(完整版)专题求变力做功的几种方法
2007高考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》
湖南省祁阳县第四中学 黄冬成
一、知识讲解
功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa 只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，当F 为变力时，用动能定理W=ΔE k 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力做功问题进行归纳总结如下：
1、等值法
等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa 计算，从而
使问题变得简单。
例1、如图，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳
的拉力为F （恒定），滑块沿水平面由A 点前进S
至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角
分别为α和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。
分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对
绳的拉力F 等于T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。由图1可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F 的作用点的位移大小为：
β
αsin sin 21h h S S S -=-=? )sin 1sin 1(
.βα-=?==Fh S F W W F T 2、微元法
当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。
例2 、如图所示，某力F=10N 作用于半径R=1m 的转盘的边缘上，
力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一
致，则转动一周这个力F 做的总功应为：
A 、 0J
B 、20πJ
C 、10J
D 、20J.
分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为
与力在同一直线上，故ΔW=F ΔS ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W=F ×2πR=10×2πJ=20πJ ，故B 正确。
3、平均力法
如果力的方向不变，力的大小对位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值（恒力）代替变力，利用功的定义式求功。
例3、一辆汽车质量为105kg ，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大
小与车前进的距离变化关系为F=103x+f 0，f 0是车所受的阻力。当车前进100m 时，牵引
力做的功是多少？
分析与解：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f 0，是线性关系，故前进100m 过程
中的牵引力做的功可看作是平均牵引力-F 所做的功。由题意可知f 0＝0.05×105
×10N ＝5×104N,所以前进100m 过程中的平均牵引力: N N F 54341012)10510100(105?=?+?+?=-
∴W ＝S ＝1×105×100J ＝1×107
J 。
4、用动能定理求变力做功
例4、如图所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩
擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
分析与解：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB
段的阻力、AC 段的摩擦力共三个力做功，重力做功
W G =mgR ，水平面上摩擦力做功W f1=-μmgL ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0，
所以mgR-umgL-W AB =0
即W AB =mgR-umgL=6(J)
5、用机械能守恒定律求变力做功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。
例5、如图所示，质量m=2kg 的物体，从光滑斜面的顶端A 点以V 0=5m/s 的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B 点时的速度为零，已知从A 到B 的竖直高度h=5m ，求弹簧的弹力对物体所做的功。
分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B 所在水平面为零参
考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A ：E A = mgh+mV 02/2
对状态B ：E B =－W 弹簧+0
由机械能守恒定律得： W 弹簧=－（mgh+mv 02/2）=－125（J ）。
6、用功能原理求变力做功
例6、两个底面积都是S 的圆筒，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h 1和h 2，
如图所示，已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，求这过程中重力所做的功？
分析与解：由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两
桶水面高度相等的过程中，利用等效法把左管高221h h -以上部分的水等效地移至右管，如图中的斜线所示。最后用功能关系，重力所
做的功等于重力势能的减少量，选用AB 所在的平面为零重力势能
平面，则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为： 221212121212
1)(4
1)4()2()4()2(h h gS h h gS h h h h gS h h E E p p -=--+--=-ρρρ 所以重力做的功W G =221)(4
1h h gS -ρ.
二、课后检测
1、如图、利用定滑轮将物体匀速提升h ，若不计滑轮和绳重，不计摩擦，则拉力F 、拉力F 所做的功W 与夹角θ的关系是（D ）
A 、θ越大，F 越大，W 越大
B 、θ越小，F 越大，W 越大
C 、F 与θ角无关
D 、W 与θ角无关
2、某个力F=70N 作用于半径R ＝1m 的转盘边缘上．力F 的大小保待不变．但方向在任何时刻均与作用点的切线一致．则转动一周这个力F 所做的总功为（ B ）
A ． 0
B ．20πJ
C ． 10J
D ．20J
3、以初速度V 0竖直向上抛出一质量为m 的小球，上升的最大高度是h ， 如果空气阻力f 的大小恒定 从抛出到落回出发点的整个过程中，空气阻力对小球做的功为（ D ）
A 、0
B 、-fh
h 1
h 2
h 1 h 2 A B
C 、-2mgh
D ．-2fh
4、一质量为Ikg 的物体被人用手由静止向上提升1m ．物体的速度是2m ／s 。 下列说法中错误的是．（ B ）
A ．提升过程中手对物体做功12J
B ．提升过程中合外力对物体做功12J
C ．提升过程中合外力对物体做功力2J
D ．提升过程中物体克服重力做功10J
5、如图所示，在光滑的水平薄板中心有一个小孔O ，在孔内穿过一条质量不计的细线，线的一端系一小球，小球以O 为圆心在板上做匀速圆周运动，半径为R ，此时线的拉力为F ．若逐渐增大拉力至8F 时，小球仍以O 为圆心，做半径为R /2的匀速圆周运动。则在上述过程中，拉力做的功 ( A )
A ．3FR / 2
B ．7FR / 4
C ．7FR / 2
D ．4FR
6、一质量为m 的小球 用长为L 的轻绳悬挂于O 点 小球在水平力F 的作用下，从平衡位置甲处缓慢移动到乙处．则力F 所做的功为( C )
A ． mgLcos α
B ． FLsin α
C ．mgL(1-cos α)
D ．FLtan α
7、人造地球卫星在椭圆轨道上运动，由近地点到远地点，关于万有引力做功的情况．正确的说法是（C ）
A 、不做功
B 、做正功
C 、做负功
D 、不能判定
8、如图，固定的光滑竖起杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止上升，若从A 上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中F 做的功分别为W 1，W 2,图中AB=BC ，则一定有（ B ）
A 、W 1＜W 2
B 、W 1＞W 2
C 、W 1＝W 2
D 、无法确定
F O
9、一个人从40m深的井中，用一质量为2kg的均质绳拉一桶盛装10kg的水匀速地往上提，则把这桶水提上来需要做多少功？
答案：4400J
10、一人坐在雪橇上，从静止开始沿着高度为15m的斜坡下滑，到达底部时速度为10m/s，人和雪橇的总质量为60kg求人下滑过程中克服阻力做功等于多少”（取g=10m／s2）
答案:6000J
11、如图，质量为m的物体与转台之间的动摩擦因数为u．物体与转轴相距R，物体随转台
由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体即将在台上滑动，此时转台开始匀速转动，求在这一过程中，摩擦力对物体做的功为多少？
答案：umgR／2
12、质量为m的物体静止在桌面上，物体与桌面的动摩擦因数为μ．今用一水平推力推物
体加速前进一段时间，撤去此力物体再滑行一段时间后静止。已知物体运动的总路程为S．求此推力对物体做的功。
答案:umgS
13、一个人从10m深的井中，用一质量为1kg的桶盛装10kg的水匀速地往上提，（绳子重力不计），由于水桶不断地漏水，每升高1m漏水0.2kg，则把这桶水提上来需要做多少功？答案：1000J
14、某校在一次体能测试中要求学生连续立定摸高．某学生身高1.75m．体重60kg．站立举手摸高2.15m．该学生每次平均用力蹬地．经0.4s竖直离地．他跳起摸高2.6m．求；每次起跳蹬地过程该生所做的功
答案：270J
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功 一.微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w ?=来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大 小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解； 但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直 线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做 的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1 把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一 段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别 为 ， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 二、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值2 21F F F +=，再由αc o s L F W =计算变力做功。如：弹簧的弹力做功问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运 动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则 小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．02 1x F m C ．04x F m π D ．204 x π 【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为 04m F x π．C 答案正确． 图2
三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体， 物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系 一定是： A ．E K B -E KA =E K C -E KB B ．E KB -E KA
新教材高中物理 科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 新人教版必修第二册
科学思维系列(一)——求解变力做功的几种方法及摩擦力做功的情况 功的计算，在中学物理中占有十分重要的地位．功的计算公式W ＝Fl cos α只适用于恒力做功的情况，对于变力做功，则没有一个固定公式可用，但可以通过多种方法来求变力做功，如等效法、微元法、图象法等． 一、求解变力做功的几种方法 法1.用公式W ＝F － l cos α求变力做功 如果物体受到的力是均匀变化的，则可以利用物体受到的平均力的大小F －＝F 1＋F 2 2来计 算变力做功，其中F 1为物体初状态时受到的力，F 2为物体末状态时受到的力． 【典例1】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比．已知铁锤第一次使铁钉进入木板的深度为d ，接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为( ) A ．(3－1)d B ．(2－1)d C. 5－1d 2 D. 22 d 【解析】 根据题意可得W ＝F －1d ＝kd 2d ，W ＝F － 2d ′＝kd ＋k d ＋d ′2 d ′，联立解得d ′ ＝(2－1)d (d ′＝－(2＋1)d 不符合实际，舍去)，故选项B 正确． 【答案】 B 法2.用图象法求变力做功 在F - x 图象中，图线与x 轴所围的“面积”的代数和表示F 做的功．“面积”有正负，在x 轴上方的“面积”为正，在x 轴下方的“面积”为负．如图甲、乙所示，这与运动学中由v - t 图象求位移的原理相同． 【典例2】 用质量为5 kg 的均匀铁索，
从10 m 深的井中吊起一质量为20 kg 的物体，此过程中人的拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？(g 取10 m/s 2 ) 【解析】 方法一 提升物体过程中拉力对位移的平均值： F －＝250＋2002 N ＝225 N 故该过程中拉力做功：W ＝F － h ＝2 250 J. 方法二 由F - h 图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：W ＝250＋200 2×10 J ＝2 250 J. 【答案】 2 250 J 法3.用微元法求变力做功 圆周运动中，若质点所受力F 的方向始终与速度的方向相同，要求F 做的功，可将圆周分成许多极短的小圆弧，每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，这样变力(方向时刻变化)做功的问题就转化为多段上的恒力做功的问题了． 【典例3】 如图所示，质量为m 的质点在力F 的作用下，沿水平面上半径为R 的光滑圆槽运动一周．若F 的大小不变，方向始终与圆槽相切(与速度的方向相同)，求力F 对质点做的功． 【解析】 质点在运动的过程中，F 的方向始终与速度的方向相同，若将圆周分成许多极短的小圆弧Δl 1、Δl 2、Δl 3、…、Δl n ，则每段小圆弧都可以看成一段极短的直线，所以质点运动一周，力F 对质点做的功等于它在每一小段上做功的代数和，即W ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F (Δl 1＋Δl 2＋…＋Δl n )＝2πRF . 【答案】 2πRF . 变式训练1 如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k ＝200 N/m 的轻质弹簧相连，现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x 1＝0.2 m ，木块开始运动，继续拉弹簧，木块
【转】变力做功问题的求法集锦
变力的功求法集锦 第一.平均力法 1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。 2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。 【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。，可用平均阻力来代替。 如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为： 第二次击入深度为 到，平均阻力为： 位移为 做功为：两次做功相等： 解后有： 练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少? 解：()22kd kd k d d d d '++'?= ∴1)d d '=此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F =kd ，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB 的面积与梯形ABCD 的面积相等，即[]')(2 1)(21d d d k kd kd d ?'++=?解得 1)d d '= 练习2：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==12 2设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212 所以n k l E =2 2 【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做 Kd+d
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少 图3 答案：。 二、图象法
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细 绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A点 运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是 变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这 个力F做的总功应为： A0焦耳B20π焦耳 C 10焦耳D20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20π J，故B正确。 三、平均力法
求变力做功的几种方法
求变力做功的几种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
求变力做功的几种方法 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位，中学阶段所学的功的计算公式W=FScosa只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，本文对变力做功问题进行归纳总结如下： 一、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。而恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。 例1、如图1，定滑轮至滑块的高度为h， 已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面 由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时 细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的 功。 分析：设绳对物体的拉力为T，显然人对绳 的拉力F等于T。T在对物体做功的过程中大小 虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F的大小和方向 都不变，所以F做的功可以用公式W=FScosa直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中,拉力F的作用点的位移大小为： 二、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例2 、如图2所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为： A 0焦耳 B 20π焦耳 C 10焦耳 D 20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可 认为与力在同一直线上，故ΔW=FΔS，则转一周中各个 小元段做功的代数和为W=F×2πR=10×2πJ=20πJ，故 B正确。
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 [关键词] 变力功图像法等效代换法 1 前言 功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。 2 用图像法求变力做功 功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。
五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功 .微元法思想。 当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用w F ?scos来求解，但是可以 将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。 例1.用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的 质量为m,物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小 不变，方向时刻变化，是变 力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分 成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果图1
把圆轨道分成无穷多个微元段每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，摩擦力在
摩擦力在一周内所做的功
、平均值法 当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值 L F 1 F 2 — F ------------- ，再由W FLcos 计算变力做功。如：弹簧的弹力做功 2 问题。 例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块， 在水平拉力F 作 用下，沿x 轴方向运动（如图 2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标 x 面积表示功，由图象知半圆形的面积为 F m X 。. C 答案 4 正确. 三.功能关系法。 功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。 例3如图所示，用竖直向下的恒力 F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体, 物体沿水平面移动过程中经过 A 、 B 、 C 三点，设AB=BC ，物体经 过A 、B 、C 三点时的动能分别为 E KA , E KB , E KC ,则它们间的关系 _. r 曰 定是: A . E K B -E KA =E K C -E KB B . E KB -E KA V E K C -E KB 到X 0处时的动能为 ( ) A . 0 B . -F m X o 2 C . F m X o D . 2 X o 4 4 【精析】由于 W = F X ，所以F-x 图象与X 轴所夹的 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆?则小物块运动 o n ~~F ? 图2乙
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》.doc
考物理复习二轮专题《求变力做功的几种方法》 一、知识讲解 功的计算在中学物理中占有十分重要的地位， 中学阶段所学的功的计算公式 W=FScosa 只能用于恒力做功情况， 对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用， 当 F 为变力时， 用 动能定理 W= E k 或功能关系求功，高中阶段往往考虑用这种方法求功。这种方法的依据是： 做功的过程就是能量转化的过程， 功是能的转化的量度。 如果知道某一过程中能量转化的数 值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。 下面是对这种方法的归纳与总结下面对变力 做功问题进行归纳总结如下： 1、等值法 等值法即若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。 而恒力做功又可以用 W=FScosa 计算，从而 使问题变得简单。 例 1、如图，定滑轮至滑块的高度为 h ，已知细绳的拉力为 F （恒定），滑块沿水平面由 A 点前进 S 至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角 分别为α和β。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析与解：设绳对物体的拉力为T ，显然人对 绳的拉力 F 等于 T 。T 在对物体做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该 问题是变力做功的问题。 但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下， 人对绳做 的功就等于绳的拉力对物体做的功。 而拉力 F 的大小和方向都不变， 所以 F 做的功可以用公 式 W=FScosa 直接计算。 由图 1 可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 , 拉力 F 的作 用点的位移大小为： S S 1 h h S 2 sin sin W T W F F . S Fh ( 1 1 ) sin sin 2、微元法 当物体在变力的作用下作曲线运动时， 若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角 不变， 且力与位移的方向同步变化， 可用微元法将曲线分成无限个小元段， 每一小元段可认 为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 例 2 、如图所示，某力 F=10N 作用于半径 R=1m 的转盘的边缘上，力 F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一 致，则转动一周这个力 F 做的总功应为： A 、 0J B 、 20π J C 、10J D 、20J. 分析与解：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为 与力在同一直线上，故 W=F S ，则转一周中各个小元段做功的代数和为 W=F × 2π R=10× 2 π J=20 π J ，故 B 正确。 3、平均力法
应用动能定理求解变力做功问题(含答案)
应用动能定理求解变力做功问题 一、应用动能定理求变力做功时应注意的问题 1、所求的变力的功不一定为总功，故所求的变力的功不一定等于ΔE k . 2、合外力对物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能． 3、若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力的功若为负功， 可以设克服该力做功为W ，则表达式中应用－W ；也可以设变力的功为W ，则 字母W 本身含有负号． 二、练习 1、如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m 的物块，站在地面上的 人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物块，不计绳和滑轮的质量及滑轮的 摩擦，且平台边缘离人手作用点竖直高度始终为h .当人以速度v 从平 台的边缘处向右匀速前进位移x 时，则 ( ) A ．在该过程中，物块的运动可能是匀速的 B ．在该过程中，人对物块做的功为m v 2x 2 2(h 2＋x 2) C ．在该过程中，人对物块做的功为1 2m v 2 D ．人前进x 时，物块的运动速率为v h h 2＋x 2 答案 B 解析 设绳子与水平方向的夹角为θ，则物块运动的速度v 物＝v cos θ，而cos θ＝x h 2＋x 2 ，故v 物＝ v x h 2＋x 2 ，可见物块的速度随x 的增大而增大，A 、D 均错误；人对物块的拉力为变力，变力的功可应用动能定理求解，即W ＝12m v 2 物＝m v 2x 22(h 2＋x 2)，B 正确，C 错误． 2、如图所示，一质量为m 的质点在半径为R 的半球形容器中(容器固定) 由静止开始自边缘上的A 点滑下，到达最低点B 时，它对容器的正压力 为F N .重力加速度为g ，则质点自A 滑到B 的过程中，摩擦力对其所做 的功为 ( ) A.1 2 R (F N －3mg ) B.1 2 R (3mg －F N ) C.1 2 R (F N －mg ) D.1 2 R (F N －2mg )
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法 都匀市民族中学：王方喜 在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式Pt W=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。 一、运用微元积累(求和)法求变力做功 求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。 例1 如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功． 图1-1 【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即 Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ） ＝Ｆ2πＲ 【总结】 变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。 【检测题1-1】 如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？ 图1-2【检测题1-2】 小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求： (1)全过程中篮球克服空气阻力做的功； (2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程． 二、运用平均力等效法求变力做功 当力的方向不变，而大小随位移线性 ．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值2 2 1 F F F + =，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。用平均值求变力做功的关键是先判断変力F 与位移x是否成线性关系。 例2. 要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？ 【分析和解答】 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。 钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
变力做功的计算
变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。 例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图1 思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元 段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图2
正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，…，，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。必须注意本题中的F是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用 计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 ［发散演习］ 如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？ 图3 答案：31.4J。 二、图象法 在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。经过一段时间物体发生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对物体做的功W ＝Fs，s轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示），s轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。
有关变力做功问题的求解
有关变力做功问题的求解 在整个高中物理教学和学习中，力学问题是高中物理学习的基础，是重点，也是难点。而在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。那么变力做功的情况有那些？又如何来求解呢？下面就根据本人在高中物理教学中一点所得进行简单的总结。 1，运用等值法求变力做功 求某个过程中的变力做功，可以通过等效法把求该变力做功转换成求与该变力做功相同的恒力的功，即该变力的功和某一恒力的功相等，则可以同过计算该恒力的功，求出该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。一般在某一恒力F 通过轻绳或轻杆在不受任何摩擦的情况下给某一物体的变力做功就等于该恒力做的功。此时可用功定义式W ＝ cos Fs 求恒力的功，从而可知该变力的功。这里要特别提醒的是，这种方法一般只用于求解大小恒定方向变化的变力做功问题。 例1、如图1所示，定滑轮至滑块的高度为h ，已知细绳的拉力为恒定F ，滑块沿水平面由A 点前进s 米至B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β。求滑块由A 点运动到B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。 分析：设绳对物体的拉力为T ，显然人对绳的拉力F 大小也等于T 。T 在对物体做功的过程中大小不变，但其方向在时刻改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对物体做的功。而拉力F 的大小和方向都不变，所以F 做的功可以用公式W=FScosa 直接计算。 解：由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中 拉力F 的作用点位移大小为：△S=S 1-S 2=h/sin α-h/sin β 所以：W T =W F =F △S=Fh(1/ sin α-1/ sin β)
几种求变力做功的常用方法
几种求变力做功的常用方法 摘要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教 学的难点。本文举例说明在高中阶段求变力做功的常用方法，比如用等效转换、 平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式W=Pt、微元法、转换参 考系等方法来求解变力做功。 关键词：変力功等效平均值图像动能定理功能关系功率微元 法参考系 对于功的定义式W=Fscosα，其中的F是恒力，适用于求恒力做功，其中的s 是力F的作用点发生的位移，α是力F与位移s的夹角。在高中阶段求变力做功 问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。求变力做功的方法很多，比如用等效转换、平均值及F-s图像、动能定理及功能关系、功率的表达式 W=Pt、微元法、转换参考系等方法来求解变力做功。 一、等效转换法 求某个过程中变力做的功，可以通过等效转换法把求该变力做功转换成求与 该变力做功相同的恒力功，此时可用功定义式W=Fscosα求恒力的功，从而可知 该变力的功。等效转换的关键是分析清楚该变力做功到底与哪个恒力的功是相同的。 例1：如图所示，某人用恒定的力F拉动放在光滑水平面上的物体。开始时 与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平 面间的夹角为β。已知图中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT 对物体所做的功。 解析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。 由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移为：，所以绳对物体做功：。 二、平均力法及图像法 1.如果一个过程中，若F是位移s的线性函数时，即F=ks+b时，可以用F的平均值 F=(F1+F2)/2来代替F的作用效果来计算。关键是先判断变力F与位移s是否成线性关系，然 后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2，再求出平均力和位移，然后由W=Fscosα求其功。 2.对于力与位移方向在同一条直线上，大小随位移变化的力，在F-x图像中，图线与坐标 轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F-x图像，图线与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。 例2:如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光 滑的水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块 前进x，求拉力对木块做了多少功？ 解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大， 即F是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于 弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力F=kx求功，故W=F·x=kx2。 此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即 F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是 W=F·x=1/2kx2。 三、动能定理法及功能关系法
变力做功问题具体求解
6.作用力与反作用力的功 一对作用力与反作用力的做功情况: 1）作用力与反作用力做的功大小相等、符号相反： 如，在光滑的水平面上，用力F推靠在一起的A、B两物体向前运动一段位移，由于有FAB＝－FBA，SA＝SB，所以得：WAB＝－WBA。 再如，A、B两物体叠放在一起在水平外力F作用下向前加速运动过程中，存在于两物体间的静摩擦力做的功大小相等、符号相反。 2）作用力与反作用力做的功可以大小相等、符号相同： （A）都做正功：如，放置于光滑水平面上的两个带异种电荷且完全相同的带电物体A、B，由静止开始在静电引力作用下各移动了一段大小相等的位移，由于两力的方向与其对应的位移同向，则两相互作用力做的功大小相等、符号相同。 （B）都做负功：上例中，若两物体以相同的初速度分别向相反的方向运动，在任一段时间内通过的位移大小相等，则两物体间的相互作用力做大小相等的负功。 3）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相同： 若A、B两物体的质量不等，则它们在相同的时间内完成的位移不等，则两相互作用力做的功大小不等、符号相同。 4）作用力与反作用力做的功大小不等、符号相反： 如物体A以一定速度V滑上表面粗糙的木板B，木板B放在光滑水平面在两物体达共同速度之前，由于SA＞SB，则两物体间的滑动摩擦力做的功分别为W fBA＝fBA?SA WfAB＝fAB?SB 其大小不等、符号相反。 5）作用力与反作用力中可以是一个力做功，而另一个力不做功： 在上例中，若将木板B固定，则SB＝0，即物体A对B的滑动摩擦力不做力，而B对A 做负功。 综上所述， 1）一对作用力与反作用力，可以两个力均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功； 也可以一个力做正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或负功。 2）不论是滑动摩擦力，还是静摩擦力都可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不做功。 3）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有把机械能转化为其他形式的能。相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做 的功代数和总为零。 而在一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两个方向：一是相互摩擦的物体之 间机械能的转移；而是机械能转化为内能。转化为能能的数值等于滑动摩擦力与相对 位移的乘积。 1.下列说法正确的是（） A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B．当作用力不做功时，反作用力也不做功 C．作用力做正功，反作用力也可能做正功 D．作用力与反作用力的功大小不一定相等 [方法总结]求解变力做功的六种方法 1
求变力做功的方法总结
［变式训练］1、如图7所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与一不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为，已知滑轮到水平面的高度为，的长度 ，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。 分析与解：在本题中，只有绳子拉力对滑块做功，该拉力大小 虽然不变，但方向时刻改变（与水平方向的夹角逐渐增大），故属 于变力做功，不能直接求解。但如果将研究对象由滑块转变为绳的 另一端，因为人的拉力为恒力，所以是恒力做功，显然这个恒力做功与绳子对滑块拉 力做功是相等的，故可以用人对绳子做的功代换绳子拉力对滑块的功。则有。由几何关系可求得s,联 立即得。 小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉 直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。 ［变式训练］2、木块A做匀速圆周运动，向心力F大小保持不变的作用，且10牛，木块A位于半径为1米的转盘的边缘上，则转动一周力F做的总功应为： A、0焦耳 B、20 n焦耳 C、10焦耳 D、20焦耳 分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故△△ S,则转一周中各 个小元段做功的代数和为X 2 n 10X 2 n 20 n J,故B 3、平均力法 例3、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击 第一次时，能把铁钉击入木块内1,问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等） 1、将变力转化为恒力做功 在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。例1、如图1所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的 轻绳和水平面间的夹角为a,当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为B。已知图中的高度是h,绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力对物体所做的功。 分析：拉力在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意 可知，人对绳做的功等于拉力对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由可知，在绳与水平面的夹角由a变到B的过程中，拉力F的作用点的位移为：2、微元求和法 例2、如图所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。 分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力 F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小 位移……都与当时的F方向同向，因而在转动一周过 程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即:
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法
变力做功的求解方法 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要] 功是物理学中最常见的物理量，变力做功的求解方法也是贯穿大学物理的重点和难点之一，它在力学、理论力学中都占有十分重要的地位。本文分别用图像法、动能定理、功能原理、微元法、平均力法、等值法等不同方法对物理学中变力做功的求解方法进行了较全面、系统的研究,并附以实例说明这些方法的应用。通过对这些方法和实例的讨论，以使我能对变力做功的求解方法有更深刻的理解和巩固，进一步提高我灵活运用这些方法解决实际问题的能力。 [关键词] 变力功图像法等效代换法 1 前言 功是物理学中最常见的物理量，对于变力做功的求解，教材上通常采用极限的思想和微积分的方法将物体的运动轨迹分割成许多小段，因每小段很小，所以每小段可视为一方向不变的位移，而在这小位移上的力也可视为恒力。又因小位移为无穷小量，可认为它与轨迹重合，称之为元位移，而力在元位移上做的功称之为元功。这样就顺利的将求解变力做功的问题转化为了求无数多个元功之和。然而，求解变力做功的方法并不是唯一的，在很多实际问题中也可以根据实际寻找最为简便有效的方法。对此，本文将分别从图像法、微元法、等值法、平均力法、动能定理、功能原理等不同角度对变力做功的求解方法进行较全面、系统的研究，并以实例说明这些方法的应用。 2 用图像法求变力做功 功是描写力对空间的积累作用的，它的大小可以用作用力随位移变化的关系曲线，如图2.2.1力-位移图象下的一块图形面积的大小来表示。如图甲所示表示恒力的力-位移图像，横坐标表示力F在位移方向上的分量，功W的数值等于直线下方
画有斜线部分的面积．如图乙所示表示变力的力-位移图像，曲线下方画有斜线部 分的面积就表示变力所做的功，它近似地等于成阶梯形的小矩形面积的总和。 图2.2.1 力-位移图象 在F-x 图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功，即功是力对位移 的积累效应。如果已知在位移x 内F 随位移变化的图象，可以根据图象与x 轴所围 成的面积求出变力F 对物体做的功，这种求功的方法称为图像法。 线性变化的力是一种特殊情况的变力，作用力是位移的线性函数kx F =，它的 力-位移图象是一条倾斜的直线，直线下方的梯形或三角形的面积表示为线性变力 的大小。 在功的求解问题中，当已知力与位移的函数关系或力与位移的关系曲线时，就 可以用图像法求解。如重心位置变化时的重力所做的功；弹簧伸缩时弹力所做的功； 打击木桩时的阻力所做的功，它们的力与位移都成线性关系：kx F =。在求这些力 做的功时，由于很容易找到力和位移的函数关系，作出x F -图线，可以用图像法 很简单的进行求解。 利用图像法求解功的思路是：首先确定研究对象，进行受力分析，找出力与位 移之间的函数关系式；根据题意及关系式作出x F -图线；最后利用几何关系求出 图线和坐标轴围成的面积，即为所求力的功。 例1：质量为m 的质点在外力的作用下沿x O 轴运动，已知0=t 时质点位于原 点，且初速度为零，设外力F 随距离性地减小，且0=x 时，0F F =;当L x =时，0=F 。 试求质点从0=x 运动到L x =处的过程中，力F 对质点所做功和质点在L x =处的 速率[1]。