含参数的恒成立和存在性问题
函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题
【类型一】：分离参数，转化为函数的最值问题或值域问题： 设函数()f x 的最大值为max ()f x ，最小值为min (),f x 则 （一）“恒成立”问题
（I ）对任意的x D ∈，恒有()a f x >成立⇔max ();a f x >
对任意的x D ∈，恒有()a f x ≥成立⇔max ();a f x ≥ （II ）对任意的x D ∈，恒有()a f x <成立⇔min ();a f x <
对任意的x D ∈，恒有()a f x ≤成立⇔min ();a f x ≤ （二）“存在性”问题（“有解”问题）
（I ）存在的x D ∈，使得()a f x >成立⇔min ();a f x >
存在的x D ∈，使得()a f x ≥成立⇔min ();a f x ≥ （II ）存在的x D ∈，使得()a f x <成立⇔max ();a f x <
存在的x D ∈，使得()a f x ≤成立⇔max ();a f x ≤ 【类型二】涉及到两个函数(),()f x g x
（I ）任意11,x D ∈任意22,x D ∈恒有12min max ()(),()();f x g x f x g x >⇔> （II ） 任意11,x D ∈存在22,x D ∈使得12min min ()(),()();f x g x f x g x >⇔>
任意11,x D ∈存在22,x D ∈满足12max max ()(),()();f x g x f x g x <⇔< （III ）存在11,x D ∈存在22,x D ∈使得12max min ()(),()();f x g x f x g x >⇔>
（IV ）任意11,x D ∈存在22,x D ∈使得1212()(),{()|}{()|};f x g x f x x D g x x D =⇔∈⊆∈ （V ）在公共定义域D 上，
()f x 的图像恒在()g x 的图像的下方
max ()()()()()0()0()f x g x h x f x g x h x x D ⇔<⇔=-<⇔<∈恒成立恒成立
第二类双变量问题
1.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
()()x g x f min min ≥；
2.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 3．设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在
[]b a x ,1∈上的值域M 是()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的子集。即：M ⊆N ；
4. 设函数()x f 、()x g ，若存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()12=f x g x ，则()f x 在[]b a x ,1∈上的值域M 与()x g 在[]d c x ,2∈上的值域N 的交集为非空集合；
5.设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 6．设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则
7．设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，任意的[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则
8．设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，任意的[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 说明：若函数无最值，上述模型也等价于函数的有界性（即将最大值变为上界，最小值变为下界） 三．典例分析：
例1. 函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是
例2. 已知0,x >均有2
(1)(1)0x ax x -⋅+-≥，则实数a 的值是
例3.已知函数b x x a x h ++=
)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,4
1
[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围是
例 4.设1,a >若对任意的[],2,x a a ∈都存在[],2,y a a ∈满足方程3log log x y
a a +=，则实数a 的取值范围是
练习：1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x
a
x g =
)(，其中0>a ，0≠x ． （1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
3、已知两函数2)(x x f =，m x g x
-⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，
则实数m 的取值范围为
恒成立问题与存在性问题(最新精华)
恒成立问题与存在性问题 思路一： （1）若函数)(x f 在D 区间上存在最小值min )(x f 和最大值max )(x f ，则 不等式a x f >)(在区间D 上恒成立a x f >?min )(； 不等式a x f ≥)(在区间D 上恒成立a x f ≥?min )(； 不等式a x f <)(在区间D 上恒成立a x f )(或))((a x f ≥在区间D 上恒成立a m ≥?； 不等式a x f <)(或a x f ≤)(在区间D 上恒成立a n ≤?。 例题1： 已知函数.ln )(x x x f = （1）求函数.ln )(x x x f =的最小值； （2）若对所有的1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围。 答案：（1）11min )()(---==e e f x f ；（2）]1,(-∞ 变式：设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+= （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若当]1,1[1--∈-e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰有两个相异实根，求实数a 的取 值范围。 答案：（1）递增区间是),0(+∞；递减区间是)0,1(- （2）22 ->e m （3）)3ln 23,2ln 22(--
高中数学x恒成立、存在性问题解决办法
恒成立、存在性问题解决办法总结 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤??在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m a x ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 恒成立、存在性问题 对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。 方法1：分离参数法 例1.设函数f(x)=lnx-ax, g（x）=ex-ax，其中a为实数。若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。 解：因为f`(x)=-a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。 点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。 方法2：构造函数法 例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围 是()。 A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.［-2，1］ D.[-2，0] 解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。 记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2-。 当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－，不可能满足条件。 当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。 当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。 令θ(x)=，则θ`(x)=。设t=x+1,则t>1。 记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。 故L(t) 函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果. 函数中的“恒成立”问题与“存在性”问题 【类型一】：分离参数，转化为函数的最值问题或值域问题： 设函数()f x 的最大值为max ()f x ，最小值为min (),f x 则 （一）“恒成立”问题 （I ）对任意的x D ∈，恒有()a f x >成立⇔max ();a f x > 对任意的x D ∈，恒有()a f x ≥成立⇔max ();a f x ≥ （II ）对任意的x D ∈，恒有()a f x <成立⇔min ();a f x < 对任意的x D ∈，恒有()a f x ≤成立⇔min ();a f x ≤ （二）“存在性”问题（“有解”问题） （I ）存在的x D ∈，使得()a f x >成立⇔min ();a f x > 存在的x D ∈，使得()a f x ≥成立⇔min ();a f x ≥ （II ）存在的x D ∈，使得()a f x <成立⇔max ();a f x < 存在的x D ∈，使得()a f x ≤成立⇔max ();a f x ≤ 【类型二】涉及到两个函数(),()f x g x （I ）任意11,x D ∈任意22,x D ∈恒有12min max ()(),()();f x g x f x g x >⇔> （II ） 任意11,x D ∈存在22,x D ∈使得12min min ()(),()();f x g x f x g x >⇔> 任意11,x D ∈存在22,x D ∈满足12max max ()(),()();f x g x f x g x <⇔< （III ）存在11,x D ∈存在22,x D ∈使得12max min ()(),()();f x g x f x g x >⇔> （IV ）任意11,x D ∈存在22,x D ∈使得1212()(),{()|}{()|};f x g x f x x D g x x D =⇔∈⊆∈ （V ）在公共定义域D 上， ()f x 的图像恒在()g x 的图像的下方 max ()()()()()0()0()f x g x h x f x g x h x x D ⇔<⇔=-<⇔<∈恒成立恒成立 第二类双变量问题 1.设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f min min ≥； 2020 年恒成立、存在性问题解决办法 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 题型一、简单型 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化） 简解：（1）由1 20122 32 ++-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ?的最小值大于a 即可．对1 2)(23++=x x x x ?求导，0)12(12)(2 224>+++='x x x x ?，故)(x ?在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==??x ，所以a 的取值范围是3 2 0< 高三数学专题——恒成立与存在性问题 高三复专题——恒成立与存在性问题 知识点总结： 1.___成立问题： 1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A； 2) 若对于D中的任意x，都有f(x) 5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值； 6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有 f(x1) 6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1) 专题8：恒成立与存在性问题 1．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得 0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A ．3[,1)2e - B ．33[,)24 e - C ．33[,)24 e D ．3[,1)2e 【解析】设()(21)x g x e x =-，y ax a =-， 由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方， ()(21)2(21)x x x g x e x e e x '=-+=+， ∴当1 2x <- 时，()0g x '<，当12 x >-时，()0g x '>， ∴当1 2 x =-时，()g x 取最小值1 22e --， 当0x =时，(0)1g =-，当1x =时，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过定点(1,0)且斜率为a ， 故(0)1a g ->=-且1(1)3g e a a --=---，解得 3 12a e < 故选：D ． 2．设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在两个整数1x ，2x ，使得1()f x ，2()f x 都小于0，则a 的取值范围是( ) A ．2 5[ 3e ， 3)2e B ．3[2e - ， 3)2e C ．2 5[ 3e ，1) D ．3[2e ，1) 【解析】函数()(21)x f x e x ax a =--+， 其中1a <， 设()(21)x g x e x =-，y ax a =-， 存在两个整数1x ，2x ， 使得1()f x ，2()f x 都小于0， ∴存在两个整数1x ，2x ， 使得()g x 在直线y ax a =-的下方， ()(21)x g x e x '=+， ∴当1 2 x <- 时，()0g x '<， ∴当1 2 x =-时，121[()]()22min g x g e -=-=-． 当0x =时，(0)1g =-，g （1）0e =>， 直线y ax a =-恒过(1,0)，斜率为a ，故(0)1a g ->=-， 且1(1)3g e a a --=-<--，解得3 2a e < ．(2)2g a a ---，解得253a e ， a ∴的取值范围是2 5 [ 3e ， 3 )2e ． 故选：A ． 高三数学跨越一本线精品 问题二函数中存在性与恒成立问题 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越 来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.与恒成立及存在性问题有关的知识如下： (1)恒成立问题 ①. ∀x∈D,均有f(x)>A恒成立,则f(x)min>A； ②. ∀x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,则 f(x)ma x 专题3.12 恒成立、存在性问题 1．恒成立、存在性问题的求解思路： （1）转化为基本函数（曲线）问题：数形结合，利用函数图象或曲线性质求解，如一次函数端点法，二次函数判别式、指对函数切线法、根式平方联想圆等等； （2）分离参数法：转化为函数最值问题求解； （3）变换主元法：参数与变量角色转化，以参数为自变量，构建函数再求解． 2．不等式恒成立问题的求解策略： （1）分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤）； （2）数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)； （3）讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立． 3．不等式能恒成立求参数值(取值范围)的求解策略： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 4．对于已知函数()y f x =的单调性求参数问题： （1）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递增，转化为区间D 上()0f x '≥恒成立； （2）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递减，转化为区间D 上()0f x '≤恒成立； （3）已知可导函数()f x 在区间D 上存在增区间，转化为()0f x '>在区间D 上有解； （4）已知可导函数()f x 在区间D 上存在减区间，转化为()0f x '<在区间D 上有解． 【预测题1】已知函数()ln x f x x -= ． ［ ；「)。 14. -x 1 恒成立问题和存在性问题 / 2 1若函数f(x)二2x 2ax - -1的定义域为R,则a 的取值范围是 ____________________________ 。答：［—1, 0］ ---------------- 3 2•设函数y 二1 2x a 4x ，若函数在(一二，1］上有意义，求实数 a 的取值范围。答：a_-。 4 3•若关于x 的不等式x 2+9+|x 2 _3xpkx 在［1,5］上恒成立，则实数 k 的范围为 . 答：k 兰6 4.若曲线f(x)=ax 3+l nx 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 取值范围是 _____________________ .答：a<0 1 2 5•若f(x) x bl n(x ・2 )在(-1,+ ：：)上是减函数，则b 的取值范围是 _________________________ 。答：(-：：，-1］ 2 J 3 - ax 1 6 .已知函数f (x) (a =1).若f (x)在区间0,1丨上是减函数，则实数a 的取值范围 a -1 是 ______________ .答： -：：,0 一. 1,31 7•已知函数f (x) =log a (2 - ax)在［0, 1］上是减函数，则a 的取值范围是 __________________ 。答：(1, 2) &函数y=log 1(x -2mx 3)在(-：：,1)上为增函数，则实数 m 的取值范围是 . 答：1^m 乞2 2 9.函数y = log a x(a >0且a 式1)在［2,邑)上恒有I y |>1，则a 的取值范围是 。答：(1,1)U (1,2) 2 10•若关于x 的方程a 2x (1 lg m)a x ^0( a 0 ,且a = 1)有解，则m 的取值范围是 ___________________________ 。 答：0 ::: m 乞 10” 11•设f (x^3ax -2a 1,a 为常数，若存在 x 。•(0,1)，使得f(/) = 0，则实数 a 的取值范围是 = ------------ 。答：(虫‘口) (?，+乂)。 12.如果关于x 的方程(2無-2)2 -a-2 = 0有实数根，那么实数a 的取值范围是 _________________ 。答：［-1,2) 13•已知函数 f (x)的值域[0, 4](x [-2,2])，函数 g(x)二 ax-1,x [-2,2]， -x< ［-2,2］, x 0 • ［-2,2］使得g(x 0) = f (x 1)成立，贝y 实数a 的取值范围是 —。答：(-二丄：］ 2 2 兀 応 已知函数 f (x)=x ,(x [-2,2])， g(x)=a 2sin(2 x ：—) 3a, x [0,—]， 6 2 x 4 已知函数f (x) =lg(5％ m)的值域为R ，则实数m 的取值范围是 5 存在与恒成立问题 题型一不等式的恒成立问题 例1已知函数f(x)＝ax－1－ln x，a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，对∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法． 例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3. (1)求f(x)的解析式； (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围． 破题切入点(1)利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x)． (2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围． 题型三存在与恒成立的综合性问题 例3已知a>0，函数f(x)＝ln x－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间； (2)当a＝1 8时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫3 2； (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：ln 3－ln 2 5≤α≤ ln 2 3. 破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知识，既有存在，又有恒成立问题． 总结提高(1)存在与恒成立两个热点词汇在高考中频繁出现，关键要把握两个词语的本质：存在即特称量词，“有的”意思；恒成立即全称量词，“任意的”意思． (2)解决这类问题的关键是转化与化归思想，转化为求解函数的最大值与最小值问题． (3)函数与方程思想的应用在求解参数范围中体现的淋漓尽致，将参数分离出来，另一侧设为函数，转化为求解另一侧函数的最大值和最小值问题． 1．(2013·课标全国Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是() A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为 M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩ 在上恒成立在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f mi n mi n ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起 “恒成立问题”与“存在性问题”的大体解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的大体类型 恒成立、能成立、恰成立问题的大体类型 一、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 二、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩ 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方式：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 五、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 六、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 八、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B. 九、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的大体类型 在数学问题研究中常常碰着在给定条件下某些结论 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的概念域为 全部实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 “恒成立问题”的解法 常用方法：①函数性质法； ②主参换位法； ③分别参数法； ④数形结合法。 一、函数性质法 1.一次函数型：给定一次函数()(0)f x ax b a =+≠,若()y f x =在[m,n]内恒有()0f x >， 则依据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⎨⎧>0 )(m f ；同理，若在[m,n]内恒 有(f 0 . 例 1.对满意2p ≤的全部实数p ,求使不等式212x px px x ++>+恒成立的x 的取值范围。 略解：不等式即为2(1)210x p x x -+-+>,设2()(1)21f p x p x x =-+-+,则()f p 在[2,2]-上 恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0 10 3422x x x 3111x x x x ><⎧⇒⎨><-⎩或或13x x ⇒<->或. 2.二次函数： ①.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在R 上恒成立，则有00 a >⎧⎨∆<⎩（或00 a <⎧⎨ ∆<⎩）； ②.若二次函数2()(0)0f x ax bx c a =++≠>（或0<）在指定区间上恒成立，可以利用韦达定理以与根的分布等学问求解。 例2.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的 值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ) A ．(0，2) B ．(0，8) C ．(2，8) D ．(－∞，0) 选B 。 例3.设2()22f x x ax =-+,当[1,)x ∈-+∞时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设2()()22F x f x a x ax a =-=-+-， （1)当4(1)(2)0a a ∆=-+≤时，即21a -≤≤时，对一切[1,)x ∈-+∞，()0F x ≥恒成立； （2）当4(1)(2)0a a ∆=-+>时，由图可得以下充要条件： 0(1)021, 2 f a ⎧⎪∆>⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎩ 即(1)(2)0 30 1,a a a a -+>⎧⎪ +≥⎨⎪≤-⎩ 32a ⇒-≤<-; 综合得a 的取值范围为[-3，1]。 例4.关于x 的方程9(4)340x x a +++=恒有解，求a 的范围。 解法：设3x t =,则0t >.则原方程有解即方程2(4)40t a t +++=有正根。 1212 (4)040 x x a x x ∆≥⎧⎪ ∴+=-+>⎨⎪=>⎩2(4)1604a a ⎧+-≥⇒⎨<-⎩8a ⇒≤-. 3.其它函数： ()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下 界≥0）； ()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上 界≤0）. 例5．设函数321 ()(1)4243 f x x a x ax a =-+++，其中常数1a >， （1）探讨()f x 的单调性； （2）若当0x ≥时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围。 -1 o x y 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨ ≤⎪⎩在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象 上方； 9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 例题讲解： 题型一、常见方法 1、已知函数12)(2 +-=ax x x f ，x a x g = )(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意D x ∈，都有)()(x xg x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 2）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x xg x f >恒成立，求实数a 的取值范围； 3）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；恒成立问题
函数中存在与恒成立问题
含参数的恒成立和存在性问题
2020 年高中数学恒成立、存在性问题解决办法
高三数学专题——恒成立与存在性问题
高三数学高考导数专题8： 恒成立与存在性问题
【跨越一本线】高三数学 问题：2.2函数中存在性与恒成立问题(含答案)
高考数学冲刺专题3.12 恒成立、存在性问题(新高考)(解析版)
恒成立问题和存在性问题
存在与恒成立问题
恒成立和存在性问题的解题策略
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恒成立存在性问题