历年上海高考试题(数列)

历年上海高考试题(数列)

班级 学号 姓名

1、（98上海）在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意自然数n ，3a n ＋1－a n ＝0，b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则的各项和为____________

2、（99上海）在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7,，且a 1>0，若S n 取得最大值，则n=__________

3、(00上海) 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n ＝a 1＋a 2＋……＋a 19－n (n ＜19，n ∈N )成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______ __成立

4、(01春上海)甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%。乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元。（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）。

5、(02上海)若数列}{n a 中，2

11,3n n a a a ==+且（n 是正整数），则数列的通项=n a

6、(03上海)等差数列}{n a 中，a 5=3, a 6=－2,则a 4+a 5+…+a 10=

7、(03上海)若首项为a 1,公比为q 的等比数列}{n a 的前n 项和总小于这个数列的各项和,则首项a 1,公比q 的一组取值可以是（a 1，q ）=

8、(03上海)),0,24(),2,0(),2,0(n

C n B n A +-其中n 的为正整数.设S n 表示 △ABC 外接圆的面积，则n n S ∞→lim = . 9、（04上海春）在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(lim n a n n _____________.

10、（04上海春）在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列。然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，

非常数数列}{n a 的一个例子是____________.

11、（04上海）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－2

1, 且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=3

8,则a 1= . 12、（04上海）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }

是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)

①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .

其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.

13、(91上海)在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450,则a 2＋a 8＝( )

A .45

B .75

C .180

D .300

14、（94上海）某个命题与自然数有关，如果当n=k(k ∈R)时该命题成立，那么可以推得当n=k+1时该命题也成立。现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可以推得 （ ）

（A ）当时该命题不成立； （B ）当时该命题成立；

（C ）当时该命题不成立； （D ）当时该命题成立。

15、(01春上海)若数列{a n }前8项的值各异，且a n ＋8＝a n 对任意的n ∈N ＋都成立，则下列数列中可取遍{a n }前8项值的数列为 ( )

A .{a 2k ＋1}

B .{a 3k ＋1}

C .{a 4k ＋1}

D .{a 6k ＋1}

16、（05上海）用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in , 1 2 3 记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , i=1,2,3, ┄,n!. 1 3 2 用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2?12-3?12=-24.那么, 2 3 1 在用1,2,3,4,5形成的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于 ( ) 3 1 2

3 2 1

A －3600

B 1800

C －1080

D －720

17、(07上海)如果有穷数列123m a a a a ，

，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （1

2i m = ，，，），我们称其为“对称数列”．例

如，数列12521，，，，

与数列842248，，，，，都是“对称数列”． （1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，

114=b ．依次写出{}n b 的每一项；

（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，

，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；

（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，

，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n = ，，

，．

18、(06上海)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n ,4096n n a S +=

（1）求数列{}n a 的通项公式

（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？

19、(05上海)假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,

(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?

(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?

20、已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；

（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

参考答案

1. 2

2. 9

3. b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N )

4. 219.01

5. 123-n

6. －49

7. (2,2

1) 8. 4π 9. 3 10. a,－a,a,－a,…(a≠0.)r 与s 同为奇数或偶数 11. 2 12. ①、④

13. C 14. C 15. B 16. C

17. 解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，

，，，． （2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++=

()122212242-++++= ()

3211222625-=--==67108861．

（3）51100223(501)149d d ==+?-=，．

由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21

n n n n n 2

30123)3(2)1(1492+-=--+=． 当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21

()n d d d S ++++= 525150

(50)(51)37752(

50)32n n n --=+-+? 75002

299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022

n n n n S n n n ?-+??=??-+??，≤≤，，≤≤． 18. 解(1) ∵a n + S n =4096, ∴a 1+ S 1=4096, a 1 =2048.

当n ≥2时, a n = S n －S n －1=(4096－a n )－(4096－a n －1)= a n －1－a n

∴1-n n a a =2

1 a n =2048(21)n －1. (2) ∵log 2a n =log 2[2048(2

1)n －1]=12－n, ∴T n =2

1(－n 2+23n ). 由T n <－509,解待n>2

460123+,而n 是正整数,于是,n ≥46. ∴从第46项起T n <－509.

19、[解](1)设中低价房面积形成数列{a n },由题意可知{a n }是等差数列,

其中a 1=250,d=50,则S n =250n+502

)1(?-n n =25n 2+225n, 令25n 2+225n ≥4750,即n 2+9n-190≥0,而n 是正整数, ∴n ≥10.

到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.

(2)设新建住房面积形成数列{b n },由题意可知{b n }是等比数列,

其中b 1=400,q=1.08,则b n =400·(1.08)n-1

由题意可知a n >0.85 b n ,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.

由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.

到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

20. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . 4分

（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， 8分 ???

?????+??? ??+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞. 12分

（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分

研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围.…… 16分

研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=， 依次类推可得 ()?????=+≠--?=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n 当0>d 时，

)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. 18分