集合,常用逻辑用语不等式
质量检测(一)
测试内容:集合、常用逻辑用语不等式
(时间:120分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2012年福州市高三第一学期期末质量检查)已知集合A={x|x>3},B={x|2 C.{x|3 解析:A∩B={x|x>3}∩{x|2 答案:C 2.(2012年合肥第一次质检)集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是( ) A.{4} B.{4,-1} C.{4,5} D.{-1,0} 解析:本题主要考查集合的运算与韦恩图.由图可知阴影部分表示的集合为(?U B)∩A,因为B={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},因此(?U B)∩A={4,-1},选B.本题为容易题. 答案:B 3.(2012年河北省衡水中学期末检测)若集合A ={0,m 2},B ={1,2},则“m =1”是“A ∪B ={0,1,2}”的 ( ) A .充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分又不必要条件 解析:当m =1时,m 2=1,A ={0,1},A ∪B ={0,1,2},若A ∪B ={0,1,2},则m 2=1或m 2=2,m =±1或m =±2,故选B. 答案:B 4.若a ( ) A.1a >1b B. 1a -b >1 b C.-a >-b D .|a |>-b 解析:∵1a -1b =b -a ab >0, ∴A 一定成立;∵a -b >0, ∴ -a > -b ,即C 一定成立; |a |=-a ; ∴|a |>-b ?-a >-b ,成立,∴D 成立; 当a =-2,b =-1时,1a -b = 1 -2+1=-1=1 b ,所以B 不一定成立,故 选B. 答案:B 5.设A 、B 是非空集合,定义A ×B ={x |x ∈(A ∪B )且x ?(A ∩B )}.已知A = {x |y =2x -x 2},B ={y |y =2x ,x >0},则A ×B 等于 ( ) A .[0,1]∪(2,+∞) B .[0,1]∪[2,+∞) C .[0,1] D .[0,2] 解析:∵A =[0,2],B =(1,+∞),∴A ×B ={x |x ∈(A ∪B )且x ?(A ∩B )}=[0,1]∪(2,+∞).故选A. 答案:A 6.(2012年厦门模拟)设命题p :若a >b ,则1a <1b ,q :若1 ab <0,则ab <0. 给出以下3个复合命题,①p ∧q ;②p ∨q ;③綈p ∧綈q .其中真命题的个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .3 解析:p 为假命题,q 为真命题,所以只有②正确,故选B. 答案:B 7.在算式“4 △+1 □=30 □×△”的两个□、△中,分别填入两个正整数,使它们的 倒数之和最小.则这两个正整数构成的数对(□,△)应为 ( ) A .(4,14) B .(6,6) C .(3,18) D .(5,10) 解析:题中的算式可以变形为“4×□+1×△=30”.设x =□,y =△,则4x +y =30.30? ?????1x +1y =(4x +y )? ?????1x +1y =5+? ?? ?? ? y x +4x y ≥5+2 y x · 4x y =9,当且仅当 y x = 4x y ,即x =5,y =10时取等号,所求的数对为(5,10).故选D. 答案:D 8.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.1ab >1 2 B.1a +1 b ≤1 C.ab ≥2 D .a 2+b 2≥8 解析:a +b =4≥2ab ,ab ≤2,ab ≤4 ∴1 ab ≥1 4,故C 错,A 错. 1a +1 b =a +b ab = 4 ab ≥1,故B 错. (a +b )2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2) ∴a 2+b 2≥8,故选D. 答案:D 9.(2012年广东番禺模拟)已知命题p :“?x ∈[0,1],a ≥e x ”,命题q :“? x ∈R ,x 2+4x +a =0”,若命题“p ∧q ”是真命题,则实数a 的取值范围是( ) A .[e,4] B .[1,4] C .[4,+∞) D .(-∞,1] 解析:若p 真,则a ≥e ;若q 真,则16-4a ≥0?a ≤4,所以若命题“p ∧ q ”是真命题,则实数a 的取值范围是[e,4].故选A. 答案:A 10.(2012年辽宁)设变量x ,y 满足???? ? x -y ≤10,0≤x +y ≤20, 0≤y ≤15, 则2x +3y 的最大 值为 ( ) A .20 B .35 C .45 D .55 解析:可行域如图所示: 由????? y =15,x +y =20 得A (5,15),A 点为最优解, ∴z max =2×5+3×15=55,故选D. 答案:D 11.若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对于x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A .(-2,2) B .[-2,2] C .(-2,2] D .[-2,2) 解析:当a =2时,不等式-4<0恒成立;当a ≠2时, 由????? a -2<0Δ=4a -2 2+4×4a -2<0 ,解得-2 ∴符合要求的a 的取值范围是(-2,2],故选C. 答案:C 12.设A ={x | x -1 x +1 <0},B ={x ||x -b | 分条件,则实数b 的取值范围是 ( ) A .-2≤b ≤2 B .-2≤b <2 C .-2 D .b ≤2 解析:A ={x |-1 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.命题p :?x ∈R ,f (x )≥m ,则命题p 的否定綈p 是______. 答案:?x ∈R ,f (x ) 14.(2012年安徽)若x ,y 满足约束条件???? ? x ≥0,x +2y ≥3, 2x +y ≤3,则x -y 的取值范 围是________. 解析: ①作出可行域,如图中阴影部分; ②作出零线x -y =0并平移,判断A ,B 点坐标; ③由??? ?? x +2y =3,2x +y =3 解得A (1,1),由??? ?? 2x +y =3, x =0 解得B (0,3),∴(x -y )max =1-1=0,(x -y )min =0-3=-3,∴x -y ∈[-3,0]. 答案:[-3,0] 15.已知条件p :|x +1|>2,条件q :5x -6>x 2,则非p 是非q 的________条件. 解析:∵p :x <-3或x >1,∴綈p :-3≤x ≤1. ∵q :2 16.已知命题p :“?x ∈[1,2],1 2 x 2-ln x -a ≥0”与命题q :“?x 0∈R ,x 20+2ax 0-8-6a =0”都是真命题,则实数a 的取值范围是______________. 解析:若p 真,则?x ∈[1,2],? ???? ?12x 2-ln x min ≥a ,∴a ≤12;若q 真,则(2a )2 -4×(-8-6a )=4(a +2)(a +4)≥0,∴a ≤-4或a ≥-2,∴实数a 的取值范围为 (-∞,-4]∪? ?????? ?-2,12. 答案:(-∞,-4]∪? ?????? ?-2,12 三、解答题(本大题共6小题,共70分,17题10分,18~22题,每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.设全集U =R ,函数y =log 2(6-x -x 2)的定义域为A ,函数y = 1 x 2-x -12 的定义域为B . (1)求集合A 与B ; (2)求A ∩B ,(?U A )∪B . 解:(1)函数y =log 2(6-x -x 2)要有意义需满足6-x -x 2>0,解得-3 1 x 2-x -12 要有意义需满足x 2-x -12>0,解得x <-3或 x >4, ∴B ={x |x <-3或x >4}. (2)A ∩B =?,?U A ={x |x ≤-3或x ≥2}, ∴(?U A )∪B ={x |x ≤-3或x ≥2}. 18.我们知道,如果集合A ?S ,那么S 的子集A 的补集为?S A ={x |x ∈S ,且x ?A }.类似地,对于集合A ,B ,我们把集合{x |x ∈A ,且x ?B }叫做集合A 与B 的差集,记作A -B . 据此回答下列问题: (1)若A ={1,2,3,4},B ={3,4,5,6},求A -B ; (2)在下列各图中用阴影表示集合A -B ; (3)若集合A ={x |0 -1 2 数a 的取值范围. 解:(1)根据题意知A -B ={1,2}. (2) (3)A ={x |0<ax -1≤5},则1<ax ≤6, 当a =0时,A =?,此时A -B =?,符合题意; 当a >0时,A =? ???? ?1a ,6a ,若A -B =?,则6a ≤2,即a ≥3; 当a <0时,A =??????? ?6a ,1a ,若A -B =?,则6a >-12,即a <-12. 综上所述:实数a 的取值范围是a <-12或a ≥3或a =0. 19.(1)求函数y = 2x x 2+1 在x >0时的最大值; (2)已知x +y +xy =2,且x >0,y >0,求x +y 的最小值. 解:(1)因为x >0,所以y = 2x x 2+1 = 2x + 1x , 而x +1 x ≥2,故0< 1x +1x ≤12,则0<2 x + 1x ≤1, 当且仅当x =1 x 即x =1时,y 的最大值为1. (2)由xy =2-(x +y )及xy ≤? ????? x +y 22 得 2-(x +y )≤ x +y 2 4 , 即(x +y )2+4(x +y )-8≥0. 解得x +y ≥2 3-2或x +y ≤-2-2 3. 因为x >0,y >0,所以x +y ≥23-2, 当且仅当x =y 且x +y +xy =2, 即x =y = 3-1时,x +y 的最小值为2 3-2. 20.(2013届湖北省黄冈中学高三11月月考)已知p :f (x )=1-x 3 ,且|f (a )|<2; q :集合A ={x |x 2+(a +2)x +1=0,x ∈R },且A ≠?. 若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数a 的取值范围. 解:若|f (a )|=|1-a 3|<2成立,则-6<1-a <6, 即当-5 若A ≠?,则方程x 2+(a +2)x +1=0有实数根, 由Δ=(a +2)2-4≥0,解得a ≤-4,或a ≥0, 即当a ≤-4,若a ≥0时q 是真命题; 由于p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,∴p 与q 一真一假, p 真q 假时,??? ?? -5 -4 ,∴-4 p 假q 真时,??? ?? a ≤-5或a ≥7 a ≤-4或a ≥0 ,∴a ≤-5或a ≥7.故知所求a 的取值范围是 (-∞,-5]∪(-4,0)∪[7,+∞). 21.某工厂生产甲、乙两种产品,每生产一吨产品所消耗的电能和煤、所需工人人数以及所得产值如下表所示: 得超过160千度,消耗煤不得超过150吨,问怎样安排甲、乙这两种产品的生产数量,才能使每天所得的产值最大? 解:设甲、乙两种产品每天分别生产x 吨和y 吨,则每天所得的产值为z =7x +10y 万元. 依题意,得不等式组????? 2x +8y ≤160, 3x +5y ≤150, 5x +2y ≤200, x ≥0,y ≥0. (※) 由????? 2x +8y =160,3x +5y =150, 解得????? x =200 7,y =90 7 . 由????? 5x +2y =200, 3x +5y =150, 解得? ??? ? x =70019 , y =150 19. 设点A 的坐标为? ?????2007,907,点B 的坐标为? ???? ?70019,15019,则不等式组(※)所表示的平面区域是五边形的边界及其内部(如图中阴影部分). 令z =0,得7x +10y =0,即y =- 7 10 x .作直线l 0:y =- 7 10 x .由图可知把l 0 平移至过点B ? ?? ?? ?70019,15019时,即x =70019,y =15019时,z 取得最大值6 40019. 答:每天生产甲产品70019 吨、乙产品 15019 吨时,能获得最大的产值 6 40019 万 元. 22.某种商品原来定价每件p 元,每月将卖出n 件,假若定价上涨x 成(这里x 成即x 10 ,0 (1)设y =ax ,其中a 是满足1 3≤a <1的常数,用a 来表示当售货金额最大时 的x 的值; (2)若y =2 3 x ,求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 解:(1)由题意知某商店定价上涨x 成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是 p ? ?????1+x 10元,n ? ???? ?1-y 10元,npz 元, 因而npz =p ? ?????1+x 10·n ? ?????1-y 10, ∴z = 1 100 (10+x )(10-y ),在y =ax 的条件下, z = 1100? ?? ?? ?? ? -a ? ?? ???x -51-a a 2 +100+251-a 2a , 由于1 3 ≤a <1,则0< 5 1-a a ≤10, 要使售货金额最大,即使z 值最大, 此时x = 5 1-a a . (2)由z =1 100(10+x )? ???? ?10-23x >1,解得0 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用 . 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ; ②空集是任何集合的子集,记为A ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ,同时A B ,那么A=B. 如果C A C B B A ,那么,. [注]:①Z ={整数}(√)Z ={全体整数}(×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例: S=N ;A=N , 则C s A={0}) ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A =,C A B =C S (C A B )=D (注:C A B =). 3.①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R 二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R }一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例:1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是.(例:A={(x ,y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =) 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n -1个.③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例:①若325b a b a 或,则应是真命题. 解:逆否:a =2且b =3,则a+b =5,成立,所以此命题为真. ②,且21y x 3y x . 解:逆否:x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分,又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3.例:若255x x x 或,. 4.集合运算:交、并、补. 5.主要性质和运算律 (1)包含关系:,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C (2)等价关系:U A B A B A A B B A B U I U U C (3)集合的运算律: 交换律:. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律:,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律:. ,A A A A A A 求补律:A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律:C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义:有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数,记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式: (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式,并将各因式x 的系数化“+”; (为了统一方便) 2020-2021学年高一数学晚练(一) 命题人:范修团 时间:45分钟 满分:80分 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中,能组成集合的是( ) A .高一(3)班的好学生 B .嘉兴市所有的老人 C .不等于0的实数 D .我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}<集合与常用逻辑用语重要知识点
第1章 集合与常用逻辑用语(一)
高三第一轮复习10----常用逻辑用语与不等式训练题