等差等比数列经典例题以及详细答案

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

等差等比数列综合应用

二. 重点、难点

1. 等差等比数列综合题

2. 数列与其它章节知识综合

3. 数列应用题

【典型例题】

[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解：等差数列为d a a d a +-,,

∴ ?????=++--=+?-22)32)(()4()()(a

d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-)

2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2

23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1）

16)24(3

182+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d

① 8=d 10=a ② 38=

d 9

26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950

[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，

21=b ，}{n b 所有项和为20，求：

（1）求n n b a ,

（2）解不等式2211601

b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d

∴ 3996-=n a n

2011=-q b 109=q ∴ 1)10

9(2-?=n n b 不等式10

921601)(2121??-≤++?+m a a m m m )1(1816)399123936(2

1+??-≤-+-?m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m

032122≤+-m m

0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m

[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥

解：q a d a b a 1122=+?= ∴ )1(1-=q a d

d n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n

)]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n Λ

)]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n Λ

)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n Λ*

)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*>

),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>

∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >

[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++=Λ21，求n S 。

解：???=-=????=+++-=+++2210

48115987654d a a a a a a a a Λ n T 中共12-n 个数，依次成等差数列

11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n Λ项

∴ n T 的第一个为2)12(21121?-+-=--n n a

∴ 2)12()2(2

1)232(2111?-?+-?=---n n n n n T 122112222232-----+?-=n n n n

2222323+-?-?=n n

n n T T T S +++=Λ21

)]22()222[(3232220+-++-+++=n n ΛΛ

]2

1)21(241)41(1[33-----?=n n 2423143+?--=+n n )12)(232(232244--=+?-=n n n n

1221-+++=n a a a Λ

[例5] 已知二次函数)(x f y =在2

2+=t x 处取得最小值)0(42>-t t ，0)1(=f （1）求)(x f y =的表达式；

（2）若任意实数x 都满足等式)]([)()(1x g x b x a x g x f n n n +=++?为多项式，

*N n ∈，试用t 表示n a 和n b ；

（3）设圆n C 的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-，圆n C 与1+n C 外切),3,2,1(Λ=n ；

}{n r 是各项都是正数的等比数列，记n S 为前n 个圆的面积之和，求n n S r ,。

解：（1）设4

)22()(2

2t t x a x f -+-= 由0)1(=f 得1=a ∴ 1)2()(2

++-=x t x x f （2）将)]1()[1()(+--=t x x x f 代入已知得：

1)()]1()[1(+=+++--n n n x b x a x g t x x

上式对任意的R x ∈都成立，取1=x 和1+=t x 分别代入上式得：

???+=++=++1)

1()1(1n n n n n t b a t b a 且0≠t ，解得]1)1[(11-+=+n n t t a ，])1(1[1n n t t

t b +-+= （3）由于圆的方程为222)()(n n n r b y a x =-+-

又由（2）知1=+n n b a ，故圆n C 的圆心n O 在直线1=+y x 上

又圆n C 与圆1+n C 相切，故有111)1(2||2++++=-=

+n n n n n t a a r r

设}{n r 的公比为q ，则

?????><+=+><+=+++++2)1(21)1(22111n n n n n n t q r r t q r r <2>÷<1>得11+==+t r r q n

n 代入<1>得2)1(21++=+t t r n n ∴ 1)1()(22212222

1--=+++=q q r r r r S n n n ππΛ

]1)1[()

2()1(2234

-+++=n t t t t π

[例6] 一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购

买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（)1.1008.112=

分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。

解析一：设每期应付款x 元

第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为11

)008.01(+x 元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为10)008.01(+x 元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为x x 1008.11008.1)008.1008.11(1211

--=+++Λ 又所购电器的现价及利息之和为12

008.12000? ∴ 1212008.120001

008.11008.1?=--x 解得1761

008.1008.1161212

=-?=x 元 ∴ 每期应付款176元

解析二：设每期付款x 元，则

第1期还款后欠款x -+?)008.01(2000

第2期还款后欠款x x x x --?=-?-?008.1008.12000008.1)008.12000(2

……

第12期还款后欠款为x )1008.1008.1(008

.12000101112+++-?Λ 第12期还款后欠款应为0

∴ 0)1008.1008.1(008.12000101112=+++-?x Λ

解得1761

008.11

008.1008.120001212

=--?=x 元 ∴ 每期应还款176元

[例7] 设数列}{n a 的各项都是正数，且对任意+∈N n 都有

22133231)(n n a a a a a a +++=+++Λ，记n S 为数列}{n a 的前n 项和。

（1）求证：n n n a S a -=22；

（2）求数列}{n a 的通项公式；

（3）若a n n n b 2)1(31?-+=-λ，（λ为非零常数，+∈N n ），问是否存在整数λ，使

得对任意+∈N n 都有n n b b >+1。

解：（1）在已知式中，当1=n 时，2

131a a = ∵ 01>a ∴ 11=a

当2≥n 时，3313231n n a a a a ++++-Λ2121)(n n a a a a ++++=-Λ ①

2121313231)(--+++=+++n n a a a a a a ΛΛ ②

①－②得)222(1213n n n n a a a a a a ++++=-Λ

∵ 0>n a ∴ n n n a a a a a ++++=-1212222Λ，即n n n a S a -=22

∵ 11=a 适合上式 ∴ )(22+∈-=N n a S a n n n

（2）由（1）知，)(22+∈-=N n a S a n n n ③

当2≥n 时，11212----=n n n a S a ④

③－④得11212)(2---+--=-n n n n n n a a S S a a 112--+=+-=n n n n n a a a a a

∵ 01>+-n n a a ∴ 11=--n n a a

∴ 数列}{n a 是等差数列，首项为1，公差为1，可得n a n =