中考数学压轴题解题技巧解说.docx

中考数学压轴题解题技巧解说

数学 是初中数学中覆盖知 面最广， 合性最 的 型。 合近年来各地中考的 情况，

多以函数和几何 合 的形式出 。 考 知 点多，条件也相当 蔽， 就要求学生有 的 理解 、分析 、解决 的能力， 数学知 、数学方法有 的 能力，并有 的 新意 和 新能力，当然， 必 具有 大的心理素 。下面 中考数学 的解 技巧。

如 ，在平面直角坐 系中，

已知矩形 ABCD 的三个 点 B （4，0）、C （ 8，0）、D （ 8，8）. 抛物 y=ax 2+bx

A 、C 两点 .

(1) 直接写出点 A 的坐 ，并求出抛物 的解析式；

(2) 点 P 从点 A 出 ．沿 段 AB 向 点 B 运 ，同 点 Q 从点 C 出 ，沿 段 CD 向 点 D 运 ．速度均 每秒 1 个 位 度，运

t 秒 . 点 P 作 PE ⊥ AB 交

AC 于点 E.

① 点 E 作 EF ⊥ AD 于点 F ，交抛物 于点 G.当 t 何 ， 段 EG 最 ?

② 接 EQ ．在点 P 、 Q 运 的 程中，判断有几个 刻使得△

CEQ 是等腰三角形 ? 直接写出相 的

t

.

解： (1) 点 A 的坐 （ 4， 8）

??????? 1 分

将A (4 ，8) 、 C （ 8， 0）两点坐 分 代入

y=ax 2 +bx

8=16a+4b

得

0=64a+8b

解 得 a=- 1

,b=4

2

∴抛物 的解析式 ：

2 ???????

3 分

y=- 1

x +4x

2

（ 2）①在 Rt △APE 和 Rt △ ABC 中， tan ∠ PAE=

PE =

BC

, 即

PE = 4

AP AB

AP 8

1 1

∴PE= AP=

t ． PB=8-t ．

2

2

∴点Ｅ的坐 （ 4+ 1

t ，8-t ） .

2

∴点 G 的 坐 ： -

1

（ 4+ 1

t ）2

+4(4+

1

t ） =-

1

t 2+8. ??????? 5 分

2

2

2

8

2

2

+t.

∴ EG=-1

t +8-(8-t) =-

1 t

8

8

∵- 1

＜ 0，∴当 t=4 ， 段 EG 最 2.

??????? 7 分

8

②共有三个 刻 . ??????? 8 分

t1640， t85．??????? 11 分

=， t ==

123

31325

压轴题的做题技巧如下：

1、自身数学学状况做一个完整的全面的，根据自己的情况考的候重心定位准确，防止

“ 芝麻西瓜” 。所以，在心中一定要或几个“ 点”一个上的限制，如果超你置的

上限，必要停止，回真前面的，尽量要保、填空万无一失，前面的解答尽可能的

一遍。

2、解数学做一是一。第一大多数同学来，不是；如果第一小不会解，切

忌不可易放弃第二小。程会多少写多少，因数学解答是按步分的，写上去的西必要

范，字迹要工整，布局要合理；程会写多少写多少，但是不要，算中尽量回避非必求成分；尽

量多用几何知，少用代数算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性。

3、解数学一般可以分三个步：真，理解意、探究解思路、正确解答。要

全面目的所有条件和答要求，在整体上把握的特点、构，以利于解方法的和解步

的。解数学要善于解数学中所含的重要数学思想，如化思想、数形合思想、分思想及方程的思想等。条件和之的关系、形的几何特征与数、式的数量、构特征

的关系，确定解的思路和方法．当思受阻，要及整思路和方法，并重新意，注意挖掘

蔽的条件和内在系，既要防止牛角尖，又要防止易放弃。

注意

1、点肯定是形，形是中考重点，分在100分以上（分150. 包括和概率）

2、大部分都是几何形和代数函数形相合，在点的运中存在一些特殊情况下的、面

、关系、面和的关系等。特殊情况是指点在化程中引起形化生的化，如由三

角形成四形，由四形成五形，一定要注意分

3、知的：熟掌握所有相关形的性。a、三角形（等腰、直角三角形）b、平行四形（矩形、菱形、正方形）c、d、函数（一次函数，正比例函数，反比例函数，二次函数）

4、坐系中的四大金：① 两个一次函数平行，K 相等；②两个一次函数互相垂直，K 互倒数。

③任意两点的中点坐公式；④任意两点距离公式。函数形与x， y 坐的交点的角也常

常用到，所以要小心; 有些特殊点会形成特殊角，一点也要特注意。

5、做思路，有三种。1、把几何形放到坐系中看看数据的化。2、把坐系中的形提出坐系

看看形的化。3、把形最理解的部分提出来重点分析（即去掉无用的形段）。

压轴题解题技巧题型分类解说

一、对称翻折平移旋转

1．（南宁）如图 12，把抛物线y x2（虚线部分）向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到抛物线l1，抛物线 l2与抛物线 l1关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、 l2与 x 轴的交点，D、C 分别是抛物线l1、l2的顶点，线段 CD 交 y 轴于点 E .

（ 1）分别写出抛物线l1与 l2的解析式；

（ 2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q 点是P点关于y轴的对称点，试判断以P 、Q 、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.

（ 3）在抛物线l1上是否存在点M ，使得

S

ABM

S

四边形 AOED

，如果存在，求出M 点的坐标，

如果不存在，请说明理由 .

y C1y C1y CE D M N

B A A B A B Q

O x O x O EF

x

P C2C3P

C4

l2l1

图

图2（ 2）

2（ 1）12

2．（福建宁德）如图，已知抛物线C：y a x 225的顶点为 P，与x轴相交于 A、B 两点（点 A 在点

1

B的左边），点 B 的横坐标是1．

（ 1）求点坐标及

a 的值；（ 4分）

P

（ 2）如图（ 1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）

（ 3）如图（ 2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线 C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三

角形时，求点Q的坐标．（5分）

二、动态：动点、动线

3． ( 辽宁锦州 ) 如图，抛物线与x 轴交于 A( x1，0)、 B( x2，0)两点，且 x1＞ x2，与 y 轴交于点 C(0，4)，其中 x1、 x2是方程 x2－2x－8＝0的两个根．y

(1)求这条抛物线的解析式；

(2) 点

P 是线段上的动点，过点

P

作

C AB

PE∥ AC，交 BC于点 E，连接 CP，当△ CPE

的面积最大时，求点P的坐标；E

(3) 探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，

是否存在这样的点Q，使△ QBC成为等腰三B A

角形？若存在，请直接写出所有符合条件的OP x 点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（山东青岛） 已知：如图①，在 Rt △ ACB 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 4cm ， BC ＝ 3cm ，点 P 由 B 出发沿 BA 方向

向点 A 匀速运动，速度为

1cm/s ；点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为

2cm/s ；连接 PQ ．若设

运动的时间为 t （ s ）（ 0＜ t ＜2），解答下列问题：

（ 1）当 t 为何值时， PQ ∥ BC ？

（ 2）设△ AQP 的面积为 y （ cm 2 ），求 y 与 t 之间的函数关系式；

（ 3）是否存在某一时刻 t ，使线段 PQ 恰好把 Rt △ ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此

时 t 的值；

若不存在，说明理由；

（ 4）如图②，连接 PC ，并把△ PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP ′ C ，那么是否存在某一时刻 t ，使四边形 PQP ′ C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

B

B

P

D C

P

A

Q C

A

Q

C

P

图

图

A Q B

P

5．（吉林省）如图所示，菱形的边长为 6 厘米，∠＝ 60°．从初始时刻开始，点、同时从

A 点

ABCD B P Q

出发，点 P以1厘米/秒的速度沿A→C→ B 的方向运动，点 Q以2厘米/秒的速度沿 A→ B→ C→D 的方向运

动，当点 Q运动到 D点时， P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为 x 秒时，△ APQ与△ ABC重叠部

．．．

分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为0 的三角形），解答下列问题：

．

（ 1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（ 2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当

△APQ是等边三角形时 x 的值是__________秒；（ 3）求y与x之间的函数关系式．

6． ( 浙江嘉兴 ) 如图，已知A、 B 是线段 MN上的两点， MN 4 ， MA 1， MB 1．以 A 为中心顺时针旋转点 M，以 B 为中心逆时针旋转点 N，使 M、 N两点重合成一点 C，构成△ ABC，设 AB x ．

（ 1）求x的取值范围；

（ 2）若△为直角三角形，求

x 的值；

C

ABC

（ 3）探究：△ABC的最大面积？

M A B N

（第 24 题）

三、圆

7．（青海）如图10，已知点A（3， 0），以 A 为圆心作⊙A 与 Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为

过 B 作⊙A的切线 l.

B，

（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C（ 0， 9），求此抛物线的解析式；

（2）抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，过 D 作⊙A的切线 DE， E 为切点，求此切线长；

（ 3）点 F 是切线 DE上的一个动点，当△ BFD 与 EAD△相似时，求出BF 的长．

y y

A B

E O x AC B

x

C

C

G D D

图 1图 2

8．( 天水 ) 如图 1，在平面直角坐标系，二次函数

y ＝

ax2

＋

bx

＋ ( ＞ 0) 的图象顶点为，与

y

轴交于点

xOy c a D

1

C，与 x 轴交于点 A、 B，点 A 在原点的左侧，点 B 的坐标为(3，0)， OB＝ OC，tan∠ ACO＝3．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于点 M、N，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆的半径长度；

(3) 如图 2，若点(2 ，) 是该抛物线上一点，点

P 是直线下方的抛物线上的一动点，当点

P

运动

Gy AG

到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△ AGP的最大面积．

9．（湖南张家界）在平面直角坐标系中，已知(4，0) ， (1 ，0) ，且以为直径的圆交

y 轴的正半轴

A －

B AB

于点 C，过点 C作圆的切线交x 轴于点 D．

（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）求点D的坐标；

（ 3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

y

C

A B D

－ 4O1x

10．（潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为 1 的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别

交于 A、B、C、D 四点．抛物线y ax 2bx c 与y轴交于点 D ，与直线y x 交于点 M 、 N ，且MA、NC 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长．

（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由． y

D N

E

A O C x

F

M

B

四、比例比值取值范围

11．（怀化）图 9 是二次函数y

(x m 2k

的图象，其顶点坐标为 M(1,-4).

)

（ 1）求出图象与x轴的交点 A,B 的坐标；

（ 2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S PAB 5

S MAB,若存在，求出P点的坐标；若不存在，请4

说明理由；

（ 3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y x b (b 1) 与此图象有两个公共点时， b 的取值范围.

图9图1

12．( 湖南长沙 ) 如图，在平面直角坐标系中， 矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA 8 2 cm ，OC=8cm ，

现有两动点 P 、 Q 分别从 O 、 C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动， Q 在线段 上沿 方向以每秒 1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为 t 秒．

CO CO

（ 1）用 t 的式子表示△ OPQ 的面积 S ；

（ 2）求证：四边形 OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值； （ 3）当△ OPQ 与△ PAB 和△ QPB 相似时，抛物线

y

1 x 2

bx c 经过 B 、P 两点，过线段 BP 上一动点 M

4

作 y 轴的平行线交抛物线于 N ，当线段 MN 的长取最大值时， 求直线 MN 把四边形 OPBQ 分成两部分的面积之比．

y C

B

Q

O

P A x

第 26题图

13．（成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2bx c 与 x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为( 3，0)，若将经过A、 C 两点的直线y kx b沿 y 轴向下平移3

个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线x 2 ．

（ 1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；

（ 2）如果P是线段AC上一点，设ABP、BPC的面积分别为S ABP、S BPC，且S ABP: S BPC2:3，求点 P 的坐标；

（ 3）设e Q的半径为 l ，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在 e Q 与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当 r 取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？

五、探究型

14．（内江）如图，抛物线y mx22mx 3m m0 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点 .

（ 1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A、B两点的坐标；

（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明

y

理由 .

B o D

A

x E

C

26题图

15．（重庆潼南）如图 , 已知抛物线y 1 x2bx c 与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标

2

为（ 2， 0），点 C 的坐标为（ 0， -1 ） .

（ 1）求抛物线的解析式；

（ 2）点 E 是线段 AC上一动点，过点 E 作 DE⊥ x 轴于点 D，连结 DC，当△ DCE的面积最大时，求点 D 的坐标；

（ 3）在直线 BC上是否存在一点P，使△ ACP为等腰三角形，若存在，求点 P 的坐标，若不存在，说明理由 .

16．（福建龙岩） 如图，抛物线 y ax 2

5ax 4 经过 △ ABC 的三个顶点，已知

BC ∥ x 轴，点 A 在 x 轴

上，点 C 在 y 轴上，且 AC

BC ．

（ 1）求抛物线的对称轴；

（ 2）写出 A ，B ，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（ 3）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点， 是否存在 △ PAB 是等腰三角形． 若存在，

求出所有符合条件的点

P 坐标；不存在，请说明理由．

y

y

Q

H C

B

A O

B

x

1

P

A

C

1

x

17．（广西钦州）如图，已知抛物线

y ＝

3

x2

＋

bx

＋

c

与坐标轴交于、、三点，

A

点的坐标为（－

4 A B C

1， 0），过点C的直线y＝3

x－3与 x 轴交于点 Q，点 P是线段 BC上的一个动点，过

P 作 PH⊥ OB

于

4t

点 H．若 PB＝5t ，且0＜t ＜1．

（1）填空：点C的坐标是 _▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由．

18．（重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系

xO y 中，矩形的边在

y

轴的正半轴上，在

x

轴OABC OA OC

的正半轴上，＝ 2，＝ 3．过原点

O 作∠的平分线交于点，连接，过点

D

作⊥，交

OA

OA OC AOC AB D DC DE DC

于点．

E

（1）求过点、、的抛物线的解析式；

E D C

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于

点F，另一边与线段OC交于点 G．如

果 DF与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M的横坐标为6

，那么 EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证5

明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（ 2）中的点，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点，使得直线与的交点

P 与点

G Q GQ AB C、 G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

y

y

D C

A B P N

E

A M O

B x O

C x