多面体简介

MTS2007第一屆全國高中數學教學研討會論文集市立高雄女中林義強

第九場次

第177頁至第192頁

多面體簡介{P o l y h e d r o n}

kghs_john@https://www.360docs.net/doc/933464203.html,

高雄市立高雄女中 林義強 編授

[ Contents ] :

{1}.從柏拉圖多面體談起( Platonic Solids )

{2}.阿基米得多面體( Archimedean Solids )

{3}.加泰朗多面體( Catalan Solids )

{4}.喀卜勒-龐索多面體( Kepler-Poinsot Solids )

{5}.自製多面體模型玩具

{6}.參考資料

『Geometry is a skill of the eyes and the hands as well as of the mind.』

『幾何 是 眼、手 及 心靈 的 技能。』

J e a n J.P e d e r s o n

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多面體簡介 { Polyhedron }

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{1}. 從柏拉圖多面體談起( P l a t o n i c S o l i d s )

[1]. Construct Platonic Solids

[2]. Important facts about Platonic Solids

柏拉圖多面體每面均由全等的正多邊形所組成，且要求每個頂點的組態一致；為＂凸＂的正多面體，共有正四面體( T e t r a h e d r o n ) , 正六面體( H e x a h e d r o n 或C u b e ) , 正八面體( O c t a h e d r o n ) , 正12面體( D o d e c a h e d r o n ) , 正20面體( I c o s a h e d r o n )等五個。

古希臘人已經知道有上述五個正多面體，柏拉圖( P l a t o , B C 427-B C 347 )在其著作

( T i m a e u s )中已有描述；時約公元前350年。

歐基里得( E u c l i d o f A l e x a n d r i a , a b o u t B C 325-B C 265 ) 在其＂幾何原本( E l e m e n t s )＂最後一個命題也已完成証明 ＂凸正多面體恰有如上述五個＂。

(P01). 正四面體： 4{3} (由 4 個正三角形構成) (P02). 正六面體： 6{4} (由 6 個正方形構成) (P03). 正八面體： 8{3} (由 8 個正三角形構成) (P04). 正十二面體： 12{5} (由 12 個正五邊形構成) (P05). 正二十面體：

20{3} (由 20 個正三角形構成)

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{2}. 阿基米得多面體( Archimedean Solid )

[1].關於阿基米得多面體：

阿基米得多面體共有13個，由至少兩種以上的正多邊形所組成的【凸多面體】，且要求每個頂點的組態均一致，但不包含＂柱體族(Prism )＂及＂反柱體族(Antiprism )＂；

通常被歸類為＂準正多面體(Semiregular polyhedra )＂。

古希臘柏拉圖至少已經知道其中一個(A06 : Cuboctahedron )。

雖然阿基米得的著作已經失傳，但據信他確實曾在其書中提及完整的13個阿基米得多面體。

近代數學家中，喀卜勒( Kepler )最早對此作有系統的研究，他並最早發現 ＂柱體族(Prism )＂、＂反柱體族(Antiprism )＂及阿基米得體均滿足由正多邊形所組成的【凸多面體】，且要求每個頂點的組態均一致，故將此三者合稱為準正多面體。

Pugh於1976年發現13個阿基米得多面體均可內切於一個正四面體(阿基米得體的其中四個面與正四面體的四個面重合)。

[2]. 阿基米得多面體的組合圖及展開圖如下：

(A01).截半六面體( Cuboctahedron ) : 8{3}+6{4}

(A02).截半十二面體( Icosidodecahedron ) : 20{3}+12{5}

(A03).截角四面體( Truncated tetrahedron ) : 4{6}+4{3}

(A04).截角八面體( Truncated octahedron ) : 8{6}+6{4}

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(A05). 截角立方體( Truncated cube ) : 6{8}+8{3} (A06). 截角二十面體( Truncated icosahedron ) : 20{6}+12{5} (A07). 截角十二面體( Truncated dodecahedron ) :

12{10}+20{3}

(A08). 削稜截角立方體( Rhombicuboctahedron ) : 6{4}+8{3}+12{4}

(A09). 大削稜截角立方體( Great rhombicuboctahedron ) : 6{8}+8{6}+12{4}

(A10). 削稜截角十二面體( Rhombicosidodecahedron ) :

12{5}+20{3}+30{4}

(A11). 大削稜截角十二面體( Great rhombicosidodecahedron ) : 12{10} + 20{6} + 30{4}

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(A12). 扭稜立方體( Snub cube ) :

6{4}+(8+24){3}

(A13). 扭稜十二面體( Snub dodecahedron ) : 12{5}+(20+60){3}

此外每個準正多面體都各自有一個對偶的多面體如下圖(共有13 種)：

升學考試決定了我們絕大部分的教學內容，決定了我們對各種數學素材的取捨 …… 但 不管考試的分數如何；永遠不要忽略 "探索" 所能帶來的樂趣以及可能附加的成就。

2002.0102.

林義強.

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{3}. 加泰朗多面體( Catalan Solids )

[1]. 關於加泰朗多面體：

加泰朗多面體為阿基米得多面體之對偶體亦有13個；阿基米得多面體由兩種(以上)的正多邊形所組成，且每個頂點的組態均一致，故其對偶體( dual )有兩種(以上)的頂點，且每一面均全等(非正多邊形)。所以每一個加泰朗多面體均為等面體( Isohedra )。

法國數學家加泰朗( Eugene Catalan, 1814-1894 )最早於1862年(Wenninger 1983, p.1)描述這些多面體。

[2]. 加泰朗多面體的組合圖及展開圖如下：

(Ad01).菱形十二面體 ( Rhombic Dodecahedron ) : 12[4]

(Ad02).菱形三十面體 ( Rhombic Triacontahedron ) : 30[4]

(Ad03).三角化四面體 ( Triakis Tetrahedron ) : 12[3]

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(Ad04). 四角化六面體 ( Tetrakis Hexahedron ) :

24[3]

(Ad05). 三角化八面體 ( Trikis Octahedron ) :

24[3]

(Ad06). 五角化十二面體 ( Pentakis Dodecahedron ) :

60[3]

(Ad07). 三角化二十面體 ( Trikis Icosahedron ) :

60[3]

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(Ad08). 鳶形二十四面體 ( Deltoidal Icositetrahedron ) :

24[4]

(Ad09). 菱形錐化十二面體 ( Disdyakis Dodecahedron ) :

48[3]

(Ad10). 鳶形六十面體 ( Deltoidal Hexecontahedron ) :

60[4]

(Ad11). 菱形錐化三十面體 ( Disdyakis Tricontahedron ) :

120[3]

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(Ad12). 五邊形二十四面體 (Pentagonal Icositetrahedron ) :

24[5]

(Ad13). 五邊形六十面體 ( Pentagonal Hexecontahedron ) : 60[5]

上圖為木工國手沈岳霖的『實木砂磨作品』恰印證了下面這段讚嘆。

『Mathematics possesses not only truth but supreme beauty, a beauty cold and austere, like that of sculpture, sublimely pure and capable of a stern perfection, such as only the greatest art can show.』 『數學擁有的不只是真，也包含了無上的美，冷峻而質樸，宛如雕塑。只有最偉大的藝術才能展現如此莊嚴、純淨、趨於極緻的完美。』

B e r t r a n d R u s s e l l ( 1872 ~ 1970 ),

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{4}. 喀卜勒-龐索多面體( Kepler-Poinsot Solids )

[1]. 關於喀卜勒-龐索多面體

將正多邊形的邊延長直到它們再度相交，便可得到一個星狀正多邊形。如下左圖將正五邊形的各邊延長直到再度相交，即可得一個正五角星( Pentagram )。由於此五角星共有5個相等的邊、5個相等的角且繞中心兩次；因此，我們可以將之視為『廣義的正多邊形』，並仿正五邊形的記號{ 5 } 將此五角星記為 { 5/2 }；依此類推：下圖中之八角星( Octagram ) 及下圖右之十角星( Decagram )均繞中心三次；故可將之簡記作 { 8/3 } , { 10/

} …….

上述過程即為平面上的『星化程序( Stellation )』；若把此程序立體化，將正12面體、正20面體適當地星狀化，即可得到四個 ＂非凸＂ 的正多面體( nonconvex regular

polyhedron )：小星狀12面體( Small stellated Dodecahedron )、大星狀12面體( Great stellated

Dodecahedron )、大12面體( Great Dodecahedron )、大20面體( Great Icosahedron )；合稱為喀卜

勒-龐索多面體。

其中德國天文學家喀卜勒( Johannes Kepler, 1571-1630 )約於公元1619年藉由多邊形及多面體的『星化程序』發現兩個類似流星錘的星狀體，即為小星狀12面體與大星狀12面體；

法國數學家龐索( Louis Poinsot, 1777-1859 )約於公元1809年獨自發現完整的四個； 生平共發表789篇論文的法國數學家柯西( Augustin Louis Cauchy, 1789-1857 ) 於公元1813年証明了 ＂上述四個多面體已經窮盡所有非凸正多面體或星狀正多面體的可能性＂。[1].

值得注意的是小星狀12面體12{ 5/2 } 與大12面體12{ 5 } 並未滿足尤拉的多面體公式 :

若V 為多面體的頂點數，E 為稜數(或稱邊數)，F 為面數；則

V – E + F = 2

小星狀12面體12{ 5/2 } 與大12面體12{ 5 } 互為對偶多面體； 大星狀12面體12{ 5/2 } 與大20面體20{ 3 } 互為對偶多面體；

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[2]. 喀卜勒-龐索多面體的組合圖及展開圖如下： (K01). 小星狀12面體( Small stellated Dodecahedron ) :

12{ 5/2 }

(K02). 大星狀12面體( Great stellated Dodecahedron ) :

12{ 5/2 }

(K03). 大12面體( Great Dodecahedron ) :

12{ 5 }

(K04). 大20面體( Great Icosahedron ) :

20{ 3 }

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下圖為木工國手沈岳霖的『多面體雕塑作品』--- 冷峻、質樸、純淨、趨於極緻的美！

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{5}. 自製多面體模型玩具

嵌合( s l i d e t o g e t h e r )

見於美國多面體大師George Hart 的『多面體百科全書』Encyclopedia of Polyhedra

( h t t p ://w w w .g e o r g e h a r t .c o m /v i r t u a l -p o l y h e d r a /c l a s s r o o m .h t m l )，在多面體的邊上割出邊長一半的

溝槽，在各個面相交的地方，就能互相嵌卡，不需要使用膠水等黏著劑。不管使用任何材質，嵌合的溝槽必須具有寬度，否則必然有扭曲形變的問題。 [1]. 扭稜嵌合立方體

需元件6片

[2]. 嵌合八角星體

需元件8片(最好使用兩種顏色)

多面體簡介 { Polyhedron }

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[3]. 20面體之星化體

需元件20片(最好使用5種顏色)

[4]. 菱形30面體之星化體

需元件30片(最好使用5種顏色)

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[5]. 多面體工作室 with I.Q. pcs

I .Q .( Interlocking Quadrilateral )燈具為丹麥的設計師Holger Str?m 於1965年所發明，是一種由單一元件構成，可以多樣化組裝的燈具系統。可應用於幫助發展多面體、對稱形變、立體幾何….等概念。

☆. I.Q. Light 唯一元件 --- 至少30片(片數越

多越好)：

(1). 菱形12面體 ( R h o m b i c D o d e c a h e d r o n )

(2). 菱形30面體 ( R h o m b i c D o d e c a h e d r o n )

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{6}. 參考資料

[1]. 參考書籍：

(1). Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Dover, 1991

(2). Wenninger, M. J. Polyhedron Models. New York: Cambridge University Press, 1989 (3). Wenninger, M. J. Dual Models. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1983

(4). Coxeter, H. S. M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; and Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra . Stradbroke, England:

Tarquin Publications, 1999.

(5). Ball, W. W. R. & Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. New York: Dover, 1987 (6). Eric W Weisstein CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, . Illinois : Chapman & Hall / CRC, 1999 (7). Johnson, N. W. Uniform Polytopes . Cambridge, England: Cambridge University Press, 2000. (8). 倫迪, 薩頓 著; 葉偉文 譯 典雅的幾何Sacred Geometry , 天下文化, 2002

[2]. 參考網址：

(1). Eric W. Weisstein. "Polyhedra" https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/topics/Polyhedra.html

(2). George W. Hart "The Encyclopedia of Polyhedra" https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/virtual-polyhedra/vp.html (3). Robert Webb. "Stella: Polyhedron Navigator" https://www.360docs.net/doc/933464203.html,.au/robertw/Stella.html (4). Vladimir Bulatov "Uniform Polyhedra" https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/~bulatov/polyhedra/uniform/. (5). Zvi Har'El "Kaleido" http://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido/. (6). Sam Gratrix " Polyhedra Home" https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/polyhedra/

(7). Junichi Yananose , "Juno's world" http://www.ne.jp/asahi/j/yananose/zindex.html (8). 王大維 "眾藝國際 Zome!" ; https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/index.html (9). Holger Str?m " IQ light " ; https://www.360docs.net/doc/933464203.html,/

The real models are always the best approach to Shapes, Space, and Symmetry.

林義強.