均衡定价模型CIR模型

具有劳动投入的

跨世一般均衡资产定价模型

●研究一般均衡资产定价模型。

?无摩擦证券市场的跨世一般均衡模型起源于Merton (1973) 和Lucas

(1978)。

?Cox，Ingersoll，和Ross （1985）(从现在开始，我们称这种模型为CIR

模型)发展了这个一般均衡定价理论。

◆CIR模型考虑一个纯资本增长模型，他们假设生产对于劳动的需求

是非弹性的，得到的一个基本结果是一个资产价格都服从的偏微分

方程。

●本文拓展了CIR模型。

?我们在CIR模型的生产函数中引入劳动，在效用函数中引入休闲，以此来讨论劳

动和休闲之间的这种矛盾关系如何影响资产的价格。除了得到一个熟悉的基本定

价方程外，我们还得到财富的边际效用和休闲的边际效用之间的最优关系。

●尽管一方面，模型的框架相当一般，足以包括影响资产价格的绝大多数基本

因素，但是另一方面，我们的模型却是易于处理地，只要作出一定的假设，我们就能够得到一些特殊的检验结果。

●模型的一个重要特征在于，它能够把实物市场和金融市场很好地结合在一

起。我们的模型内生地决定了任意金融资产的价格应服从的随机过程，并说明了这个过程对各种实变量的依赖关系。从我们的模型可以看出，模型的结果与理性预期以及个体最大化行为是充分一致的。

模 型

● 假设：

? 市场中存在唯一的一种物质物品，它既可用于消费，又可用于投资。所有的价格都以这种物品为计量单位。

? 经济中的生产机会集是由 n 个线性活动构成的。如果以 η 表示由投资在n 个生产活动中的物品的数量构成地向量，则这n 个生产过程服从以下的随机微分方程形式：对任意i=1,…,n 有

∑+=--+=k n j j ij i i i i i i t dw t Y g

l t dt t Y l t t d 111)(),()(),()()(θθθθηαηη, (1)

这里， w t w t w t n k ()((),,())=+1 是R n+k 中的一个 (n+k ) 维的布朗运动，Y 是一个由状态变量形成的地k 维向量，它的运行过程将在下面给出，ηθθi i t l ()1-是一个Cobb-Douglas 生产函数，l i 是投资在第i 个生产过程中的劳动量，01≤≤l i ，αα(,)[(,)]Y t Y t i =是一个有界的n 维向量，其中的每个分量是 Y 和 t 的函数，G ()()[]t Y g t Y ij ,,=是一个有界的n n k ?+()矩阵，其元素是Y 和 t 的函数。生产过

程回报率的协方差矩阵GG T 是正定的。 ◆ 系统（1）强调了，当每个生产过程的产出又连续地重新投资在同一过程中时，初始投资的增长过程。因此，这个系统提供了完整描述生产机会集的一种方式。在这个系统中，因为任何过程中的投资回报率的分布独立于投资的规模，所以生产过程具有随机的常规模回报。另外，尽管我们给定了这个生产过程，但并不说明所有的个体或者工厂都必须以这种方式进行重投资。

? 假设经济中的状态变量形成的k 维向量 Y 服从如下的随机微分方程 dY t Y t dt S Y t dw t ()(,)(,)()=+μ （2） 这里， μμ(,)[(,)]Y t Y t i = 是一个k 维向量，S Y t s Y t ij (,)[(,)]= 是一个 k n k ?+()矩阵，状态变量变化量的协方差矩阵 SS T 是非负定的。

◆ 这个模型既包括了生产的不确定性，又包括了技术变化的随机性。每个时期产出的概率分布依赖于当时的状态变量 Y 的值，而Y 的值又是随着时间而随机变化地，因此，Y 的发展决定了经济在将来可

获得的生产机会集。一般来说，这个机会集既可能变坏也可能变好。 ◆ 由（1）和（2）我们可以看到，除非T GS 为零矩阵，状态变量的变

化将与生产过程的回报时时相关。事实上，当S 等于G 时，状态变

量的变化与生产过程的回报完全相关，任何时间的Y 的值由生产过

程以前的回报完全决定。从而，我们对技术变化的描述也适合于任

何单个生产过程的随机冲击随时间相关的情形。

? 假设实物市场是无摩擦的，个体可以自由的进入所有的生产过程。个体

即可以通过投资在公司的生产活动而间接投资，也可以创立自己的公司直接投资。我们将采用第二种解释。市场是完全竞争的，所有的个体和公司都是价格接受者。

? 假设证券市场存在以利率 r 进行瞬时借贷的市场。作为标的变量的函

数，市场出清利率是由经济的完全竞争均衡确定的。

? 存在多种以唯一消费品为支付对象的偶发性权益。这些证券由个体和公

司发行、购买。

◆ 一种偶发性权益是对该权益所有支付的一个完整描述。

◆ 这些支付既依赖于状态变量又依赖于总的财富。一般来说，偶发性

权益的价格依赖于描述经济状态的所有变量。

◆ 用下面的随机微分方程来描述第 i 种偶发性权益价格 F i 的运动

过程

dF F dt F h dw t i i i i i i =-+()()βδ （3）

这里 h i 是一个 (n+k ) 维向量值函数。在（3）中第 i 种偶发性权益的总的期望回报βi i F 等于红利支付 δi 加上价格变化的期望值 βi i F －δi 。第 i 种偶发性权益价格的方差为 h h i i T 。 由It ?引理我们知道， βi 和h i 与偶发性权益价格的偏导数，以及偶发性权益价格依赖的变量的瞬时均值和协方差之间存在某种特殊的关系。但目前，我们认为（7-3）仅仅提供了一种便于后面研究的符号。尽管这样，（7-3）并不意味着价格的变动是外生给定的。均衡的 βi 和 r 服从的随机过程将内生决定。

? 经济中存在I 个个体，所有个体的禀赋和偏好相同，他们对未来的估计

满足理性预期的条件。所有个体对生产机会集和状态变量的估计服从上述方程。每个个体最大化如下的目标函数

E U C s L s Y s s ds t t [(),(),(),]'? （4）

在（4）中， E 表示已知目前禀赋和经济状态时的条件期望。C (s ) 是在时间s 的消费流， L (s ) 是在时间s 的休闲流。为了研究方便，我们假设个体把他所有的时间分成两部分：劳动l 和休闲L ，l+L=1（事实上， l (L ) 是劳动（休闲）所占的时间比例）。U 是 Von-Neumann-Morgenstern 效用函数， U 是增的、严格凹的两次可微函数，满足条件

U C s L s Y s s k C s L s Y s k ((),(),(),)(()()())≤+++112

这里， k 1 和 k 2 是正常数。

对于每个个体而言，在实物品和证券上的投资是连续进行地，不需要调整成本和交易成本，而交易仅仅发生在价格达到均衡时。

? 个体的配置问题

? 当证券市场存在很多种偶发性权益时，个体的证券组合问题一般没

有唯一解。为了研究方便，我们假设个体从包含所有的生产过程和

偶发性权益的投资机会集的基本集里挑选投资策略。

◆ 一个投资机会集的基本集由所有的生产过程集和一个偶发性权

益集构成，其中的每个偶发性权益具有（3）中类似的行向量i h ，

基本集中所有的偶发性权益的行向量i h 形成矩阵H ，使得对于

任意其它权益 j ， h j 可以表示成G 和 H 的行向量的线性组合。

因此我们把（3）看成是基本集中偶发性权益价格的结构。

◆ 只要基本集的维数不随时间的变化而变化，对基本集的显示构造

就不会非常困难。而任何影响基本集的维数的偶发性权益的构造

都会导致个体套期保值机会的变化。所以，假设基本集由n 个生

产过程和k 个偶发性权益构成。

◆ 当个体的投资机会集仅限于基本集时，如果我们决定了仅仅由基

本集中的投资机会组成的唯一配置，则我们可以确定个体的选择

和均衡的价格。任何包括不属于基本集的偶发性权益的配置总可

以由基本集中偶发性权益的证券组合来达到。所以我们假设投资

机会集仅限于基本集。

? 个体就可以把他的财富配置在1++k n 个投资机会上： (n+k ) 个基本

投资机会和第 (n+k+1) 个投资机会：以无风险利率借或者贷。引入如下记号： W 是个体的现时总财富；a i W 是个体投资在第i 种生产过程中的财富；b i W 是个体投资在第i 种偶发性权益上的财富；l i 是个体投资在第i 种生产过程中的劳动量。个体选择控制变量a i W 、b i W 、l i 、、C 来最大化他的期望效用，约束条件为：

dW a W l b W a b Wr C dt i i i i n i i i k i i n i i n =++---?????

?-====∑∑∑∑()()θθαβ111111

++-=+==+=∑∑∑∑()()()a W l g dw b W h dw i i

ij j j n k i n i ij j j n k

i k θθ1111

1 =++?? ???-===+∑∑∑W W dt a W l g b Wh dw i i ij i ij i k i n j n k j μθθ()()1111 （5）

=+=+∑W W dt q dw j j j n k

μ()1

◆ 优化问题

◆ 证券组合中的比例 a i 表示投资在实物生产过程中财富的比例，所以必

须是非负的。同样地，负的消费、负的劳动和休闲都没有意义。在这些约束下，我们解如下的最优化问题：

max ()(,,)v V

v L t J U v Y t ∈+ 受约束于

a C l l i i i n

≥≥≥≥=∑00011,,,。

构造 Lagrange 乘子

ψ=+++++-=∑L t J U a pC l l v

i i n

()()λψ?11 一阶条件为

????????λλ????ψψψψψψψψC p p a k n l k n k k k i

i i ========???????????0

0001001,,,,, （11） ??ψb j k j

==01,,,

◆ 均衡

? 个体以r ,,αβ为参数选择 , , , C

a b l 。经济达到均衡时，市场出清条件决定均衡利率、偶发性权益的均衡回报率、总的生产计划和总的劳动投入。这时，偶发性权益净供给和无风险贷款量必须为0。

定义1： 一个均衡状态定义为满足（11）和如下市场出清条件的随机过程集(,;,,)r a l C β：

（1）a i =∑1；

（２）对所有的i 有 b i =0。

◆ 上述定义等价于按照随机过程集()C a F r ,;,决定均衡。事实上，

我们在上面的假设中就已经给出了均衡的存在性、唯一性以及由

基本的动态规划方程给出的均衡特征。在这种同质经济中，个体

具有相同的效用函数、禀赋和投资机会，所以对任意()β,r 而言，所有的个体达到最优状态的机会一样，在这个最优状态下，个体

在证券市场上不投资，因此，在这个经济系统中，一个均衡状态

就是一个Pareto 最优状态。

◆ 确定均衡状态的()C a F r ,;,的值

?

r W A J J A GG A A GS J J i i i n WW W T T T T WY W =++?? ???=∑θα1 =++?? ???==∑∑θαW A J J Var W J J Cov W Y i i i n WW W WY W

i k i i 111()(,)l

U J A J A GG A A GS J i i n l W i i WW T T T T WY i n

*()()()==∑∑+=-++111?θα

J W r WJ HG A HS WJ W WW T T WY ()β-++=10

这里，A A A a W l a W l Cov W Y T n n i ==--() (()(()),(,)****121111 θθθθ 表示最优投资财

富的变化量与状态变量i Y 的变化量之间的协方差， Var (W ) 和Cov (Y i ,Y j )也有类似的解释。

◆ J U l a Wr W l k i +=-?θθ**()1

即，边际效用的比必须等于技术转换率；

()()n k U Wr J a l l W k k ,,1,1** =+-=θ?θ

即，在任何生产过程中，劳动投入与资本投入的比均相等。

◆ 任意偶发性权益，比如说第i 个偶发性权益的均衡期望回报率为

[][]()βφφφi i W Y Y W i Y i Y i T r F F F F i k i k -= (19) 这里

φW WW W WY W i i k J J Var W J J Cov W Y i =-+-?????

?=∑()(,)1

φY WW W i WY W i j i k i i J J Cov W Y J J Cov Y Y =-+-??????=∑(,)(,)1

? 任意偶发性权益的均衡期望回报率能够表示成无风险利率与该

资产价格对于W 、Y 的一阶偏导数的线性组合之和。尽管这些导

数依赖于资产的合约性质，但是线性组合的系数却独立于资产的

合约性质，这些系数对于所有偶发性权益均相同。

? 在（19）中，线性组合的系数可以依据特殊的证券或者证券组合

的均衡期望回报率来给出

◆ αθφT W A r W

-=

◆ 系数j Y φ是我们构造的某种证券的超额期望回报，这种证券

的值总是等于j Y 。

◆ j Y φ也可解释为某种价值仅仅依赖于j Y 的任意证券或者证券

组合的期望回报率的函数。

◆ 在Ross 的APT 中，如果证券的回报是由线性因子模型产生

的，则在一定的假设之下，任意证券的均衡期望超额回报率

可以表示成因子风险酬金的线性组合。第j 种因子的风险酬

金定义为仅仅具有第j 种因子风险的证券或者证券组合的期

望超额回报率。尽管我们的模型比APT 模型深入拓展了许

多，但是系数W φ、j Y φ仍旧可以解释为Ross 的因子风险酬金。

◆ 由定理1的证明，

W φ是财富的变化与财富的边际效用的变化率之间的协方差的负值。类似地，我们可以证明j Y φ是第j 个

状态变量的变化与财富的边际效用的变化率之间的协方差

的负值。

◆ 第j 种偶发性权益的超额期望回报率等于它的回报率与财富

的边际效用的变化率之间的协方差的负值。一种证券，如果

它在个体边际效用高的时候支付得多，则这种证券具有高的

价格，从而期望回报率低，风险酬金也低。

()

W

j W j j J F J F Cov r ,-=-β。

◆ 如果直接效用函数U 不依赖于状态变量Y ，且U 和最优消费函数*C 具有足

够的光滑性，可以把因子风险酬金改写为

()()()W C Cov C U C U C CC W ,***???

? ??-=φ ()()()Y C Cov C U C U C CC Y ,***???? ??-=φ

（27）

这里()W C Cov ,*表示消费的变化与财富的变化之间的协方差，()Y C Cov ,*有类似的定义。从而我们可以得到

()()()()i C CC i i F C Cov C U C U F r ,***???? ??-=-β， （28）

所以任何证券的期望超额回报率与它和最优消费的协方差成正比。

? 首先，当个体对消费的偏好趋于风险中性时，所有的风险酬金因子并没

有消失。对于对消费具有风险中性的个体而言，技术变化的风险并不是中性的，因此，风险酬金因子反映了他们面对这种风险时所要求的补偿。 ? 能够把任何偶发性权益或者任何生产过程的均衡期望回报率表示成别的

权益或者证券组合期望回报率的函数。

◆ 基本定价方程及其解释

定理： 任何偶发性权益的价格满足如下的偏微分方程

1212111Var W F Cov W Y F Cov Y Y F WW i WY i k i j YY j k i k i i j ()(,)(,)++===∑∑∑

[]+-r W Y t W C W Y t F W (,,)(,,)* +----????????==∑∑F J J Cov W Y J J Cov Y Y Y i WW W i WY W i j j k i k i j μ(,)(,)11 +-+=F r W Y t F W Y t t (,,)(,,)δ0 （29） 这里， r (W,Y,t ) 由方程 (7-12a)给出 r W A J J A GG A A GS J J i i i n WW W T T T T WY W

=+

+=∑θ

α()1

=++==∑∑θαW A J J Var W J J Cov W Y i i i n

WW W WY W i k i i (()(,))11。 定价方程（29）对于任何偶发性权益均成立。方程具体的形式和相应的

终端与边界条件由每种权益的合约结构决定。一般来说， F 定义在 [t, T )×Z 上，这里 Z R k ?∞?(,)0 是一个开集，?Z 是它的边界。设 ?Z 表示?Z 的闭子集，满足下列条件：对任意的()W t Y t Z (),()∈有()W Y Z (),() ττ?∈，这里τ 是首次穿过 Z 的时间。从而 (29) 对所有的()s W s Y s t T Z ,(),()[,)∈?均成立，而边界条件由合约结构确定

F W T Y T T W T Y T W T Y T Z F W Y W Y W Y Z ((),(),)((),()),((),()),((),(),)((),()),((),()) .

=∈=∈Θψτττττττ?（30) 换句话说，偶发性权益 F 的持有者获得三种类型的支付： (i) 如果标的变量在到期日T 之前没有离开一定的区域，则支付为 Θ ； (ii) 如果标的变量在到期日T 之前某个时间 τ 离开这个区域，则支付为ψ ；(iii) 在T 和 τ 中的较小量之前，支付流为 δ 。