微分中值定理辅助函数类型的构造技巧

辅助函数的几种特殊用法

在高等数学中，证明一些中值等式的题目也是比较困难的。因为一般我们要花大量的时间去找一个恰当的辅助函数，如果我们能熟悉一些特殊类型题目的辅助函数的构造及相关定理的运用，这样就会为我们解题提供方便，从而节约大量的时间。为此我们需要牢记以下几种常见题型中辅助函数的特殊用法。

(1)若题目中出现等式“'()()f kf ζζ-”时，一般可以考虑作辅助函数

)()(x f e x F kx -=.

例:设函数f 在[,]a b 上可微，且()()0f a f b ==证明：k R ?∈，(,)a b ζ?∈，使得'()()f kf ζζ=

分析:要证'()()f kf ζζ=，即证'(

)()0f k f ζζ-=，也就是证ζ函数)()(x kf x f -'的零点.注意到[()]'['()()]kx kx f x e f x kf x e --=-，因此，只要检验函数

()()kx F x f x e -=是否满足罗尔中值定理条件，但这是明显的.

证明:构造辅助函数()()kx F x f x e -=，(,)x a b ∈，

则()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理条件，故(,)a b ζ?∈，使得0)(='ζF ， 而

[])()()()()(ζζζζζ

kf f e e x kf e x f F k x kx

kx -'=-'='-=--，

则

['()()]0k e f kf ζζζ--=，

即

'()()f kf ζζ=.

(2)若题目结论中出现等式“1'()n A f ζζ-=)0(≠A ”时，可考虑作副主函数

()()F x f x =，()n G x x =.

例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微.证明：(,)a b ζ?∈，使得：

222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.

证明: i ）若0(,)a b ?作辅助函数()()F x f x =，2()G x x =，()F x ，()G x 均满足柯西中值定理条件 所以(,)a b ζ?∈使得

22()()'()

2f b f a f b a ζζ

-=-，

即

222(()())'()()f b f a f b a ζζ-=-.

ii ）若0(,)a b ∈，'(0)0,0f a b ≠+≠由i ）可类似得证. iii ）若0(,)a b ∈，'(0)0f ≠，取0ζ=，即证.

(3)若题目结论中出现“()'()f f ζζζ-”时，可以考虑作辅助函数

()()f x F x x =

，1

()G x x

=. 例:设函数f 在[,]a b 上连续)0(>a ，在(,)a b 内可微.证明：

(,)a b ζ?∈使得

1

()'()()()

a b

f f f a f b a b ζζζ=--, 证明:因为

2

)()()(x x f x f x x x f -'='

??

????, 考虑作辅助函数()()f x F x x =

，1

()G x x

=，显然F 与G 在[,]a b 上满足柯西中值 定理条件，所以必(,)a b ζ?∈， 使得

)

()()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--

即

2

21)

()(11)()(ζζζζζ--'=--

f f a b a a f b b f [])()()()(1ζζζf f a bf b af b a '-=--?

证毕.

(4)若命题结论中出现式“()'()f f ζζζ+”时，可考虑作辅助函数

()()F x xf x =，()G x x =.

例:设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：必有(,)a b ζ∈，使得

()()

()'()bf a af a f f b a

ζζζ-=+-.

分析:我们熟悉[])()()(x f x x f x xf '+='

，因此作辅助函数()()F x xf x =，

()G x x =，且知()F x ，()G x 在给定区间内均满足柯西中值定理条件，故有)

()

()()()()(ζζG F a G b G a F b F ''=--，即

()()()'()bf a af a f f b a ζζζ-=+-得证. (5)若题目中出现式“'()f ζζ”时，可考虑作辅助函数()()F x f x =，

()ln G x x =.

例:设函数f 在[,]a b (0)a >上连续，在(,)a b 内可导，则存在(,)a b ζ∈使得

()()'()ln b

f b f a f a

ζζ-=

证明:由我们熟悉的x

x 1

)(ln =

'，考虑作辅助函数()()F x f x =，()ln G x x =且)(),(x G x F 在给定的区间内均满足柯西中值定理条件，

于是

),(b a ∈?ζ，

使得

()()'()

1ln ln f b f a f b a

ζζ

-=-，

即

()()'()ln

b

f b f a f a

ζζ-=，

证毕.

(6)若命题结论中出现等式“()()f kf ζζζ'-”的关系时，可考虑的辅助函数为).()(x f x x F k -=

例:设)(x f 在[]b a ,上连续，)0(b a <<，在),(b a 内可导，且)()(a bf b af =，证明：),(b a ∈?ζ使得)()(ζζζf f '=.

证明:设)()(1x f x x -=?，显然?在[]b a ,上连续， 而

2

)

()()(x

x f x f x x -'=

'?在在),(b a 内存在， 且

)()()(11b f b a f a a --==?，

故?在[]b a ,上满足罗尔中值定理条件， 于是

必),(b a ∈?ζ使得

0)

()(2

=-'=

'ζ

ζζζζ?f f ）（， 所以

0)()(=-'ζζζf f ，而0>ζ，所以)()(ζζζf f '=.

证毕.

（7)若题目中出现等式“2f ff '''+”，的关系时，则往往考虑构造辅助函数

)()(2x f x F =，因为)(x F 经过一次求导为)()(2)(x f x f x F '='，再次求导后，即[])()()(2)(x f x f x f x F ''+'=''.

例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导，且0)()(==b f a f ，证明：

),(b a ∈?ζ，使得.0)()()(2=''+'ζζζf f f

证明:设辅助函数),()(2x f x F =则)()(2)(x f x f x F '='， 因为)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导， 且

0)()(2)()()(2)(='='='='b f b f b F a f a f a F ，

所以由罗尔中值定理知：

必),(b a ∈?ζ使0)(=''ζF ，

而

[]

0)()()(2)(2=''+'=''ζζζζf f f F ，

即

0)()()(2=''+'ζζζf f f .

证毕.

(8)若题目中出现等式“2ff f '''-的关系时，则需构造辅助函数

)(ln )(x f x F =，因为)(x F 经过一次求导后为)

()

()(x f x f x F '=

'，再次求导后得到.)

()

()()()(2

x f x f x f x f x F '-''=

'' 例:设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且[]b a x x f ,,0)(∈>，

)()()()(b f a f a f b f '?='?，试证：必),(b a ∈?ζ使得.0)()()(2='-''ζζζf f f

证明：设)(ln )(x f x F =，得)

()

()(x f x f x F '=

'， 显然)(x F '在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，

则

)()

()

()()()(b F b f b f a f a f a F '='='=

'， 故满足罗尔中值定理条件，因此

必),(b a ∈?ζ使得0)(=''ζF ，

而

0)

()()()()(22='-''=

''=ζ

ζx x f x f x f x f F ，

即.0)()()(2='-''ζζζf f f

证毕.

(9)若题目结论中出现等式“0)()(0

=+?ζ

ζf dx x f ”，的关系时，则可考虑构造辅助函数.)()(0?=x

x dt t f e

x ?

例：设f 在[]a ,0上连续，在),0(a 内可导，且?=a dx x f 0

.0)(证明：),0(a ∈?ζ使得0)()(0

=+?ζ

ζf dx x f .

证明：作辅助函数?=x

x dt t f e x 0)()(?，显然)(x ?在[]a ,0上连续，在),0(a 内

可导，且

)0(0)()(0

??===?a

a dt t f e a ，

故满足罗尔中值定理条件，因此，

必),0(a ∈?ζ使得0)(='ζ?，

而

??

???

?+=+='??)()()()()(0

x f dt t f e x f e dt t f e x x

x x x x ?，

由于0≠ζe ， 故

0)()(0

=+?ζ

ζf dx x f .

证毕.

(10)若题目出现等式“()()f f ζζ''-”的关系时，则需两次构造辅助函数，第一次构造)()(x f e x g x =，第二次构造[])()()(x f x f e x x '+=-?.

例:设设)(x f 在[]b a ,上可导，在),(b a 内二阶可导，0)()(==b f a f ，

0)()(>''b f a f ，试证：),(b a ∈?ζ，使得).()(ζζf f =''

证明：因为0)()(>'?'b f a f ，所以

)(a f '与)(b f '同号，设0)(>'a f ，

即

0)

(lim _)()(lim >-=-++

→→a x x f a x a f x f a x a

x ，所以),,(,01δδ+∈?>?a a x 使得0)(1>x f ， 0)(lim )()(lim >-=----

→→b

x x f b x b f x f b x b

x ，所以),(,02b b x δδ-∈?>?，使得.0)(2

0)(,0)(21<>x f x f ，

所以由介值定理（或零点定理），

),(21x x ∈?η使得.0)(=ηf

再看，由题目结论，构造辅助函数),()(x f e x g x = 因为

)()()(ηf b f a f ==，

所以

0)()()(===b g g a g η，

故

),(1ηηa ∈?，使得,0)(1='ηg ),(2b ηη∈?，使得.0)(2='ηg

因为

[])()()()()(x f x f e x f e x f e x g x x x '+='+='，

由

0)()(21='='ηηg g ，

可得

.0)()(,0)()(2211='+='+ηηηηf f f f

令[])()()(x f x f e x x '+=-?， 所以有

[]0)()()(1111

='+=-ηηη?ηf f e ，[],0)()()(2222

='+=-ηηη?ηf f e

即

0)()(21==η?η?，

又因为)(x ?在[]21,ηη上连续可导， 所以

),()(2,1b a ?∈?ηηζ，使得0)(='ζ?，

即

[]0)()()(=-''='=-ζζ?x x x f x f e ，

而0≠-ζe ，故

0)()(=-''ζζf f .

证毕.

涉及罗尔定理证明中值等式的命题

罗尔定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =.那么在区间(,)a b 内至少有一点

()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零，0)('=ξf .

题型一：

设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，证明对任何实数k ，至少存在一点),(b a ∈ξ使)()(ξξkf f ='成立.

分析：首先从结论看起，欲证)()(ξξkf f ='，即证

0)

()

(=-'k f f ξξ，即0)

()

(=-'=ξ

x k x f x f .而要

0)

()

(=-'=ξ

x k x f x f 就促使我们想到去构造辅助函数的思路，

即构造的函数)(x F 应该满足在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b F a F =，

k x f x f x F -'=

')

()

()(，如果这样的话kx x f x F -=)(ln )(，但是)(x F 在点a 和点b 处都没有定义，所以不满足)()(b F a F =,从而kx x f x F -=)(ln )(不是我们所需要的辅助函数，但是注意到指数函数)(x F e 的特点，当对数运算和指数运算相互抵消后得到的新函数的定义域可能会扩大，从而)(x F e 可能成为我们找的辅助函数.若令)()()(x f e e x G kx x F -==，则)(x G 满足)(0)(b G a G ==以及罗尔定理的其他条件，所以，由罗尔定理得知：至少),(b a ∈?ξ使得0)(='ξG ，而

[])()()(x kf x f G -'='ξ，所以[]0)()()(=-'='-ξξξξkf f e G k ，而0>-kx e ，所以只能0)()(=-'ξξkf f ，即)()(ξξkf f ='成立，由此)(x G 就是我们所需构造的辅助函数.

注意：在分析题目时，如果我们从不同的角度看它就可能会构造不同的辅助函数，也就是说，对于解决同一个题目，所构造的辅助函数可能是不唯一的.

例:设)(x ?为[]c c ,-上的连续奇函数，且在()c c ,-内可导，又0)(=c ?，证明：对任何实数λ，都存在()c c ,-∈ζ使得0)()(=+'ζλ?ζ?.

证法一:由题型一的结论可作辅助函数)()(x e x G x ?λ=，则)(x G 在[]c c ,-上连续，

又因为

[])()()()()(x x e x e x e x G x x x ?λ???λλλλ'+='+='

在()c c ,-内存在，且

0)()(==-c G c G ，（0)()(=--=c c ??），

所以它满足罗尔定理条件，

故必),(c c -∈?ζ，使得0)(='ζG ，即0)()(=+'ζλ?ζ?.

证毕.

证法二:若设dt t x x G x

c

?-+=)()()(?λ?，则)(x G 在[]c c ,-上连续，

且

)()()(x x x G λ??+'='在()c c ,-内存在，

又因为

0)()()(=+=?-dt t c c G c c

?λ?，0)()()()()(=-=-=+-=-?--c c dt t c c G c

c

???λ?，

所以它满足罗尔定理条件，

故必),(c c -∈?ζ，使得0)()()(=+'='ζλ?ζ?ζG .

证毕.

题型二:

证明),(b a ∈?ζ，使得0)()()(='+'ζζζf g f .

分析:仍然从结论入手，把0)()()(='+'ζζζf g f 变形，且将ζ变为x ，则有

0)()

()

(='+'=ζ

x x g x f x f ，而

)()

()

(x g x f x f '+'有一个原函数)()(ln )(x g x f x F +=，由题型一，最好将辅助函数)(x T 作为)()()(x f e x T x g =.

例:取函数()f x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可导，且)()(k f k f =-，试证明在),(k k -内至少存在η，使得)(2)(ηηηf f ='.

分析:由该题型的辅助函数为可知，待证等式中的)(2ηηg '=-，从而得到

2)(ηη-='g ，将ηζ改为x 即2()g x x =-，因此辅助函数2

()()x F x e f x -=.

证明:取辅助函数2

()()x F x e f x -=.则()F x 在[]k k ,-上连续，在),(k k -内可

导，且)()(k F k F =-，满足罗尔定理， 故必),(k k -∈?η使得)(ηF '0=， 由于

[])(2)()(2

x xf x f e x F x -'='-，

将η=x 带入上式，并去掉非零因子2

η-e ，即得证原式成立.

附注:读者可将题型二的()g x 取为x λ或2x λ带入'()'()()0f x g x f x +=将得到一系列的命题.

题型三：

证明存在(,)a b ξ∈使得1()'()0k k k f f ζζζζ-+=构造的辅助函数

()()

k

F x x f x =

例:设函数()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，1

(1)2

f =，(2)2f =，证明：存在(1,2)ζ∈，使得'()2()f f ζζζ=.

分析:待证等式可变形为2()'()0f f ζζζ-=，即0)()(22='+-ζζζζf f .与题型二的一般形式进行比较可知k 为-2的情况，因此可作辅助函数()()x f x x F 2-=.

证明:取辅助函数2()()F x x f x -=，则易知()F x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且(1)(2)0.5F F ==，由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ζ∈使得'()0F ζ=， 由于

12'()['()2()]F x x x f x xf x -=-，

将x ζ=带入上式，

即有 2()'()0f f ζζζ-=，故'()2()f f ζζζ=.

证毕.

附注:由题型三可以演变出一系列的题型.

如：证明存在(,)a b ξ∈使'()''()()0kf f ζζζλ+-=，k R ∈，R λ∈ 构造的辅助函数()()'()k F x x f x λ=-

例:设函数()f x 在[0,1]二阶可导，(0)(1)f f =，求证：存在(0,1)ζ∈，使得

2'()''()(1)0f f ζζζ+-=.

证明:取辅助函数2()(1)'()F x x f x =-.由于(0)(1)f f =，()f x 在[0,1]上二阶可导，对()f x 在[0,1]上应用罗尔定理， 则必存在

(0,1)η∈使得'()0f η=，于是有()0F η=，

因为

(1)0F =且()F x 在[0,1]上可导，

对()F x 在[,1]η上应用罗尔定理，必存在(,1)(0,1)ζη∈?使得'()0F ζ=， 由于

2'()2(1)'()(1)''()F x x f x x f x =-+-，

将x ζ=带入上式，并去掉非零因子1ζ-，即证得原式成立，

证毕.

题型四:

证明存在)(b a ,∈η使得)()(2ηληf f =''，λ为常数.

（注意:此题型需要构造两次辅助函数，第一次构造()()x F x e f x λ=；第二次构造2()'()x G x e F x λ-=）.

例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f x 在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，

'()'()0f a f b >，求证：存在(,)a b ζ∈，使得''()4()f f ζζ=

证明:由()()0>'?'b f a f ，不妨设'()0f a >，'()0f b >， 由导数的几何意义，

在x a =的右领域中存在1B ,使得()()01=>a f B f ， 在x b =的左领域中存在2B ，使得()()02=

()0=B f ，

取2()()x F x e f x =，

则()F x 在(,)a b 上可导，且()()()0===B F b F a F ，所以分别在][B a ,和][b B ,上应用罗尔定理，存在)(B a ,1∈?η使得()01='ηF ；)(b B ,2∈?η，使得()02='ηF . 因此

11'()2()0f f ηη+=，12'()2()0f f ηη+=，

令4()x G x e -=2'()['()2()]x F x e f x f x -=+， 则

()G x 在(,)a b 内可导，

由于12()()0G G ηη==在12[,]ηη上应用罗尔定理，存在12(,)(,)a b ζηη∈?， 使得

'()0G ζ=，

由于

()2'()''()2'()2'()4()x G x e f x f x f x f x -=+-+????，

故有

''()4()f f ζζ=，

证毕.

提示:其实在涉及一些利用罗尔中值定理证明一些等式的时候，一般都是先从题目的结论入手，把结论中的等式经过变形后，观察该式，看看什么样的函数经过求导后（一次或两次等）含有如结论中的式子作为因子，则我们一般就取这样的函数为我们需要找的辅助函数.但是需要强调一点，就是我们选取的辅助函数在题目给定区间要有意义，且满足罗尔定理的条件，这种就是前面所讲的原函数法.

涉及拉格朗日中值定理证明中值等式的命题

拉格朗日中值定理：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式

))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立.亦即

)(')

()(ξf a

b a f b f =--成立.

例:设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导0a >，()()1f a f b ==，证明：

存在ζ使得1

(,)()'()n a b f f ηη

ηζζζζ

-??∈?=+

??

??

. 分析:先将等式变形，即有11()'()(*)n n n n n f f ηζζζζ--=+，通过观察，我们

会发现等式(*)的右边是（1()()0k k k f f ζζζζ-+=，[()]'0k x f x =，()k x f x ）形式，因此构造的辅助函数()()n F x x f x =，再观察等式(*)左边可知1()'n n n ηη-=，从而得到辅助函数()n g x x =，通过拉格朗日中值定理寻找'()F x 与'()G x 的相同部分，得出待证结论.

证明:取辅助函数()()n F x x f x =，易知()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件.则存在

),(b a ∈ξ使得?--=

'a b a F b F F )()()(ξ1()()()'()n n n n

b f b a f a n f f b a

ζζζζ--+=- 又()()1f a f b ==， 所以

1

()'()n n

n n

b a n f f b a

ζ

ζζζ--+=- （1）

取 ()n g x x =，易知()g x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理条件， 则

()()(,)'()n n

g b g a b a a b g b a b a

ηη--∈?==-- （2）

比较（1）（2）可得11()()n n n n n f f ηζζζζ--=+， 即

1

()'()n f f ηζ

ζζζη

-??

=+

????

， 证毕.