2015北科大数理方程总复习
1已知)(z f ),(y x u =),(y x iv +，写出柯西—黎曼条件表达式
2计算)1(i Ln w +=
3计算积分dz z I n )(α-=
? ，回路 包围点α （n 为整数） 42
3)(2--=z z z z f ，以0=z 为展开中心（a ）在环域21<
5已知π=Γ)2
1
(，计算)5.2,5.3(B 6已知1
1)(4-=
z z f ，计算)1(Re ±sf ，)(Re i sf ±。 7计算积分?+∞+=032)1(x dx I ?+∞∞-+=32)
1(21x dx 8计算积分?+∞∞-++=dx x x x I )
1)(1(12 9求22)(ωλ++p p （λ为一复常数，ω是正数）的原函数。 10求81
3692)(423-+-+=p p p p p f 的原函数。 11已知质量为m ，劲度系数为k 的弹簧振子在外力)(t f 作用下的振动方程是：
)()()(t f t kx t x
m =+ ，设位移)(t x 的初始条件：0)0(=x ，0)0(=x ，求解此初值问题。 12写出阶跃函数)(x H 的表达式，并求出它的导数)(x H '
13用傅里叶变换求解具有阻尼的经典谐振子（质量1=m ）的受迫振动方程：
)()(4)(2)(t F t x t x t x
=++ )(∞<<-∞t ，其中)(t F 是已知函数。 13已知高斯方程[]0)1()1(=+'-+++''-aby y c x b a y x x ，设它在正则奇点0=x 邻域的解为s n n n x c x y +∞=∑=0)()0(0≠c ，写出系数递推关系。
14已知库默尔方程0)(=-'-+''ay y x c y x ，设它在正则奇点0=x 邻域的解为 s n n n x c x y +∞
=∑=0)()0(0≠c ，写出系数递推关系。
15判断弦振动方程),(),(),(22222t x f x
t x u a t t x u +??=??的类型。 16判断热传导方程),(),(),(2
22t x f x t x u a t t x u +??=??的类型。 17求解本征值问题???===+''0
)(,0)0(0 X X X X λ。
18求解本征值问题?
??='='=+''0)(,0)0(0 X X X X λ 19(1)一维无源导热问题???===)(),(),(2x u t x u a t x u t xx t ?τ
),(τ>∞<<-∞t x ，
(2)一维有源导热问题???==-=0),(),(),(0
2t xx t u t x f t x u a t x u ，ρc t x F t x f ),(),(= (3)阐述格林函数),;,(τξt x G 的物理意义。
(4)阐述=),(t x u [),(0τξf t ??∞∞-]τξτξd d t x G ),;,(的物理意义。
20在半径为0r r =的球内部求解02=?u ，使满足边界条件θ2cos 0
==r r u 。 21在半径为0r r =的球内部求解02=?u ，使满足边界条件θ2sin 0==r r u
。 22写出球函数),(?θm Y 的正交归一关系。 21将球面上的函数),(?θf 用归一化的球函数),(?θm Y 展开，写出展开结果。
22求解定解问题???????=∞≠===?====)(,0
,000
02z q ku u u u u a h z z ρρρ)0,(h z a <<<ρ 23求解定解问题?????????∞≠-====?∞→===ρρu z u u u u u u a z z ,)(0,001002 )a >ρ（
武大期末复习-数理方程教学指导纲要
第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容： 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点： 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。
第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容： 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点： 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程
第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容： 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到 的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t T方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(t T 方程的解；4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点： ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化
数理方程概念汇总
1、什么是泛定方程？以及解的稳定性 物理规律，用数学的语言“翻译”出来，不过是物理量u在空间和时间中的变化规律，换句话说，它是物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。正是这种联系使我们有可能从边界条件和初始条件去推算u在任意地点（x，y，z）和任意时刻 t 的值u（x，y，z，t）。而物理的联系总是取的值之间的关系式。这种邻近地点、邻近时刻之间的关系式往往是偏微分方程。物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程。数学物理方程，作为同一类物理现象的共性，跟具体条件无关。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程 2、什么是定解条件？ 答：给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程。如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或者在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件。表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到的约束的条件称为边界条件。 3、什么是定解问题？ 答：给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题为定解问题。根据不同定解条件，定解问题分为三类： 1）初值问题只有初始条件和没有边界条件的定解问题为初值问题或者柯西问题； 2）边界问题只有边值条件而没有初值条件的定解问题称为边值问题。 3）混合问题既有边界条件也有初值条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题） 4、什么是定解问题的解？ 答：设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给定初值的超平面或者趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中要求的u及它的倒数的极限处处存在而且满足相应定解条件，就称u为定解问题的解。 5、什么是解的稳定性？ 答：如果定解条件的微小变化只引起定解问题解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在这连续依赖关系，那么称定解问题的解是稳定的。 6、什么是定解问题的适应性？ 如果定解问题的解存在与唯一并且关于定解条件的稳定的，就说定解问题的提法是稳定的。 7、什么是解的唯一性？
数学物理方法复习资料及参考答案(一)
数学物理方法复习资料及参考答案（一） 一、填空题： 1. 复数 i i -+11用三角式可表示为 （主辐角[)π2,0）。 2. 已知幂级数∑∞ =0 k k k z a 和∑∞ =0 k k k z b 的收敛半径分别是1R 和2R ，则幂级数()∑∞ =±0 k k k k z b a 的收敛半径 为： 。 3. 勒让德多项式()l P x 的模l N = ()0,1,2,l = 。 4. 在00=z 的邻域上，z e z f 1)(=展开的洛朗级数为： 。 5. 函数2)2)(1()(--=z z z z f 的留数)1(resf ＝ 。 6. 求解无限长弦的自由振动，设弦的初始位移为)(x ?，初始速度为)(/x a ?-， =),(t x u 。 7. 在00=z 的邻域上，z z f sin )(=的泰勒级数为： 。 8. 幂级数()∑ ∞ =-1 1k k i z k 的收敛圆： 。 9. 数理方程中的定解条件包括三大类 初始条件 、 和 衔接条件 。 10. 在本征值问题()() ()'''120 12--+=-1<<±1?? ? x y xy y x y λ有限 中，方程 ()'''120 2--+=x y xy y λ称为__ _ _ __微分方程，该本征值问题的本征值 λn = ___ _ ，相应本征函数是 y x n ()= __________，其中n = ___ _ ____， 该本征函数称为______ __ _，写出它的表达式(至少一种)：___________ _____。 二、简答题： 1、孤立奇点分为几类？如何判别？ 2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。 三、基础题： 1、计算实变函数定积分()() 2 2 2 2 94x dx I x x ∞= ++? 2、已知解析函数()f z 的实部2 33),(xy x y x u -=，0)0(=f ，求虚部和这个解析函数。 3、设)0()(>=-ββt e t f ，证明t e d t ββ πωω βω-∞ = +? 2cos 0 2 2 4、试证递推公式
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法知识点归纳
第一章 复述和复变函数 1.5连续 若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且 )()(0 lim 0 z f z f z z =→， 则称f(z)在0z 点连续。 1.6导数 若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??在点不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为 ???? ?? ???-=????=??y y x u x y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析 若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。 解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i) x u ??、y u ??、x v ??、y v ??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。 1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数： 22x u ??+2 2y u ??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。 ②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)? 通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分 柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分 ?B A dz z f )(的值均相等。 柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。 ?=C dz z f 0)( 二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。 n+1连区域柯西定理： ???? ΓΓΓΓ+++=n i i i e dz z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2 1 推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式 若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ -= dz a z z f i a f ) (21)(π其中Γ是境 界线。 2.5柯西导数公式 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-= 1)() () (2!)( 第三章 级数 3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数 ∑∞ =0 )(k k z u 在境 界Γ上一致收敛，那么 (i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数
北京科技大学参考书目
北京科技大学参考书目│ ├────────────────────────────────────────┤ │070205凝聚态物理: 226量子力学：《量子力学》上册科学出版社曾谨言│ │《量子力学教程》高等教育出版社周世勋 │ │228统计物理：《热力学与统计物理》高等教育出版社汪志成 │ │《统计物理学》高等教育出版社熊吟涛 │ │332固体物理：《固体物理学》上、下册上海科技出版社方俊鑫、陆栋│ │《固体物理学》高等教育出版社黄昆、韩汝琦 │ │《固体物理导论》科学出版社基特尔（杨顺华译） │ │333金属物理：《金属物理》冶金工业出版社余宗森、田中卓 │ │同等学力加试：原子物理《原子物理学》高等教育出版社杨福家 │
│《原子物理学》高等教育出版社褚圣林 │ │理论力学《理论力学》高等教育出版社胡慧玲 │ │ │ │071200科学技术史: 219物理化学：《物理化学》冶金工业出版社蔡文娟1994 │ │254考古学通论：《中国考古学通论》河南大学出版社孙英民.李友谋主编2002年│ │《中国考古学：实践、理论、方法》中州古籍出版社张忠培1992年 │ │262科学技术哲学：《西方科学哲学》南京大学出版社夏基松、沈斐凤1987年│ │《科学哲学教程》山西科学出版社郭贵春2000年 │ │267文物保护学：《岩土文物建筑的保护》中国建筑工业出版社黄克忠1998年│ │《文物保存环境概论》科学出版社郭宏2001年9月 │ │《文物保护材料学》西北大学出版社王薏贞1995年 │
│334金属学及热处理：《金属学》冶金工业出版社宋维锡 │ │337金属腐蚀学：《金属腐蚀学》冶金工业出版社朱日彰 │ │395科学技术史：《科学史》广西师范大学丹皮尔2001 │ │《历史上的科学》科学出版社贝尔纳着伍况甫译1983 │ │《20世纪科学技术简史（第二版）》科学出版社李佩珊、许良英1999 │ │同等学力加试：科技文献导读无 │ │科学社会学《科学的社会功能》商务印书馆贝尔纳1982 │ │ │ │080104工程力学: 212弹性力学：《弹性力学》人民教育出版社徐 芝纶主编│ │213工程地质学：《工程地质学》地质出版社胡广韬.杨文元主编 │ │250炸药化学：《爆炸化学》国防工业出版社张熙和.云主惠主编 │
数理方程期末考试试题
2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞<
数理方程总结完整终极版
00 |()()t t u x u x t ?ψ===????=?? ?k z j y i x ?????+??+??= ?u u ?=grad 拉普拉斯算子：2222222 z y x ??+??+??=???=?2 2 22 2y u x u u ??+??=? 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波动方程的初始条
波动方程的边界条件:
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始 问题：只有初始条件，没有边界条 件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只 有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也 有边界条件的定解问题。 ?解的存在性：定解问题是 否有解； ?解的唯一性：是否只有一 解； ?解的稳定性：定解条件有 微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0 (0)()0,/,1,2,sin k k X X X X l k l k X x λλββπβ+=?? ==? ====0,1,2,0,1,2,λ0,1,2,λ
非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等…
矢量分析与数理方程总复习题
矢量分析与场论，数理方程与特殊函数总复习题 矢量和矢性函数 1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） k j i A 32++= k j i B 654++= 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积（点乘）和矢量积（叉乘） ()k t j t i t t A ++=sin cos ， ()k t j e i t t B t 2++= 3、设k t j i t A 23+-=，k j i B 22+-=，k j t i C -+=3，求() C B A ?? 4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ，()k t j e i t t B t 2++= 求 ()dt t A d 和 ()dt t B d 5、如果 ()j i e ???sin cos += ① 求 ()()? ??d e d e =1 ， ② 证明 ()?e ⊥()?1e . 6、如果 ()j i e ???cos sin 1+-= 证明 ()()?? ?e d e d -=1 7、求不定积分 ()? ??d e ， ()? ??d e 1 。 8、计算不定积分 () ? +???d e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。 方向导数和梯度 1、求 k j i l 22++= 的方向余弦 2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ，用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 () k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦 4、求函数2 2 2 z y x u ++=在() 1,0,1M 处沿k j i l 22++=的方向导数 5、求数量场 z y z x u 2 322+= 在点 () 1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数 6、求下列数量场的梯度 ① 2 2 2 z y x r ++=， ② ??? ? ? ?++=2 221 1z y x r ， ③ 223z xy z x u +-= ③ 3 2 z y x u =， ④ xz yz xy u ++=， ⑥ z y x xy z y x u 623322 2 2 --++++=.
数学物理方法期末复习笔记
《热力学统计物理》期末复习 一、简答题 1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功） 答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP； 自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV； 吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。 2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？ 答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。 3、简述平衡态统计物理的基本假设。 答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。 4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。 答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数
而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。这个热力学函数称为特性函数。简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。 5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。 答：为了形象的描述粒子的运动状态，用r r p p q q ,,,,11 ；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。粒子在某一时刻的力学运动状态()r r p p q q ,,,,11 ；可用μ空间的一个点表示。 6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。 答：第一、原子内的电子对气体的热容量为什么没有贡献；第二、双原子分子的振动在常温范围内为什么对热容量没有贡献；第三、低温下氢的热容量所得结果与实验不符。这些结果都要用量子理论才能解释。 7、写出玻耳兹曼关系，并据此给出熵函数的统计意义。 答：玻耳兹曼关系：S=k lnΩ 熵函数的统计意义：微观态数的多少反映系统有序程度的高低。微观态数增加就是有序程度的降低或是混乱程度增加，相应地熵增加；反之，微观态数减少就是有序程度的增加或混乱度减少，相应地熵减少。“熵是度量系统有序程度的量”有了明确定量意义。 8、 简述开系、闭系以及孤立系的定义。 答：热力学研究的对象是由大量微观粒子（分子或其它粒子）组成的宏观物质系统。与系统发生相互作用的其它物
数理方程期末试题B答案
北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得
以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式：
数理方程方法汇总
数理方程方法汇总 1．0=+y x bu au （1）行波法 设)(ξf u = （y kx +=ξ） 代入方程得0)()(''=+ξξbf akf 0=+b ak 故通解为)(y x a b f u +- = （2）特征线法 特征方程为0'=-b ay 特征线为C ay bx =- 故通解为)(ay bx f u -= （3）微分算子法 方程记为 0)(=+u bD aD y x 故通解为)(ay bx f u -= 2．0=++cu bu au y x 通解为 )(ξf e u mx = （)y kx +=ξ 3．0=++yy xy xx cu bu au 通解为 )()(21y x k g y x k f u +++= 4．0=+++++nu eu du cu bu au y x yy xy xx 微分算子法 0)(2 2=+++++u n eD dD cD D bD aD y x y y x x 试探函数法 5．?????=+=++===xy u xy x u u u u a u t t t zz yy xx tt 03 02 |,|)( 设3 23Bt xyt At xy x u ++++= 代入方程得 )6(623 2 2 Bt At x a Bt A ?+?+=+ 令???==?2 620xa A A ?? ?==?0 60 B B
6．?????-=+++==2 302 |6)(yz x u y u u u a u t zz yy xx t 设Bt Ayt yz x u ++-=23 代入方程得 y B A y t y x a B Ay 6)26(2+?+?+-=+ 令?? ?==?60 A A ???-==?2 )26(0 a y x B B 7．???=====x w u x w u u a u t t t xx tt 20102sin |,sin | 设x w t aw B x w t aw u 2211sin sin sin cos += 8．???=====x w u x w u u a u t t t xx tt 20102cos |,cos | 设x w t aw B x w t aw u 2211cos sin cos cos += 9．??? ??==??+??+??=θ θn aR u r r m R r u r u r u cos |01122222 设θn Ar u n cos = n m aR A -= 分离变量法 10.?? ? ??====)()0,(0),(),0(2x x u t l u t u u a u xx t φ 设解为 )()(),(t T x X t x u = 得?? ???===+=+0)()0(00' '2'l X X X X T a T λλ ??? ??? ?==x l n X l n n n ππλs i n )(2 x l n e A t x u l n a n ππsin ),(2 )(1 -∞ ∑=
数学物理方法总结归纳改
数学物理方法总结 第一章 复变函数 复数的代数式:z=x+iy 复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρ??=+和i z e ? ρ= 欧拉公式:{1sin ()21cos () 2 iz iz iz iz z e e i z e e --= -=+ 柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x y v v x y ??=????=-?? (其中f(z)=u+iv) 函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数. 解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C == (12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族. 2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即 22220u v x y ??+=?? 例题: 已知某解析函数f(z)的实部2 2 (,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数. 解答: 由于22u x ??=2;22v y ??=-2;则22220u v x y ??+=?? 曲线积分法 u x ??=2x;u y ??=-2y.根据C-R 条件有:v x ??=2y;v y ??=2x. 于是 22dv ydx xdy =+;
(,0) (,) (0,0) (,0) (,)(,) (,0) (22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy C xdy C xy C =++=++++=+=+??? ? 凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+ 不定积分法 上面已有 v x ??=2y;v y ??=2x 则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ??=+=+? . 上式对x 求导有 2'()v y x x ??=+?,而由C-R 条件可知 '()0x ?=, 从而 ()x C ?=.故 v=2xy+C. 2 2 2 ()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+ 第二章 复变函数的积分 单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段 光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有 ()0l f z dz =??. 复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则 1 ()()0i n l l i f z dz f z dz =+=∑?? 蜒.式中l 为区域外边界线,诸i l 为 区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即 1 ()()i n l l i f z dz f z dz ==∑??i i . 柯西公式 1() ()2l f z f dz i z απα = -?? n 次求导后的柯西公式 () 1!() ()2()n n l n f f z d i z ζζπζ+= -?? 第三章 幂级数展开
数学物理方法复习整理
数学物理方法 一、本课程授讲内容 第1章 典型数学物理方程及定解问题 第2章 分离变量法 第3章 积分变换法 第4章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 第5章 数学物理方程差分解法 第6章 Green 函数法 第7章 Bessel 方程与函数 二、章节重点 第一章 典型数学物理方程及定解问题 1．名词解释： (1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性； (2).Dirichlet 、Neumann 定解问题； (3)热传导Fourier 定律、Hooke 弹性定律； (4)发展方程、位势方程、Laplace 方程、Poisson 方程； 2．简述二阶线性偏微分方程分类方法。 3．推导一维波动、热传导方程。 4. 写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。 5. 书1.4习题：1，3，4，7，8，9 6. 书例1.1.1，例1.1.3，例1.1.6，例1.2.1 第二章 分离变量法 1．名词解释： (1)特征值、特征函数、Sturm-Liouville 问题； (2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率； (3)三角函数系正交性； (4)Fourier 级数； (5)矩形、园域上Laplace 问题； 2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。 3．书2.7习题：1，4，6，8，15，16（P65-67）。 4. 书例题：2.1.1、2.1.2、2.2.1。 第三章 积分变换法 1．名词解释： (1)Fourier 变换； (2)Laplace 变换； (3)Fourier 变换线性性质，位移性质，微分性质； (4)Laplace 变换线性性质，平移性质，微分性质； 2．简述积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本骤 。 3．写出Fourier 变换、Laplace 变换存在条件。 4. 用Fourier 变换法推导无限长弦振动的d ’Alembert 公式。 5. 书3.6习题：1(1)(2)，6，9(1)(2),12,13（P93-94）。 6. 书例题：3.1.1；3.1.2；3.3.1、2、3、4、6； 例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。 第四章 行波法与降维法(d ’Alembert 法) 1．名词解释： (1)无限长弦自由振动的d ’Alembert 公式； (2)行波速度； (3)特征变换，特征线； (4)球对称性，降维法； 2．简述d ’Alembert 公式的物理意义。 3．简述行波法与驻波法的区别。 4. 用行波法推导无限长弦的d ’Alembert 公式。 5. 书4.3习题：3，4。 6. 书例题：4.1.1；4.1.2。 第五章 数学物理方程差分解法 1．名词解释： (1)二元函数的二阶中央差商； (2)逼近误差； (3)差分方程； (4)球对称性，降维法； 2．简述用数值差分法求解偏微分方程的基本原理。 3．简述有限差分法求解应用问题的一般步骤。 4. 课件例题及习题。 第六章 Green 函数法 1．名词解释： (1)Dirichlet 定解问题； (2)Neumann 定解问题； (3)二维三维Laplace 方程基本解； 2．简述调和函数基本性质一及其物理意义。 3．简述调和函数平均值定理及其物理意义。 4. 简述Green 函数的物理意义。 5. 求解Laplace 方程在半空间x > 0 内的Dirichlet 问题。 6. 求解Laplace 方程在半空间y > 0 内的Dirichlet 问题。 7. 书5.6习题：6，7。 第七章 Bessel 方程与函数 1.名词解释： (1)Helmholts 方程； (2)Bessel 方程； (3)Bessel 函数； (4)Bessel 函数正交性； 2.简述整数阶Bessel 函数J0(x)和J1(x)的重要意义，并描绘其简图。 3.简述Bessel 函数零点的概念和特征。 4.设有半径为R 的薄圆盘，上下两面绝热，圆盘边界上温度始终保持为0，且初始温度已知，写出圆 盘内温度分布的定解问题。 5.书 6.5习题：6，7，8(1)。 6.书例题：6.2.1；6.2.2。
数理方程复习概要
数理方程复习概要 许志奋 1 绪论：重点掌握两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简。 练习：化下列方程为标准型： （提示：1，双曲型不要写成双曲线；2，12a 的系数；3，双曲，椭圆，抛物型各如何作自变量变换） （1）037422222=??+???-??y u y x u x u （2） 022222 2 2=??+???+??y u y x u a x u a （a 为常数） （3） 022222=??+???+??y u y x u x u 2 波动方程的初值问题与行波法：重点掌握以下几个方面的问题 （1）能够推导并熟记一维波动方程的初值问题 ∞ <<∞-==>∞<<∞-=x x x u x x u t x u a u t xx tt )()0,(),()0,(0 ,{ 2ψ? 解的D ’Alembert 公式：u(x,t)=[]?+-+-++at x at x d a at x at x ξξψ??)(21)()(21， 练习：55P 1.(1) （2）能够运用齐次化原理求解如下初值问题 ∞ <<∞-==>∞<<∞-+=x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt )()0,(),()0,(0 ,),({ 2ψ? 其解的表达式为： u(x,t)= []???-+--+-++-++t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x 0)()(),(21)(21)()(21 τττξτξξξψ?? 练习：55P . 4 其次，对于半无界弦的振动问题，要能够根据所给的定解条件，对自由项f(x,t) 以及初始数据φ(x), ψ(x)作适当的奇延拓( u (0,t)=0 )或偶延拓(0),0(=t u x )，从而推出其解的表达式。具体见教材4342P P -页。 练习：（i ） ?? ? ??=∞<<==>∞<<+=0),0(0cos )0,(,sin )0,(0,02t u x x x u x x u t x xt u a u t xx tt
2008年12月南京信息工程大学数理方程期终考试试卷A(1)
南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题（共60分） 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性”） 非齐次 （“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）； 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-（,f g 是任意二阶连续可微函数） ；（3分） 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π（3分） 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解，则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑；（3分） 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-，特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=，可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=（其中,λμ待定）；（5分） 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?；定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于
2015北科大数理方程总复习
1已知)(z f ),(y x u =),(y x iv +，写出柯西—黎曼条件表达式 2计算)1(i Ln w += 3计算积分dz z I n )(α-= ? ，回路 包围点α （n 为整数） 42 3)(2--=z z z z f ，以0=z 为展开中心（a ）在环域21<
数理方程第二版课后复习题答案
第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而
上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的
结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与 共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。