第六章 投影变换

第六章投影变换

§1 概述

当空间几何元素对投影面处于一般位置时，它们的投影一般不反映真实形状和大小，也不具有积聚性，但当它们对投影面处于特殊位置时，则其投影反映真实形状和大小，同时，也具有积聚性

当我们图示、图解一般位置的空间几何元素及其相互间的定位和度量问题时，如能把它改变成特殊位置，则问题就可能比较容易地获得解决

本章引入投影变换的方法来达到上述目的

投影变换的方法

1 正投影变换用改变几何元素与投影面体系的相对位置来达到投影变换的目的

1）变换投影面法(换面法)保持几何元素的位置不动，而建立新的直角投影面体系2）旋转法保持原直角投影面体系不动，将空间几何元素绕某个选定的轴旋转

２．斜投影变换

保持投影面和空间几何元素的位置不动，改变投射方向(即采用斜投影)，使空间几何元素在投影面上的新投影有利于解题

本章主要介绍正投影变换

§2 变换投影面法(换面法)

2.1 换面法的基本概念

新投影面的选择应符合下列两个条件：1)新投影面必须垂直一个

原有的投影面。

2)新投影面对空间几何

元素应处于有利于解题

的位置。

2.2 点的投影变换

2.2.1 点的一次变换

1．换V 面

●●

V

H

X a a

a x

a x1

●

a 1

.

P 1H X 1

O 1

2．换H 面

●

●

X V H

a a a x

●a 1

a x1

.

点的换面规律

1)点的新投影和保留投影的连线垂直于新投影轴2)点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的投影到旧投影轴的距离

X 1P

1V

O 1

2.2.2 点的二次换面新投影体系的建立

应以V/Ｈ→Ｖ

1/Ｈ→Ｖ

1

/Ｈ

2

或Ｖ/Ｈ→Ｖ/Ｈ

1

→Ｖ

2

/Ｈ

1

顺序变换

二次换面作图步骤

1)定出新投影轴Ｏ

1Ｘ

1

；

2)根据点的换面规律，求出

新投影ａ

1’；

3)作新投影轴Ｏ

2Ｘ

2

；

4)过ａ

1’作ａ

1

’ａ

2

⊥Ｏ

2

Ｘ

2

，

并取ａ

2ａ

X2

＝ａａ

X1

，得出

ａ

2，ａ

2

即为变换后的新投

影。

2.3 直线的换面

2.3.1 直线一次换面的两个基本作图问题1．把一般位置直线变换为投影面平行线反映直线的实长和对投影面的倾角

［例1］已知直线AB的两投影ａｂ、ａ′ｂ′，试求直线AB的实长和α角

分析：直线AB为一般位置直线，欲求直线AB的实长和α角，

应建立新的投影面体系Ｖ

1/Ｈ，使直线AB成为新投影面Ｖ

1

的平行线(ＡＢ∥Ｖ

1

)。作图步骤：

1）作Ｏ

1Ｘ

1

∥ａｂ；

2）按点的换面规律，求出新投影ａ

1’、ｂ

1

’；

3）求实长：ａ

1’ｂ

1

’即为直线ＡＢ的实长；

4）求α角：ａ

1’ｂ

1

’与Ｏ

1

Ｘ

1

轴的夹角即为直线AB与H

面的夹角α。

2．把投影面平行线变换为投影面垂直线

把投影面平行线变换为投影面垂直线，是为了使直线投影成为一个点，从而解决与直线有关的度量问题(如求两直线间的距离)和定位问题(如求线面交点)。

［例2］已知正平线AB的两投影，试把它变为投影面垂直线

分析：直线AB为正平线，应将AB变换为新投影面Ｈ

1的垂直线,因ＡＢ∥Ｖ，而新投影面要垂直AB又必须垂直

一个投影面，所以只能设置新投影面Ｈ

1⊥Ｖ，且Ｈ

1

⊥ＡＢ，

即建立新投影体系Ｖ/Ｈ

1

。

作图步骤：

1）作Ｏ

1Ｘ

1

⊥ａ′ｂ′；

2）按点的换面规律，求出新投影ａ

1、ｂ

1

（ａ

1

与ｂ

1

重合）。

2.3.2 直线两次换面的基本作图问题

把一般位置直线变换为投影面垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原有的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以需要经过两次换面，第一次将一般位置直线变为新投影体系中的投影面平行线，第二次将投影面平行线变为另一投影体系中的投影面垂直线。

［例3］已知一般位置直线AB的两投影，试将其变换为新投影面的垂直线

分析：要把一般位置直线变换为投影面垂直线，须经过两次换面

作图步骤：

1）作Ｏ

1Ｘ

1

∥ａｂ；

2）求出新投影ａ

1’、ｂ

1

’；

3）作Ｏ

2Ｘ

2

⊥ａ

1

’ｂ

1

’；

4）求出ａ

2、ｂ

2

（ａ

2

与ｂ

2

重合）。

2.4 平面的换面

2.4.1 把一般位置平面变换成投影面垂直面

空间分析：

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。作图方法：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变

换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂

直面。

［例1］已知一般位置平面ABC的两投影，试求该平面对H 面的倾角α

分析：欲求一般位置平面△Ａ

ＢＣ对H面的倾角α，应当保

留H面，用Ｖ

1面替换V面，建

立Ｖ

1/Ｈ新投影体系，使平面

成为新投影面Ｖ

1

的垂直面。

作图步骤：

1）作ABC平面上的水平线BD；

2）作Ｏ

1Ｘ

1

⊥ｂｄ；

3）△ＡＢＣ在Ｖ

1面上的投影

a 1’b

1

’c

1

’，积聚为一条直线；

4）求α角：ａ

1’b

1

’c

1

’与Ｏ

1

Ｘ

1

轴

的夹角α即为所求。

2.4.2 把投影面垂直面变换为投影面平行面［例3］试求铅垂面△ＡＢＣ的实形

分析：欲求铅垂面△ＡＢＣ

的实形，应建立Ｖ

1/Ｈ新投影体

系，并使Ｖ

1∥△ＡＢＣ，即把

△ＡＢＣ变换为Ｖ

1/Ｈ体系中Ｖ

1

的平行面。作图步骤：

1）作Ｏ

1Ｘ

1

∥ａｃｂ；

2）求出新投影ａ

1’ｂ

1

’ｃ

1

’

3）求实形：△ａ

1’ｃ

1

’ｂ

1

’即反映

△ＡＢＣ的实形。