集列的上下极限

上极限与下极限

§3 上极限和下极限 1. 求以下数列的上、下极限: (1){1+n )1(-}; (2){n )1(-12+n n }; (3){2n+1}; (4){12+n n sin 4 π n }; (5){n n 12+sin n π }; (6){n n 3cos π }; 解记原函数为{x n }. (1) 由于 ∞ →k lim 12-k x =0, k k x 2lim ∞ →=2,从而对任给正数ε,存在自然数N,当k>N 时,有 x 12-k <0+ε,2-ε-<20n n x x 或,故由定义可知 ∞ →∞ →=n n n x lim ,0lim x n =2. 注：一般地，若p 为自然数，且 0lim A x kp k =∞ →， ,lim 11A x kp k =+∞ →,11lim --+∞ →=p p kp k A x 存在，则有 min lim =∞ →n {A 0，A 1 ，A 1-P }，，，10max{lim A A x n k =∞ → ，A 1-P }。事实上，对任一正数ε，存在自然数N ，使得当k>N 时 A i —ε

集列的上下极限定义的等价刻画及其应用

集列的上下极限定义的等价刻画及其应用摘要：通过和数列极限的比较,给出集列极限定义的两个等价刻画,并列举出集列极限运算在几个重要定理及其证明中的应用关键词：子集列；确界；集列上极限;集列下极限一、.序列的上下极限定义1：设{n x }为一数列，λ，μ∈R ，若（i ）对? ε＞0，n x 终＜μ+ε，即就是对?ε＞0，?N ＞0，当n ＞N 时，恒有n x ＜ μ+ε；（ii ）对?ε＞0，n x 常＜μ-ε，即就是对?ε＞0，?N ＞0，?n ＞N 时，使得n x ＞μ-ε；则称μ为序列{n x }的上极限，记作lim n →∞ n x 。相应地，我们也可以定义下极限，若（i ）对? ε＞0，n x 终＜λ-ε，即就是对?ε＞0，?N ＞0，当n ＞N 时，恒有n x ＜ λ-ε；（ii ）对?ε＞0，n x 常＜λ+ε，即就是对?ε＞0，?N ＞0，?n ＞N 时，使得n x ＞λ+ε；则称μ为序列{n x }的下极限，记作lim n →∞ n x 。注：当且仅当n x 上无界时，规定lim n →∞ n x =+∞；当且仅当lim n →∞ n x =+∞时，规定 lim n →∞ n x =lim n →∞ n x =+∞；当且仅当n x 下无界时，规定lim n →∞ n x =-∞；当且仅当 lim n →∞ n x =-∞时，规定lim n →∞ n x =lim n →∞ n x =-∞。由定义1我们不难看出{n x }上极限μ的任意领域(,)με 中有{n x }的无穷多点,{n x }下极限λ的任意领域(,)λε 中有{n x }的无穷多个点。定义2：任一有界数列，存在收敛子列，任何的序列都有广义的收敛子序列（广义收敛，意指极限可以无穷大）设μ=lim n n x →∞ ，则μ满足（i ）存在子序列{k n x }使得lim k n k x →∞ =μ

函数与极限练习题

第一章函数与极限 §1 函数一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln

第11、12节上极限和下极限、Stolz定理

2007／09／11§1.11 上极限和下极限

一、表述上下极限（直观解释）必有收敛子列有界若→}{n a E a n 体记为集合所有收敛子列的极限全将}{⒈. }{极限点集合——n a E 的下极限称为}{ inf n a E .inf lim ,n n a ∞→记作：—极限点中最小者—的上极限称为}{sup n a E .sup lim ,n n a ∞ →记作：—极限点中最大者—

{}∞ ±±∞→合包括子列极限的集合，此集表示全体，仍用无界，则必有子列若E a n ?????-∞=+∞===?? )(sup lim sup )(inf lim inf 可能可能n n a E a E ⒉显然 ①n n n n a a sup inf lim lim ∞ →∞→≤②存在。 n n n n n n a a a lim lim lim sup inf ∞ →∞→∞→?=③上下极限总是存在的（包括±∞）

⒈{}},{inf ,,inf 0 1p n p n n n x x x x +≥+== {}}, {sup ,,sup 0 1p n p n n n x x x x +≥+== ⒉{}{}. , , , *n n n n n x x x N n x x ≤≤∈?↓↑且二、上下极限的另一种表达方式 . } {称为下数列n x . } {称为上数列n x

⒊{} ，给定数列n x ?????==∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n x x x x sup inf lim lim lim lim 存在存在?????∞ →∞→∞→∞→. ,lim sup lim ; ,lim inf lim 表示上极限可记为表示下极限可记为n n n n ) 17.1 ,46 (定理参见P

函数极限连续概念解析

函数、极限、连续概念解析 1、下列各函数对中，（）中的两个函数相等。 A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 分析：从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则相同，而与自变量或因变量所用的字母无关。正确答案：D 2、下列结论中正确的是（）。 A. 周期函数都是有界函数 B. 基本初等函数都是单调函数 C. 奇函数的图形关于坐标原点对称 D. 偶函数的图形关于坐标原点对称分析：首先要清楚函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性的定义，还要知道奇偶函数的图形特点。正确答案：C 3、周期函数是否一定有最小正周期？答：不一定有最小正周期．尽管我们所学的周期函数函数一般都有最小正周期，但周期函数不一定有最小正周期．例如常值函数()f x C =是一个以任意正数为周期的周期函数，它没有最小正周期。 4、判断下列数列的极限：（1）(1)n n ??-????，（2）1n e ???????? ?????? ?。分析：本题只要求对数列的极限作出判断，根据数列极限的定义，利用观察法，看在n →∞的过程中数列通项n x 的变化趋势。解：（1）因为n →∞时虽然(1)n n x n -=的符号时正时负，但(1)10n n n -=→，

所以数列(1)n n ??-????的极限为0。（2）因为数列的通项11n n n x e e ??== ???，当n →∞时分母n e →∞，所以10n e →，故该数列的极限是0。 5、无界数列必发散吗？分析：已知性质：收敛数列必有界．用反证法。正确答案：无界数列必发散。 6、发散数列一定无界吗？有界数列必收敛吗？分析：发散数列除了lim n n x →∞ =∞的情况外，还有其它情况。例如：数列(1)n n x =-发散，但有界。正确答案：发散数列不一定无界，有界数列也不一定收敛。 7、无穷小量是很小的数，对吗？零是无穷小量吗？分析：无穷小量是指趋于零的变量。正确答案：无穷小量不是很小的数，但零是无穷小量。 8、连续函数的三个要求缺一不可吗？分析：连续函数的三个要求为：①()f x 在0x 点有定义；②0lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=。三者如缺一，则为间断（不连续）。例如：①1()sin f x x =在0x =点无定义，故间断；②1sin ,0()1,0x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，01limsin x x →不存在，故也间断；③1sin ,0()1, 0x x f x x x ?≠?=??=? 在0x =点虽然有定义，且01lim sin 0x x x →=，但01lim sin 01(0)x x f x →=≠=，故间断。

上、下极限的性质与应用

毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 1109014029 所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __ 2015年6月10日

上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西汉中 723000）指导教师:洪洁 [摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用. [关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性 1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1] 是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨. 2 上、下极限的概念 2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞ =(lim )n n x b →∞ =. 定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞ =(lim )n n x b →∞ =. 注数列{}n x 的上极限lim n n x →∞ 的特征是（1）?子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞ →∞ =(1,2,3 )k =. （2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞ →∞ ≤.

极限的性质与四则运算法则

第四节极限的性质与四则运算法则教学目的：使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限；教学重点：有理函数极限的计算；教学过程：一、复习无穷大和无穷小的概念及性质二、讲解新课：一、函数极限的性质定理1：（保号性）设A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若)0(0<>A A ，则0>?δ，当),(0δ∧ ∈x U x 时，0)(>x f )0)((A 的情形。取2 A =ε，由定义，对此0,>?δε，当),(0δ∧∈x U x 时， 2)(A A x f =<-ε，即0)(2 32)(220>?=+<<-=”，“<”不能改为“≥”，“≤”。在(ii)中，若0)(>x f ，未必有0>A 。二、极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。证明：只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<-?δ，当2 00δ<-

数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述

文献综述数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确. 极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562?(192)边形的面积。他利用公式22 n n r l s n ?=?(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础. 刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题，放弃了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做

关于上下极限的一些问题(特选内容)

关于上下极限的一些问题利用上下极限我们可以更加完整地刻画和分析序列的性态。正确理解这个概念的精细之处并不容易。深入把握并熟练运用上下极限的技巧已超出了我们的教学要求。因此同学们可根据自己的情况对这部分内容做出适当的安排。通常有两种方式定义上下极限。课本里给出的定义（第一章总复习题题15，第24页）称为上下极限的确界定义。此外，我们还可以定义序列的上下极限分别为序列的最大和最小的聚点。我们称这种定义为聚点定义。（序列的任意一个收敛子列的极限称作为序列的一个聚点，也称序列的极限点。）我们在课堂里已经证明了这两种定义的等价性。上下极限的聚点定义似乎更容易直观理解和把握。而确界定义则更具有实际操作意义。以下我们列出一些关于上下极限的性质。它们的证明有些比较容易，如(i)的证明。根据上下极限的聚点定义，结论是显而易见的。有些不太容易，但也不太难，努力一下可以证出来。如(ii)的证明。所有证明在这里均从略。在吉米多维奇习题解答的书中，可以找到相关的证明。设序列}{n x ，}{n y 均有界，则下列结论成立。 (i) 若n n y x ≤，0n n ≥? ，则n n y x lim lim ≤，n n y x lim lim ≤。（保序性） (ii) n n n n n n n n y x y x y x y x lim lim )(lim )(lim lim lim +≤+≤+≤+。 (iii) n n x x lim )(lim -=-，n n x x lim )(lim -=-。 (iv) 若0,≥n n y x ，则()())lim )(lim ()(lim )(lim lim lim n n n n n n n n y x y x y x y x ≤≤≤ (v) 若极限n n x +∞ →lim 存在，则 n n n n y x y x lim lim )(lim +=+，n n n n y x y x lim lim )(lim +=+ (vi) 若0≥n x ，则n n x x lim 11lim =， n n x x lim 11lim =

数列极限的运算性质

极限的运算教学目标 1熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限. 2 ?理解和掌握三个常用极限及其使用条件?培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力. 3?正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想. 教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件. 教学过程（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个例1 ：求下列极限: 3^2 7n 3n (1) lim n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限. 生：可以分子、分母同除以n3,就能够求出极限. 7- 0+ 0^- 0 7 师：（2）中含有幕型数，应该怎样转化？生；可以转化咸11啤JO的形式.分子、分母同时除臥" 心0 师：分子、分母同时除以3n-1结果如何? 生：结果应该一样. 常用极限: 1 lim — =0,lim C=C , lim q n=0 (|q|<1 )来解决。 n 4n3 1 ,315 7 ----- 1 -------- p— 解‘原式牡叮山 lim 7 —lim —I- lim -□- + lim ~? lim4 - IL-KX* nf gfi 解：原式=lim肮— CO孑Z怕I?丿 Mi） 1 z 0-1 3 -lim I l旳

生；不能-因为limq" = 0中! 时，一般方法是把分子、分母同除以n的最高次為转化威求数列￡} 的极限问题. % rr^w 师；第〔1）题有的同学结果得A有的得刍写岀耒大家分析、判断正误. 0^~ 3 1-0 1 师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限? |q|1 （二）先求和再求极限例2求下列极限：由学生自己先做，教师巡视.

集列的上、下极限

集列的上、下极限摘要：康托尔（cantor）在19世纪创立了集合论成为实变函数理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。关键词：集列上极限下极限单调 1 引言实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的方法研究n维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完

善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列上、下极限，类似的提出集列的上﹑下极限以及集列的收敛。结合实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的收敛及应用。在本文中，我们改进了文献[1]中对定理1的证明和上﹑下极限的计算，方法相对简单，并给出定理2的详细证明，这在文献[1][2]中都没有提及。 2 上下极限的概念为了便于理解本节内容，首先回顾一下数学分析中所学的数列的上、下极限定义，再引出集列的上、下极限。 2.1 回顾：数列的上、下极限定义显然，,则,从而。若,则称数列{xn}收敛,将a称为{xn}的极限,记为。 2.2 集列上、下极限定义 2.2.1 基本定义定义1[1] 设a1,a2,…,an,…是任一列集。由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限,记为或。显然,用数学符号形式化,可表为

极限的基本性质

极限的基本性质数列极限的性质 1、极限的不等式性：设；A x n n =∞→lim B y n n =∞ →lim ； ①若A>B, 则存在於同一趋势过程中，即?N ，当n>N 时存在：> n x n y ②若>，则存在於同一趋势过程中，A≥B. n x n y ③若< ,在存在於同一趋势过程中，A≤B. n x n y 2、极限的唯一性：若；A x n n =∞→lim B x n n =∞ →lim 则在n 的同一趋势过程中，A=B 3、收敛数列必有界性: 若在n 取定趋势下收敛，则必然有界，即： n x n x

函数极限的性质 1、函数极限的不等式性：若；A x f n x x =→)(lim B x g n x x =→)(lim ； ①若A>B {在x→的趋势运动中，即： 0x ?δ>0 ,在δg(x) ②若f(x)>g(x), {δ

设， A x f n x x =→)(lim ①若f(x)≥0, 则在δ0, 则在δ0 3、函数极限的唯一性：设；A x f n x x =→)(lim B x f n x x =→)(lim 则在δ

数列极限的运算性质

极限的运算教学目标 1．熟练运用极限的四则运算法则，求数列的极限． 2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．培养学生运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想．教学重点与难点使用极限四则运算法则及3个常用极限时的条件．教学过程（一）运用极限的四则运算法则求数列的极限师：高中数学中的求极限问题，主要是通过极限的四则运算法则，把所求极限转化成三个常用极限：n n 1 lim ∞→=0，∞→n lim C=C ，∞ →n lim q n =0（|q|<1）来解决。例1：求下列极限： 1 45 37lim )1(323-++-∞→n n n n n 师：（1）中的式子如何转化才能求出极限．生：可以分子、分母同除以n 3，就能够求出极限．

师：（2）中含有幂型数，应该怎样转化？师：分子、分母同时除以3n-1结果如何？生：结果应该一样．师：分子、分母同时除以2n或2n-1，能否求出极限？

（二）先求和再求极限例2求下列极限：由学生自己先做，教师巡视．判断正误．生：因为极限的四则运算法则只适用于有限个数列加、减、乘、除的情况．此题当n →∞，和式成了无限项的和，不能使用运算法则，所以解法1是错的．师：解法2先用等差数列的求和公式，求出分子的和，满足了极限四则运算法则的条件，从而求出了极限．第（2）题应该怎样做？

生：用等比数列的求和公式先求出分母的和． =12．师：例2告诉我们不能把处理有限项和问题的思路及方法随意地搬到无限项和的问题中去，要特别注意极限四则运算法则的适用条件．例3求下列极限：师：本例也应该先求出数列的解析式，然后再求极限，请同学观察所给数列的特点，想出对策．生：（1）题是连乘积的形式，可以进行约分变形．生：（2）题是分数和的形式，可以用“裂项法”变形．

数学分析7.3上极限和下极限

第七章实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点. 注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点. 证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则 [a 1,b 1]?[a 2,b 2],且b 2-a 2=2 1(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项；将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]?[a 3,b 3],且b 3-a 3=2 1(b 2-a 2)= 2 M . [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项；依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]?[a n+1,b n+1],且b n -a n = 2 -n 2 M →0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而其右边至多只有{x n }中有限多个项. 由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….

极限的性质和运算法则

第周第学时教案授课教师：贾其鑫 1.4 极限的性质与运算法则教学目标: 1.掌握极限的性质及四则运算法则。 2.会应用极限的性质及运算法则求解极限教学重点：极限的性质及四则运算法则；教学难点：几种极限的种类及求解方法的归纳教学课时：2学时教学方法：讲授法、归纳法、练习法教学过程： 1.4.1 极限的性质性质1.5（唯一性）若极限)(lim x f 存在，则极限值唯一．性质1.6（有界性）若极限)(lim 0 x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个空心邻域内有界．性质1.7（保号性）若A x f x x =→)(lim 0 ，且0>A （或0x f （或0)(

第周第学时教案授课教师：贾其鑫 (3)当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 证我们只证(1)．因为A x u =)(lim ，B x v =)(lim ，由定理1.2有α+=A x u )(，β+=B x v )(，其中α，β是同一极限过程的无穷小量，于是)()()()(βα+±+=±B A x v x u )()(βα±+±=B A ．根据无穷小量的性质，βα±仍是无穷小量，再由定理1.2的充分性可得．[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim ．上述运算法则，不难推广到有限多个函数的代数和及乘法的情况．推论设)(lim x u 存在，c 为常数，n 为正整数，则有 (1) [])(lim )(lim x u c x u c ?=?； (2) []n n x u x u )]([lim )(lim =．在使用这些法则时，必须注意两点： (1)法则要求每个参与运算的函数的极限存在． (2)商的极限的运算法则有个重要前提，即分母的极限不能为零．例1 求)522(lim 1 +--→x x x ．（初等函数定义域内某点的极限）解 )522(lim 1 +--→x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x 5lim 1 )2(lim 1)2(lim 1-→+-→--→=x x x x x