量子力学》题库
《量子力学》题库
一、 简答题
1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：
其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？
答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2
1c 和2
2c 。 5 什么是定态？定态有什么性质？
答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度
及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？
答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。
两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 7 试简述波函数ψ的标准条件。
答：波函数在变量变化的全部区域内应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？
答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，所以表示力学量的算符的本征值必须是实数。厄米算符的本征值必定是实数。所以表示力学量的算符必须是厄米算符。 9 请写出微扰理论适用条件的表达式。
答：1)
0()0('<<-m
n mn E E H ， ())
0()0(m n E E ≠ 10 试简述微扰论的基本思想。 答：复杂的体系的哈密顿量
分成
与
两部分。
是可求出精确解的，而
可看成对
的微扰。只需
将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。
11 简述费米子的自旋值及其全同粒子体系波函数的特点，这种粒子所遵循的统计规律是什么？
答：由电子、质子、中子这些自旋为
2 的粒子以及自旋为2
的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米(Fermi) －狄拉克 (Dirac) 统计，称为费米子。
12 通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？
答：束缚态，能级是分立的。
13 简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？
答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。例如，0]?,?[2=z L L ，
这两个算符有共同的完备本征函数系{}),(?θm Y 。
14 若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？
答：不可能同时具有确定值。它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。 15 请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。 答：1'±=-=?l l l
16 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
① 2
22
4dx d x ； ② []2
； ③ ∑=n
K 1
解：①2
2
2
4dx
d x 是线性算符 ②[]2 不是线性算符 ③∑=n
K 1是线性算符
17 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
18 下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？
①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
解：①2)(2
22=x dx
d
∴ 2
x 不是22
dx
d 的本征函数。
② x x
e e dx
d =22
∴ x
e 不是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为1。
③x x dx
d
x dx d sin )(cos )(sin 22-==
∴ 可见，x sin 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx
d
x dx d --=-= ∴ x cos 3 是22
dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
⑤)
cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x
x x x dx
d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22
dx
d 的本征函数，其对应的本征值为－1。
19 问下列算符是否是厄米算符：
①x p x
?? ②)????(2
1
x p p x x x + 解：①??=τψψτψψd p x d p x
x x )?(?)??(2*12*1 因为 x x p x p
???χ≠ ∴ x p x
?? 不是厄米算符。 ②???+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)??(2
1)??(21)]????(21[ ∴ )????(2
1x p p x x x +是厄米算符。 20 全同粒子体系的波函数应满足什么条件？
答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。
二、 证明题
1 已知粒子在中心力场中运动，试证明x
L ?（角动量在x 方向的分量）是守恒量。 证：因为粒子在势函数为)(r U 的中心力场中运动时，哈密顿算答是
因为x L ?与θ、?有关而与r 无关，且0]?,?[2=L
L x 所以，0]?,?[=H L x
2 试证：对于一维运动，设有两个波函数1ψ及2ψ是对应于同一级量E 的解，则=-'12'
2
1ψψψψ常数。其中，“’”是对x 的微商。
证：因为)()()(2
2
2]2[x x x E U dx
d m ψψ=+- ，所以 凑全微分得：0)(''12'
2
1=-ψψψψ 积分得： =-'12'
2
1ψψψψ常数 3 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'
2
1ψψψψ常数。 在特例下，令=-'12'
2
1ψψψψ0，即 由此得：2'1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。
4 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。 证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,
为实数
为厄密算符
为厄密算符
5 已知轨道角动量的两个算符
和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取
试证明: 也是 和
共同本征函数, 对应本征值分别为:
。
证
。
是 的对应本征值为
的本征函数
是 的对应本征值为
的本征函数
6 .证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
可见t J 与
无关。
7 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d ψψψμ=+- ① 将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx
d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--
ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤ ④乘 ⑤，得 可见，12=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 8 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 证：电子的电流密度为 ?在球极坐标中为
式中?θe e e r
、、为单位矢量
m n ψ中的r 和θ部分是实数。
∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e
)(sin 222---
= ?ψθ
μe r m e m n
2sin -=
可见，0==θe er J J
9 如果算符βα
??、满足关系式1????=-αββα，求证 ①βαββα?2????22=- ②233?3????βαββα
=- 证： ① αβαβαββα
??)??1(????2222-+=- ②αββαββαββα???)???2(????3233-+=- 10 证明：i z y x =σσσ
??? 证：由对易关系z x y y x i σσσσσ
?2????=- 及对易关系0????=+x y y x σσσσ ， 得 上式两边乘z σ
?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ
??? 11 证明)
3()2()1(,,S S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 证：)]()([)]()([22/112/122/112/1)
1()1(z z z z S S
S S S S χχχχχχ++= )()(22/122/1z z S S χχ+= = 1
)()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S --++=χχχχ= 0
]0)()([2
1
22/122/1+=
-+z z S S χχ= 0 同理可证其它的正交归一关系。
12 对于无限深势阱中运动的粒子（如图所示）证明
并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。 [解]写出归一化波函数：
()a
x n a x n πsin 2=
ψ （1） 先计算坐标平均值： 利用公式：
2
sin cos sin p px
p px x pxdx x +-
=? （2） 得 2
cos sin cos p
px
p px x pxdx x +-
=? （3） 计算均方根值用()
x x x x x ，）（2
22
-=-以知，可计算2x
利用公式 px p
px x p px x p pxdx x sin 1
cos 2sin 1cos 3222-+=
? （5） 222
2212π
n a a -=
（6） 在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a
1=ω。 故当∞→n 时二者相一致。
13 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[].2)(,2hipf q f p q =
（证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=
（证明）同前一论题 （3）ihfp p q f q 2])(,[2=
[证明]同前一题论据： （4）i
f p i
h q f p p 22)](,[=
[证明]根据题给对易式外，另外应用对易式
（5）p pf i
h p q pf p i
=
])(,[ （证明）论据同（4）： （6）2
2])(,[p f i
h p q f p i =
（证明）论据同（4）：
14 设算符A ，B 与它们的对易式[A ，B]都对易。证明
(甲法）递推法，对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下： 按题目假设
重复运算n-1次以后，得
15 证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质 是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。 另一方法是根据厄密算符的定义： 用于积分最后一式： 前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
16 定义A B B A B A ????]?,?[+≡+
（反对易式）证明： 其中a
?，b ?与A ?，B ?对易。 （证明）第一式等号右方B A C B C A A B C B A C A B C A C B B C A C B A
????????????????????????--++--+= ＝第一式等号左方
第二式等号右方)????)(????(2
1)????)(????(21
A B B A a b b a A B B A a b b a
+-+-+= 因a
?，b ?与A ?，B ?对易，b A A b ????=，a B B a ????= 前式]??,??[????????B b A a A a B b B b A a
=-=
17 证明力学量A
?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2
2
2
H H A A dt
d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A
? 不显含t ，有
]?
,?[1H A i dt A d
= （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量
]?
,?[1H A i
的平均值，则有： ]?
],?,?[[1]?],?,?[1[1222H H A H H A i i dt A d
-== （２） 此式遍乘2 即得待证式。
18 试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。
证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'
21ψψψψ常数。在特例下，令=-'12'
21ψψψψ0，即
由此得：2'1ψψC =
所以1ψ和2ψ描述同一个态。
19 证明泡利矩阵满足关系i z y x =σσσ。
【证】.
20 试在一维情况下证明哈密顿算符是厄米算符。
证明：考虑一维情况
为厄密算符, 为厄密算符,
为实数
为厄密算符 为厄密算符
21 已知轨道角动量的两个算符 和 共同的正交归一化本征函数完备集为 ,取
试证明: 也是 和
共同本征函数, 对应本征值分别为:
。
证
。
是 的对应本征值为
的本征函数
是 的对应本征值为 的本征函数
22
22 证明：描写全同粒子体系的波函数的对称性不随时间改变 证明：设t 时刻波函数是对称的，用S Φ表示，
因为H ?是对称的，所以S
H Φ?在t 时刻也是对称的， 由 知，
t
S
?Φ?在t 时刻也是对称的，故在下一时刻的态函数： dt t
S
S ?Φ?+
Φ也是对称的 以此类推，波函数在以后任意时刻都是对称的。
同理可证，若某一时刻波函数反对称，则以后任一时刻的波函数都是反对称的。 三、 计算题
1 由下列定态波函数计算几率流密度：
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?sin r 1e r 1e r r 0
r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2 一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程 在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
0)(2)(22222=+x mE
dx x d ψψ
令2
22 mE
k =
，得 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B ⑥ 0sin =?ka A
∴x a
n A x π
ψsin )(2=
由归一化条件 得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
),3,2,1( 222
2
2 ==
?n n ma E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
3 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。
4 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
α
ψ2
2
22)(--
=
，求：
(1)势能的平均值222
1
x U μω=
； (2)动能的平均值μ22
p T =；
(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ?
∞
∞
--==dx e x x U x 2
2
22
222121α
π
α
μωμω
(2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122
*2ψψμμ
或 ωωω 4
1
4121=-=
-=U E T (3) ?=dx x x p c p )()()(*ψψ 动量几率分布函数为
5 氢原子处在基态0/3
1
),,(a r e a r -=
π?θψ，求：
(1)r 的平均值；
(2)势能r
e 2
-的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0
220
/230
2
0???
?∞
-=
=
(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为
令 0321 , ,0 0)
(a r r r dr r d =∞==?=，ω
当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 ∴ 0a r =是最可几半径。
(4)
222?21?-==μ
μ p T (5) τ?θψψd r r p c p
),,()()(* ?= 动量几率分布函数
6 设t=0时，粒子的状态为
求此时粒子的平均动量和平均动能。
解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(21
21212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ
可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0
动能μ22
n p 的可能值为μ
μμμ2 2 2 2 02
2222222 k k k k
对应的几率n ω应为
上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得 ∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为
7 设氢原子处于状态
求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
解：在此能量中，氢原子能量有确定值 角动量平方有确定值为 角动量Z 分量的可能值为 其相应的几率分别为 41， 4
3
其平均值为
8 试求算符dx d ie F
ix -=?的本征函数。 解：F
?的本征方程为 ix
Fe ce
--=φ（F F
是?的本征值） 9 设波函数x x sin )(=ψ，求?][])[(
2=-dx
d
x x dx d ψ
解：ψψ]][[])][()[(
dx
d
x dx d x x dx d x dx d -=原式 10 证明：如果算符A
?和B ?都是厄米的，那么 (A
?+B ?)也是厄米的 证： ???+=+τψψτψψτψψd B
d A d B A 2*12*12*1??)??( ∴ A
?+B ?也是厄米的。 11 求 ?????=-x x x x L P P L
解： )????(??)????(????y z x x y z x x x x P z P y P P P z P y L P P L ---=- = 0
12 求?????=-x x L x x L ?????=-y y L x x L ?????=-z z
L x x L 解： )????(??)????(????y z y z x x P z P y x x P z P y L x x L ---=- = 0
13 求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。 解：?
??'-'-=τπd e p z p
y e L r p i y z r
p i p
p x
)??()21()(3 14 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。
解：基矢：x a
n a x u n πsin 2)(=
能量：2
2
222a
n E n μπ = 对角元：2
sin 202a xdx a m x a x a
mm ==?
π 当时，n m ≠ ???=a mn dx a
n x x a m a x 0)(sin )(sin 2π
π
15 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
解：222
222222
1221?21?x x x p H μωμμωμ+??-=+= 16 求连续性方程的矩阵表示
解：连续性方程为
∴ )**(2ψψψψμ
?-?=
i J
而 )**(2ψψψψμ
?-???=??
i J ∴ *)??*(ψψψψωT T t
i -=??
写成矩阵形式为
17 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 解：由微扰公式得
得 b H E b H E ='=='=22)
1(0211)1(01
∴ 能量的二级修正值为
18 计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。
解： 23
3
234mk
mk s mk
r c e A ω= 由选择定则1±=? ，知s s 12→是禁戒的 故只需计算s p 12→的几率
而 2
21221221221z y x r ++= 2p 有三个状态，即 121211210 , ,-ψψψ (1)先计算z 的矩阵元 θcos r z = (2)计算x 的矩阵元 )(sin 2
cos sin ??θ?θi i e e r
r x -+== (3)计算y 的矩阵元 )(sin 21
sin sin ??θ?θi i e e r i
r y --== (4)计算f
19 求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
解： 2
2mk mk mk x r A =∝ 由 ]2
12[
1
11+-++=
k k k k k x φφα
φ 1±=?k m 时， 0≠mk x 即选择定则为 1±=-=?k m m
20 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰 作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为 ∴能量一级修正为
21 求在自旋态)(2
1
z S χ中，x
S ?和y S ?的测不准关系： 解：在z S ?表象中)(2
1z S χ、x
S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ∴ 在)(2
1z S χ态中
讨论：由x
S ?、y S ?的对易关系 [x
S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2
22
2z y x S S S ≥??
在)(2
1z S χ态中，2
=
z S ∴ 16
)()(4
2
2
≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。
22 求???
? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x
S ?的久期方程为 ∴ x
S ?的本征值为2 ±。 设对应于本征值
2
的本征函数为 ???
? ??=112/1b a χ 由本征方程 2
/12/12
?χχ =x S ，得 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 即 122
1=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值2 的本征函数为 ???
?
??=11212/1χ 设对应于本征值2
-
的本征函数为 ???
? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??-=--222/12/12?b a S x χχ 由归一化条件，得
①
即 122
2
=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2 -
的本征函数为 ???
?
??-=-11212/1χ 同理可求得y
S ?的本征值为2
±。其相应的本征函数分别为 23 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影
本征值和所属的本征函数。
在这些本征态中，测量z S ?有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z S ?的平均值是多少？
解：在z S ? 表象，n
S ?的矩阵元为 其相应的久期方程为
即：0)cos (cos 4
cos 42222
22
=+--βαγλ
所以n
S ?的本征值为2
±。 设对应于2
=n S 的本征函数的矩阵表示为???
? ??=b a S n )(21χ，则 由归一化条件，得
取 2cos 1γ+=
a ，得 )
cos 1(2cos cos γβ
α++=i b 可见， z
S ?的可能值为 2
2 - 相应的几率为 2
cos 1γ
+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++
同理可求得 对应于2
-=n S 的本征函数为
在此态中，z
S ?的可能值为 2 2 - 相应的几率为 2cos 1γ- 2
cos 1γ
+
24 设氢的状态是 ?????
?
??-=),()(23),()(2
110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量z L ?和自旋角动量z 分量z
S ?的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2? μ
μ--= 的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：①ψ可改写成
从ψ的表达式中可看出z
L ?的可能值为 0 相应的几率为 41 4
3
z
S ?的可能值为 2 2 - 相应的几率2
i C 为
41 4
3 ② )4
(422
-?-?-=--
=μμμμe e S e L e M z z z 25 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为
26 设体系处于202111Y c Y c +=ψ态，求
（1）x l ?的可能测值及其平均值。 （2）2?l 的可能测值及相应的几率。 （3）y x l l ?,?，的可能测值。
（解）（1）按照习惯的表示法),(?θim Y 表示角量子数为l ，磁量子数m 的，)?,?(2x l l 的共同本征函数，题材给的状态是一种x l l ?,?2的非本征态，在此态中去测量x l l ?,?2都只有不确定，下面假定 12
22
1=+c c
从202111),(Y c Y c +=?θψ
看出，当体系处在11Y 态时，x l 的测值 ，处在20Y 态时，x l 的测值为零。 x l ?在ψ态中的平均值
（2）又从波函数ψ看出，l 也可以有两种值，体系处11Y 态中时2?l 测值为 当体系处在20Y 态时2l 的测值为
相应的几率即表示该态的展开式项系数的复平方：2
1c ，2
2c 2l 的并态ψ中的平均值
(3)关于在ψ态中x l ?，y l ?的可能测值可以从对称性考虑来确定，当使用直角坐标表示算符时，x l ?，y l ?，x l ?有轮换对称性，由于在ψ态中2l 可有二种量子数2,1=l 所以将z l 轮换x l 的结果，知道x l 的可能测值只能是
2=x l ， ，0， -， 2- 同理，y l 的可能测值也是这此值
2=y l ， ，0， -， 2-
27 设粒子处在宽度为a 的无限深势阱中，求能量表象中粒子坐标和动量的矩阵表示。
[解]一维无限深方势阱的归一化波函数是：
这波函数是能量本征函数，任何力学量F
?的矩阵元是： 此公式用于坐标矩阵：
此式不适用于对角矩阵元，后者另行推导。当m=n 时，得对角矩阵元：
2
sin 202a
xdx a x m a x mm
==?∞π ⑵ 动量矩阵元（非对角的）
))1(1()
(21
2
22-+-+-=
m n m n a imn ⑶ 0cos sin
20
2==
?
∞
dx a
x
n a x m i
a n p mm πππ ⑷ 28 粒子在二维无限深势阱中运动，已知?
?
?∞<<<<=其他区域
,
0,0,
0),(a y a x U y x 写出第一激发
态的能级；问第一激发态的能级是否简度，若是简并，是几重简并？
量子力学期末考试试卷及答案集复习过程
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
曾量子力学题库(网用).
曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
量子力学导论习题答案(曾谨言)
第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学期末考试试卷及答案集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.
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曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问 题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
最新量子力学导论习题答案(曾谨言)(1)
第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时，
量子力学期末考试试卷及答案集
量子力学试题集 量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧z l
B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下， 简并度为：B A. )1(21 +N N ；
量子力学期末考试试卷及答案
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
高等量子力学考试知识点
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性 2002级量子力学期末考试试题和答案 A 卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、证明 )??(2 2x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x p ?之间的测不准关系。（6分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在B 表象中算符A ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态 ),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021?θ?θ?θψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求 1、0=t 时氢原子的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ?和z L ?的取值几率和平均值。 四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 由下面的矩阵给出 ?? ??? ??+????? ??-=C C C H 000000200030001? 这里，H H H '+=???)0(，C 是一个常数，1< 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 22011量子力学期末考试题目
量子力学期末考试试题和答案A
量子力学试题2008年含答案
高等量子力学习题汇总