基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,
其中n >1,且n ∈N *
.
◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a
n
n
=,
当n 是偶数时,?
?
?<≥-==)0()0(||a a a a
a a n n
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
)1,,,0(*
>∈>=
n N n m a a a n
m n
m
,
)1,,,0(1
1
*
>∈>=
=-
n N n m a a
a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
(1)r a 〃s
r r a
a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs
s
r
a a =)( ),,0(R s r a ∈>;
(3)
s
r
r
a
a a
b =)(
),,0(R s r a ∈>.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数
1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a
log =(a — 底数,N — 真
数,N a
log
— 对数式)
说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○
2 x N N a a
x
=?=log ; ○
3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:
○
1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○
2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln .
指数式与对数式的互化
幂值 真数
指数 对数 (二)对数的运算性质
如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○
1 M a (log 〃=)N M a log +N a log ; ○
2 =N M
a
log M a
log
-N a
log
;
○
3 n
a
M
log n =M a
log )(R n ∈.
注意:换底公式
a b
b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).
利用换底公式推导下面的结论
(1)b m
n b a
n
a
m
log
log
=
;
(2)a
b b
a
log
1log =
.
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数0(log
>=a x y a
,且)1≠a 叫做对数
函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5
log
5
x
y
= 都不是对数函数,而只能
称其为对数型函数.
○
2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a .
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如α
x y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;
(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
最新基本初等函数经典总结
第十二讲 基本初等函数 一:教学目标 1、掌握基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)的基本性质; 2、理解基本初等函数的性质; 3、掌握基本初等函数的应用,特别是指数函数与对数函数 二:教学重难点 教学重点:基本初等函数基本性质的理解及应用; 教学难点:基本初等函数基本性质的应用 三:知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)()s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4)m n m n a a =; (5)m n n m a a -= (6),||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数:形如(01)x y a a a =>≠且 2.1)对数的运算: 1、互化:N b N a a b log =?= 2、恒等:N a N a =log 3、换底: a b b c c a log log log = 指数函数 01 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增
推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2)对数函数: 3.幂函数 一般地,形如 a y x =(a R ∈)的函数叫做幂函数,其中 a 是常数 1)性质: (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 01 图 象 表达式 log a y x = 定义域 (0,)+∞ 值 域 R 过定点 (1,0) 单调性 单调递减 单调递增
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一.函数概念的理解以及函数的三要素 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则(函数关系式)也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ; 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ; 满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [,)a b ,(,]a b ; 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b < . (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① 分式的分母不为0; ② 偶次根式下被开方数大于0; ③ 0y x = ,则有0x ≠ ; ④ 对数函数的真数大于0,底数大于0切不等于1 注意:①解析式为整式的函数定义域为R ; ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集; ③对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出. f g x的定义域应由不等式() a b,其复合函数[()] (4)求函数的值域或最值 常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=,则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时,由于,x y为实数,故必须有 2()4()()0 ?=-?≥,从而确定函数的值域或最值. b y a y c y ④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. (5)函数解析式 ①换元法;(用于求复合函数的解析式) ②配凑法;(用于求复合函数的解析式)
(完整)高一必修一基本初等函数知识点总结归纳,推荐文档
n a n a n ? (1)根式的概念 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. ②当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 . ?a (a ≥ 0) ③根式的性质: ( n a )n = a ;当 n 为奇数时, = a ;当 n 为偶数时, =| a |= ?-a . (a < 0) (2) 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是: a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0. a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是: n n = n m + 且 .0 的负分数指数幂没有意 a a 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) (4) 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 图象过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0) y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴. 例:比较 n a n n a m
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是注意:B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
高考函数知识点总结
高中函数大全 一元二次函数 定义域区间 定 义 对应法则一元二次不等式 值域 指 根式分数指数 映射数 函 数指数函数的图像和性质 指数方程 对数方程 函 数 性 质奇偶性 单调性 对数的性质 积、商、幂与周期性 根的对数 对数 反函数互为反函数的 函数图像关系 对 数 对数恒等式 和不等式 函 数常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质 函数概念 (一)知识梳理 1.映射的概念 设 A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的 元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射,通常记为f:A B,f表示对应法则 注意:⑴A中元素必须都有象且唯一;⑵B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一 确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数,通常记为y f(x),x A (2)函数的定义域、值域 在函数y f(x),x A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做y f(x)的定义域;与x的值相对应的y值
叫做函数值,函数值的集合 f(x)x A称为函数y f(x)的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (二)考点分析 考点1:映射的概念 例1.(1)A R,B{y|y0},f:x y|x|; (2)* A{x|x2,x N},B y|y0,y N, 2 f:x y x2x2; (3)A{x|x0},B{y|y R},f:x y x. 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A{1,2,3,4},B{a,b,c},a,b,c R,则A到B的映射有个,B到A的映射有个,A到B 的函数有个 例3.设集合M{1,0,1},N{2,1,0,1,2},如果从M到N的映射f满足条件:对M中的每个元素x与 它在 N中的象f(x)的和都为奇数,则映射f的个数是() (A)8个(B)12个(C)16个(D)18个 考点2:判断两函数是否为同一个函数 例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) 2 f(x)x, 3 3 g(x)x; (2) x f(x), x g(x) 1 1 x x 0, 0; (3)212 1 n x n f(x), 2n x) 12n1 *);g(x)((n∈N 2 (4)f(x)x x1,g(x)x x; 2x2t (5)()2 1 f x x,g(t)t2 1 考点3:求函数解析式
基本初等函数I知识点总结
第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a ,b]上, )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = b