大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

11.

?、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1

设 f ( x) (A ) f (0) 2.

设 (x) sin x ),则在x 0处有(

(B ) f (0) 1 (C ) f (0) 0 (D ) -—-，

(x) 3 33 x ，则当 x 1时( 1 x cos x(x (x)与(x)

是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (A )

等价无穷小； (C ) (x)是比(

x)高阶的无穷小;

无穷小. (D ) f (x)不可导. (B ) (x)与(

x)是 (x)是比(

x)咼阶的 x

3.若F(x) 0 (2t x)f(t)dt ，其中f (x)在区间上(

1,1)二阶可导且 f (x) (A )

(B )

(C )

0，则(). 函数F (x)

必在x 0处取得极大值； 函数F (x)必在x 0处取得极小值； 函数F(x)在x °处没有极值，但点(0,F (0))为曲线y

F(x)的拐点； 4. (D)函数F (x)在x 0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y F(x)的拐点。 设f (x)

是连续函数，且 f (x)

2

—2 2

(C ) x

4小题，每小题

,则 f(x)(

5.

2

x

(A ) 2

(B ) 填空题(本大题有

2

lim (1 3x)K

x 0

1 4分，共16分)

(D ) x 2

6.

已知■co 空是f(x)的一个原函数

x 则 f (x)

7. lim n

—(cos 2

— n n cos 2 j L

n

2

n cos -

n

8.

9. 10.

2

x arcsin x 1

dx

—丄 $1 x 2

2

解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

设函数y y (x)

由方程e

x y

求— x(1 sin( xy)

1

确定，求y (x)以及y (o ).

设 f (x)

7

x . 厂dx. x 7

)

xe x

， ，2x x 2

，

、 1

求 3 f (x)dx ?

f

(xt)dt |计他 A

，且

x 0 x

, A 为常数.求

g(x)

并讨论g(x)

在x 0处的连续性.

y(1)

13.求微分方程xy 2y

x|nx

满足八'

四、解答题(本大题10分)

14. 已知上半平面内一曲线 y y (x) (x o )，过点(0,1)，且曲线上任一点 M(X 0,y 0)处切

线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线X X 。所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分)

15. 过坐标原点作曲线

y ln x

的切线，该切线与曲线y ln x

及x 轴围

成平面图形D.

(1)求D 的面积A ； (2)求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

16. 设函数f (x )在°」上连续且单调递减，证明对任意的q [°,1]

，

q

1

f (x) d x q f (x)dx

.

f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0

17. 设函数f (x)在0,上连续，且0

证明：在0

，内至少存在两个不同的点1

，2

，使

f (

°

f ( 2)

0.

(提

x

F(x) f(x)dx

示：设

、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、 填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 /COSX 、2

6 - ( ------- ) c —

—

5. e .

6. 2 x .

7. 2 .

8. 3

三、 解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导

e x y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0

g(x )

12.设函数f(x)连续，

1

9的解.

e x y ycos(xy) e x y x cos(xy) 0 y (0) 1

y(x) x 0, y

10.解： u 7

x 7x 6dx

du 原式 1 (1

u)

du

1/1 2 7 u(1 u)

7 u u

1

7仲 |u| 2ln |u 1|) c

lln |x 7 1 2ln|1 1 x 7| C

7

1

7 0 11.解: 3

f(x)dx

3

xd( e

12.解: x

xe

xe 3

1 0

3

x

dx

〔2x x 2dx

、、1 — dx

cos 2 d (令 x

2

1 sin )

-2e 3

4 由 f(0) g(x )

1

f (xt )dt 0 知

g (0)

0。 x

f (u)du xt u 0 x (x

0)

xf(x)

g(x )

g(0) lim

x

x

f (u)du 0 ___________

"2 x x

f(u)du

(x 0)

xf(x) f(x) 100 g(x) 00

lim x 0 2x

x

f (u)du 0 ___________ ~2 x

A

2 , g (x)在x 0处连续。

dy

13.解:dx

2 -y x

-dx x

In y e

'xln 3

1

y(1)

护

-dx

e x I n xdx

Cx 2 四、解答题(本大题 ^xln 3 10

分) x

2 yd x 0

C)

14.解：由已知且y 将此方程关于x 求导得

y 2y

2 特征方程：r r 2 0 解出特征根:

1

,

「2 2.

其通解为 y C 1e

x

C 2e 2x

代入初始条件y (°)

故所求曲线方程为： 五、解答题(本大题1°分) y (°) 1，得 1 e 3 2 x y

i e

15?解：(1)根据题意，先设切点为 由于切线过原点，解出x ° 1

(e y

°

A

则平面图形面积 (2)三角形绕直线 曲线y In x 与x 轴及直线 积为V 2 D 绕直线x = 六、证明题 C 1

2x (x °,ln x °) i' C 2 e ，从而切线方程为: 1 ey)dy e 1 2

y ，切线方程： 1 y x

e In 则 V 1 x °

1

(x x °) x °

x= e 一周所得圆锥体体积记为 x= e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体 1 V 2 (e ° e y )2dy 16.证明： q (1 q) f(x)d x

° 1 [0, q] 2 [q ，1] q(1 2

V V 1 V 2 (5e 12e 3) 6

2小题，每小题4分，共12分) 1

q f (x)dx

°

e 旋转一周所得旋转体的体积 (本大题有 q f(x)dx ° q

f (x) d x q( f (x) d x °

1 f (x)dx) q

1

q f(x)dx

q

q) f( 1) q(1 q) f( 2)

1) f ( 2)

°

故有： q f (x) d x ° f(x)dx

证毕。

17. F(x)

证：构造辅助函数： 上可导。F (x) f(x)，且 F(°) ,°

。其满足在［°，

］上连续，在(°')

F() f (x) cosxdx cosxdF (x) F (x)cos x sin x F (x)dx 由题设，有

F (x)sin xdx 0

有0 ，由积分中值定理，存在(0,)，使F( )sin 0即F ( ) 0

综上可知F(0) F( ) F( ) 0, (0,).在区间[0,],[,]上分别应用罗

尔定理，知存在

1 (0，)和

2 (,)，使F(1)0及F(2)0，即f(1) f(2)0 .

高等数学I解答

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案, 的括号中)

(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

sin x

f(x)

0处连续, 填在题末

1.当x x0时, 无

穷小.

都是无穷小，则当X X o时( 不一定是

(A) (B) x

2(x)

(C) ln 1

lim 2.极限x sin x a

sin a

(x) (x)

1

a

的值是

(D) (x)

(A) 1 (B) (C) e cot a (D) tan a

e

3.

(A) 1 (B) 0 (C) e (D)

1

4.设f(x)在点x a处可导，那么

mo Hh

(A) 3f(a) (C) f (a)

B (D)

二、填空题(本大题有4小题,

In (x a) Ina /

lim -------------------- (a

5. 极限x 0 x

6. 由e xy y lnx cos2x 确每小题 4 分,

0)

的值是

共16分)

丄

a .

定函数y(x)，则

1

1

丄~2

3 古)dt

2sin 2x — ye xy

_______ x ______

xe xy ln x

7. 直线I过点M（123）且与两平面x 2y z 0,2x 3y 5z 6都平行，则直

x 1 y 2 z 3

线l的方程为 1 1 1

2

8. 求函数y 2x ln（4x）的单调递增区间为

三、解答题（本大题有4小题，每小题

1

lim&i^

9. 计算极限x 0x .

2 x^x2 1

13.求 3 令丄

x

(—,0)和(1, + ) 8分，共32分）

lim 解：x

1

(^x)x e

0 elim

x 0

1

ln(1 x) 1 e x elim ln(1 x) x

x 0 x2

10.已知:

cos

解: 3 |b

a b

同|b|

26

13

sin

11.设f（x）在［a, b］上连续，且

F(x)

F(x) 解:

x

x f (t)dt

a

x

tf (t)dt

a

F (x) F (x)

f(t)dt

a

f (x)

cosx ,

xf(x) xf(x)

12.求sin3 x

cosx ,

x— dx 解：sin x

1 . 2

-xs in x

2 xd sin 2 x

sin 2 xdx

30，求|a b| o

2

cos

12

13 72

四、解答题（本大题有

2 dx 4小题,

x

(x

a

f (t)dt

1

一xsin

2

1 cot x

2

每小题8分，共32 分）

[a,b]

，试求出F (x) 0

原式

1

极大值y (1) 1，极小值y ( 1) 1

令 y 0 得 x 3 = 0, x 4 =

3 , x 5 = -

3

故拐点(-爲,-2 ), (0, 0) (" , 2 )

x 3

y — 2

15.求由曲线 4与y 3x x 所围成的平面图形的面积

3

解:—3x x 2, x 3 12x 4x 2

0,

4

AB 连线方程：y 2x 1 0 AB 4<5

ABP 的面积

二 dt

2

1 t 2

2x

y -------- 2

14.求函数 1 x 2

解：函数的定义域(—

2(1 x)(1 x)

^"2 (1 x )

得

0 x

arcsin t _2

~2

1

2

6

的极值与拐点. ,+ )

4x(3 x 2)

令y

y (1)

7

「

x 2 = -1 2\3

x )

x 1 = 1, 1 = 1是极大值点, y ( 1) 0

x 2 = -1是极小值点 6, x 0, X 3 2.

0 x 3

3x 2

2 2

6

(

4

x )dx

(3x

x

4

3 2 3

(3

2

3

/ x x ) 0

x ( -x

(—x

16

2 3 6

2

3

1

1

45 2 -47

—

3

3

设抛物线y 4 2

x 上有两点 A(

1,3) , B(3, 5)，在弧 A B 上，求一点 点P 到AB 的距离 2x y 1 寸5

2

x 2

2x 3

5

(1x3)

S(x)

”5

2x 3

2( x 2

2x 3)

S

16. x(x 6)( x 2)

0,

X

1 3

x )dx 4

4

話)

P(x,y)使ABP 的面积最大. 解：

(A) (- 的全体连续点的集合是

(-

(B) ( ,1) (1,+ (C) )

(- ,0)

(0,

(D) (-

,0)

(0,1)

(1,+

19.

( 2

设何x

ax b)

，则常数

a, b 的值所组成的数组( a, b )为

(A )

(1 , 20. 设在［0 ,

(A ) f (°)

0)

1］上

(0, 1) (C ) (1, 1)

(B )

f(x)

二阶可导且f (x)

，贝U(

f(1) f (0)

(B) f (0)

(D )

f(1)

(1, -1 )

f (0) f (1)

S (x) 4 0

当x 1时S( x)取得极大值也是最大值 此时y 3 所求点为(1, 3)

另解：由于 ABC 的底AB —定,故只要高最大而过C 点的抛物线 的切线与AB 平行时，高可达到最大值，问题转为求C(x o ，4 xf) ,使f (X o )

2X o

5 3

3 1

2,解得 X o 1,所求 C 点为(1,3)

六、证明题(本大题4分)

17.

设x 0 , 试证 2x

e (1

x) 1 x .

证明： 设 f(x)

e (1 x) (1 x), x 0

f (x) e 2

x

(1 2x) 1 f

2 x

(x)

4xe ,

x

0, f

(x)

0 因此f

(x)

在(0, +

) 内递

减。

在 (0, + ) 内， f (x) f (0)

0, f(x) ［在 (0, + )内递减,

在 (0, + ) 内， f(x) f(0),即 e 2x

(1 x)

(1 x) 0

亦即当 x>0 时， e 2x (1 x) 1

x

高等数学I A

一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的 括号中) (本大题有4小题，每小题4分，共16分)

18. 函数

ln(x 1)

tan — x,

2

sin x,

f(x)

lim 斗

A 1 计算 x 0 sin x

x

图形如图所示，给出

f （x ）的极大值点、极小值点以及曲线

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

(C) f (1) f (0)

f(1) f (0)

(D ) f (1) f(0) f (1)

f (0)

"2?

4

7

sin xcos x , kl z ? 3

4

2 - 3

4

M

2 dx, N (sin x

cos x)dx P

(x sin x

cos x)dx

1 x

21.

2

~2

则（ )

(A ) M < N < P (B ) P < N < M

(C ) P < M < N (D ) N < M < P

-—

:填空题（本大题有 4小题, 每小题 4分，共 16分）

1. 设

2 J

x 1 d(x arctan . x 1)

（

)

2.

设

f(x)dx

sin x c,

则 f

(n)(x)dx

（

)

x 4 y z 5

3.

直线方程2 m n 6

P ，与xoy 平面， yoz 平面都平行，

那么m,n, p 的值各为（

)

1

x cos — , x

f(x)

x

2.

3.

设函数y f

（x ）在（ 0

试讨论f （x ）的可导性，并在可导处求出f （X ）

）连续，在x 0时二阶可导，且其导函数f （X ）的 4.

lim

x

i 2 i

n —e

i i

n

解答题（本大题有 （ ）

3小题，每小题8分，共24 分）

y f （x ）的拐点

/X 2 2 dx

(x 1) x

1. 求不定积分

e

In x dx

1 2. 计算定积分e 3.已知直线li ：

1 2 V |

2

求过直线I i 且平 行于直线I 2的平面方程 2 4.过原点的抛物线y ax 及y=0,x=1所围成的平面图形绕x 轴一周的体积为 81 5 ，确定抛物线方程中的a ,并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。 五、综合题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)

2

1.设 F(x) (x 1) f (x)，其中

(1 2 )使得

证明存在 x f(x) (t 2. 0 (1) t 2)si n 2n tdt (x 5. 6. 7. (2)

f(x)在区间［1,2］上二阶可导且有f(2) 0

，试

F ( ) 0。 0) 求f (

x)的最大值点； 1 证明: f(x) (2n 2)(2n

、单项选择题B D 、填空题(本大题有 dy 2 I x 1 3) B C. 4小题，每小题 4arcta n 、x 1 )dx f (n)(x)dx cos(x —)dx sin(x 2 4分, I 〉

共16分)

m 2, p 6,n 0 1 -(e 1) 2 . 二、解答题(本大题有

8. lim(— 9. (8分)计算极限x 0 “ 1 1 解：00(亦3

x sin x x lim 3 ------------ x 0 x 3

x

1 cos x 1

2lim 厂 x 0 3x 2 3

3小题，每小题 1 1

2 2

)

-sin x x . 2 . 2

x sin x

lim 2 ------- -

x 0 x sin x sin x 8 分, 共 24 分)

i

2

2

2

1

「“、 x cos-, x 0 f (x) x

10. (8分)设 x x 0

，试讨论f (x )的可导性，并在可导处求出

f (x).

解：

1 x 0, f (x) 2xcos- 当

x

1 sin — x ;当x

0, f (x) 1

2

1 x cos 0

..

x 0 lim

1

x

f '(0) lim

x 0 f '(0) X

x

X

x

1 1 2xcos sin

x 0

f x x

X

故f (x)在x=0处不可导。

1

x 0

11. (8

分)设函数y f(x)在(, )连续，在x 0时二阶可导，且其导函数 f

(x)的图形如图.给出f (x )的极大值点、极小值点以及曲线 y f (x )的拐

x In x

12. 解：极大值点：X a x d 极小值点：X b 拐点(0, f

(0)),( c,f(c)) 解答题(本大题有4小题，每小题9分，共36分) (x 2)

：dx

x(x 1)2 .

—)dx x 1 (9分)求不定积分 \ / 八2

解：原式=X (x 1) 1 1

e 1 e

4ln x 3ln x 1 In x dx

13. (9分)计算定积分 1 解：原式=e

In x dx

e

In xdx

e x 1

i

2

2

x y z 1

l

1 : _ —

14. (9分)

已知直线 1 2 3 于直线l 2的平面方程. 解：n s s ? (1,2,3) (2,5, 4)(

取直线l 1上一点M(0,0,1) 7X 2y (z 1) 0 2

15. (9分)过原点的抛物线y ax 81 l : X 1 y 2 z 3 2:

2 5 4 ,求过直线丨1且平行

7,2,1) 于是所求平面方程为 (a 0)及y=o, x=1所围成的平面图形绕

X 轴一周的体积为5 1

V 解： 0

2 2

(a X ) dx

.求a,并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积. a 2 81

5 5 小

2 抛物线为：y 9X 1 4

2 X V 2 X 9X dx 18 — 绕y 轴一周所成的旋转体体积： 0 4 五综合题(每小题4分，共8分) 2 16. (4分)

设F (x) (X 1) f(x)，其中f(x)在区间［1,2］上二阶可导且有 f(2) 0.证明：存在(1 2 )使得F ( ) 0 ° 证明：由f(x)在［1 ,2］上二阶可导，故F(X )在［1 ,2］二阶可导，因f (2)=0, 故 F (1)= F (2) = 0 在［1 , 2］上用罗尔定理，至少有一点X 0,(1 X 0

得F ⑴

由已知得 2) 使 F (

X 。) F (X ) 2(X 1)f (X ) (X 1)2 f (X )

在[1 , X 。]上对F (X)用罗尔定理，至少有点 17. (4 分). 解：(1) f (X) I (X (1 X 0 2) F ( ) 0

f (X) (X (2)

f (X) X 1为f (X )

的最大值点。 X 2)sin 2n

x ，当 0x1 , f (X) 2 2n

X )sin X 0 o

f (1)为极大值，也为最大值。 X 2 2n

0(t t 2)si n 2n tdt f(1)

(X 2 2n

X )sin

f(1) 1

0(

t t 2)si n 2n tdt 1 2 2n (t t )t dt 0 (2n 2)(2 n 3)

高等数学上B ( 07)解答

、填空题：(共24分，每小题4 分)

dy

2 ---------------------- 2 2

1. y sin[sin( x )]，贝y dx 2xcos[sin(x )]cos X o

精品文档

1 x

2. 已知 1 2" x , a =

1 。 3. e 1 e

ln x dx 2 2 - e 。 x

4. ye 过原点的切线方程为y ex f '(ln x) d x

5. 已知 f(x) e x , 则 x =x c 。 3 9

6. a 2

, b 2

时, 点(1,3)

是曲线 y ax 3 bx 2 的拐点。 二 计算下列各题： (共 36 分, 每小题6分) cosx [.求 y (sin x) 解: y (e )e (sinxln sin x 2.求 sin ln xdx 。 解: sin ln xdx xsinln x cosln xdx xsin ln x xcosln x sin ln xdx -(xsin ln x xcos ln x) C cot x cos x) 的导数。 cosxInsin x

/ cosxInsin x 、

「:￡dx 。

3.求 解: -5— dx

x

4.设 ■- X 2 1 f (X) 5ln |x x e , k x 1|

1, 0

在点

处可导，则k 为何值?

解：f(0) k lim — x 0

x x im 0 x k

f (0)

x

im

精品文档

1 x 宀)

■ n n 。

5.求极限解：lim( n

lim( _____ — n n 2 12 n 2

1

lim

n

n

ln(1

k 1

6. 方程。 解

S (1,2, 1) 1

—22 n 2)

求过点（2, 2, °）且与两直线

两 （

1, 1,1）

直 线 (1, 2, 3), S 2 n (1, 2, 3) (°, 1, 1) 平面方程为x y z 三、解答下列各题： 2y y z 1

° 2x 1

°和x

的

(2, 1,1)

向 向

(1, 1,1) (°,

量

1,

z °

z

°平行的平面

分 别 为

1）

,平面的法向量

(1,1, 1) ° O

(共 28 分, x Rcost d 2y

设y Rsint 求 dx 2 O

dy cott

dx

d 2y

(cott)t

1

1

Rs in t

3

dx 2

Rs in t

x

求 F (x) °t(t 1)dt

在［

1,2］

上的最大值和最小值。

F (x) )x(x 1)

°, x °, x 1

F(°)

°,F(1)

1

1 °t(t "dt 孑

1

5

2 2 F( 1)

t(t

° \

1)dt

6

,F(2) °

t(t 1)dt

3

2

5

最大值为3，最小值为

6 O

设y y(x)由方程x(1 y 2

) ln(x 2

2y) °

确定，- 方程 x(1 y 2)

2

|n （x 2

y ） °两边同时对

x 求导

一 2

)2xyy

2x 2y

°

(1 y

2

x 2y

x °,y

1

将

2代入上式

每小题7分）

1. 解: 3. 解:

2. 解: 求 y'(°

)。

5

y

'(o )8

2 2

4?求由y x 与y x 围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积。 解：V 0(y y 4)dy

10

四、证明题：(共12分，每小题6分)

1 ?证明过双曲线xy 1任何一点之切线与OXQY 二个坐标轴所围成的三角 形的面积为常数。

证明：双曲线xy 1上任何一点(x,y)的切线方程为

1

Y y —(X x)

x

(0, y

切线与x 轴、y 轴的交点为

s x(y )

2 故切线与OX ，OY 二个坐标轴所围成的三角形的面积为 x

2.

设函数f(x)与g (x )在闭区间［a,b ］上连续，证明：至少存在一点

使得

b

f( ) g(x)dx g( ) a f(x)dx

b

x 证明：令 F (x)

x

g (x)dx a f (x)dx

F(a) F(b) 0，由 Rolle 定理，存在一点 ［a

,b ］，使 F( ) 0，即

b

f( ) g(x)dx g( ) a f(x)dx

高等数学上解答(07)

单项选择题(每小题4分，共16分) 1. f (x) xcosxe |sir 1X|

(

x )

是 A 。

(A )奇函数； (B ) 周期函数； (C )有界函数；

(D )单调函数 2.当 x 0 时，f (x)

(cos x) ln(1 c 2、

2x )与B 是同阶无穷小量。 (A ) x 3;

(B ) 4 x ? 7

(C ) x 5 ； (D ) x 2 x 2y z

3.直线x y 2z

与平面x y z 1

的位置关系是 C 。 (A )直线在平面内; (B ) 平行；

(C )垂直； (D )相交但不

垂直。

r r r r r

r r r

r

r 4.设有三非零向量 a,b,c 。 若 a b o,

a c 0

，贝y b c A

。 (A ) 0; (B ) -1 ； (C ) 1；

(D ) 3

二、填空题(每小题4分，共16分)

1.曲线y lnx 上一点P 的切线经过原点(0,0)，点P 的坐标为(e ，1)

1

-),(2 x,0) x

精品文档

2. lim

x 0

tan x x 2(e x x

1)

3. ______________________________________________________ 方程 e y 6xy x 2 1 0 确定隐函数 y y(x)，则 y (0) _Q _______________________

。

2 4. 曲线y x 、x 1与x 轴所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 解下列各题(每小题6分，共30分) t sin 2 x t 已知f(x) t lim f (x) lim J 解： t )

，求 f (x) .2 sin x e

sin 2

x f (x) e

sin2x

2.求不定积分 [ln(ln x) 丄]dx ln x 。 ^]dx ln(ln x)dx —dx ln x

x ln(ln x) x ln(ln x) —dx ln x C 1 2 sin x / ( 4 1 1 x —dx ln x 3.计算定积分 1 2/sinx 2,. x ( 4 .1 x )dx 1 1 x 4 ：(x 2 .1—x 2)dx 0 x si nt 2 解: 02sin 2tco s 2tdt 4.求不定积分 1 sin x , dx 1 cosx 。 1 sin x , dx

解: 1 cosx

x 2

)dx 。 1 dx 1 cosx Jx^.1 x 2

)dx sin x , dx 1 cosx

2

sin x ,

x 4dx 1 x

1 sec

2 - dx 2 2 d cosx 1 cosx x tan ln 2 5 .已知 f (ln x)

|1 cos x | C 解：令lnx 且 f(1) e 1 f (t) e t

,求 f (x)。

f(x) e x