 坐标无关！根据猜测，易知：主管道的y 坐标就是所有子油井y 坐标的中位数。（可以用平面几何知识证明，略） 求中位数的方法可以用排序后取a[(left+right)/2]，当然更推荐用书上的线性时间选择算法解决。记求得的主管道为m y ，最后要输出的结果只需要计算：1||n i m i y y =-∑，输出即可。 另外要提醒的是本题多Case 。 程序代码 #include //本函数求arr[p:q]的一个划分i，使arr[p:i-1]都小于arr[i]，arr[i+1,q]都大于arr[i] int partition(int *arr,int p,int q) { int index = p-1,start = p,base = arr[q]; for(;start 卡尔曼滤波的基本原理及应用卡尔曼滤波在信号处理与系统控制领域应用广泛，目前，正越来越广泛地应用于计算机应用的各个领域。为了更好地理解卡尔曼滤波的原理与进行滤波算法的设计工作，主要从两方面对卡尔曼滤波进行阐述：基本卡尔曼滤波系统模型、滤波模型的建立以及非线性卡尔曼滤波的线性化。最后，对卡尔曼滤波的应用做了简单介绍。 卡尔曼滤波属于一种软件滤波方法，其基本思想是：以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值，算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 最初的卡尔曼滤波算法被称为基本卡尔曼滤波算法，适用于解决随机线性离散系统的状态或参数估计问题。卡尔曼滤波器包括两个主要过程：预估与校正。预估过程主要是利用时间更新方程建立对当前状态的先验估计，及时向前推算当前状态变量和误差协方差估计的值，以便为下一个时间状态构造先验估计值；校正过程负责反馈，利用测量更新方程在预估过程的先验估计值及当前测量变量的基础上建立起对当前状态的改进的后验估计。这样的一个过程，我们称之为预估－校正过程，对应的这种估计算法称为预估－校正算法。以下给出离散卡尔曼滤波的时间更新方程和状态更新方程。 时间更新方程： 状态更新方程： 在上面式中，各量说明如下： A：作用在X k-1上的n×n 状态变换矩阵 B：作用在控制向量U k-1上的n×1 输入控制矩阵 H：m×n 观测模型矩阵，它把真实状态空间映射成观测空间 P k－：为n×n 先验估计误差协方差矩阵 P k：为n×n 后验估计误差协方差矩阵 Q：n×n 过程噪声协方差矩阵 R：m×m 过程噪声协方差矩阵 I：n×n 阶单位矩阵K k：n×m 阶矩阵，称为卡尔曼增益或混合因数 随着卡尔曼滤波理论的发展，一些实用卡尔曼滤波技术被提出来，如自适应滤波，次优滤波以及滤波发散抑制技术等逐渐得到广泛应用。其它的滤波理论也迅速发展，如线性离散系统的分解滤波（信息平方根滤波，序列平方根滤波，UD 分解滤波），鲁棒滤波（H∞波）。 非线性样条自适应滤波：这是一类新的非线性自适应滤波器，它由一个线性组合器后跟挠性无记忆功能的。涉及的自适应处理的非线性函数是基于可在学习 目录 1设计任务及要求 (1) 2方案比较及认证 (2) 3设计原理 (4) 3.1硬件原理 (4) 3.2硬件原理 (5) 4软件系统 (9) 4.1软件思想 (9) 4.2流程图 (9) 4.3源程序 (9) 5调试记录及结果分析 (10) 5.1界面设置 (10) 5.2调试记录 (10) 5.3结果分析 (11) 6心得体会 (13) 7 参考资料 (14) 附录 (15) 1设计任务及要求 设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出如下曲线。 课程设计的主要任务: 1．设计硬件系统，画出电路原理框图； 2．定义步进电机转动的控制字； 3．推导出用逐点比较法插补绘制出下面曲线的算法； 4．编写算法控制程序，参数由键盘输入，显示器同时显示曲线； 5. 撰写设计说明书。课程设计说明书应包括：设计任务及要求；方案比较及认证；系统滤波原理、硬件原理，电路图，采用器件的功能说明；软件思想，流程，源程序；调试记录及结果分析；参考资料；附录：芯片资料，程序清单；总结。 X Y O 2方案比较及认证 本次课程设计内容为设计一个计算机控制步进电机系统，该系统利用PC 机的并口输出控制信号，其信号驱动后控制X 、Y 两个方向的三相步进电机转动，利用逐点比较法插补绘制出第一象限逆圆弧。数字程序控制主要应用于机床的自动控制，如用于铣床、车床、加工中心、以及线切割等的自动控制中。 采用数字程序控制的机床叫数控机床，它能加工形状复杂的零件、加工精度高、生产效率高、便于改变加工零件品种等优点，是实现机床自动化的一个重要发展方向。本次课程设计采用逐点比较法插补原理以及作为数字程序控制系统输出装置的步进电机控制技术进行第一象限圆弧插补。第一象限圆弧如图2-1所示。 图2-1 第一象限逆圆弧 针对以上设计要求，采用步进电机插补原理进行逐步逼近插补。 硬件方面，步进电机是机电控制中一种常用的执行机构，它的用途是将电脉冲转化为角位移，通俗地说：当步进驱动器接收到一个脉冲信号，它就驱动步进电机按设定的方向转动一个固定的角度（及步进角）。通过控制脉冲个数即可以控制角位移量，从而达到准确定位的目的；同时通过控制脉冲频率来控制电机转动的速度和加速度，从而达到调速的目的。 逐点比较法是以阶梯折线来逼近直线或圆弧等曲线，它与规定的加工直线或圆弧之间的最大误差为一个脉冲当量，因此只要把脉冲当量（每走一步的距离即步长）取得足够小，就可以达到精度的要求。以下为课程设计要求插补的第一象限逆圆弧。图3-3为第一象限逆圆弧。 X Y O 算法设计与分析的复习要点 第一章：算法问题求解基础 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 一．算法的五个特征： 1．输入：算法有零个或多个输入量； 2．输出：算法至少产生一个输出量； 3．确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性； 4．可行性：算法的每一条指令必须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现； 5．有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。 二．什么是算法？程序与算法的区别 1．笼统地说，算法是求解一类问题的任意一种特殊的方法；较严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 2．程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；算法必须可终止，程序却没有这一限制；即：程序可以不满足算法的第5个性质“有穷性”。 三．一个问题求解过程包括：理解问题、设计方案、实现方案、回顾复查。 四．系统生命周期或软件生命周期分为： 开发期：分析、设计、编码、测试；运行期：维护。 五．算法描述方法：自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言等。 六．算法分析：是指对算法的执行时间和所需空间的估算。算法的效率通过算法分析来确定。 七．递归定义：是一种直接或间接引用自身的定义方法。一个合法的递归定义包括两部分：基础情况和递归部分； 基础情况：以直接形式明确列举新事物的若干简单对象； 递归部分：有简单或较简单对象定义新对象的条件和方法 八．常见的程序正确性证明方法： 1.归纳法：由基础情况和归纳步骤组成。归纳法是证明递归算法正确性和进行算法分析的强有力工具； 2.反证法。 第二章：算法分析基础 一．会计算程序步的执行次数（如书中例题程序2-1,2-2,2-3的总程序步数的计算）。二．会证明5个渐近记法。（如书中P22-25例2-1至例2-9） 三．会计算递推式的显式。（迭代法、代换法，主方法） 四．会用主定理求T(n)=aT(n/b)+f(n)。（主定理见P29，如例2-15至例2-18）五．一个好的算法应具备的4个重要特征： 1.正确性：算法的执行结果应当满足预先规定的功能和性能要求； 2.简明性：算法应思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试； 3.效率：算法应有效使用存储空间，并具有高的时间效率； 4.最优性：算法的执行时间已达到求解该类问题所需时间的下界。 六．影响程序运行时间的主要因素： 1.程序所依赖的算法； 2.问题规模和输入数据规模； 3.计算机系统性能。 七．1.算法的时间复杂度：是指算法运行所需的时间； 聚类分析K-means算法综述 摘要：介绍K-means聚类算法的概念，初步了解算法的基本步骤，通过对算法缺点的分析，对算法已有的优化方法进行简单分析，以及对算法的应用领域、算法未来的研究方向及应用发展趋势作恰当的介绍。 关键词：K-means聚类算法基本步骤优化方法应用领域研究方向应用发展趋势 算法概述 K-means聚类算法是一种基于质心的划分方法，输入聚类个数k，以及包含n个数据对象的数据库，输出满足方差最小标准的k个聚类。 评定标准：同一聚类中的对象相似度较高；而不同聚类中的对象相似度较小。聚类相似度是利用各聚类中对象的均值所获得一个“中心对象”（引力中心）来进行计算。 解释：基于质心的划分方法就是将簇中的所有对象的平均值看做簇的质心，然后根据一个数据对象与簇质心的距离，再将该对象赋予最近的簇。 k-means 算法基本步骤 （1）从n个数据对象任意选择k 个对象作为初始聚类中心 （2）根据每个聚类对象的均值（中心对象），计算每个对象与这些中心对象的距离；并根据最小距离重新对相应对象进行划分 （3）重新计算每个（有变化）聚类的均值（中心对象） （4）计算标准测度函数，当满足一定条件，如函数收敛时，则算法终止；如果条件不满足则回到步骤（2） 形式化描述 输入：数据集D，划分簇的个数k 输出：k个簇的集合 （1）从数据集D中任意选择k个对象作为初始簇的中心； （2）Repeat （3）For数据集D中每个对象P do （4）计算对象P到k个簇中心的距离 （5）将对象P指派到与其最近（距离最短）的簇； （6）End For （7）计算每个簇中对象的均值，作为新的簇的中心； （8）Until k个簇的簇中心不再发生变化 对算法已有优化方法的分析 (1)K-means算法中聚类个数K需要预先给定 这个K值的选定是非常难以估计的，很多时候,我们事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适，这也是K一means算法的一个不足"有的算法是通过类的自动合并和分裂得到较为合理的类型数目k，例如Is0DAIA算法"关于K一means算法中聚类数目K 值的确定，在文献中，根据了方差分析理论，应用混合F统计量来确定最佳分类数，并应用了模糊划分嫡来验证最佳分类数的正确性。在文献中，使用了一种结合全协方差矩阵RPCL算法，并逐步删除那些只包含少量训练数据的类。文献中针对“聚类的有效性问题”提出武汉理工大学硕士学位论文了一种新的有效性指标：V(k km) = Intra(k) + Inter(k) / Inter(k max)，其中k max是可聚类的最大数目,目的是选择最佳聚类个数使得有效性指标达到最小。文献中使用的是一种称为次胜者受罚的竞争学习规则来自动决定类的适当数目"它的思想是：对每个输入而言不仅竞争获胜单元的权值被修正以适应输入值，而且对次胜单元采用惩罚的方法使之远离输入值。 (2)算法对初始值的选取依赖性极大以及算法常陷入局部极小解 不同的初始值，结果往往不同。K-means算法首先随机地选取k个点作为初始聚类种子，再利用迭代的重定位技术直到算法收敛。因此，初值的不同可能导致算法聚类效果的不稳定，并且，K-means算法常采用误差平方和准则函数作为聚类准则函数(目标函数)。目标函数往往存在很多个局部极小值，只有一个属于全局最小，由于算法每次开始选取的初始聚类中心落入非凸函数曲面的“位置”往往偏离全局最优解的搜索范围，因此通过迭代运算，目标函数常常达到局部最小，得不到全局最小。对于这个问题的解决，许多算法采用遗传算法(GA)，例如文献中采用遗传算法GA进行初始化，以内部聚类准则作为评价指标。 (3)从K-means算法框架可以看出，该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时,算法的时间开销是非常大 所以需要对算法的时间复杂度进行分析，改进提高算法应用范围。在文献中从该算法的时间复杂度进行分析考虑，通过一定的相似性准则来去掉聚类中心的候选集，而在文献中，使用的K-meanS算法是对样本数据进行聚类。无论是初始点的选择还是一次迭代完成时对数据的调整，都是建立在随机选取的样本数据的基础之上，这样可以提高算法的收敛速度。 一、算法分析 该算法的问题描述为：给定二维平面上的点集，求解距离最近的两个点，并计算出两点间的距离。 解决问题最初的思路为穷举法。对所有两点间的组合计算其距离。然后对其进行比较，找出最小值即可。不过这样做的缺点是时间复杂度和空间复杂度十分庞大，消耗巨量资源。如有n个点的平面上，计算的复杂度能达到n*n。因此设计出一个高效的算法来代替穷举法是有现实意义的。 在思考问题的过程中，可以考虑使用分治法的思想，以x，y中x坐标作为划分区间的标准。将平面点集一分为二。求解其中的最小点对。由此产生的问题为划分点附近两个区间中两点的距离可能小于各自区间中的最小值，产生了纰漏。因此在在分治的过程中，加入分界线附近的点对最小值求解函数。分界线区域内区间的选取标准为d。其中d为左半区间和右半区间的最小值中的较小值。在具体实现中，首先建立一个空数组存放按y坐标排序的点集，判断两个相邻点之间的y坐标差值，若大于d，则两点间距离一定大于d，可以直接跳过，继续判断下一个点对。若小于d，则继续计算两点间的实际距离，若大于d，则跳过，小于d，将最小值更新为该点对距离。 二、算法实现 该算法的具体实现使用了两种求解方法，穷举法和分治法。其中，穷举法用于判断最近点对算法实现结果的正确性。 算法使用的数据结构为数组，其中为了简单起见，将x轴坐标与y轴坐标分别存入两个数组，并新建一个数组record[]，记录数组y的元素下标，用于绑定x坐标对应的y坐标。 在设计过程中使用到了比较排序算法，用于对x及y坐标排序，这并不增加其时间复杂度。因此是可行的。 在分治算法中，设置划分区间的下限为3，即当区间内元素个数小于等于3时，不再使用分治。在该设定下分为三种情况，元素数为1时，Min设为无穷。元素数为2时，计算两点间距离并返回。元素数为3时，一共计算三次距离，并取其最小值。 卡尔曼滤波研究综述 1 卡尔曼滤波简介 1.1卡尔曼滤波的由来 1960年卡尔曼发表了用递归方法解决离散数据线性滤波问题的论文-《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预测问题的新方法），在这篇文章里一种克服了维纳滤波缺点的新方法被提出来，这就是我们今天称之为卡尔曼滤波的方法。卡尔曼滤波应用广泛且功能强大，它可以估计信号的过去和当前状态甚至能估计将来的状态即使并不知道模型的确切性质。 其基本思想是以最小均方误差为最佳估计准则，采用信号与噪声的状态空间模型利用前一时刻的估计值和当前时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出当前时刻的估计值。算法根据建立的系统方程和观测方程对需要处理的信号做出满足最小均方误差的估计。 对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近年来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。 1.2标准卡尔曼滤波-离散线性卡尔曼滤波 为了描述方便我们作以下假设：物理系统的状态转换过程可以描述为一个离散时间的随机过程；系统状态受控制输入的影响；系统状态及观测过程都不可避免受噪声影响；对系统状态是非直接可观测的。在以上假设前提下，得到系统的状体方程和观测方程。 X ?? 1-1 式中:X k 为状态向量,L k 为观测向量,Φk,k-1为状态转移矩阵,U k-1为控制向量,一般 不考虑,Γk,k-1,B k 为系数矩阵,Ωk-1为系统动态噪声向量,Δk 为观测噪声向量,其随机模 型为 E(Ωk ) =0;E(Δk ) =0;cov(Ωk ,Ωj ) = D Ω(k )δkj , cov(Δk ,Δj ) = D k (k )δkj ;cov(Ωk ,Δj ) =0;E(X 0) =μx(0) var(X 0) = D(X 0);cov(X 0,Ωk ) =0;cov(X 0,Δk ) =0. 1-2 卡尔曼滤波递推公式为 X ∧(k/k) = X ∧(k/k-1)+J k (L k -B k X ∧(k/k-1)), D(k/k) = (E-J k B k )D x (k/k-1), J k = D x (k/k-1)BT k [B k D x (k/k-1)]B T k +D Δ(k)]-1, X ∧ (k/k-1) =Φk ,k-1X ∧ (k-1/k-1), D x (k/k-1) =Φk ,k-1D x (k-1/k-1)ΦT k ,k-1+Γk ,k-1D Δ(k-1)ΓT k ,k-1. 1-3 2 几种最新改进型的卡尔曼滤波算法。 2.1 近似二阶扩展卡尔曼滤波 标准的卡尔曼滤波只适用于线性系统，而工程实际问题涉及的又大多是非 线性系统，于是基于非线性系统线性化的扩展卡尔曼滤波(EKF)在上世纪70年代 被提出,目前已经成为非线性系统中广泛应用的估计方法。近似二阶扩展卡尔曼 滤 波方法(AS-EKF)基于线性最小方差递推滤波框架,应用均值变换的二阶近似从 而得到非线性系统的递推滤波滤波框架 该滤波基于线性最小方差递推框架，状态X 的最小方差估计为 各种聚类算法的比较 聚类的目标是使同一类对象的相似度尽可能地小；不同类对象之间的相似度尽可能地大。目前聚类的方法很多，根据基本思想的不同，大致可以将聚类算法分为五大类：层次聚类算法、分割聚类算法、基于约束的聚类算法、机器学习中的聚类算法和用于高维度的聚类算法。摘自数据挖掘中的聚类分析研究综述这篇论文。 1、层次聚类算法 1.1聚合聚类 1.1.1相似度依据距离不同：Single-Link:最近距离、Complete-Link：最远距离、Average-Link：平均距离 1.1.2最具代表性算法 1）CURE算法 特点：固定数目有代表性的点共同代表类 优点：识别形状复杂，大小不一的聚类，过滤孤立点 2）ROCK算法 特点：对CURE算法的改进 优点：同上，并适用于类别属性的数据 3）CHAMELEON算法 特点：利用了动态建模技术 1.2分解聚类 1.3优缺点 优点：适用于任意形状和任意属性的数据集；灵活控制不同层次的聚类粒度，强聚类能力 缺点：大大延长了算法的执行时间，不能回溯处理 2、分割聚类算法 2.1基于密度的聚类 2.1.1特点 将密度足够大的相邻区域连接，能有效处理异常数据，主要用于对空间数据的聚类 1）DBSCAN：不断生长足够高密度的区域 2）DENCLUE：根据数据点在属性空间中的密度进行聚类，密度和网格与处理的结合 3）OPTICS、DBCLASD、CURD：均针对数据在空间中呈现的不同密度分不对DBSCAN作了改进 2.2基于网格的聚类 2.2.1特点 利用属性空间的多维网格数据结构，将空间划分为有限数目的单元以构成网格结构； 1）优点：处理时间与数据对象的数目无关，与数据的输入顺序无关，可以处理任意类型的数据 2）缺点：处理时间与每维空间所划分的单元数相关，一定程度上降低了聚类的质量和准确性 2.2.2典型算法 1）STING：基于网格多分辨率，将空间划分为方形单元，对应不同分辨率2）STING+：改进STING，用于处理动态进化的空间数据 3）ＣＬＩＱＵＥ：结合网格和密度聚类的思想，能处理大规模高维度数据4）WaveCluster：以信号处理思想为基础 2.3基于图论的聚类 2.3.1特点 转换为组合优化问题，并利用图论和相关启发式算法来解决，构造数据集的最小生成数，再逐步删除最长边 1）优点：不需要进行相似度的计算 2.3.2两个主要的应用形式 1）基于超图的划分 2）基于光谱的图划分 2.4基于平方误差的迭代重分配聚类 2.4.1思想 逐步对聚类结果进行优化、不断将目标数据集向各个聚类中心进行重新分配以获最优解 南昌航空大学实验报告 年月日 课程名称：数控技术实验名称：逐点比较法插补原理 班级：姓名：同组人： 指导老师评定：签名： 一、实验的目的与要求 1.目的 ①掌握逐点比较法插补的原理及过程； ②掌握利用计算机高级语言，设计及调试“插补运算轨迹”模拟画图的程序设计方法； ③进一步加深对插补运算过程的理解； 二、实验仪器 计算机一台 三、实验原理 ①逐点比较法插补运算的原理 首先粗略的简单介绍一下机床是如何按照规定的图形加工出所需的工件的。例如，现在要加工一段圆弧（图2－1），起点为A，终点为B，坐标原点就是圆心，Y轴、X轴代表纵、横拖板的方向，圆弧半径为R。 如从A点出发进行加工，设某一时刻加工点在M1，一般来说M1和圆弧 有所偏离。因此，可根据偏离的情 况确定下一步加工进给的方向，使下 一个加工点尽可能向规定图形（即圆 弧）靠拢。 若用R M1表示加工点M1到圆心O 的距离，显然，当R M1 可以看出，加工的结果是用折线来代替圆弧，为了清楚起见，在图2－1中，每步的步长画的很大，因此加工出来的折线与所需圆弧的误差较大。 若步长缩小，则误差也跟着缩小，实际加工时，进给步长一般为1微米，故实际误差时很小的。 ②计算步骤 由上述可以看出，拖板每进给一步都要完成四个工作节拍。 偏差判别：判别偏差符号，确定加工点是在要求图形外还是在图形内。 工作台进给：根据偏差情况，确定控制X坐标(或Y坐标)进给一步，使加工点向规定的图形靠拢，以缩小偏差。 偏差计算：计算进给一步后加工点与要求图形的新偏差，作为下一步偏差判别的依据。 终点判断：判定是否到达终点，如果未达到终点，继续插补，如果以到达终点，停止插补。 计算步骤的框图如下所示： 图2－2 逐点比较法插补计算步骤 ③插补运算公式 插补运算公式表 四、实验内容及步骤 应用VB设计逐点比较法的插补运算程序，在计算机屏幕上画出轨迹图。 1 程序界面 采用图形显示方式，动态的显示出直线和圆弧的插补过程。 ·算法是指解决问题的方法和过程。算法是由若干条指令组成的有穷序列。 ·算法特性：输入、输出、确定性、有限性（执行时间和执行次数）（有五个空再加上可行性）。 ·程序是算法用某种程序设计语言的具体实现，程序可不满足有限性的特性。 ·程序调试只能证明程序有错，不能证明程序无错误! ·算法复杂性= 算法所需要的计算机资源。 ·算法的复杂性取决于：(1)求解问题的规模N；(2)具体的输入数据I；(3)算法本身的设计A。·可操作性最好且最有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性。 第二章递归与分治策略 二分搜索技术：O（logn）大整数乘法：O（n log3）=O（n1.59）Strassen矩阵乘法：O（n log7）=O(n2.81) 棋盘覆盖：O（4k）合并排序和快排：O（nlogn）线性时间选择：O(n) 最接近点对问题：O(nlogn) 循环赛日程表：O(n2) ·分治法思想：将一个难以解决的问题分割成一些规模较小的相同问题，以便逐个击破，分而治之。边界条件与递归方程是递归函数的两大要素。 递归优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 ·分治法时间复杂度分析：T(n)<= O(1) n=n0 aT(n/b)+f(n) n>n0 若递归方式为减法：T(n) = O(a n) 若递归方式为除法： f(n)为合并为原问题的开销：f(n)为常数c时：T(n)=O(n p) f(n)为线性函数：O(n) ab,p=log b a f(n)为幂函数n x时：O(n x) a 算法导论求n个点的最小距离 2010-01-20 17:23 在中文算法导论649页 算法： 0：把所有的点按照横坐标排序 1：用一条竖直的线L将所有的点分成两等份 2：递归算出左半部分的最近两点距离d1，右半部分的最近两点距离d2，取 d=min(d1,d2) 3：算出“一个在左半部分，另一个在右半部分”这样的点对的最短距离d3。4：结果＝min(d1,d2,d3) 关键就是这第3步。貌似这需要n^2的时间，把左边每个点和右边每个点都对比一下。其实不然。秘密就在这里。 首先，两边的点，与分割线L的距离超过d的，都可以扔掉了。 其次，即使两个点P1,P2（不妨令P1在左边，P2在右边）与分割线L的距离（水平距离）都小于d，如果它们的纵坐标之差大于d，也没戏。 就是这两点使得搜索范围大大减小： 对于左半部分的，与L的距离在d之内的，每个P1来说：右半部分内，符合以上两个条件的点P2最多只有6个！ 原因就是： d是两个半平面各自内，任意两点的最小距离，因此在同一个半平面内，任何两点距离都不可能超过d。 我们又要求P1和P2的水平距离不能超过d，垂直距离也不能超过d，在这个d*2d 的小方块内，最多只能放下6个距离不小于d的点。 因此，第3步总的比较距离的次数不超过n*6。 第3步的具体做法是： 3.1 删除所有到L的距离大于d的点。 O(n) 3.2 把右半平面的点按照纵坐标y排序。 O(nlogn) 3.3 对于左半平面内的每个点P1，找出右半平面内纵坐标与P1的纵坐标的差在d以内的点P2，计算距离取最小值，算出d3。 O(n*6) = O(n) 因为3.2的排序需要O(nlogn)， 所以整个算法的复杂度就是O(n((logn)^2))。 改进： 大连民族学院本科毕业设计（论文） 逐点比较法插补程序程序设计与运行 模拟 学院（系）：机电信息工程学院_____ 专业：机械设计制造及其自动化__ 学生姓名： _________ 指导教师：李文龙 __________ 评阅教师：_________________________ 完成日期：_________________________ 大连民族学院 摘要 在数控编程时，一般仅提供描述该线形所必须的相关参数，但为了满足几何零件尺寸精度要求，必须在刀具（或工件）运动过程中实时计算出满足线形和进给速度要求的在起点和终点之间的若干中间点，所以就有了插补。 本设计主要阐述了逐点比较法的基本原理，在四个象限直线、圆弧插补的插补原理以及如何实现。重点研究了逐点比较法的基本算法，控制程序的原理框图，对逐点比较法做了详细的研究，掌握基本的G代码的内容与运用，编写插补程序，并且基于vb平台演示插补过程。 从调试结果来看，本文所提供的运算与编程能够通过简洁的“输入输出”界面，较好的实现了计算机屏幕模拟。 关键词：简易数控；逐点比较法插补；G代码；VB；计算机屏幕模拟 Abstract By-point comparison interpolation program design and run the simulation program In NC programming, generally only provide a description of the relevant parameters necessary for linear, but in order to meet the accuracy requirements of the geometric part size must be in the tool (or workpiece) during exercise to meet the real-time calculation and linear feed rate required at the start and some intermediate point between the endpoints, so there will be interpolated. The design is mainly explained by-point comparison of the basic principles in the four quadrants linear and circular interpolation interpolation theory and a point by point comparison of the basic algorithm, a block diagram of the control program, right by-point comparison method to do a detailed study and master the basic content and the use of G-code, write interpolation procedures, and is based on interpolation vb platform demo process. From the debugging results, provided computing and programming through simple "input output" interface, to achieve a better simulation of the computer screen Keywords:Simple numerical control; interpolation point by point comparison；G code；VB；Computer simulation on the screen插补运动(逐点比较法)
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