有关二次函数的利润最值问题

1．某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．

2．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．

（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．

3．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

4．某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；

（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；

（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

6．某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为y（元/件）、月销量为x（件），y是x的一次函数，如表，

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为W甲（元）（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a 为常数，40≤a≤70），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为W乙（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当x=1000时，y甲=元/件，w甲=元；

（2）分别求出W甲，W乙与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）当x为何值时，在甲城市销售的月利润最大？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

7．某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？

8．某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x （天）之间的函数关系式．（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；

（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？

9．某机器零件经销商，购进甲型零件600个，其进价为200元，甲型零件有两种售货渠道：A渠道是批发给其他小型经销商；B渠道是零售，零售价为250元．该经销商准备用A渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件，乙型零件的进价为150元，零售价为300元．已知该经销商用A渠道销售甲型零件时，其批发价y（元/个）与批发个数x（个）之间的函数关系为y=﹣x+200．

（1）求该经销商用B渠道销售的甲型零件的销售额p1（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；（2）求零售乙型零件的销售额p2（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；

（3）求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式，并求出当批发多少个甲型零件时，利润最大，最大利润是多少？

10．某水果店新进一种水果，进价为20元/盒，为了摸清行情，决定试营销10天，商家通过这10天的市场调查发现：①销售价y（元/盒）与销售天数x（天）满足以下关系：

x+24

②每天的销售量p（盒数）与销售天数x关系如图所示．

（1）试求每天的销售量p（盒数）与销售天数x之间函数关系式；

（2）设水果店的销售利润为s（元），求销售利润s（元）与销售天数x（天）之间的函数关系式，并求出试营销期间一天的最大利润．

有关二次函数利润的最值问题

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2017?高安市一模）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．

【分析】（1）利润=单件利润×销售量；

（2）根据利润的计算方法表示出关系式，解方程、画图回答问题．

【解答】解：（1）若商店经营该商品不降价，则一天可获利润100×（100﹣80）=2000（元）；（3分）

（2）①依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160（5分）

即x2﹣10x+16=0

解得：x1=2，x2=8（6分）

经检验：x1=2，x2=8都是方程的解，且符合题意，（7分）

答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（8分）

②依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x）（9分）

∴y=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250 （10分）

画草图：

观察图象可得：当2≤x≤8时，y≥2160

∴当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元．（13分）

【点评】本题关键是求出利润的表达式，体现了函数与方程、不等式的关系．

2．（2017?南通一模）某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．

（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．

（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？

（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．

【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；（2）将x=45代入求出即可；

（3）当y=10000时，代入求出即可；

（4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．

【解答】解：（1）由题意可得：

y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]

=﹣10x2+1300x﹣30000；

（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），

y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；

（3）当y=10000时，

10000=﹣10x2+1300x﹣30000

解得：x1=50，x2=80，

当x=80时，600﹣10（80﹣40）=200＜300（不合题意舍去）

故销售价应定为：50元；

（4）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，

故当x=65（元），最大利润为12250元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出y与x的函数关系是解题关键．

3．（2017?山东一模）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定位多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y=260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y=420﹣3x，80＜x＜140，

（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，

（3）分别求出两个定义域内函数的最大值，然后作比较．

【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y=210﹣（x﹣50），即y=260﹣x，

当80＜x＜140时，y=210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y=420﹣3x．

则，

（2）由利润=（售价﹣成本）×销售量可以列出函数关系式

w=﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80）

w=﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140），

（3）当50≤x≤80时，w=﹣x2+300x﹣10400，

当x=80有最大值，最大值为7200，

当80＜x＜140时，w=﹣3x2+540x﹣16800，

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90元．利润最大为7500元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．

4．（2017?利辛县一模）某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y （万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y=a（x﹣h）2+k，二次函数y=a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．

（1）试确定函数关系式y=a（x﹣h）2+k；

（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，﹣16），设出抛物线的顶点式，把（10，20）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出

抛物线的解析式；

（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．

（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x﹣1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．

【解答】解：（1）根据题意可设：y=a（x﹣4）2﹣16，

当x=10时，y=20，

所以a（10﹣4）2﹣16=20，解得a=1，

所求函数关系式为：y=（x﹣4）2﹣16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）当x=9时，y=（9﹣4）2﹣16=9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元，

又由题意可知，当x=10时，y=20，而20﹣9=11，

所以10月份一个月内所获得的利润11万元．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元）则有：s=（n﹣4）2﹣16﹣[（n﹣1﹣4）2﹣16]=2n﹣9，

因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，

而n的最大值为12，所以当n=12时，s=15，

所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．﹣﹣（4分）

【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．

5．（2017?高台县模拟）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

【分析】（1）根据进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，再根据每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件和销售利润=件数×每件的利润列出关系式，即可得出答案．

（2）根据（1）得出的函数关系式，再进行配方得出y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，当x=5.5时y有最大值，从而得出答案．

【解答】解：（1）由题意得：y=（210﹣10x）（50+x﹣40）

=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；

（2）根据（1）得：

y=﹣10x2+110x+2100，

y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，

∵a=﹣10＜0，

∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．

∵0＜x≤15，且x为整数，

当x=5时，50+x=55，y=2400（元），

当x=6时，50+x=56，y=2400（元）

∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是读懂题意，找出之间的等量关系，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

6．（2017?微山县模拟）某公司生产一种新型节能电水壶并加以销售，现准备在甲城市和乙城市两个不同地方按不同销售方案进行销售，以便开拓市场．

若只在甲城市销售，销售价格为y（元/件）、月销量为x（件），y是x的一次函数，如表，

成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费72500元，设月利润为W （元）

甲

（利润=销售额﹣成本﹣广告费）．

若只在乙城市销售，销售价格为200元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，40≤a ≤70），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳

x 2元

的附加费，设月利润为W 乙（元）（利润=销售额﹣成本﹣附加费）．

（1）当x=1000时，y 甲= 190 元/件，w 甲= 67500 元；

（2）分别求出W 甲，W 乙与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；

（3）当x 为何值时，在甲城市销售的月利润最大？若在乙城市销售月利润的最大值与在甲城市销售月利润的最大值相同，求a 的值；

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在甲城市还是在乙城市销售才能使所获月利润较大？

【分析】（1）设y 甲=kx +b ，列出方程组即可解决，再根据w 甲=x （y ﹣50）﹣72500，

求出w 甲的解析式，分别求出x=1000时，y 甲，w 甲，即可．

（2）根据利润=销售额﹣成本﹣附加费，即可解决问题．

（3）①x=﹣

，y 最大值=进行计算即可．②利用公式列出方程即可计算．

（4）当x=5000时，w 甲=427500，w 乙=﹣5000a +750000，再列出不等式或方程即

可解决问题．

【解答】解：（1）设y 甲=kx +b ，由题意，解得， ∴y 甲=﹣x +200， ∴x=1000时，y 甲=190，

w 甲=x （y ﹣50）﹣72500=﹣

x 2+150x ﹣72500，

x=1000时，w 甲=67500，

故答案分别为190，67500．

（2）w 甲=x （y ﹣50）﹣72500=﹣

x 2+150x ﹣72500， w 乙=﹣x 2+（200﹣a ）x ，

（3）∵0＜x＜15000

∴当x=﹣=7500时，w

甲

最大；

由题意得，=，解得a1=60，a2=340（不合题意，舍去）．所以a=60．

（4）当x=5000时，w

甲=427500，w

乙

=﹣5000a+750000，

若w

甲＜w

乙

，427500＜﹣5000a+750000，解得a＜64.5；

若w

甲=w

乙

，427500=﹣5000a+750000，解得a=64.5；

若w

甲＞w

乙

，427500＞﹣5000a+750000，解得a＞64.5．

所以，当40≤a＜64.5时，选择在乙销售；

当a=64.5时，在甲和乙销售都一样；

当64.5＜a≤70时，选择在甲销售．

【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是学会利用二次函数求函数的最值问题，学会利用不等式或方程解决方案问题，属于中考常考题型．

7．（2017?宁波一模）某服装店购进一批秋衣，价格为每件30元．物价部门规定其销售单价不高于每件60元，不低于每件30元．经市场调查发现：日销售量y （件）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）求该服装店销售这批秋衣日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．

（3）当销售单价为多少元时，该服装店日获利最大？最大获利是多少元？

【分析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；

（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；

（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．

【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意得，

解得：k=﹣2，

故y=﹣2x+200（30≤x≤60）；

（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；

（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，

∵30≤x≤60，

∴x=60时，w有最大值为1950元，

∴当销售单价为60元时，该服装店日获利最大，为1950元．

【点评】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

8．（2017?新野县一模）某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x （天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．

（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；

（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？

【分析】（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20；针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；

①0≤x＜10时p=25，10≤x≤20时，设解析式为p=mx+n，利用待定系数法求解；

（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．日销售量不低于36千克，即y≥36．先解不等式3x≥36，得x≥12，再解不等式﹣9x+180≥36，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有4天；然后根据p=﹣x+35（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可解答．

【解答】解：（1）分两种情况：

①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，

∵直线y=k1x过点（15，45），

∴15k1=45，解得k1=3，

∴y=3x（0≤x≤15）；

②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，

∵点（15，45），（20，0）在y=k2x+b的图象上，

∴

解得：

∴y=﹣9x+180（15＜x≤20）；

综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=．

①当0≤x＜10时，p=25，

当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，

∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，

∴，

解得：，

∴p=﹣x+35（10≤x≤20），

∴p=；

（2）若日销售量不低于36千克，则y≥36．

当0≤x≤15时，y=3x，

解不等式：3x≥36，

得，x≥12；

当15＜x≤20时，y=﹣9x+180，

解不等式：﹣9x+180≥36，

得x≤16，

∴12≤x≤16，

∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；

∵p=﹣x+35（10≤x≤20），k=﹣1＜0，

∴p随x的增大而减小，

∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣12+35=23（元/千克）．答：此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第12天．【点评】此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．

9．（2017?临沭县校级模拟）某机器零件经销商，购进甲型零件600个，其进价为200元，甲型零件有两种售货渠道：A渠道是批发给其他小型经销商；B渠道是零售，零售价为250元．该经销商准备用A渠道销售甲型零件所得的全部销售款购进一批乙型零件，乙型零件的进价为150元，零售价为300元．已知该经销商用A渠道销售甲型零件时，其批发价y（元/个）与批发个数x（个）之间的函数关系为y=﹣x+200．

（1）求该经销商用B渠道销售的甲型零件的销售额p1（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；

（2）求零售乙型零件的销售额p2（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式；（3）求该经销商售完这批甲型、乙型零件后的总利润w（元）与批发个数x（个）之间的函数关系式，并求出当批发多少个甲型零件时，利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意知用B渠道销售甲零件（600﹣x）个，由销售额=销售价×销售量可得；

（2）先求得A渠道销售甲型零件的全部销售款，再求得购进乙型零件的总数量，

从而得到零售乙型零件的销售额；

（3）根据“总利润=B渠道销售所得利润+A渠道销售所得利润+销售乙零件所得利润”列出函数解析式，再根据二次函数的性质可得答案．

【解答】解：（1）当经销商用A渠道销售甲型零件x个时，则用B渠道销售甲零件（600﹣x）个，

∴p1=250（600﹣x）=﹣250x+150000；

（2）∵经销商用A渠道销售甲型零件的全部销售款为（﹣x+200）x，

∴购进乙型零件的总数量为，

则零售乙型零件的销售额p2=×300=﹣x2+400x；

（3）根据题意，得：

w=（600﹣x）（250﹣200）+（﹣x+200﹣200）x+（300﹣150）?

=﹣x2+150x+30000

=﹣（x﹣）2+，

∵x为整数，

∴x=187或x=188时，w取得最大值，最大值为44062.4，

答：当批发187或188个甲型零件时，利润最大，最大利润是44062.4元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意弄清销售过程中A渠道、B渠道及销售乙产品的销售价及销售量等基本量是解题的关键．

10．（2017?安徽模拟）某水果店新进一种水果，进价为20元/盒，为了摸清行情，决定试营销10天，商家通过这10天的市场调查发现：

①销售价y（元/盒）与销售天数x（天）满足以下关系：

x+24

②每天的销售量p（盒数）与销售天数x关系如图所示．

（1）试求每天的销售量p（盒数）与销售天数x之间函数关系式；

（2）设水果店的销售利润为s（元），求销售利润s（元）与销售天数x（天）之间的函数关系式，并求出试营销期间一天的最大利润．

【分析】（1）待定系数法求解可得；

（2）根据“总利润=单件利润×销售量”结合x的范围分别求解可得．

【解答】解：（1）设销售量p与销售天数x关系式为p=kx+b，

由图象可得，

解得：，

∴每天的销售量p与销售天数x之间函数关系式为p=﹣2x+24；

（2）当1≤x≤5时，s=（y﹣20）p=（x+24﹣20）（﹣2x+24）=﹣（x﹣2）2+100，当x=2时，s取得最大值100；

当6≤x≤10时，s=（y﹣20）p=（30﹣20）（﹣2x+24）=﹣20x+240，

当x=6时，s取得最大值120；

综上，试营销期间一天的最大利润为120元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据x的范围分情况得到s关于x的函数解析式及熟练掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键．

二次函数中的利润问题

22.3 二次函数中的利润问题教学目标 1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值． 2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题． 3．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式．教学重点 1．根据不同条件设自变量x 求二次函数的关系式． 2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的性质：顶点式,对称轴和顶点坐标公式: ? 利润=售价-进价. ? 总利润=每件利润×销售数量. 二、探究新知 1、日用品何时获得最大利润 ? 1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,.44222 a b ac a b x a y -+??? ??+=a b x 2-= ???? ??--a b a c a b 44,22

那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润? ? 设销售价为x 元(x ≥30元), 利润为y 元,则 ? 探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量．在这个探究中，某商品调整，销量会随之变化．调整的价格包括涨价和降价两种情况．（1）我们先看涨价的情况．设每件涨价x 元，每星期则少卖l0x 件，实际卖出(300－l0x )件，销售额为(60 + x ) (300－l0x )元，买进商品需付40(300－10x )元．因此，所得利润y ＝(60+x )(300－l0x )一40(300－l0x )，即y ＝－l0x 2+100x +6 000．列出函数解析式后，教师引导学生怎样确定x 的取值范围呢？由300－l0x ≥0，得x ≤30．再由x ≥0，得0≤x ≤30．根据上面的函数，可知：当x ＝5时，y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．（2）我们再看降价的情况．设每件降价x 元，每星期则多卖20x 件，实际卖出(300＋20x )件，销售额为(60－x ) (300＋20x )元，买进商品需付40(300＋20x )元．因此，所得利润 y ＝(60－x )(300＋20x )－40(300＋20x )，即 y ＝－20x 2＋100x ＋6 000．怎样确定x 的取值范围呢？由降价后的定价(60－x )元，不高于现价60元，不低于进价40元可得0≤x ≤20．当x ＝2.5时，y 最大，也就是说，在降价的情况下，降价2.5元，()()[] 202040020---=x x y 20000 140202-+-=x x ().450035202 +--=x

二次函数解决实际问题归纳.doc

二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题一分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系一用函数关系式表示它们的关系f用数学方法求解f检验结果的合理性； 2、基本步骤：审题一建模（建立二次两数模型）一解模（求解）一回答（用生活语言回答，即问什么答什么）。二、利用二次函数解决实际问题的类型 1、用二次函数解决几类典型问题解决最值问题应用题思路区别于一般应用题有两点：①设未知数在“当某某为何值时，什么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润二单件利润X销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y,而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%,现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为y=20+4x（x > 0） ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8, E、F、P分别是AB、CD、AD ±的点（不与正方形顶点重合），且PE丄PF, PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？ 2、用二次函数解抛物线形问题

常见情形具体方法抛物线形建筑物问题几种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门窗等（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系之中；（2）从己知和图象中获得求二次函数表达式所需条件；（3）利用待定系数法求出抛物线的表达式；（4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问题。运动路线（轨迹）问题运动员空屮跳跃轨迹、球类飞行轨迹、喷头喷出水的轨迹等牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立一次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解；（3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函数的表达式最为简单。巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点；抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1. 6m,涵洞顶点O到水面的距离为2. 4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m。这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x 元（X为正整数），每个月的销售利润为y元. （1）求y与兀的函数关系式并直接写出自变量兀的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围吋，每个月的利润不低于2200元？ 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50%,设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a的值；（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y （件）与每件售价x （元）满足关系式y= - 10x+800.设每天销售利润为W（元）,求每天销售利润W（元）与每件售价x （元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

二次函数最大利润问题专项练习(20191110123257)

二次函数最大利润问题练习 1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 2.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 3.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？

4.某商场以每台 2500 元进口一批彩电。如每台售价定为 2700 元，可卖出 400 台，以每 100 元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出 50 台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 5.某产品每件成本10 元，试销阶段每件产品的销售价 x (元) 与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： x （元） 15 20 30 ? 若日销售量y 是销售价 x 的一次函数． y （件） 25 20 10 ? ⑴求出日销售量y (件)与销售价 x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 6.某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（ 1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是；所以符合题意。答：。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时销售额最大为1800元。此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

中考二次函数---利润问题

中考二次函数利润问题题型一、与一次函数结合 1、某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元). (1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式. (2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大最大利润是多少 (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元 2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润每月的最大利润是多少

题型二、寻找件数之间的关系（一）售价为未知数 1、某商店购进一批单价为18元的商品，如果以单价20元出售，那么一个星期可售出100件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即当销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，如何提高销售单价，才能在一个星期内获得最大利润最大利润是多少 2、某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个。在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个。考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角。设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）。 ⑴用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数； ⑵求y与x之间的函数关系式； ⑶当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大最大利润为多少

二次函数最大利润应用题(含答案)

二次函数最大利润应用题参考答案与试题解析 1．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）、销售价y 2 （单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；（2）求线段AB所表示的y 1 与x之间的函数表达式；（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）设线段AB所表示的y 1与x之间的函数关系式为y=k 1 x+b 1 ， ∵y=k 1x+b 1 的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴ ∴， ∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；（3）设y 2与x之间的函数关系式为y=k 2 x+b 2 ， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴，解得：， ∴这个一次函数的表达式为y 2 =﹣0.6x+120（0≤x≤130），设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．

2018中考总复习二次函数利润问题

2016扬州中考18．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a≤5．【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y， y=（20+4t）﹣（20+4t）a 化简，得 y=﹣4t2+t+1400﹣20a 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大， ∴≥﹣4×302+×30+1400﹣20a 解得，a≤5，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a≤5． 24．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．【考点】二次函数的应用；分段函数．【分析】（1）根据收费标准，分0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100分别求出y与x的关系即可．（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x ﹣75）2+5625，根据二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）y=．（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，当30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625， ∵a=﹣1＜0， ∴x≤75时，y随着x增加而增加， ∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加， ∴30＜m≤75．

实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题含答案

实际问题与二次函数最大利润问题专题练习题 1．服装店将进价为100元的服装按x元出售，每天可销售(200－x)件，若想获得最大利润，则x应定为( ) A．150元 B．160元 C．170元 D．180元 2．某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为( ) A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 3．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n －24，则该企业一年中应停产的月份是( ) A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月 4．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为元，每日的销售量为件，每日的利润y＝，所以每件降价____元时，每日获得的利润最大为____元．5．已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式y＝－x2＋1200x－357600，则当卖出盒饭数量为____盒时，获得最大利润是____元． 6. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：

每投入x万元，可获得利润P＝－1 100 (x－60)2＋41. 每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是． 7. 某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．求销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 8. 一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg，且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系． (1)直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？ 9．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元，当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的

二次函数与最大利润问题 (2)

二次函数与最大利润问题教学内容及其分析： 1、内容：二次函数与最大利润问题，利用二次函数的图象和性质确定最大值. 2、分析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小（大）值有关.本节课是在学习了二次函数与实际问题的基础上，进一步让学生熟练地掌握用二次函数的性质求最大利润问题的解题方法。所以本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题. 二、教学目标及其分析： 1、目标：（1）能根据已知条件找出等量关系列出二次函数关系式，（2）会用二次函数的性质确定最值. 2、分析：学生通过具体问题，找出变量之间的等量关系，进一步从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用起来解决实际问题. 三、教学问题诊断分析：学生已经学习了二次函数与实际问题，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说难度较大。基于以上分析，本节课的难点是：根据实际问题列出二次函数的解析式，并根据二次函数的性质确定最大值. 四、教学过程设计教学基本流程：课前回顾——揭示复习目标——中考考点链接——典例分析——当堂训练——课后小结教学情境（一）课前回顾：，对称轴为的图象开口向函数342.22-+-=x x y 有最小值时，当有最大值时，当的增大而随时当y x y x x y x ==-≤≤-,,15 1. 二次函数y= ax 2+bx+c (a ≠0)的图象和性质 x x y o

二次函数求最大利润问题的教学设计

二次函数求最大利润问题的教学设计范亚书一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y ＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能

1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析

人教版初中数学九年级数学上册：22.3 实际问题与二次函数二次函数求利润的最值问题

二次函数求商品利润的最值问题例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设每件降价x元，总利润为y元。则y=（60-40-x）（300+20x）) =-20x2+100x+6000 =-20（x-2.5）2+6125 因此当x=2.5时，y有最大值6125． 60-x=60-2.5=57.5 答：每件定价为:57.7元时利润最大．一、说题意 1：题目涉及到的知识点 ①二次函数最值问题

顶点 ②利润问题 2、已知条件和未知条件之间的关系每件的利润=每件的售价-每件的进价总利润=每件的利润×所售的件数 3、题目的基础背景二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。二、说思路三、说思想本题间接设每件降价为x元比直接设每件定价为x元要在计算量上简单本节主要学习了利用二次函数解决利润问题中的一些最值问题，解决这类问题，一般先理清楚题中各个数量关系，通过建模思想建立函数模型，最后利

用二次函数中求最值的方法达到我们解决问题的目的四、问题的延伸及拓展变式训练：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场反映，每涨价2元，每星期可少卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：本题的数量关系（1）每件利润=每件售价-每件进价（2）销售总利润=单件利润×销售件数分析：设每件涨价x元，总利润为y元解：设设每件涨价x元，总利润为y元当x=5时利润最大为6250元 60+x=60+5=65 答：当定价为65元时能获得最大利润，且最大利润为6250元

二次函数与实际问题-利润问题

课题：人教版第二十六章第一节《实际问题与二次函数》教学目标： 1、知识与技能：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。 2、过程与方法：经历探索商品销售中最大利润问题的过程，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题，增强学生数学应用能力。 3、情感态度与价值观：提高学生解决问题的能力，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。教学重点与难点： 1、重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。 2、难点：如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。教学过程：一、创设情境：请同学们考虑下列问题：已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6090元的利润，该商品应定价为多少元？学生根据相应的数量关系列出方程。设每件涨价x元（60+x -40）×（300-10x）=6090 （从实际生活入手，创设问题情境，提高学生兴趣，激发求知欲望。）二、探索新知，进入新课 1、商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润否是随涨价而增多，降价而减少呢？ 2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。如何定价才能使利润最大？教师展示问题，（1）、本题中的变量是什么？（2）、如何表示赚的钱呢？学生分组讨论，利用函数模型解决问题设每件涨价x元，由此商品 ①每件的利润为：（60+x -40）元 ②每星期的销售量为：（300-10x）件 ③所获利润是：（60+x -40）×（300-10x）元若设所获得利润为y元，则有y=（60-40+x）（300-10x），即 y=-10x2+100x+6000。

二次函数——利润问题

利润问题（二次函数应用题） 1、某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-2x)件,应如何定价才能使定价利润最大？最大利润是多少元？ 2、某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；（2）若设销售利润为s，写出s与x的函数关系式；（2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？

3、某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大？ 4、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。（1）设每件衬衫降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式；（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

5、某商场销售一批产品零件，进价货为10元，若每件产品零件定价20元，则可售出10件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件产品零件每降价2元，商场平均每天可多售8件。（1）设每件产品零件降价x元，平均每天可售出y件，写出y与x的函数关系式___________________。（2）每件产品利润降价多少元时，商场盈利最多？

初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习(含答案) (2)

初中数学：利用二次函数解决距离、利润最值问题练习（含答案）一、选择题 1．向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最大的是( ) A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒 2．某民俗旅游村为解决游客的住宿需求,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元,则租出床位相应地减少10张．如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且所获租金高,那么每张床位每天最合适的收费是( ) A．140元 B．150元 C．160元 D．180元二、填空题 3．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t＝________．4．某商场购进一批单价为20元的日用商品,如果以单价30元销售,那么半月内可销售出400件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件,当销售单价是________元时,才能在半月内获得最大利润. 5．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如下表：

科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为________℃. 三、解答题 6．小明同学在一次社会实践活动中,通过对某种蔬菜在1月份至7月份的市场行情进行统计分析后得出如下规律： ①该蔬菜的销售价P(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足关系：P＝9－x； ②该蔬菜的平均成本y(单位：元/千克)与时间x(单位：月份)满足二次函数关系y＝ax2＋bx＋10.已知4月份的平均成本为2元/千克,6月份的平均成本为1元/千克． (1)求该二次函数的表达式； (2)请运用小明统计的结论,求出该蔬菜在第几月份的平均利润L(单位：元/千克)最大,最大平均利润是多少．(注：平均利润＝销售价－平均成本) 7．如图K－7－1所示,甲船从A处起以15海里/时的速度向正北方向航行,这时乙船从A 的正东方20海里的B处以20海里/时的速度向正西方向航行,多长时间后,两船的距离最小？最小距离是多少？

二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案

第3课时二次函数的实际应用——最大(小)值问题 [例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322 -+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y 当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y ∵30≤≤x ，对称轴为1-=x ∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=． [例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元， 1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102 +--=x 当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x 当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大． [练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202 +--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．

利用二次函数解决有关利润问题

利用二次函数解决有关利润问题一、学习目标：姓名：_____________ 1、知识与能力：能够分析和表示有关利润问题中变量之间的二次函数关系，把实际问题转化为数学问题，正确建立函数关系，并能运用二次函数性质解决问题。 2、过程与方法：通过对典型例题的分析解答和具体练习，强化知识的探究。 3、情感态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值，体会到学习数学的乐趣。二、教学重难点：教学重点：会通过情境问题确定二次函数的表达式。教学难点：运用函数性质解决实际问题。三、教学过程：㈠、复习回顾： 1、求下列二次函数的最大值或最小值： ⑴y=－x2＋2x－3；⑵y=x2＋4x 2、图中所示的二次函数图像的解析式为： ⑴若－4≤x≤－3，图像位于对称轴的___侧，y随x的增大而____, 当x=____时，y有最大值为_____、当x=___时，y有最小值为_____。 ⑵若0≤x≤3，图像位于对称轴的____侧，y随x的增大而______,当x=____时，y有最大值为_____、当x=___时， y有最小值为_____。 ⑶若－3≤x≤3，当x=____时，y有最大值为_____、当x=___时，y有最小值为_____。可见求函数的最值问题，应注意什么? ㈡、新授：例1来到商场：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？思考：（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x 的函数关系式。涨价x元时每星期少卖___件，实际卖出_______件,此时每件的利润为______元，因此，所得利润为_________________元。所以得：在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。（2）、设每件降价x元，则每星期多卖___件，实际卖出_______件,此时每件的利润为______元，因此，所得利润为：归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤: 三、练一练： 1、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． ⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； ⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 13 x8 x2 y2+ + =

二次函数最大利润求法经典

分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（x-40）问题2：售价为x 元，售价涨了多少元？可表示为（x-60）问题3：售价为x 元，销售数量会减少，减少的件数为 -60202 x ? （件）问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 -60300202x y =- ?= 30010(60)x --= 10900x -+ 因为0600 x x ??-≥?f 自变量x 的取值范围是 60x ≥ 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? = (40)(10900)x x --+ = 210130036000x x -+- 问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-? = (40)(10900)x x --+ = 210130036000x x -+- =2 10(130)36000x x --- =22210(13065)6536000x x ??--+--?? =2 10(65)4225036000x --+- =210(65)6250x --+ 所以可知，当售价为65元时，可获得最大利润，且最大利润为6250元

分析：本题用到的数量关系是：（1）利润=售价-进价（2）销售总利润=单件利润×销售数量问题1：售价为x 元时，每件的利润可表示为（x-40）问题2：售价为x 元，售价降了多少元？可表示为（60-x ）问题3：售价为x 元，销售数量会增加，增加的件数为 60402 x -? （件）问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402x y -=+ ?= 30020(60)x +-= 201500x -+ 因为0600 x x ??-≥?f 所以，自变量x 的取值范围是 060x ≤≤ 问题4：售价为x 元，销售数量为y （件），销售总利润为W （元），那么W 与x 的函数关系式为 (40)W x y =-? = (40)x -（201500x -+） = 220230060000x x -+- 问题5：售价为x 元，销售总利润为W （元）时，可获得的最大利润是多少？因为 (40)W x y =-? = (40)x -（201500x -+） = 220230060000x x -+- =2 20(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ??????--+--?? ? ????????? =211520()66125600002 x --+- =220(57.5)6612560000x --+- =2 20(57.5)6125x --+ 所以可知，当售价为57.5元时，可获得最大利润，且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价2元，每星期少卖出20件；每降价2元，每星期可多卖出40件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？