利用数轴巧解题
利用数轴巧解题
数轴是初中数学中的一个重要内容，因此有关数轴问题在数学竞赛中频繁出现。下面试举几例说明。
【例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，若
，则1000m=___________。
解由数轴上可得：
，
，
∴，
【例2】a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则（）
A. B.
C. D.
解此题的特点是：图中没有标出原点，故a、b、c的正负不能确定，只能得到。
∴，
则，
所以，排除A
又，
所以，排除C。
又。
所以，排除D。
故选B。
以上两例是与数轴直接有关的问题，以下两例看似与数轴无关，但若利用数轴，则能得到简捷的解答。
【例3】求的最小值是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析画如图所示的数轴，P（x）为数轴上任一点，则的值即等于PA+PB+PC的长，易知P 与B重合时，PA+PB+PC的值最小，最小值为2。
【例4】如果，那么代数式，在上的最小值是（）
A. 30
B. 0
C. 15
D. 一个与P有关的代数式
解如图，代数式表示数轴上点x到点P，到点15，到点p+15的距离之和，由数轴上可以看出，当x=15时有最小值，其和即为点P到p+15的距离，为15，故选C。
练习
1. a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则（）
A. B.
C. D.
2. 有理数a、b、c在数轴上的表示如图所示，则在中（）
A.最小
B.最大
C.最大
D.最大
3. 对于全体实数x，使恒成立，则m的最大值为____________。附答案：1. C 2. D 3. 18
中考数学必备：利用数轴巧解题
中考数学必备：利用数轴巧解题数轴是初中数学中的一个重要内容，因此有关数轴问题在数学竞赛中频繁出现。下面试举几例说明。 【例1】有理数a、b、c在数轴上的位置如图1所示，若 ，则1000m=___________。 解由数轴上可得： 【例2】a、b、c三个有理数在数轴上的位置如图所示，则（）A. B. C. D. 解此题的特点是：图中没有标出原点，故a、b、c的正负不能确定，只能得到。 则， 所以，排除A 又， 所以，排除C。 又。 所以，排除D。 故选B。 以上两例是与数轴直接有关的问题，以下两例看似与数轴无关，但若利用数轴，则能得到简捷的解答。 【例3】求的最小值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析画如图所示的数轴，P（x）为数轴上任一点，则的值即等于PA+PB+PC的长，易知P与B重合时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为2。 【例4】如果，那么代数式，在上的最小值是（） A. 30 B. 0 C. 15 D. 一个与P有关的代数式 解如图，代数式表示数轴上点x到点P，到点15，到点p+15的距离之和，由数轴上可以看出，当x=15时有最小值，其和即为点P到p+15的距离，为15，故选C。 练习 1. a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则（） A. B. C. D. 2. 有理数a、b、c在数轴上的表示如图所示，则在中（） A. 最小 B. 最大 C. 最大 D. 最大 3. 对于全体实数x，使恒成立，则m的最大值为 ____________。 附答案：1. C 2. D 3. 18 编辑推荐： 2019年中考生心理调节必备五大妙方 中考生早餐吃得要像皇帝一样 决战中考：数学必做压轴综合题（20道）
(完整版)《数轴》例题讲解+基础、提高练习
《数轴》例题讲解 为了学好有理数的概念，使思维适应数集的扩充，我们把现实生活中大量的有关模型，如直尺、杠杆、温度计、仪表上的刻度，所具有的本质属性抽象化，建立起数轴模型．数轴的建立，赋予了抽象的代数概念以直观表象． 数学一开始就是研究“数”和“形”的，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来． 数与形有着密切的联系，我们常用代数的方法研究图形问题；另一方面，也利用图形来处理代数问题，这种数与形相互作用，是一种重要的数学思想——数形结合思想． 利用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段，数轴是联系数与形的桥梁，主要体现在： 1．运用数轴直观地表示有理数； 2．运用数轴形象地解释相反数； 3．运用数轴准确地比较有理数的大小； 4．运用数轴恰当地解决与绝对值有关联的问题． 例题讲解 【例1】(1)数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是2-，且A 、B 两点的距离为3，那么点B 对应的数是 ． (江苏省竞赛题) (2)在数轴上，点A 、B 分别表示31-和51，则线段AB 的中点所表示的数是 ． (江苏省竞赛题) （3）点A 、B 分别是数3-，2 1-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到B A ''，且线段B A ''的中点对应的数是3，则点A '对应的数是___，点A 移动的距离是____． (“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)确定B 点的位置；(2)在数轴上选择两个特殊点，探索它们的中点所表示的数与所选两点所表示的数的联系；（3）在平移的过程中，线段AB 的长度不变，即B A AB ''=． 【例2】 如图，在数轴上有六个点，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是________． 思路点拨 利用数轴提供的信息，求出AF 的长度． 【例3】比较a 与a 1的大小． 思路点拨 因为a 表示的数有任意性，直接比较常会发生遗漏的现象，若把各个范围在数轴上表示出来，借助数轴讨论它们的大小，则形象直观，解题的关键是由a a a 11、= 无意义得出011，，-=a ，据此3个数把数轴分为6个部分． 【例4】阅读下面材料并回答问题． (1)阅读下面材料： 点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ． 当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图1，b a b OB AB -=== 当A 、B 两点都不在原点时， ①如图2，点A 、B 都在原点的右边b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；
七年级数学上册利用数轴解题培优训练
七年级数学上册利用数轴解题培优训练 一、阅读与思考 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小； 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈 1、利用数轴能形象地表示有理数； 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤ 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。 3、利用数轴比较有理数的大小； 例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接） 拓广训练： 1、 若0,0> 巧用数轴解题 数轴是沟通数与形，研究数学问题的一个重要工具．巧用数轴解题，直观、简明，常能化繁为简，化难为易．下面举例说明． 一、求值或化简 例1 已知a＜0，b＞0，且｜a｜＜｜b｜，求｜a＋b｜＋｜a－b｜的值． 解根据已知条件作出数轴，如图1． ∴｜a＋b｜＋｜a－b｜＝a＋b－(a－b)＝2b． 例2 已知b＜a＜0，c＞0，｜a｜＜｜c｜＜｜b｜． 解根据已知条件作出数轴，如图2可知a＋b＜0，c－a＞0，b＋c＜0． ∴原式＝｜a｜－｜a＋b｜＋｜c－a｜＋｜b＋c｜ ＝－a＋(a＋b)＋(c－a)－(b＋c) ＝－a． 二、比较大小 例3 比较实数x2与x的大小． 分析当x＝0或1时，有x2＝x，于是作数轴，借数轴分区间讨论． 解作数轴，如图3． 当x＜0时，x2＞0，故x2＞x． 当x＝0时，x2＝0，故x2＝x． 当0＜x＜1时，x·x＜x·1，故x2＜x． 当x＝1时，x2＝1，故x2＝x． 当x＞1时，x·x＞x·1，故x2＞x． 三、求未知数的取值范围 例4 已知｜x－1｜＋｜x－5｜＝4，则x的取值范围是[ ]． A．1≤x≤5 B．x≤1 C．1＜x＜5 D．x≥5 解作数轴，如图4．由图可知1≤x≤5，故选(A)． 四、解方程 例5 解方程｜x－1｜＋｜x－3｜＝4． 解作数轴，如图5，方程表示动点x到两定点A(1)，B(3)的距离之和等于4，由图5可知，只有点x1(0)，x2(4)才满足方程，所以方程的解为x1＝0，x2＝4． 例6 解方程｜x＋2｜－｜x－4｜＝4． 解作数轴，如图6． 方程表示动点x到定点A(－2)的距离与到定点B(4)的距离之差为4，由图6可知，只有x(3)才满足方程，所以方程的解为x＝3． 五、解不等式 例7 解不等式｜y－7｜－｜y＋3｜＞8． 解作数轴，如图7．不等式可视为数轴上的点y到7与到－3的距离之差要大于8．由 用数轴,“巧”解题 摘要：初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，很好地揭示了数与形之间的内在联系。对于某些数学问题，利用数轴去求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快。 关键词：数轴；作用；求解 初中阶段，我们学习了数学中重要的一个概念：数轴。数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，它对学生理解有理数的概念、比较有理数大小及有理数运算起到重要作用。同时数轴又是非常重要的数学工具，通过数轴，它将数与形结合在一起，揭示了数与形之间的内在联系。 一、数轴有四个方面的作用 1.数轴能反映出数形之间的对应关系 所有的有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示出来，而数轴上表示有理数的点亦可读出其所表示的一个有理数。就是说，有理数与数轴上表示有理数的点之间存在着一一对应关系。 2.数轴能反映出数的性质 数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有理数的性质可通过数轴表示出来。原点表示的有理数――零，是个“中性”数；有理数的性质符号决定了这个有理数的点与原点的相对位置：当规定向右的方向为数轴的正方向时，表示正有理数的点都在原点的右侧，表示负有理数的点都在原点的左侧。 3.数轴能解释数的某些概念 （1）相反数：将一对相反数表示在数轴上，表示这对相反数的点是一对关于原点对称的点。也就是说，表示一对相反数的两个点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。 （2）绝对值：用数轴可以形象地解释绝对值的概念，一个数的绝对值，就等于表示这个数的点离开原点的距离。 （3）近似数：近似数是与实际接近的数，用数轴可表示出某一近似数的精确度。如，近似数3的精确度可在数轴上表示，即3是一个大于或等于2.5且又小于3.5的近似数。 4.数轴可使有理数比较大小形象化 两个有理数比较大小，可以借助数轴这个工具进行。在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。 二、对于某些数学题，若利用数轴求解，不仅能够化难为易、化繁为简，而且解法直观、明快 巧用数轴解决问题: 例1、如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C到点A．点B的距离相等，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t大于0）秒． （1）点C表示的数是． （2）求当t等于多少秒时，点P到达点A处？ （3）点P表示的数是（用含字母t的式子表示） （4）求当t等于多少秒时，P、C之间的距离为2个单位长度． 练习： 1、如图，数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒. (l)点B表示的数为______，点P表示的数为_______(用含t的式子表示)； (2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P,H同时出发，问点P运动多少秒时追上点H? 2、（本题12分）数轴上两个点A、B所对应的数为－8、2，若M、N两点分别从A、B两点同时出发，各自以一定速度在数轴上运动，且M点的运动速度为2个单位/秒。 （1）求A、B两点间的距离。 （2）若M、N两点均向数轴正方向运动，当N点运动到6时，M点恰好到达原点，求N点的运动速度。 （3）若M 、N 两点以(1)中的速度运动，在某点相遇，求相遇点到原点的距离 例2、已知数轴上两点A，B 对应的数分别为-2,4，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x， (1)若点P 到点A．点B 的距离相等，求点P 对应的数； (2)若点P 在线段AB 上，且将线段AB 分成1：3的两部分，求点P 对应的数； (3)数轴上是否存在点P，使点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为1：2?若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由。 练习： 1、在数轴上依次有A,B,C 三点，其中点A,C 表示的数分别为-2,5，且BC=6AB． （1）在数轴上表示出A,B,C 三点； （2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C 三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是2,1,1（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度？（3）在数轴上是否存在点P，使P 到A、B、C 的距离和等于10？若存在，求点P 对应的数；若不存在，请说明理由. 巧用数轴解化学计算题 某些化学反应，由于反应的条件（如温度）或反应物之间配比的不同，导致产物也不相同。 这类反应的有关计算或讨论比较复杂，若能巧妙地运用数轴求解，则能化难为易。 运用数轴解题的步骤是：（1）写出所有可能发生的化学反应方程式；（2）用数轴表示反应 物间质量或物质的量的比例，并在数轴上标出上述各反应恰好发生的点；（3）依点划分的 区间范围，进行讨论或求解。 例1 将a mol H2S和1 mol O2置于一个容积可变的容器内进行反应，若a的取值不同，则 H2S的氧化产物有几种情况？ 解析 H2S与O2的燃烧反应分为是不完全燃烧、完全燃烧、部分完全燃烧和部分不完全燃烧 3种情况。对a的取值范围就应从这3种情况入手。 2H2S+O2==2S+H2O n(H2S)/ n(O2) ==2 恰好完全反应生成S ① 2H2S+3O2==2SO2+H2O n(H2S)/ n(O2) =2/3 恰好完全反应生成SO2 ② 解此题时首先找到H2S与O2恰好完全反应的量的关系，再在数轴上画出 完全发生反应① 完全发生反应② . 氧化产物：SO2 SO2 S、 SO2 S S 从数轴上可以清楚地看出H2S与O2量的不同产物的各种可能： （1）当a≥2 时，只发生反应①，氧化产物为S ； （2）当a≤2/3时，只发生反应②，氧化产物为SO2 ； （3）当2/3巧用数轴解题1
用数轴,“巧”解题
巧用数轴解决问题
巧用数轴解化学计算题