高中数学必修五第三章复习知识点及题型

必修五第三章不等式

一．不等关系与不等式

1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -

比较两个数的大小可以用相减法；除法；平方法；开方法；倒数法等等。

2、不等式的性质： ①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >．例1 对于实数判断下列命题真假：,,,c b a

（1）若;,bc ac b a <>则 (2);,2

2b a bc ac >>则若

(3)22,0b ab a b a >><<则若 (4) .0,0,1

<>>>b a b

a b a 则若例2（1）.已知x ∈R,则22+x 与2的大小关系是?( ).

A.22

+x >2 B.222

≥+x C.22

+x <2 D.222≤+x

（2）.2)2(-≥n m 等价的是( ). A.2)2(-≤n m B.m n ≥-2)2( C.m n ≤-2)2( D.2)2(-n

（3）设则下列不等式成立的是是非零实数，若,,b a b a < （） A.22b a < B.b a ab 22< C.b a ab 2211< D.b

a a

b <

二．一元二次不等式的解法

判别式ac b 42

-=?

0>? 0=? 0

函数

c bx ax y ++=2

)0(>a 的图象

方程02

=++c bx ax

)0(>a 的根

有两相异实根 )(,2121x x x x <

有两相等实根 a

b x x 221-

没有实数根

)0(02>>++a c bx ax

)0(02

><++a c bx ax

例3（1）2. 函数122-+=x x y 的定义域是 ( ) A.{}

34>-

34<<-x x C.{}

34≥-≤x x x 或 D.{}

34≤≤-x x

（2）不等式022>++bx ax 的解为3

1<<-x ，则b a +等于 ( )

A.10

B.-10

C.14

D.-14

（3）对于任意的实数x ，不等式04)2(2)2(2

<----x a x a 恒成立，实数a 的取值范围是( ) A.()2，∞- B.(]2，∞- C.()22，- D.(]22，- （4）解关于的不等式)0(01)1(2

><++-a x a ax .

例4.解不等式（1）()()()0321≥-+-x x x （2）()()()0321>-+-x x x

（3）()

()()()032112≤-+-+-x x x x x （4）()()()()032112

>-+-+x x x x

（5）012<-+x x （6）221≤-+x x （7）027313222

≥+-+-x x x x

例5（1）.已知不等式22

622

>++++x x kx kx 对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围。

（2）函数()()862++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求k 的取值范围。

（3）若不等式0122

≤--+a x x 对一切[]0,2-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

（4）若不等式012

≤+-+a ax x 对一切[]0,3-∈a 恒成立，求x 的取值范围。

（5）当 m 为何值时，关于x 的方程()()07182=-+--m x m x 的两根①为正根 ②为异号根且负根绝对值大于正根 ③都大于1

（6）关于x 的方程()

71320x a x a a -++--=有两实根21,x x ，且21021<<<

三．基本不等式

1、设a 、b 是两个正数，则2

a b +称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．

2、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a b ab +≥．

3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()2

a b ab a b R +≤∈；

③()2

0,02a b ab a b +??≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ?

． 4、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．例6（1）在下列各数中，最小值为2的是( )

A.x

x y 1+= B.x x y -+=33 C.)101(lg 1lg <<+=x x x y D.)2

0(sin 1sin π<<+=x x x y

（2）设R b a ∈,，且3=+b a ，则b

a 22+的最小值是（）A ．6 B ．24 C ．22 D ．62

（3）下列不等式中恒成立的是

A ．22222≥++x x

B ．21

≥+x x C ．25

422≥++x x D ．2432≥--x x （）

（4）下列结论正确的是（）

A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且

B ．21,0≥+>x x x 时当

C ．x x x 1,2+

≥时当的最小值为2 D ．当x

x x 1

,20-≤<时无最大值（5）下列函数中最小值是4的是（） A ．x x y 4+

= B ．x x y sin 4sin += C ．x x y -++=1122 D ．0,31

≠+++=x x x y （6）若,0,0>>y x 且,36=xy 则y x +与12的大小关系是_______;

例7 求（1）)0(1>+=x x x y 的最小值（2）22218x x y +=的最小值（3）)4

5(54124<-+-=x x x y 的最大值

（4）)20)(38(<<-=x x x y 的最大值（5）)0(sin 5

sin π<<+=x x

x y 的最小值

例8. 已知正数b a ,满足3++=b a ab ，求ab 的取值范围.

例9 .求（1）求函数2

322

++=x x y 的最小值（2）已知0,0x y >>,且191x y +=,求x y +的最小值。

（3）.函数)0(232

>+++=x x x x y 的最小值（4）求函数1

33224+++=x x x y 的最小值（5）若y x ,是正实数，则)4

)((y

x y x +

+的最小值为（6）已知y

x y x y x 1

1,12,0,0+=+>>求

最小值（7）已知的最大值求y x y x y x lg lg ,4lg lg ,1,1?=+>>

（8）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3x

a b ==，23a b +=，则

x y

+的最大值为。

高中数学必修五知识点总结及例题学习资料

高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形）注：在C ?AB 中，则有（1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0）（2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边）（3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则

高中数学必修五知识点详细解答附答案

姓名____________ 20XX 年____月_____日第___次课正、余弦定理一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系；（2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理：（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明：证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ；设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理：（1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0