中考压轴题全揭秘综合问题

综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型，它可以包含初中阶段所学的代数、平面几何、解析几何、统计概率的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等．它不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力还可以考查学生对数学知识迁移整合能力；既考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力，还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力．

前面专题已对代数之方程和不等式综合问题、函数之一次函数和反比例函数综合问题、函数之一次函数、反比例函数和二次函数综合问题、代数和函数综合问题、静态几何之综合问题等有过介绍，本专题主要原创编写代数和平面几何的综合问题、代数和统计概率的综合问题、平面几何和统计概率的综合问题、解析几何和统计概率的综合问题、平面几何和解析几何的综合问题模拟题．

原创模拟预测题1．如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′，B′分别是点

A，B

的对应点，

A B

．已知关于x，y的二元一次方程

mnx y n

x y

+=+

?（m，n是

实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k?t的值等于（）

A．3

4B．1 C．

3D．

【答案】B．【解析】

试题分析：∵矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，

A B

，顶点A的坐标为（1，t），

∴点A′的坐标为（k，kt），∵关于x，y的二元一次方程

mnx y n

x y

+=+

?（m，n是实数）

无解，∴mn=3，且

n≠

，即

（m≠2），∵以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的

点中，有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，∴反比例函数

的图象只经过点A′

或C′，由

mnx y n

x y

+=+

?，可得：mnx﹣3x+4=3n+1，（1）若反比例函数

的图象经过点A′，∵mn=3，

3x﹣3x+4=3kt+1，解答kt=1，（2）若反比例函数

的图象经过点C′，∵mn=3，3x﹣3x+4=﹣3kt+1，解答kt=1-，∵k＞0，t＞0，∴kt=1-不符合题意，∴kt=1．故选B．学科网

考点：位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；综合题；压轴题；分类讨论．原创模拟预测题2．如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面

直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数

的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．学科网

【答案】9．

【解析】

考点：平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义；综合题；压轴题．

原创模拟预测题3．有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组

43(1)

x x

x a

≥-

有解的概率为

____．

【答案】

9．

考点：解一元一次不等式组；含字母系数的不等式；概率公式；压轴题．

原创模拟预测题4．已知菱形1111

A B C D

的边长为2，111

A B C

∠

=60°，对角线11

A C

，11

B D

相交于点O．以点O为坐标原点，分别以1

，1

所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以11

B D

为对角线作菱形1212

B C D A

∽菱形1111

A B C D

，再以22

A C

为对角线作菱形2222

A B C D

∽菱形1212

B C D A

，再以22

B D

为对角线作菱形2323

B C D A

∽菱形2222

A B C D

，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点1

，2

，3

，．．．．．．，n

，则点n

的坐标为________．

【答案】（3 n－1，0）．

【解析】

试题分析：∵菱形1111

A B C D

的边长为2，111

A B C

∠

=60°，∴11

A C

=2，∴1

=1，∴点A1的坐标为（1，0），∵1

=1，∴1

=3，∴2

=3，点A2的坐标为（3，0），即（3 2－1，0），同理可得：

点A3的坐标为（9，0），即（3 3－1，0），点A4的坐标为（27，0），即（3 4－1，0），………∴点An的坐标为（3 n－1，0）．故答案为：（3 n－1，0）．

考点：相似多边形的性质；菱形的性质；规律型；综合题；压轴题．

原创模拟预测题5．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连接AP ，过点A 作AP 的垂线交射线PB 于点C ．当△PAB 是等腰三角形时，线段BC 的长为________．

【答案】8BC =或56

15或85

3．

【解析】

（2）当PA=PB 时，如图（2），延长PO 交AB 于点K ，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK ，∴22AK PK +45∵∠APC=∠AOK ，∴cos ∠APC=cos ∠AOK ，

∴AP OK PC AO =，∴5533PC AP ==，∴BC=PC －PB=853；（3）当BA=BP 时，如图（3），∵BA=BP ，∴∠P=∠BAP ，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB ，∴BC=AB=8．

故答案为：8BC =或5615或85

3．[来源:学科网]

考点：等腰三角形的性质；解直角三角形；分类讨论；综合题；压轴题．

原创模拟预测题6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．

[来源:https://www.360docs.net/doc/e0160119.html,]

【答案】（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．

【解析】

试题分析：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；

②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC=

-=3，∴点P的坐标为：（3，4）；

③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE=

-=3；

分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；

综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；

故答案为：（2.5，4）或（3，4）或（2，4）或（8，4）．

考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理；分类讨论；综合题；压轴题．

原创模拟预测题7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，

AC 上，CP=3x ，CQ=4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上．

（1）求证：PQ ∥AB ；

（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；

（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T≤16，求x 的取值范围．[来源:学科网

ZXXK]

【答案】（1）证明见试题解析；（2）6；（3）1≤x≤

6．

【解析】

试题解析：（1）∵在Rt △ABC 中，AB=15，BC=9，∴22AB BC -22159-=12．∵393PC x x BC ==，4123QC x x AC ==，∴PC QC BC AC =．∵∠C=∠C ，∴△PQC ∽△BAC ，∴∠CPQ=∠B ，∴PQ ∥AB ；

（2）连接AD ，∵PQ ∥AB ，∴∠ADQ=∠DAB ，∵点D 在∠BAC 的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB ，∴∠ADQ=∠DAQ ，∴AQ=DQ ，在Rt △CPQ 中，PQ=5x ，∵PD=PC=3x ，∴DQ=2x ．∵AQ=12﹣4x ，∴12﹣4x=2x ，解得x=2，∴CP=3x=6；

（3）当点E 在AB 上时，∵PQ ∥AB ，∴∠DPE=∠PEB ．∵∠CPQ=∠DPE ，∠CPQ=∠B ，

∴∠B=∠PEB ，∴PB=PE=5x ，∴3x+5x=9，解得x=9

8．[来源:学.科.网Z.X.X.K]

①当0＜x≤98时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x ，此时0＜T≤27

2；

②当

8＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F

，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴

GH PG PH

ED PE PD

，∵PG=PB=9﹣3x，∴93

453

GH x PH

x x x

，∴GH=

5（9﹣3x），PH=

5（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣

5（9﹣3x），∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+

5（9﹣3x）+[3x﹣

5（9﹣3x）]=

1254

，此时，27

2＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；TA=16时，即

1254

=16，解得x=

6．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤

6．

考点：几何变换综合题；分类讨论；相似三角形的判定与性质；压轴题．

原创模拟预测题8．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线

y x

交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？学科网

【答案】（1）3

y x

，B（8，16）；（2）（

，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）点M的横坐标为6时，最大值为18．

【解析】

试题解析：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，∴y=

(2)

=1，A点的坐标为（2，﹣1），设直线的函数关系式为y=kx+b，将（0，4），（﹣2，1）代入得：

k b

-+=

?，解得：

?，∴直线

y x

，∵直线与抛物线相交，∴

x x

，解得：x=﹣2或x=8，当x=8时，y=16，∴点B的坐标为（8，16）；

（2）如图1，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，∴222

AG BG AB

+=，∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得2

AB=325．设点C（m，0），同理可得2

AC=22

(2)1

m++=245

m m

++，2

BC=22

(8)16

m-+=216320

m m

-+：

①若∠BAC=90°，则222

AB AC BC

+=，即22

3254516320

m m m m

+++=-+，解得：m=

；

②若∠ACB=90°，则222

AB AC BC

=+，即325=245

m m

+++216320

m m

-+，解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，则222

AB BC AC

+=，即245

m m

++=216320

m m

-++325，解得：

m=32；

∴点C的坐标为（

，0），（0，0），（6

，0），（32，0）；

（3）设M（a，

），如图2，设MP与y轴交于点Q，在Rt△MQN中，由勾股定理得MN=

222422

1111

(1)11

41624

MN a a a a a

=+-=++=+

，又∵点P与点M纵坐标相同，∴2

x a

，∴x=

216

，∴点P的纵坐标为

216

，∴MP=

216

，∴MN+3PM=

1161

13()39

464

a a a a

=++-=-++

，∴当

2()

a=-

=6，又∵2≤6≤8，∴取到最小值18，∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．

考点：二次函数综合题；分类讨论；二次函数的最值；最值问题；综合题；压轴题．

原创模拟预测题9．

【发现】

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）

【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

请证明点D也不在⊙O内．学科网

【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=

5，AD=1，求

DG的长．

【答案】【思考】证明见试题解析；【应用】（1）证明见试题解析；（2）21

．

【解析】

试题分析：【思考】假设点D在⊙O内，由圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；

【应用】（1）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则∠ACD=∠FDA，又∠ACD+∠ADC=90°，有∠FDA+∠ADC=90°，即可得出DF是圆的切线；

（2）由【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，证明四边形AOGD是矩形，由已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．

（2）∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上，∵CD是直径，∴∠DGC=90°，∵AD∥BC，∴∠ADG=90°，∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形，∴DG=AC，∵sin

∠AED=2

5，∠ACD=∠AED，∴sin

∠ACD=

5，在RT△ACD中，AD=1，∴

CD=

5，∴CD=

2，∴AC=22

CD AD

2，∴DG=

2．

考点：切线的判定；圆周角定理；圆的综合题；压轴题．

原创模拟预测题10．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线

y=的对称轴绕着点P （0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；

（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PA T相似时，求所有满足条件的t的值．

【答案】（1）2y x =+；（2）92

8；（3）t=1或t=0或t=13-t=33．

【解析】

试题分析：（1）根据题意易得点M 、P 的坐标，利用待定系数法来求直线AB 的解析式；

（2）如图①，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂足为D ，构建等腰直角△QDC ，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；

（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ 中必有一个内角为45°；需要分类讨论：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后对这两种情况下的△PAT 是否是直角三角形分别进行解答．另外，以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△PAT 相似也有两种情况：△Q″P B ∽△PAT 、△Q″BP ∽△PAT ．

试题解析：（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M （﹣2，0），设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠），将M （﹣2，0），P （0，2）两

点坐标代入，得：20(2)b k b =??=?-+?，解得：12k b =??=?

，故直线AB 的解析式为2y x =+；学科网

（2）如图①，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂

足为D ，根据条件可知△QDC 为等腰直角三角形，则QD=2

2QC ．设Q （m ，2m ），则C

（m ，m+2），∴QC=22m m +-=219()24m --+，QD=2QC=

2219()]24m --+．故当m=1

2时，点Q 到直线AB 的距离最大，最大值为928；

先以点F 为圆心，FB 为半径作圆，则P 、B 、Q′都在圆F 上，设圆F 与y 轴左侧的抛物线交于另一点Q″．

则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．

设Q″（n ，2n ）（﹣2＜n ＜0），由FQ″=2，得：2222(4)2n n +-=，即427120n n -+=，

解得23n =或24n =，而﹣2＜n ＜0，故n=3-，即Q″（3-，3），可证△PFQ″

为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=1

2∠PFQ″=30°，则在△PQ″B 中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i ）若△Q″PB ∽△PAT ，则过点A 作y 轴的垂线，垂足为E ，则ET=3AE=3，OE=1，所以OT=31-，解得t=13-；

（ii ）若△Q″BP ∽△PAT ，则过点T 作直线AB 垂线，垂足为G ，设TG=a ，则PG=TG=a ，AG=3TG=3a ，AP=2，∴32a a +=

，解得PT=2a =31-，∴OT=OP ﹣

PT=33-，∴t=33-．

综上所述，所求的t 的值为t=1或t=0或t=13-或t=33-．

考点：二次函数综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；综合题；压轴题．

原创模拟预测题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF=BC ．⊙O 是△BEF 的外接圆，∠EBF 的平分线交EF 于点G ，交于点H ，连接BD 、FH ．

（1）求证：△ABC ≌△EBF ；

（2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（3）若AB=1，求HG?HB 的值．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）22+．【解析】试题分析：（1）由∠ABC=90°和FD ⊥AC ，得到∠ABF=∠EBF ，由∠DEC=∠BEF ，得到∠DCE=∠EFB ，从而得到△ABC ≌△EBF （ASA ）；

（2）BD 与⊙O 相切．连接OB ，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB ⊥BD ，从而有BD 与⊙O 相切；

（3）连接EA ，EH ，由DF 为线段AC 的垂直平分线，得到AE=CE ，由△ABC ≌△EBF ，得到AB=BE=1，进而得到CE=AE=22AB =，故12BF BC ==+，即可得出结论

2422EF =+，又因为BH 为角平分线，易证△EHF 为等腰直角三角形，故222EF HF =，

得到221222HF EF =

=+，再由△GHF ∽△FHB ，得到2HG HB HF ?=．

（3）连接EA ，EH ，∵DF 为线段AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∵△ABC ≌△EBF ，∴AB=BE=1，∴CE=AE=22AB =，∴12BF BC ==，∴

()22221

12422EF BE BF =+=++=+，又∵BH 为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，

∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF 为等腰直角三角形，∴222EF HF =，

∴221222HF EF =

=+，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF ，∴△GHF ∽△FHB ，∴

HF HG HB HF =，∴2HG HB HF ?=，∴222HG HB HF ?==+．

考点：全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；圆周角定理；探究型；压轴题；综合题．

原创模拟预测题12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

23y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD=4AC ．

（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k ，b 用含a 的式子表示）；（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为5

4，求a 的值；

（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A ，D ，P ，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（－1，0），y ax a

=+；（2）

a=-

；（3）P的坐标为（1，

267

）或（1，－4）．

【解析】

（3）令223

ax ax a ax a

--=+，即2340

ax ax a

--=，解得11

x=-

，2

，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为1

x=，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．

试题解析：（1）∵

223

y ax ax a

=--=(1)(3)

a x x

+-，令y=0，得到11

x=-

，2

，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴0k b

=-+，b k

=，∴y kx k

=+，令

223ax ax a kx k --=+，即2(2)30ax a k x a k -+--=，∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标

为4，∴314k

a --

=-?，∴k a =，∴直线l 的函数表达式为y ax a =+；

（3）令223ax ax a ax a --=+，即2340ax ax a --=，解得11x =-，24x =，∴D （4，

5a ），∵223y ax ax a =--，∴抛物线的对称轴为1x =，设P （1，m ），①若AD 是矩形的

一条边，则Q （－4，21a ），m ＝21a ＋5a ＝26a ，则P （1，26a ），∵四边形ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90°，∴222

AD PD AP +=，∴2222225(5)(14)(265)(11)(26)a a a a ++-+-=--+，即217a = ，∵0a <，∴

7a =，∴P1（1，267）；

考点：二次函数综合题；分类讨论；压轴题；综合题；最值问题．

原创模拟预测题13．如图1，二次函数

=2的图象与x轴分别交于A、B两点，

与y轴交于点C．若tan∠ABC=3，一元二次方程0

ax的两根为－8、2．

（1）求二次函数的解析式；学科网

（2）直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点．

①求点P 的运动路程；

②如图2，过点D 作DE 垂直x 轴于点E ，作DF ⊥AC 所在直线于点F ，连结PE 、PF ，在l 运动过程中，∠EPF 的大小是否改变？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连结EF ，求△PEF 周长的最小值．

【答案】（1）239684y x x =+-；（2）①10；②不变，理由见试题解析；（324105

【解析】

试题分析：（1）由

c bx ax y ++=2与x 轴分别交于A 、B 两点，且一元二次方程02=++c bx ax 的两根为－8、2，可得点A 、点B 的坐标，即可得到OB 的长，又由tan ∠ABC=3，得到点C （0，－6），将 A ．B 、C 的坐标代入二次函数中，即可得到二次函数解析式；

（2）①如图6.1，当l 在AB 位置时，P 即为AB 的中点H ，当l 运动到AC 位置时，P 即为AC 的中点K ，故P 的运动路程为△ABC 的中位线HK ，在Rt △BOC 中，由勾股定理得到BC 的长，再由三角形中位线定理可得到HK 的长，即P 的运动路程；

②∠EPF 的大小不会改变．由于，P 为Rt △AED 斜边AD 的中点，故PE=1

2AD=PA ，从而

∠PAE=∠PEA=12∠EPD ，同理有∠PAF=∠PFA=1

2∠DPF ，即可得到∠EPF=2∠EAF ，故∠EPF 的大小不会改变；

（3）设△PEF 的周长为C ，则PEF C △=PE+PF+EF=AD+EF ，在等腰三角形PEF 中，过P 作

PG ⊥EF 于点G ，得到∠EPG=12∠EPF=∠BAC ，由于tan ∠BAC=

34OC AO =，故tan ∠

EPG=

，得到EG=

5PE，

EF=

5PE=

5AD，从而有PEF

△=AD+EF=

(1)

AD=

5AD，又当AD⊥BC时，AD最小，此时PEF

△最小，由ABC

?=30，得到AD=310，从而得到PEF

△最小值．

试题解析：（1）∵函数

=2的图象与x轴分别交于A、B两点，且一元二次方程0

ax的两根为－8、2，∴A（－8，0）、B（2，0），即OB=2，又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，－6），将A（－8，0）、B（2，0）代入

y ax bx

=+-中，解得：

，9

，∴二次函数解析式为：

y x x

=+-

；

（2）①如图6.1，当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC的中点K，∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，∴HK=

2BC，在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，∴BC=210，∴HK=10，即P的运动路程为10；

②∠EPF的大小不会改变．理由如下：∵DE⊥AB，∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，∴PE=

2AD=PA，∴∠PAE=∠PEA=

2∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=

2∠DPF，∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即∠EPF=2∠EAF，又∵∠EAF大小不变，∴∠EPF的大小不会改变；

中考数学几何压轴题

1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值；（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的

等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．（1）求∠AED 的度数；（2）求证：AB ＝BC ；（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o．求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．．为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F

解答下列问题：（1）直接写出当x ＝3时y 的值；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？（4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1

2019届中考数学复习解答中考压轴题的“金钥匙”.docx

2019 届中考数学复习解答中考压轴题的“金钥匙” 般设计 3~4 问，由易到难有一定的坡度，或连续设问，或独立考查，最后一问较难，一般是涉及几何特殊图形（或特殊位置）的探究问题。本人就最后一问进行了研究，提炼出一些方法、技巧，供大家参考。一、数学思想：主要是数形结合思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想二、探究问题： 1、三角形相似、平行四边形、梯形的探究 2、特殊角 ----- 直角（或直角三角形）的探究 3、平分角（或相等角）的探究 4、平移图形后重叠部分面积函数的探究 5、三角形（或多边形）最大面积的探究 6、图形变换中特殊点活动范围的探究三、解题方法： 1、画图法：（从形到数）一般先画出图形，充分挖掘和运用坐标系中几何图形的特性，选取合适的相等关系列出方程，问题得解。画图分类时易掉情况，要细心。 2、解析法：（从数到形）一般先求出点所在线（直线或抛物线）的函数关系式，再根据需要列出方程、不等式或函数分析求解。不会掉各种情况，但解答过程有时较繁。四、解题关键： 1、从数到形：根据点的坐标特征，发现运用特殊角或线段比 2、从形到数：找出特殊位置，分段分类讨论五、实例分析：（荆州 2012 压轴题编）如图，求△ OAE 右移 t （ 0＜ t ≤3）时，△ OAE 与△ ABE 重叠部分面积函数关系式。 y (1,4) 3 E 0 3 ,3 E 1 B 2 H E M 分析 : 解题关键，首先，求右移过程中，到达零界位置（点 E 落在 AB 上）的时间 t= 3 ，然后对时间进行分段 2 分类讨 D A x 3 论 : 0 ， t 2

2016年中考数学压轴题精选及详解

2020年中考数学压轴题精选解析中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。利用中点公式求出AB 的中点M ；利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。（2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）：利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式；将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。所需知识点：一、两点之间距离公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。二、圆的方程：点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。三、中点公式：四、已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。五、任意两点的斜率公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。分两大类进行讨论：（1）AB 为边时（2）AB 为对角线时二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案

2020-2021中考数学平行四边形-经典压轴题附详细答案一、平行四边形 1．操作：如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F．探究：（1）如图1，当点P在线段BC上时，①若∠BAP=30°，求∠AFE的度数；②若点E 恰为线段DF的中点时，请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置？并求出此时∠AFD 的度数．归纳：（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；猜想：（3）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论．【答案】（1）①45°；②BC的中点，45°；（2）不会发生变化，证明参见解析；（3）不会发生变化，作图参见解析. 【解析】试题分析：（1）当点P在线段BC上时，①由折叠得到一对角相等，再利用正方形性质求出∠DAE度数，在三角形AFD中，利用内角和定理求出所求角度数即可；②由E为DF中点，得到P为BC中点，如图1，连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF 垂直平分BE，进而得到三角形BOP与三角形EOG全等，利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1，得到P为BC中点，进而求出所求角度数即可；（2）若点P是线段BC上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数不会发生变化，作AG⊥DF于点G，如图1（a）所示，利用折叠的性质及三线合一性质，根据等式的性质求出∠1+∠2的度数，即为∠FAG 度数，即可求出∠F度数；（3）作出相应图形，如图2所示，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数不会发生变化，理由为：作AG⊥DE于G，得∠DAG=∠EAG，设 ∠DAG=∠EAG=α，根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可．试题解析：（1）①当点P在线段BC上时，∵∠EAP=∠BAP=30°，∴∠DAE=90°﹣ 30°×2=30°，在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣30°）÷2=75°，在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°；②点E为DF 的中点时，P也为BC的中点，理由如下：

中考数学几何选择填空压轴题精选

中考数学几何选择填空压轴题精选一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个

中考数学压轴题解题方法大全及技巧

专业资料整理分享中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是

列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：

2018年中考四边形综合题集压轴题

四边形综合题集评卷人得分一．选择题（共9小题） 1．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论： ①△AED≌△DFB；②S 四边形BCDG =CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD 一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF， ⑤S △CEF =2S △ABE ，其中结论正确的个数为（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH 与AC交于点M，以下结论： ①FH=2BH；②AC⊥FH；③S △ACF =1；④CE=AF；⑤EG2=FG?D G，

其中正确结论的个数为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE ，BF 交于点G ，将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF ，延长FP 交BA 延长线于点Q ，下列结论正确的个数是（） ①AE=BF ；②AE ⊥BF ；③sin ∠BQP=；④S 四边形ECFG =2S △BGE ． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．如图，在矩形ABCD 中，BC= AB ，∠ADC 的平分线交边BC 于点E ，AH ⊥DE 于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O ，给出下列命题：（1）∠AEB=∠AEH （2）DH=2 EH （3）OH=AE （4）BC ﹣BF= EH 其中正确命题的序号（） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（2）（4） D ．（1）（3） 6．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点F ，E 分别以相同的速度从D ，C 两点同时出发向C 和B 运动（任何一个点到达即停止），过点P 作PM ∥CD 交BC

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题

中考数学几何专题知识点总结78点中考数学几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边

16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

2020中考数学压轴题100题精选（附答案解析）【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．

【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC △的外部作等腰Rt CED △，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ． ()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系； ()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论； ②若25AB =，2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =②42或22. 【解析】【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明 EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可； ②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可. 【详解】 ()1如图①中，结论：AF 2AE = ．

理由：四边形ABFD 是平行四边形， AB DF ∴=， AB AC =， AC DF ∴=， DE EC =， AE EF ∴=， DEC AEF 90∠∠==， AEF ∴是等腰直角三角形， AF 2AE ∴=．故答案为AF 2AE = ． ()2①如图②中，结论：AF 2AE = ．理由：连接EF ，DF 交BC 于K ．四边形ABFD 是平行四边形， AB//DF ∴， DKE ABC 45∠∠∴==， EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=， EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=， DK DC ∴=， DF AB AC ==， KF AD ∴=，在EKF 和EDA 中， EK ED EKF ADE KF AD =?? ∠=∠??=? ， EKF ∴≌EDA ， EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=， FEA BED 90∠∠∴==，

(完整版)2017中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧解中考数学压轴题秘诀（一）数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。（一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第22题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。（二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y ＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第23题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。解中考数学压轴题秘诀（二）具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．（1）求证：DG＝BC；（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE， ∵E是DC的中点，即DE＝CE， ∴△DEG≌△CEB（AAS）， ∴DG＝BC．（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．理由：由（1）知DG＝BC， ∵AB＝AD+BC，AF＝AD， ∴BF＝BC＝DG， ∴AB＝AG， ∵∠BAG＝90°， ∴∠AFD＝∠ABG＝45°， ∴FD∥BG．（3）解：结论：FH＝HD．理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG， ∵FD∥BG，

∴AE⊥FD， ∵△AFD为等腰直角三角形， ∴FH＝HD． 2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， ∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形．（2）解：∵DM＝AM，DO＝OB， ∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，

2020各地中考几何综合压轴题汇总

2020各地中考几何综合压轴题汇总一．解答题（共50小题） 1．（2020?天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为．理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2 ，则它的面积为；（2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长．类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示） 2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC 于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

3．（2020?河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C ．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK ，请直接写出点K被扫描到的总时长． 4．（2020?襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC 于点K，若CK ，求DF的长． 5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

解析法巧解中考数学压轴题

解析法巧解中考压轴题在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效．现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙．例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点．若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M 落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．分析本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE>MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．由△ADP∽△ABQ，解得QB＝4 5 a．由△QBE∽△QCP，同样由比例关系得出BE＝ () 28 225 a a a - + ．又因为MN为QCP的中位线，得出 MN＝1 2 PC＝ 1 2 （a－8）．再由BE>MN，即 () 28 225 a a a - + () 1 8 2 a >- 得出a> ．当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为a>．这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错．比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题．一如何建立合适、恰当的坐标系呢通常需要考虑以下两点：第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O，可以起到简化运算的功效；第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用．解答如图3所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正半轴的直角坐标系．

数学中考数学压轴题(讲义及答案)附解析

一、中考数学压轴题 1．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ．（1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2． 2．在平面直角坐标系中，抛物线2 4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且 :3:4??=ABC BCE S S ．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式． 3．如图1，抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（ 3 2 ，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．

人教版数学中考冲刺压轴题《四边形综合》专题训练

中考数学压轴题强化训练：四边形综合 1、如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点 F，交AD于点E．（1）求证：AG=CG．（2）求证：AG2=GE?GF． 2、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE?OF． 3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接 FC．求证：四边形ADCF是菱形．

4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：B M=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 5、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． (l)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由． (2)若固定二根木条AB，BC不动，AB＝2cm，BC＝5cm，量得木条CD＝5cm， ∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）．

(3)若固定一根木条 AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条 CD ＝ 5cm ．如果木条 AD ， BC 的长度不变，当点 D 移到 BA 的延长线上时，点 C 也在 BA 的延长线上；当点 C 移到 AB 的延长线上时，点 A ，C ，D 能构成周长为 30cm 的三角形，求出木条 AD ， BC 的长度． 6、如图，AC 为矩形 ABCD 的对角线，将边 AB 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的点 M 处，将边 CD 沿 CF 折叠，使点 D 落在 AC 上的点 N 处。（1）求证：四边形 AECF 是平行四边形；（2）若 AB=6，AC=10，求四边形 AECF 的面积。 7、如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且∠BFC =90°．（1）但 E 为 BC 中点时，求证：△BCF ≌△DEC ；（2）但 BE -2EC 时，求的值； BD （3）设 CE =1，BE =n ，作点 C 关于 DE 的对称点 C ' ，连结 FC ' 若点 C ' 到 AF 的距离 CD

中考数学几何证明压轴题大全

1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1) 求证：DC=BC; (2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠E DC=∠F BC ，DE=BF ，试判断△E CF 的形状，并证明你的结论； (3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. [解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2. 又tan ∠ADC=2,所以2 12 DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形. 证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=. 所以，△DEC ≌△BFC 所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠. 所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=? 即△ECF 是等腰直角三角形. （3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =. 因为135BEC ∠=?，又45CEF ∠=?，所以90BEF ∠=?. E B F C D A

所以22(22)3BF k k k = += 所以1sin 33 k BFE k ∠= =. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． [解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴AE ＝ 21AB ，CF ＝2 1 CD ． ∴AE ＝CF ∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ． ∵AG ∥BD ， ∴四边形 AGBD 是平行四边形．

中考压轴题全揭秘综合问题

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