非线性转子 动力学

航空发动机非线性转子碰磨研究

XXX

（XXXX 机械工程上海200072）

摘要：综述了国内外非线性转子动力学的研究现状,讨论了非线性转子动力学研究中的7个主要问题,并引述了大量相应的国内外文献,包括:非线性转子动力学研究的一般方法;求解非线性转子动力学问题的数值积分方法;大型转子-轴承系统高维非线性动力学问题的降维求解;基于微分流形的动力系统理论方法;转子非线性动力学行为的机理研究和实验研究;高速转子-轴承系统的非线性动力学设计,最后讨论了非线性转子动力学研究中存在的问题及展望。

关键词：非线性；高速转子；数值积分法

The research for Aeroengine nonlinear rotor

WANG Qing-long

(Shanghai university mechainal engineering 20072 shanghai)

Abstract: Reviewed the research status of nonlinear rotor dynamics both at home and abroad, discusses the seven main in the study of nonlinear rotor dynamics. To questions, and cited a large number of relevant literature both at home and abroad, include: common methods of nonlinear rotor dynamics; To solve the non-linear. Rotor dynamics problems of numerical integral method; Rotor - bearing system of large dimension reduction solution for high dimensional nonlinear dynamics; In the theory of differential dynamic system of the manifold method; Rotor nonlinear dynamics behavior of mechanism research and experiment research; High speed rotor shaft. Bearing system of the nonlinear dynamics design, and finally discusses the problems of nonlinear rotor dynamics research and prospects.

Key words: nonlinear; High speed rotor; The numerical integral method.

由于旋转机械系统中各种异常振动的存在,常常引发灾难性的事故。过去研究转子-轴承-基础系统大多采用基于线性转子动力学理论。例如传统转子动力学对转子-轴承系统稳定性问题的研究,一般采用8个线性化的刚度与阻尼特性系数的油膜力模型。对于大型旋转机械中存在的油膜力、密封力、不均匀蒸汽间隙力等严重的非线性激励源,由于数学模型不够完善,以致系统中存在的许多由非线性因素引起的多种复杂动力学行为尚没有彻底搞清,不能满足现代工程设计的需要,迫切需要建立转子-轴承系统的非线性动力学理论,揭示系统存在的各种非线性动力学行为,提出转子-轴承系统的非线性动力学设计方法,研究旋转机械中存在的各种实际问题,这对提高旋转机械运行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景。

随着非线性动力学理论的发展,非线性转子动力学理论和方法也受到了关注,大量的研究成果使转子动力学面貌一新。但现有的非线性动力学理论和方法在解决高维动力系统方面还存在困难,而工程实际中的转子-轴承-基础系统是一个复杂的高维系统,从而吸引了更多的研究者从事这方面的研究,特别是现代非线性动力学理论在转子动力学中的应用,已成为当今国

内外的热门研究课题。本文对非线性转子动力学的研究现状与发展趋势作一简要的评述。 1 非线性动力学的一般研究方法

由于旋转机械系统中许多非线性激励源的存在,常引发诸多用线性理论难以解释的非线性动力学现象,人们逐渐认识到必须用非线性动力学理论来分析。非线性动力学理论的应用非常广泛:如大型汽轮发电机组的低频振动分量及其失稳条件(油膜涡动及油膜振荡);转子裂纹的在线诊断问题;气流-弹性耦合激起结构的颤振;气门机构的振动问题等。应用非线性动力学理论研究转子-轴承-基础系统的非线性动力学行为及有关问题已成为非线性转子动力学的主要研究内容。

研究具有确定性系数的弱非线性动力系统周期解的经典研究方法有:摄动法(小参数法),平均法(KB 法),KBM 法(渐近法),多尺度法等;研究单自由度强非线性动力系统的渐近解的方法有:广义的平均法,区域平均法,椭圆函数法,时间变换法,参数展开法,频闪法,增量谐波平衡法等;研究多自由度系统的方法有:改进的平均法,多频摄动法,以及各种方法的综合运用等;研究参数激励的非线性动力系统的响应、分叉和混沌问题的常用方法有:平均法,多尺度法,广义谐波平衡法,以及L-S 法,奇异性理论,中心流形理论,范式理论,幂级数法,数值计算法等。 2 转子碰磨的研究现状

转子与定子的碰摩是造成旋转机械故障的重要原因之一,碰摩会导致局部发热甚至严重磨损,易诱发机械的剧烈振动,严重时会出现反向涡动失稳而造成整个机械破坏。确定系统碰摩响应与系统参数之间的关系,对旋转机械的设计和故障诊断都具有十分重要的意义。

全周碰摩可以分为两种：同步全周碰摩和反向全周碰摩。其中同步全周碰摩是由转子不平衡导致的受迫振动，转子的进动方向与自转方向相同，虽然发生时转子和静子出现连续的接触，由于振幅较小，接触比较轻微，因此危险性也比较小。反向全周碰摩是一种自激振动，振幅非常大，转子进动方向与自转方向相反，一旦发生必然会导致旋转机械的严重损坏。

对于转静全周碰摩的研究所采用的碰摩模型主要有三种：

(1) 弹性支承的刚性静子模型（将静子简化为一个弹性支承的刚性环）；

(2) 附加刚度模型（将静子简化为附加刚度）；

(3) 弹性转-静耦合模型（将静子简化为一个弹性支承的弹性环）。

3碰磨力分段光滑模型简介

分段光滑模型是当前碰摩研究中应用最为广泛的模型，它认为碰摩在一定时间内完成，碰摩力连续但不光滑。当转子和静子发生接触时，相当于给转子增加了一个附加刚度，当转静脱离接触时，附加刚度消失。碰摩力的数学表达式为：

0()n c f n

F k r r F F μ=-???=?? 其中n F 和f F 分别是碰摩时的径向接触力和摩擦力，c k 表示接触刚度，μ为摩擦系数，

r =

碰摩动力学研究中，许多学者根据研究的需要和工程的实际，对已有模型进行了一定的改进。基于 Hertz 接触理论，推导了含有非线性接触力的碰摩力模型，接触力表达式为

(/)n F δα=，其中δ是径向嵌入深度，α是和碰摩点几何形状和材料属性有关的结构常量。

在研究转子反向全周碰摩时，接触力采用了 Hunt 等提出的恢复系数模型，接触力2121n n n n F k k c δδδδ=++，其中121n n n k k c 、、分别是线性刚度、非线性刚度和阻尼系数。应用 Ansys 软件求解转静子之间的接触力与法向相对位移之间的关系，采用六次多项式拟合，得到了碰摩力模型。

4 非线性转子系统反向全周碰磨的运动方程

考虑一个具有非线性刚度的单盘转子模型，如图1所示，其中转轴的回复力与圆盘的径向位移成非线性关系，有3F kr r α=+ ，

其中r =k 和 α分别是转子的线性和非线性刚度系数，容易给出非线性转子系统碰摩的运动方程如下:

222222()cos ()sin x y mx cx kx x x y p me t my cy ky y x y p me t

αωωαωω?+++++=??+++++=?? （1）

图1 非线性刚度的单盘转子模型

Fig. 1 Model of the single disc rotor with nonlinear stiffness

其中，c 是系统阻尼，k 和α分别是转子的线性和非线性刚度系数，e 是转子的偏心量，碰摩力由线性接触力和库伦摩擦力组合而成的( 见图2 ) ，有:

图2 碰摩力模型

Fig. 2 Model of the rubbing forces

00()(1)()x r y b r p x sign v y r p k sign v x y r μμ????-=?????-?????+???

00r r r r ≤ （2） 其中: r v 表示碰摩点处的相对速度，有r disc w v r r ωω=+，ω是转子的转动角速度， w ω是转子的涡动角速度， disc r 是转子圆盘的半径，r 表示转静间隙，μ是库伦摩擦系数，b k

为

接触刚度。

对方程进行无量纲化，取00/,/X x r Y y r ==和新的时间尺度0t τω=，可得:

222222()cos ()sin X Y X X X X X Y P E Y Y Y Y X Y P E ζβτζβτ

'''?+++++=ΩΩ??'''+++++=ΩΩ?? （3） 其中：2220000/,/,/c m k m r m ζωωβαω===

00/,/E e r ωω=Ω= （4）

无量纲形式的碰磨力可写成：

0()1(1)()x r y r P X sign V Y P g sign V X Y R μμ????-=?????-?????+???

00r r r r ≤ （5）

其中：20/,c r disc w R g k m V R R ω===Ω+Ω

00/,/disc disc w w R r r ωω=Ω= （6）

5 非线性转子系统反向全周碰磨数值仿真

虽然方程(1)所描述的动力系统是非线性、分段光滑的动力系统,但通过前面的分析，我们可以解析确定无碰摩周期响应和同频全周碰摩响应的存在区域,但对于其它复杂的响应,如:准周期碰摩和混沌等响应,解析分析一般是不可能,将主要采用数值分析方法来确定这些碰摩响应的稳定域边界及响应的分岔图等。

对方程（3）进行数值仿真，图3—5分别给出了在=0.05=0ββ、时系统升降速的幅频曲线和三维谱图。显然，相比于线性的转子系统，本文所研究的非线性转子系统的结果从定性特征上与实验结果更加接近，这说明在转子反向全周碰摩的研究中考虑非线性因素的影响是有必要的!

图3 系统在升降速时的三维谱图（=0.05β）

Fig. 3 Three-dimesional spectrum at the rotor’s run -up and run-down (

=0.05β

)

图4 系统在升降速时的三维谱图（

=0β

）

Fig. 4 Three-dimensional spectrum at the rotor’s run-up and run-down (

=0β

)

图5 系统在升降速时的幅频曲线

Fig. 5 The frequency-amplitude curve as the system run-up and run-down 图6分别给出了非线性转子系统和其对应线性转子系统反向全周碰摩的轴心轨迹、频谱和碰摩点处相对速度随时间的变化，可以看到非线性转子系统和其对应线性转子系统反向全周碰摩从运动形式上看是非常相似的，运动的轴心轨迹都是圆，进动方向与转子转动方向反向，但是涡动时接触点的相对速度随时间的变化有着明显的不同，线性系统在接触点的相对速度近似于零，而非线性系统在接触点的相对速度是恒大于零的。

a)=0

β

b) =0.05β

图6 转子系统碰磨反向全周碰磨的数值仿真

Fig. 6 Numerical simulation on the reverse full annular rub of rotor rubbing system

线性转子的反向全周碰摩是由于接触点相对速度方向的改变导致摩擦力方向的改变而产生的。转子受到大的扰动发生碰摩，开始时振幅较小有0r disc w V R R =Ω+Ω，摩擦力方向和转子转动方向相反。在干摩擦的作用下，转子开始做反进动，同时振幅将不断增大。振幅增大到一定程度，当时0r disc w V R R =Ω+Ω，摩擦力的方向发生改变，和转子的转动方向相同。此时转子的反进动无法通过干摩擦效应获取能量，在阻尼的作用下振幅将会减小。当干摩擦输入的能量和阻尼消耗的能量达到一个平衡时，系统就出现了稳定的反向全周碰摩运动。对于线性转子，如果假设disc R →∞ ( 即摩擦力方向恒与转子转动方向相反) ，系统的振幅将趋于无穷。对于本文所研究的非线性刚度的转子，显然图6（b ）中所示的反向全周碰摩过程中摩擦力的方向并没有发生改变!因此虽然表现出的运动形式相似，但图6所示的非线性系统和线性系统反向全周碰摩的本质是有区别的。

6 反向全周碰磨的解析解

外激励不是转子系统反向全周碰摩的必要条件，图6中数值计算的结果也印证了这一点，因此为了简单起见，忽略方程(3 ) 中的外激励项。设系统反向全周碰摩的解为:

w cos sin()w X A Y A τθτθ=Ω=Ω+（+）

（7）

考虑到反向全周碰摩响应的特征，反向全周碰摩解满足约束条件1,0w A ≥Ω。

考虑到反向全周碰摩的振幅很大，系统的非线性项不能认为是小项，根据基于同伦分析的平均法，有:

sgn()(1)2

r w V g A A A μζ-+Ω'= （8） 322w A Ag A g A

A βθ+-Ω-+'= （9）

令0,0A θ''==,可得系统定常解的表达式为

:

sgn()(1)0r w V g A A μζ-+Ω= （10）

320w A Ag A g A β+-Ω-+= （11）

简化可得：

32

(1)h w F A A g A A A β++-Ω== （12） 显然可能存在的反向全周碰摩的频率可以看做是接触情况下碰摩系统的等效线性频率。由式（10）（11）可以看到当0r V 时，系统不存在满足约束条件的解; 当0r V 时，系统存在两组( 图7中曲线所示)满足约束条件的解。为了确定哪一组解是真实存在的，有必要对解的稳定性进行判断。

图7 摩擦系数对反向全周碰磨的影响

Fig.8 Influence of friction coefficient on the amplitude of reverse full annular rub

7 系统参数对响应的影响

图8 转静摩擦系数对反向全周碰摩振幅和频率的影响 Fig.10 Influence of friction coefficient on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图9 转静接触刚度对反向全周碰摩振幅和频率的影响

Fig.9 Influence of contact stiffiness on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图10 系统阻尼对反向全周碰摩振幅和频率的影响

Fig.10 Influence of damping on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图11 转速对反向全周碰摩振幅和频率的影响

Fig.11 Influence of rotation speed on the amplitude and frequency of reverse annular rub

图12 系统参数对反向全周碰摩存在性的影响

Fig.12 Influence of system parameters on the existence of reverse full annular rub

图8—12 给出了转静摩擦系数、接触刚度、系统阻尼和转速对反向全周碰摩振幅和频率的影响，其中实线表示非线性刚度导致的稳定的反向全周碰摩解;虚线表示不稳定解; 点划线表示摩擦力方向改变导致的反向全周碰摩，三角形表示数值计算的结果。可以看到摩擦力方向改变导致的反向全周碰摩的振幅和频率随转速的增大而增大，与转静接触刚度、摩擦系数、系统阻尼无关。

而非线性刚度引起的反向全周碰摩随碰摩接触刚度、摩擦系数的增大而增大，随着系统阻尼的增大而减小，与系统转速的变化无关!因此在工程设计中，增大系统阻尼，减小碰摩接触刚度和转静之间的摩擦系数都可以减小反向全周碰摩的振幅。数值计算的结果很好地验证了理论分析的正确性。

同时可以看到对应某些系统参数，不存在稳定的反向全周碰摩响应!在实际转子系统的设计中，如果将系统参数选择在这些区域，就可以避免反向全周碰摩的出现。图14 给出了系统参数对反向全周碰摩存在性的影响，其中阴影部分表示反向全周碰摩不存在的区域。

8 展望

（1）航空发动机整机的简化建模与定性研究。航空发动机是一个复杂的、非线性的大系统。对这个系统的动力学进行详尽研究是非常困难的。如果能针对航空发动机的结构和工作特点，在实践经验的基础上对系统进行一定的简化，得到一个能够反映航空发动机主要动力学行为的简化模型。通过对这个简化模型的定性研究，找出一些重要参数对系统运动行为的规律性影响，对航空发动机系统的设计优化和动态行为的控制有重要的意义。

（2）面向工程应用的整机参数的综合集成精细化建模与简化。航空发动机工作时，对其动力学行为有一定影响的参数也是非常复杂的$综合考虑航空发动机设计、制造、工作过程中各方面的经验因素，采用商用有限元软件对航空发动机系统进行整机参数的综合集成精细化建模。接入非线性因素，并在简化模型定性分析结果的指导下进行定量计算，对航空发动机的优化设计是非常有必要的。考虑航空发动机系统的复杂性，整机参数的综合集成精细化模型必然是一个维数极高的非线性模型。根据定性理论和试验结果减少不必要的网格，进行自由度缩减和对一些复杂结构进行参数等效计算。对于提高计算速度，缩短航空发动机的研发周期有重要的意义。

（3）航空发动机转静碰摩动力学的研究。缩小转静间隙是提高航空发动机效率最有效的方法。但转静间隙的缩小必然导致碰摩发生的可能性增大，建立合理的航空发动机转静碰摩模型。通过求解找出系统参数和碰摩边界以及碰摩后失稳边界之间的联系。从而在航空发动机设计时选择合适的参数。尽量减小碰摩的可能性，完全避免碰摩后发生自激振动失稳的可能。（4）发动机叶片减振优化设计。考虑机械激振、气动激振及其他可能的激励形式。研究叶片振动机理、断裂机理和疲劳寿命的预估方法。建立叶片结构参数和结构振动、失效形式以及疲劳寿命之间的联系。在保证气动性能不变的情况下，对叶片进行优化设计，减小叶片的振动。降低叶片疲劳失效的可能。

（5）航空发动机系统机动飞行动力学研究。建立考虑机动飞行的航空发动机系统的模型以及航空发动机系统模拟机动飞行试验台!通过数值模拟和试验揭示机动飞行产生的附加惯性力和惯性力矩对转子系统振动行为的影响。研究机动飞行情况下的振动控制手段!以保证发动机在机动飞行时!振动状态不恶化。

（6）重大故障机理分析与预测。根据简化模型理论分析"数值仿真和试验结果。对当前航空发动机系统的一些重要故障因素如碰摩、裂纹、轴承损坏等进行分析。研究故障发生的机理以及故障初期信号的特征!对可能发生的重大故障进行控制和预测，对提高国产航空发动机的可靠性和安全性有重要的意义。

致谢感谢XXX教授对本工作的支持，特别是他在系统解析解方面的指导，在此表示感谢！

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