311椭圆及其标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
3.1.2 椭圆的简单几何性质 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0， b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ), B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 焦距 |F 1F 2|＝2c 对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝c a (0
高二数学椭圆试题(有标准答案)
高二数学椭圆试题 一：选择题 1.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（） A．m＞2或m＜﹣1 B．m＞﹣2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞2或﹣2＜m＜ ﹣1 解：椭圆的焦点在x轴上 ∴m2＞2+m，即m2﹣2﹣m＞0 解得m＞2或m＜﹣1 又∵2+m＞0 ∴m＞﹣2 ∴m的取值范围：m＞2或﹣2＜m＜﹣1 故选D 2.已知椭圆，长轴在y轴上、若焦距为4，则m等于（） A．4B．5C．7D．8 解：将椭圆的方程转化为标准形式为， 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6， ，解得m=8 故选D 3．椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是（） A．B．C．D． 解：由椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1，化成标准方程： 由于 ， ∴椭圆（1﹣m）x2﹣my2=1的长轴长是2a=2=． 故选B．
4．已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2 的周长为8，则椭圆的离心率为（） A．B．C．D． 解：由椭圆定义有4a=8 ∴a=2，所以k+2=a2=4 ∴k=2． 从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以， 故选A 5．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（） A． （x≠0）B． （x≠0） C． （x≠0）D． （x≠0） 解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12， ∵12＞8 ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a=6，c=4 ∴b2=20， ∴椭圆的方程是 故选B． 6．方程=10，化简的结果是（）A．B．C．D． 解：根据两点间的距离公式可得： 表示点P（x，y）与点F1（2，0）的距离，表示 点P（x，y）与点F2（﹣2，0）的距离， 所以原等式化简为|PF1|+|PF2|=10， 因为|F1F2|=2＜10，
椭圆的标准方程学案(共3课时)-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修一
第3章:椭圆与方程 第1课：椭圆的标准方程 一．学习目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程. 二．概念梳理. 1.平面内 ，叫做椭圆. 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距. 2.根据椭圆的定义可知：集合{} a MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a , 为常数.当a F F 221<时，集合P 为_______；当a F F =21时，集合P 为 当 a F F 221>时，集合P 为 . 3.焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 .焦点在y 轴上的椭圆的标准方程 为 .其中c b a ,,满足关系为 . 三．典例分析. 例1.求下列椭圆的焦点坐标. (1).13422=+y x (2).14 32 2=+y x (3).13422=+y x (4).12342 2=+y x 例2.已知方程12592 2=-++m y m x . (1) 若上述方程表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (2) 若上述方程表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围； (3) 若上述方程表示椭圆，求实数m 的取值范围. 例3.(多选题)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨 进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为 圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和 2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子正确的是( )
高中数学《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c Θ ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=，
41 12=== a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+ y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 1154 5x ex a AF -=-=． 同理 254 5x CF -=． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00， x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-
椭圆的定义与标准方程基础练习(含答案)
. 椭圆的定义与标准方程 一．选择题（共19小题） 1．若F1（3，0），F2（﹣3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（） A．B． C．D． 或 2．一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2﹣6x﹣91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆 3．椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（） A．4B．5C．6D．10 4．已知坐标平面上的两点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P到A、B两点距离之和为常数2，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．线段 5．椭圆上一动点P到两焦点距离之和为（） A．10B．8C．6D．不确定 6．已知两点F1（﹣1，0）、F2（1，0），且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（）A．B．C．D． 7．已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A．16B．11C．8D．3 8．设集合A={1，2，3，4，5}，a，b∈A，则方程表示焦点位于y轴上的椭圆（） A．5个B．10个C．20个D．25个 9．方程=10，化简的结果是（）
. A．B．C．D． 10．平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，6]C．[3，5]D．[3，6] 11．设定点F1（0，﹣3），F2（0，3），满足条件|PF1|+|PF2|=6，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．线段 C．椭圆或线段或不存在D．不存在 12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（） A． （x≠0）B． （x≠0） C． （x≠0）D． （x≠0） 13．已知P是椭圆上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）A．B．C．D． 14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么（） A．甲是乙成立的充分不必要条件B．甲是乙成立的必要不充分条件 C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件 15．如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（） A．3＜m＜4B．C．D． 16．“mn＞0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件． A．必要不充分B．充分不必要 C．充要D．既不充分又不必要 17．已知动点P（x、y）满足10=|3x+4y+2|，则动点P的轨迹是（） A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．无法确定 18．已知A（﹣1，0），B（1，0），若点C（x，y）满足=（）A．6B．4C．2D．与x，y取值有关
人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.1椭圆及其标准方程(含答案)
第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆 2.1.1 椭圆及其标准方程 课时目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 1．椭圆的概念：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于________(大于|F 1F 2|)的点的 轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|时，轨迹是__________，当|PF 1|＋|PF 2|<|F 1F 2|时__________轨迹． 2．椭圆的方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________． 一、选择题 1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 2．椭圆x 216＋y 27 ＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 3．椭圆2x 2＋3y 2＝1的焦点坐标是( ) A.? ???0，±66 B ．(0，±1) C ．(±1,0) D.????±66，0 4．方程x 2|a |－1＋y 2a ＋3 ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．(－3，－2) C ．(1，＋∞) D ．(－3,1) 5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点????52，－32，则该椭圆的方程是( ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 2 10＝1 6．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212 ＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到两个焦点的距离之差为2，则△PF 1F 2是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．直角三角形
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)
高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程 知识梳理 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段； 12220220022a c a c F F a c >>⇔ ⎫ ⎪ =>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭ 椭圆 线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数 e (10<
当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当122 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 5.几个概念： ①通径：2b 2 a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22 221x y a b +=上任意一点P 与两焦点 21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：； ⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程： 00221x x y y a b +=; ○ 7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。 6．椭圆上的几个常见最值 ○ 1椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值； ○ 2短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值； ○ 3焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是c a +与c a -； ○4过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为a b 2 2）. ○5焦点三角形的周长为定值)22(c a +，利用解三角形的方法可以得出：当21PF F ∠＝θ时，此三角形的面积为2 2θ tg b （引起注意的是此结论的推导过程要掌握）. 重难点突破 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用 难点:椭圆的几何元素与参数c b a ,,的转换。 重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系。 问题1已知21F F 、为椭圆19 252 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。
高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册第三章3.1.1椭圆及其标准方程 教学设计
椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计 一、教材分析： 本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。 用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。 解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。 本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。 二、教学目标： 按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：1．知识与技能目标： ①理解椭圆的定义。 ②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。2．过程与方法目标： ①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。 ②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。 ③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识 3．情感态度价值观目标： ①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识 ②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣 ③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风 ④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美 ⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力量，增强学习数学的兴趣和信心 三、教学重难点：
2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题-椭圆的标准方程及性质(含答案)
椭圆的标准方程及性质 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.设P为椭圆C:+=1上一点,,分别是C的左,右焦点，若|-|=1,则 |=（） A. B. C. D. 2.已知椭圆x2+my2＝1(m＞0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m＝（） A. 2 B. C. D. 4 3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C的方程是（） A. B. C. D. 4.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数m等于（） A. 2 B. 8 C. D. 5.设定点F1(0，-2)，F2(0，2)，动点P满足条件，则P的轨迹（） A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在 6.已知椭圆+=1的焦点为,,P为椭圆上的一点,若=,则的 面积为（） A. 3 B. 9 C. 3 D. 9 7.已知两定点F1（5，0），F2（-5，0），动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则M点的轨迹是（） A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 一条射线 8.已知a,b R,则“a>0>b”是“-=1表示椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.方程表示椭圆的必要不充分条件是( ) A. m∈(-1，2) B. m∈(-4，2) C. m∈(-4，-1)∪(-1，2) D. m∈(-1，+∞)
10.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段为直径 的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求） 11.已知椭圆的焦距为，则（） A. 椭圆的焦点在x轴上 B. C. 椭圆的离心率为 D. 椭圆的短轴长为 12.已知P是左右焦点分别为,的椭圆+=1上的动点,M(0,3),下列说法正确的有（） A. |MP|的最大值为5 B. |+|=4 C. 存在点P,使= D. |-|的最大值为4 三、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 13.已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且， ，则椭圆的离心率为． 14.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且 满足=0，则椭圆C的离心率为． 15.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截得的截面图形 为椭圆，截得的几何体的最短母线长和最长母线长分别为2和3， 则该几何体的体积为，截面椭圆的离心率为． 16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点， 是以为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 17.已知椭圆E:+=1的一个顶点为H(2, 0),对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使 得MP MH,则实数t的取值范围是 .
清单31 椭圆(解析版)-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练
清单31椭圆 一、知识与方法清单 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若a >c ，则集合P 为椭圆； (2)若a ＝c ，则集合P 为线段； (3)若a 【对点训练2】椭圆221259x y +=与 22 1(09)925x y k k k +=<<--关系为（ ） A ．有相等的长轴 B ．有相等的短轴 C ．有相等的焦点 D ．有相等的焦距 【答案】D 【解析】椭圆22 1259 x y +=的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为(4,0),(4,0)-， 椭圆22 1(09) 925x y k k k +=<<--的长轴为8，焦点分别为(0,4),(0,4)-， 所以两椭圆的焦距相同，故选D 3.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件． 【对点训练3】已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 【答案】D 【解析】因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1 F 2.故选D 4.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c 的两倍. 【对点训练4】（2022届陕西省咸阳市高三上学期开学摸底）已知椭圆()22 2 2 :101x y C m m m +=>-的两个焦点 分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上一点，且12PF F △C 的短轴长为____． 【答案】 【解析】由椭圆的方程可知，椭圆的焦点1F ，2F 在y 轴上，且122F F =，由题意可知， 当点P 为椭圆C 左右顶点时，12PF F △的面积最大，且11 2 F F 2m =，所以椭圆C 的短 轴长为=5.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式． 【对点训练5】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F 2F 的直线l 交C 于,A B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（ ） A ．22 132 x y += B ．2 2112 x y += C ．22 1128x y += D ．22 1124 x y += 【答案】A 【解析】由题意可得 4c a a ==a =1c =，所以2222b a c =-=， 专题17 解析几何中的椭圆问题 【高考真题】 1．(2022·全国甲文) 已知椭圆22 2 2: 1(0)x y C a b a b + =>>的离心率为1 3，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为 C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为( ) A ．2211816x y += B ．22198x y += C ．22132x y += D ．2 212 x y += 1．答案 B 解析 因为离心率1 3c e a = =， 解得2289b a =，2289b a =，12,A A 分别为C 的左右顶点， 则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b ，所以12(,),(,)BA a b BA a b =--=-，因为121BA BA ⋅=-，所以2 2 1a b -+=-，将2 289b a =代入，解得22 9,8a b ==，故椭圆的方程为22198 x y +=．故选B ． 2．(2022·全国甲理) 椭圆222 2 : 1(0)x y C a b a b + =>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若 直线,AP AQ 的斜率之积为 1 4 ，则C 的离心率为( ) A B ．2 C ．12 D ．13 2．答案 A 解析 (),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则11 11,AP AQ y y k k x a x a = =+-+， 故21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则() 2221 212b a x y a -=， 所以 () 222 12 2 2 114 b a x a x a -=-+，即2 214b a =，所以椭圆C 的离心率c e a === A ． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知椭圆222 2 :1(0)x y C a b a b +=>>， C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为1 2 ．过 1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 3．答案 13 解析 ∵椭圆的离心率为1 2 c e a = =，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为 222222 2 13412043x y x y c c c + =+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵ 222AF a OF c a c ===，，，∴23 AF O π∠= ，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交 于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE ， 直线DE 的 方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-= ，整理化简得到：221390y c --=，判别式 高二数学椭圆公式知识点 椭圆公式学问是高中〔数学〕中比较重要的一项学问要点，要想把握椭圆学问点，就要不断努力了。下面就让给大家共享一些〔高二数学〕椭圆公式学问点吧，盼望能对你有关怀! 高二数学椭圆公式学问点篇一 ⑴集合与简易规律:集合的概念与运算、简易规律、充要条件 ⑵〔函数〕：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 高二数学椭圆公式学问点篇二 正弦定理/sin=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=2+c2-2ccosB注：角B是边和边c的夹角 圆的标准方程(x-)2+(y-b)2=r2注：(,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0 抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py 直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c*h 正棱锥侧面积S=1/2c*h正棱XX侧面积S=1/2(c+c)h 圆XX侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的外表积S=4pi*r2 圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=*r是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h 数学人教A版（2019版）选择性必修第一册同步练习3.1.1椭圆及其标准方程（含答案解析） 高考真题高考模拟 高中联考期中试卷 期末考试月考试卷 学业水平同步练习 数学人教A版（2019版）选择性必修第一册同步练习 3.1.1椭圆及其标准方程（含答案解析） 1 下列说法中正确的是( ) A.已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到两点的距离之和等于点到两点的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点的距离相等的点的轨迹是椭圆 【答案解析】 C 解析：A中，，则平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B中，到两点的距离之和等于6，小于，这样的点不存在，所以B错误；C 中，点到两点的距离之和为，则C正确；D中，轨迹应是线段的垂直平分线，所以D错误.故选C. 2 已知椭圆的左焦点为，则( ) A.9 B.4 C.3 D.2 【答案解析】 C 解析：焦点在x轴上的椭圆的左焦点为， 可得，解得.故选C. 3 两个焦点的坐标分别为，并且经过点的椭圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 【答案解析】 A 解析：由椭圆定义知：. ∴.∴. 4 若表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案解析】 B 解析：∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴解得， ∴ k的取值范围是．故选B. 5 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是( ) A. B. C. D. 【答案解析】 B 解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入，得，则所求椭圆的方程为.故选B. 6 设定点，动点满足条件，则点的轨迹是 .. 高二数学椭圆及其标准方程（二）练习 AA 级 一、选择题 1. 在△ ABC 中， A(-1 ， 0) ，C(1 ， 0) ，且｜ BC ｜、｜ CA ｜、｜ AB ｜成公差为负的等差数列，则极点 B 的轨迹方程为 ( ) A. x 2 + y 2 =1 B. x 2 + y 2 =1(x ＞ 0) 4 3 4 3 C. x 2 + y 2 =1(-2 ＜ x ＜ 0) D. x 2 + y 2 =1(x ＜ 0) 4 3 4 3 2. 椭圆的焦点为 (-2 ， 0) 和 (2 ， 0) ，且椭圆过点 ( 5 ， - 3 ) ，则椭圆方程是 ( ) 2 2 A. y 2 + x 2 =1 B. x 2 + y 2 =1 10 6 10 6 C. y 2 + x 2 =1 D. y 2 + x 2 =1 8 4 4 8 3.P 是椭圆 x 2 + y 2 =1 上的点，它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的 2倍，则 P 25 16 点的坐标是 ( ) A.(1 ， 8 6 ) B. ( 25，8 14 ) 9 9 9 C.(1 ，± 8 6 ) D. ( 25,±8 14 ) 9 的方程 x 2sin α -y 2cos α =1 9 9 4. 若对于 x,y 所表示的曲线是椭圆，则方程 (x+cos α ) 2+(y+sin α) 2=1 所表示的圆心在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 椭圆的对称轴是坐标轴， O 为坐标原点， A 是一个极点， 若椭圆的长轴长是 6，且 cos ∠ O FA=2 则椭圆的方程是 ( ) 3 x 2 y 2 =1 x 2 y 2 =1 A. + B. + 36 20 9 5 x 2 y 2 =1 或 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 + y 2 C. + + =1 D. + =1 或 =1 20 36 36 20 9 5 5 9 二、填空题 6. 在周长为 16 的△ ABC 中，若 B 、 C 的坐标分别是 (-3 ， 0) 和 (3 ， 0) ，则点 A 的轨迹方 程是. 第八章 平面解析几何 授课提示：对应学生用书第323页 [A 组 基础保分练] 1．已知椭圆x 24＋y 2 2＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2， 则△PF 1F 2的面积是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．3 答案：A 2．“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B 3．(2021·中山模拟)设椭圆：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭 圆在第二象限内的点，直线BO 交椭圆于点C ，O 为原点，若直线BF 平分线段AC ，则椭圆的离心率为( ) A.12 B ．13 C.14 D ．15 解析：如图，设点M 为AC 的中点，连接OM ，则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△ AFB ，且|OF ||FA |＝|OM ||AB |＝12，即c a －c ＝12，解得e ＝c a ＝1 3 . 答案：B 4．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( ) A.x 225＋y 2 5＝1 B ．x 230＋y 210＝1 C.x 2 36＋y 2 16 ＝1 D ．x 2 45＋y 2 25 ＝1 解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ′，连接PF ′. 由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝ 45 2 －42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′| ＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2 ＝a 2 －c 2 ＝62 －(25)2 ＝16，故所求椭圆方程为x 236＋ y 2 16＝1. 答案：C 5．已知椭圆x 24＋y 2 2 ＝1上一点P ，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三 高二数学椭圆 一．选择题 1．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（） A．B．C．D． 2．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．（1，2）D． 3．椭圆x2+4y2=1的离心率为（） A．B．C．D． 4．椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是（） A．B．C．1D． 5．以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P（，﹣4）和Q（﹣，3），则此椭圆的方程是（） A． +y2=1 B． x2+=1 C． +y2=1或x2+=1 D．以上均不对 6．已知P为椭圆+=1上的点，F1、F2为其两焦点，则使∠F1PF2=90°的点P有（）A．4个B．2个C．1个D．0个 7．椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是（） A．（±，0）B．（0，±）C． （±，0）D． （±，0） 8．若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是（0，4），则实数k的值为（） A．B． ﹣C．D． ﹣ 9．已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（） A．9B．7C．5D．3 二．填空题（共6小题） 10．（2009•湖北模拟）如图Rt△ABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为 _________． 11．若P是椭圆+=1上任意一点，F1、F2是焦点，则∠F1PF2的最大值为_________．12．F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，则|PF1|•|PF2|有最_________ 值为_________． 13．经过两点P1（），P2（0，）的椭圆的标准方程_________． 14．已知焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为_________． 15．点P在椭圆+=1上，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1⊥PF2，则点P的坐标是 _________． 三．解答题（共5小题） 16．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点（1，2），求椭 圆的标准方程． 17．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点间的距离为，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标为﹣，求椭圆的方程． 18．已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且过点P（1，），求该椭圆的方程． 19．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=． 20．已知椭圆两焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（2，），求椭圆方程．21.已知：△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程． 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2015•兴国县一模）椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为，则的值为（） 『高二教材·同步双测』 『A卷基础篇』 『B卷提升篇』 试题汇编前言： 本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。 （1）A卷注重基础，强调基础知识的识记和运用； （2）B卷强调能力，注重解题能力的培养和提高； （3）单元测试AB卷，期中、期末测试。 构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于寻找知识盲点或误区，不断提升。 祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！ 专题2.3椭圆（B 卷提升篇） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2020·河北新华·石家庄二中高一期末）若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+的离心率为 2 ，则m =（ ） A ．31 B ．28 C ．25 D ．23 2．（2020·四川资阳·高三其他（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点(1,)2 b ，且C 的离 心率为 1 2 ，则C 的方程是（ ） A ．22 143x y += B ．22 186 x y + C ．22 142 x y += D ．22 184 x y += 3．（2020·四川遂宁·高二期末（文））椭圆22 21x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m =（ ） A ．2 B ． 2 5 C ．23 - D ．25 - 4．（2020·湖南江华·高三其他（文））古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等 于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在x 轴上，C 的面积为， 且短轴长为C 的标准方程为（ ） A ．22112x y += B ．22 143x y += C ．22 134x y += D ．22 1163 x y += 5．（2020·岳麓·湖南师大附中高三其他（理）的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交 于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题17 解析几何中的椭圆问题(含详解)
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