图论基础知识点

基本知识点：

一、图的基本定义：

平凡图：只有一个顶点无边的图。 非平凡图：其他所有图。

空图：边集合为空的图。

简单图：既没有环也没有重边的图。 复合图：其他所有的图。

同构图：顶点集合之间存在双射（一一对应关系），对应边重数和端点对应相等。

标定图：给图的点和边标上符号。非标定图：不标号。非标定图代表一类相互

同构的图。

完全图：每两个不同顶点之间都有一条边相连的简单图。N 个顶点的完全图只有一个，记为n K 。

偶图（二部图）：具有二分类(,)X Y 的图，他的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

完全偶图 ：指具有二分类(,)X Y 的简单偶图，其中X 的每个顶点与Y 的每个顶点相连。若,X m Y n ==，则这样额完全偶图记为：,m n K 。

k —正则图：设(,)G V E =为简单图，如果对所有的结点v V ∈，有()d v k =，称G 为k —正则图。 完全图和完全偶图,n n K 均是正则图。

图划分：若一个n 阶简单图G 各点的度为i d ，则分正整数k 为n 个部分的划分i d ∑称为是图划分。

子图：边集合和点集合均是原图的子集，且待判定图中的边的重数不超过原图中对应的边的重数。

生成子图：点集合相等，边集合为原图子集的图。

导出子图：由顶点集为原图G 真子集的所有点，及两端点均在该集合中的边的全体组成的

子图V ‘。

'[]G V 和G v -。

边导出子图：由原图G 边的真子集，该图中边的断点全体为顶点组成的子图E ‘。

'

[]G E 和{}G e -。 图的运算：

并，交，差，对称差，联图，积图，合成图，极图

路与图的联通性：

途径：

迹：边互不相同的途径。

路：边和点都互不相同的途径。

连通的：两个顶点之间存在路。

连通图：每一对顶点之间都有一条路。

连通分支：将V 划分为一些等价类12,,...k V V V 。两个顶点u 和v 是连通的当且仅当他们属于

同一个子集i V ，称子图()i G V 为连通分支。

闭的：一条途径如果有正的长，且起点和终点相同。 回路：闭途径。 圈：起点和内部顶点互不相同的闭迹。k 圈、奇圈、偶圈

直径：联结u 和v 中长度最短的途径的长度称为u 与v 的距离。记为(,)d u v 。()m ax{(,)|,}d G d u v u v V =∈为图G 的直径。

赋权图：对图的每条边e 赋以一个实数()e ω称为权。G 连同它边上的权称为赋权图。

邻接矩阵：表示点与点之间的关系。n n ? n 为点数，m 为边数。

关联矩阵：表示点与边之间的关系。n m ?

1.连通无圈图。

2.任意两顶点之间有且仅有一条路相连。

3.G 是连通的，且1m n =-。

4.G 中无圈，且1m n =-。

5.G 中无圈，任意两顶点之间增加一条边就得到唯一的一个圈。 非平凡无向图G 是树的充要条件是G 非平凡无向图G 是树的充

要条件是当且仅当他的每条边均为割边。