线性代数(同济六版)知识点总结归纳

1. 二阶行列式--------对角线法则 :

2. 三阶行列式 ①对角线法则

②按行（列）展开法则

3. …

且比大的元素个数有个，

则。 排列中，奇偶各占一半，即

对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性4.

其中： 数 5.

下三角行列式:

副三角跟副对角相识

对角行列式： 副对角行列式：

6. 行列式的性质：

①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =

②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 ：两行（列）相同的行列式值

33

323123

222113

1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=31

2213332112322311a a a a a a a a a ---31

2111

a a a n n

2211n n

n 2n 1222111

...a a a a ...a a 0

a a a = n

...λλλλλλ21n

21

=

n

2

1

λλλ n

212

1)

n(n λλλ1)

( --=

为零。 互换两行：

③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k

推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0

第列上：7.

（下）

8. 剩下的( 的余子ij 代数余子式：记 A ij = ( ?1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式 。 ②重要性质，定理

1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与

其对应的代数余子式乘积之和， 即：

in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj

nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= 或

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即 或

使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0的行（列），从该行选取一个非0元素a ij ，并将该行其他元素

ij ij 9. 0，则无解

其中

即：

D = 0，第二章1. (i=1,2,(是

一组数 行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。 同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵

A=B ： 矩阵A 和矩阵B 为同型矩阵，且对应的元素相等。

零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为O ，不同型的零矩阵是不相等的。

对角矩阵：对角线元素为12,,,n λλλ，其余元素为0的方阵 单位矩阵：对角线元素为１，其余元素为0的方阵，

2. 矩阵的运算

1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律 2）数与矩阵相乘

①()()A A λμλμ=，②()λμλμ+=+A A A ，

()λλλ+=+A B A B 3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；

数；

j 4

3. 矩阵的转置：把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作A T .

如：

性质： 设A 为n 阶方阵，如果满足

，即

，则A 为对称阵 如果满足 ，即

，则A 为反对称阵

4. 方阵的行列式：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记

122,458A ??= ???1425;28T

A ?? ?=

? ???(3) ();T T A A λλ=(4) ().

T

T

T AB

B A =1112121

22

211

n n m m mn a a a a a a A A a a a λλλλλλλλλλλ?? ? ?== ?

???

作|A |或det A .

性质：①T

||||=A A ，②||||n

λλ=A A ，③||||||=AB A B 。

5. 伴随矩阵：其中是

的代数余子式，*A 称为A 的伴随矩阵。（特别注意符号）

6. 逆矩阵：对于n 阶方阵 A ，如果有 n 阶方阵 B ，使得AB = BA = E ，则称A 可逆， 的逆矩阵，记为 0

A 可逆，且逆矩阵

。此时称

为非奇异矩阵。若

，则称A 为奇异矩阵。

二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。 。零矩阵是不可逆的。 可逆，那么

、

，若

左边，则

必须在C

左边，7. 行分块；

每一个小块称为矩阵的子块；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.

分块矩阵的运算：（其运算与矩阵运算基本一致）

1）加法：要求矩阵A 和B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个

1121

112222n n A A A A A A A *?? ? ?= ? ?

注意：元素的代数余子式是位于的第j 行第i 列（类似于转置） A = ----->

1T -）

子块也是同型的)

2）分块矩阵A 的转置：除了A整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。

8. 分块对角矩阵：

设A是n阶矩阵，若：

①A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，

|

| ≠0，并且

分块副对角矩阵：

的充分必要条件：

第三章

1. （运算符号：）

①互换两行，记做，记做k倍加到第行上，记做

2. 等价，记做

的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ = B

3. 矩阵之间等价关系的性质：

①反身性：②对称性：若，则③传递性：若，，则

4. 行阶梯形矩阵：

1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；

1

2

s

A

A

A

A

??

?

?

=

?

?

??

1

s

A-

?

??

?

2）每个台阶只有一行；

3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.

行最简形矩阵：

4）非零行的首非零元为1;

5）首非零元所在的列的其它元素都为零.

5.

1

2记作

3行，记作

12l

A= P1 P2…, P l．

推论：方阵A 可逆的充要条件是

如果，则存在可逆矩阵P，使PA = B。

? ：即当A变换成B是

时，E变为P（求P）

求方阵A的逆矩阵方法总结：~ r

A E

r r

方法1：①判断A 可不可逆：若 ? A 可逆 --- 书中P41页

②

：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号

方法2：本身蕴含了判断A 可不可逆的条件，即 ? A 可逆 --- 书中P64页例2

：即对矩阵 (A,E) 进行初等行变换，当A 变成E 时，E 就变

成了所求的

求

方法：

变成E

时，B

二、 1. k 列 k 阶行列式，称为矩阵 m ×

2. （如 r 称为矩阵 1）对于n 阶方阵A ，R(A) = n (称A 满秩) ?

? A 可逆

2）若

，则R(A) = R(B)

3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数 4）

5）若P 、Q 可逆，则R(PAQ) = R(A) (∵

)

即：可逆矩阵与任何矩阵A 相乘，都不会改变所乘矩阵A 的秩

r

r 求秩方法：将矩阵化为行阶梯

形矩阵

6）max { R(A), R(B) } ≤ R(A, B) ≤ R(A) + R(B) 当B = b 为非零列向量时，R(A) ≤ R(A, B) ≤ R(A) +１ 7）R(A+B) ≤ R(A) + R(B) 8）R (AB ) ≤ min{R (A ), R (B )} 3. 线性方程组的解 n

1 2 n 有非零解第四章1. n 的 n 第 2. 3. 4. 给定向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 和向量 b ，如果存在一组实数 l 1, l 2, …, l m ，使得

b = l 1a 1 + l 2a 2 + … + l m a m

则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A 的线性表示． 向量 b 能由向量组A 的线性表示 ? R(A) = R(A, b) ? 方程组x 1a 1 + x 2a 2 + … + x m a m = b 有解

5. 设有向量组 A ：a 1, a 2, …, a m 及 B ：b 1, b 2, …, b l ， 若向量组 B 中的每个向量都

①有唯一解

②有无限解

能由向量组A线性表示，

则称向量组B能由向量组A线性表示．若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价．

两个向量组等价?R(A) = R(B) = R(A, B)

6. 向量组B能由向量组A线性表示? 存在矩阵K，使B = AK ? 矩阵方程AX=B 有解

1.

2.

m-1

3.

4. n

一。

维单位坐标向量组E：e1, e2, … , e n能由向量组A：a1, a2, …, a m线性表示?. R(A) = n

5. 定理

1）若向量组 A ：a1, a2, …, a m 线性相关，则向量组 B ：a1, a2, …, a m, a m+1也线性相关．

其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组A 也线性无关．2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关．特别地，n + 1个n维向量一定线性相关．

3）设向量组 A ：a1, a2, …, a m 线性无关，而向量组 B ：a1, a2, …, a m, b线性相关，

1.

A

2.

3. 全体n 维向量构成的向量组记作R n，向量组E是R n的一个最大无关组，且R n的秩等于n

4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩．

5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。

如：向量组A ：a1, a2, a3, a4, a5，假设A0：a1，a2，a4是一个最大无关组，把a3, a5用a1，a2，a4线性表示：

四、线性方程组的解的结构 1. 设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果x 1 = ???，?x 2= ???，...， x n = ??n 为该方程组的解，则称

为方程组的解向量

2. 性质：若 x = ? 1， x = ? 2 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = ? 1 +?? 2 还

是 Ax

= 0 3. 把 x = ?

1

, x ． 4. 设 R S = n ? 5. 设 设6. 非齐次方程组的解的性质：

①若 x = ? 1， x = ?2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，则 x = ? 1 ? ? 2 是对应的齐次线性方程组

Ax = 0 （导出组）的解．

②若 x = ? 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解， x = ? 是导出组 Ax = 0 的解，则 x = ? + ? 还是 Ax = b 的解．

可以看出：

b 3 = ? b 1 ? b 2 b 5 = 4b 1 + 3b 2 ?

11211n ξξξξ??

?

?= ? ???21112101041121401103~46224000133697900000r A B ---???? ? ?--

? ?== ? ?

--- ? ?-????

7. 若x = ??是Ax = b的一个特解，Ax = 0 的通解为? = c1??+c2??+…+c n-r?n-r

于是：Ax = b的通解为? = c1??+c2??+…+c n-r?n-r + ??

即：非齐通 = 齐通 + 非齐特特解：没有线性相关要求，只要是解就可以