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第4章导数的应用

内容提要

本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下几个方面。

（一）函数性态的研究

1．函数的单调性

设函数在闭区间上连续，开区间可导，若在上有（或），则在上严格单调增加（或严格单减）。

注意：保证严格单调增加的条件可以放宽为，且使的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件可放宽为，且使的点不形成区间。

2. 函数的局部极值

（1）极值点的定义：若函数在点的某邻域有定义，且对一切成立（或），则称在取得[严格]极大值（或极小值），称为的[严格]极大点（或极小点）。若将“<”（或“>”）用“”（或“”）代替，则称为非严格意义下的极值。

（2）极值点的必要条件：函数的极值点必定是它的驻点或不可微点。

（3）判别极值得充分条件

一阶充分条件：设在处连续，并且在的某去心邻域内可导，则有以下结论成立：

（i）若当时，；当时，，则在处取得极大值。

（ii）若当时，；当时，，则在处取得极小值。

（iii）若在的两旁，不变号，则在处不取得极值。

二阶充分条件：设在点的某邻域内可导，，存在，则有以下结论成立：若，则是函数的极大值点。若，则是函数的极小值点。若，则对无明确结论。3. 函数的凹凸性和拐点

（1）函数的凹凸性的定义

如果在上，曲线始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称该曲线在上是凸的（或凹的）。函数称为上的凸函数（或凹函数）。

（2）凸函数的性质

（a）若是上的凸函数，则对任意及有

（b）若是上的凸函数,并且在上可导，则在上单调不减。

（c）若是上的凸函数，则对任意不相等的及，有。

（3）凹凸性判别的充分条件

设在上二阶可导，若在上，，则在上是凸的；

若在上，，则在上是凹的。

（4）拐点

拐点的定义：若连续曲线在点的近旁发生凹凸性改变，则称点为曲线的拐点。拐点的必要条件：若点是曲线的拐点，则是使的点或者是使不存在的点。

拐点判别的充分条件：设在的某邻域内二阶可导（处可以不存在，但在处连续），若在的两旁符号发生改变，则点是曲线的拐点。

4. 函数作图的步骤

（1）确定函数的定义域及某些几何特性（如奇偶性，周期性等），求出及。

（2）在函数的定义域内求出方程和的根，以及一阶，二阶导数不存

在的点，并把这些点作为分界点将定义域划分成若干个部分区间。

（3）列表并在每一个部分区间内确定，的符号，从而确定函数的单调区间，凹凸区间，局部极值点以及拐点。

（4）确定函数图形的渐近线。

（5）标出函数极值点，拐点在图形上的位置，结合（3），（4）的结果，光滑的连接这些点作出的图形。

（二）函数的最值

由于开区间内的最值点也为极值点，所以在计算上的最值可按以下步骤进行：(1) 求出在内的所有驻点和导数不存在的点，即求出在内的所有可能的极值点。

(2) 计算上述各可能极值点以及区间端点处的函数值。

(3) 比较以上各函数值的大小，最大者和最小者即为在上的最大值和最小值。在实际问题中，若由问题本身确定函数的最值存在，而可能的极值点又唯一，此时可确定该可能的极值点即为最值点。

（三）相关变化率问题的处理方法

根据具体问题建立变量间的关系式，通过对此关系式求导，求得变量间导数满足的关系式，然后根据此式以及题意从已知变量的变化率推算所求变量的变化率。（四）平面曲线的曲率

1．曲率的定义：

2．弧微分公式：

（1）若曲线方程为，则，

其中曲线弧的正向为参数从小到大描绘曲线的方向（否则根式前取负号）。

（2）若曲线方程为，则。

（3）若曲线方程为，则。

3．曲率计算公式：。

4．曲率半径的计算公式：。

（五）导数在经济学中的应用

1．基本概念

边际设函数在点处可导，则称导数值为函数在点的边际（函数），称为函数在点的边际（函数）值。

成本函数表示产品数量为时所化费的总成本。

平均成本函数

边际成本对于总成本函数，其中表示产量，则生产第个单位产品时所化的成本称为边际成本，边际成本的记号及计算公式为。

边际收益当销售价为，销售量为时，总收益函数为，则其边际收益为

边际利润销售件产品后总收益与总成本之差为总利润，记为，其边际利润为。2．弹性分析

弹性设函数在点处可导，函数的相对改变量（），与自变量的相对改变量之比称为函数在与之间的平均弹性。函数在点的弹性为。

需求价格弹性。

若，涨价则引起收入减少；若，涨价则引起收入增加。

收益价格弹性。

复习指导：

第4章导数的应用

学习指导

本章的内容较多，但主要的习题可分为三类问题：

1. 直接求函数的单调区间，极值，最值，凹凸区间，拐点，曲率等；

2. 利用单调性，最值，凹凸性证明不等式；

3. 求相关变化率，最值等的应用题。

解以上问题的要点是：

1. 正确地计算出各阶导数；

2. 对各个基本概念的理解要准确；

3. 对增或减，凹与凸，极大与极小的判别法要正确使用；

4. 证不等式时，要通过恒等变形选取合适的辅助函数，通过是否变号来确定是用单调性还是用最值证不等式，有时可能需要通过的符号来判别的符号。

5. 凸函数的常用不等式为：

（a）；

（b），

其中。

第5章积分

一、定积分

1 定积分的定义

设函数在上有定义,在区间内任意插入个分点记 ,若极限存在(极限值与的分法无关,与的取法无关),则称此极限值为在上的定积分,记为 ,同时称在上可积.

函数在上可积的必要条件是: 在上有界.

函数在上可积的充分条件是: 在上连续或分段连续.

2 定积分的几何意义

由曲线 ,直线和轴所界的各个图形面积的代数和(如图),其中轴上方图形的面积带“”号, 轴下方图形的面积带“”号.

3 定积分的性质

以下性质都是针对函数在所示区间上可积而言

(1). , 其中为常数.

(2).

(3).

(4). , ,

(5).(定积分运算对被积函数的保序性)若在上, ,则 .特别有 .

(6).(定积分的估值定理) 若在上, , 则 .

(7) (定积分的中值定理) 若在上连续,则 ,使 .

二、不定积分

1 原函数与不定积分的定义

(1)设是定义在某区间上的函数,若存在函数 ,使在该区间上成立 (或 ),则称是在此区间上的一个原函数.若和是的两个原函数,则 ,其中是某仪个常数.因此,若是的一个原函数,则原函数的全体可表达成 .

(2) (原函数存在定理)连续函数的原函数必定存在.

(3) 若函数在区间上存在原函数,则其任意两个原函数之间只相差一个常数.

(4) 称原函数的一般表达式为的不定积分,记为 .

(5) 微分运算与积分运算是一对互逆的运算，即有

（i），或；

（i i），或 .

2 基本积分公式

三、微积分基本定理

(1) (微积分第一基本定理)若在上连续,则变上限积分函数在上可微,且 .

由定理可知,若在上连续,则是在上的一个原函数.

(2) (微积分第二基本定理) 若在上连续, 是的任意一个原函数,则―――――牛顿-莱布尼兹公式

复习指导：

第5章积分

一、关于微积分第一基本定理

若在上连续,可微函数的值域均含于 ,则有

若题中含变限积分,则一般离不开变上限定积分求导.

要能熟练利用变上限定积分是被积函数的一个原函数,请看下例.

例:证明:连续奇函数的一切原函数均为偶函数;而连续偶函数的原函数中,只有一个是奇函数.

证:(1).设是连续奇函数, 是的任一原函数,则由亦是一个原函数,知 ,其中是某一常数.而

于是是偶函数.

(2). 设是连续偶函数, 是的任一原函数,则

而

由于 ,得到 ,因此是的唯一奇函数的原函数.

二、关于微积分第二基本定理

要熟练掌握并运用牛顿-莱布尼兹公式

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

2、为成功找方法，不为失败找借口。

3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。但他往往会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。