数学高考复习名师精品教案：第100-102课时：第十三章 导数-导数的应用(3)
数学高考复习名师精品教案
第100-102课时：第十三章 导数——导数的应用(3)
课题：导数的应用3：切线与速度的问题(3课时) 一．用导数求曲线的切线
函数()f x 在0x 处导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0f x '。于是相应的切线方程是：()()0
00y y f x x x '-=-。
利用上述结论，可以求解曲线的切线以及相关的问题。
用求导法求曲线的切线的斜率是行之有效的方法，它不仅适用于二次曲线，对于任何可导函数都适用。如果要求的切线过某点，一定要注意验证这点是否在曲线上。如果这点在曲线上，可直接通过求这点的导数（斜率）来求切线方程，如果这点在曲线之外，一般需设切点，求出这点的导数，然后通过解方程组来确定切点，最后根据两点式确定切线方程。 二．用导数求瞬时速度
物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t =时的导数()0f t '，
即有()0
0V f t '=。
利用导数的这个物理意义，可以帮助我们获得按规律运动的物体的瞬时速度。 三．范例分析
例1．求过抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）上一点P （x 0，y 0）处的切线方程，并由此证实抛物线的光学性质。
分析：为求斜率，先求导函数：y'=2ax+b ，故切线方程为y －y 0=(2ax 0+b)(x －x 0) 即 y=(2ax 0+b)x －ax 20
+c ，亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20
+c.
抛物线焦点：F （2b a
-
,
2
44ac b a
-），它关于切线的对称点之横坐标当x 0，
说明从焦点发出的光线射到（x 0，y 0）经抛物面反射后反射光线平行于对称轴，反之亦然。
要求过曲线上一点处的切线方程，一般先求出该点的导数值（斜率），再用点斜式写出后化简，同时我们还可以据此写出该点处的法线方程。 解：显然，y 0=ax 20
+bx 0+c
y'=2ax+b 故在P 点处切线斜率为2ax 0+b ， 切线方程y －(ax 20
+bx 0+c)=(2ax 0+b)(x －x 0)，
亦即y=(2ax 0+b)x －ax 20
+c.
由于y=ax 2
+bx+c 按向量
=2
4,24b ac b a a ??-- ???
平移即得到y=ax 2，只须证明过其
上一点（x 0，ax 20
）的切线l ：y=2ax 0x －ax 2
满足：焦点关于l 的对称点为（m ，n ）.
当x 0≠0时0
2
00
1
1
421
4222
n a m ax n m a ax ax ?-?=-???
?+
?=?-??
，消去n. 知 m=x 0.
当x 0=0时，切线为y=0，F 之对称点横坐标显然是0，
故从焦点发出的光线射到（x 0，ax 2
）后被抛物面反射后的方程为x=x 0（与
对称轴平行）；反之，与对称轴平行的光线被抛物面反射后必聚汇于焦点.
例2．求函数y=x 4+x －2 图象上的点到直线y=x －4
的距离的最小值及相应点的坐标.
分析：首先由42
4
y x x y x ?=+-?
=-?得x 4+2=0
知，两曲线无
交点.
y'=4x 3+1，切线要与已知直线平行，须
4x 3+1=1，x=0.
故切点：（0 , －2）
一般地，当直线l 与y=f(x)的图像无交点时，与l 平行的切线与l 间距离应为图像上点到l 的 距离的最值，以最小值为例（如图）与l 平行的 直线若与曲y=f(x)相交，（A 为一交点），则l'与l 间必存在y=f(x)上的点C ，显然，C 点到l 的距离小于l 与l'间的距离，亦即A 到l 的距离.
当然，我的也可用参数直接考虑：设(x 0，x 40
+x 0－2)为y=f(x)图象上任意一
点，它到l
的距离4
d
=
=
≥
=
上述等号当且仅当x 0=0时取得，故相应点坐标为（0，-2）。
解：y'= 4x 3+1，令4x 3+1=1，x=0. 由此知过曲线上点（0，－2）的切线方程y=x+2 与已知直线平行，它到
已知直线距离最近，为d =
=
例3．已知一直线l 经过原点且与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，试求直线l 的方程。 分析： 设切点为（x 0，y 0），则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0，由于直线l 经过原点，故等式的两边同除以x 0即得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x 0处的切线斜率，便可建立关于x 0的方程。在两边同除以x 0时，要注意对x 0是
否为0进行讨论。
解：设直线l ：y ＝kx 。 ∵y'＝3x 2－6x ＋2， ∴y'|x=0＝2，又∵直线与曲线均过原点，于是直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2相切于原点时，k ＝2。 若直线与曲线切于点(x 0，y 0) (x 0≠0)，则k ＝0
0x y ，∵y 0＝x 03－3x 02＋2x 0，
∴
0x y =x 02－3x 0＋2，
又∵k ＝y'|0
x x =＝3x 02－6x 0＋2，
∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2， ∴2x 02－3x 0＝0， ∵x 0≠0， ∴x 0＝2
3
， ∴k ＝x 02－3x 0＋2＝－4
1
，
故直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－4
1
x 。
例4．已知曲线3
:x
y
C =及其上一点)1,1(1P ，过1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的另一公
共点为2P （不同于1P ），过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的另一公共点为3P （不同于2P ），
…，得到C 的一列切线1l ，2l ，…，n l ，…，相应的切点分别为1P ，2P ，…，
n P ，…。
（1）求n P 的坐标；
（2）设n l 到1+n l 的角为n θ，求n n θtan lim
∞
→之值。 解：（1）设),(3n n n
a a P
，过n P 作
C 的切线。
C 在n P 处的切线n l 的方程为：3
2
)(3n n n a a x a y
+-=，代入3
x
y =，并整理得
0)2()(2
=+-n n a x a x 。
即n a x =
（舍去）或n a x 2-=。
由题意11=a ，n n a a 21-=+，从而1
)
2(--=n n a ，（n ∈N*）
即)
)
2(,)2(()
1(31
----n n P
；
（2）n l 的斜率1
)
1(224
3)
2(33--?=-?==n n n n
a k
。
1+n l 的斜率n
n k 4
31?=+。
1
2
1114
4314
3431tan --++??+?-?=
?+-=
n n
n n
n
n n n n k k k k θ。
494
141
43
4
3
lim tan lim 2=+?
-
=∞
→∞
→n
n
n
n n
n θ
例5．在直线轨迹上运行的一列火车，从刹车到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离s ＝27t －0.45t 2（单位是米），这列火车在刹车后几秒钟才停车？刹车后又运行了多少米？ 解：当火车运行速度为0时，火车停车。 v ＝s'＝(27t －0.45t 2)'＝27－0.9t ， 令27＝0.9t ＝0，得t ＝30（秒）， 则s ＝27×30－0.45×302＝405（米），
故这列火车在刹车后30秒钟才停车，刹车后又运行了405米。 例6．求曲线y ＝
2
1x
在横坐标为x 0的点处的切线方程，并求此曲线的切线被两坐
标轴所截线段的最短长度。
分析：先根据导数的几何意义求出曲线在点x 0处的切线方程，从而求出切线被两坐标轴所截线段，再用基本不等式求其最小值。 解：由导数的定义可得y /＝－
3
2x
，则过(2
01,
x x )点的切线方程为
)
(2103
2
x x x x y --
=-，由此得切线在x 轴与y 轴上的交点分别为A(2
3x 0，0)，B(0，
2
3x
)。
则|AB|2＝40
2
02
040
2
098
98
994
9x
x x x
x +
+
=
+
≥4
2798
98
933
40
2
02
0=
?
?
?x
x x ，
∴|AB|≥2
33，当且仅当40
2
098
9x
x =
，即x 0＝±
2
时，等号成立。故最短长度
为
2
33。
例7．如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于
点A ，一动点P 自切点A 沿直线l 向右移动时，取弧AC 的长
为
AP
32，
点P 的速度
直线PC 与直线AO 交于点M 。又知当AP=
4
3π时，为v ，求这时点M 的速度。（1984年〃全国高考附加题） 分析： 设AP 的长为x ，AM 的长为y ，用x 表示y ，并用复
合函数求导法则对时间t 进行求导。 解：如图，作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COA=θ， 由题意弧AC 的长为x 3
2，半径
OC=1，可知θ=
x
32，考虑θ
∈（0，π）。 ∵△APM ∽△DCM ，∴DC
DM AP
AM =。
∵DM=y- (1-cos
x 3
2)，DC=sin
x 3
2，∴
x
x y x
y 32sin
)
3
2cos 1(--=
∴x
x x x y
3
2sin
)
3
2cos 1(--=
。
上式两边对时间t 进行求导，则 t x
t x y y '?'='
。 l
A
P
O
C
M l
A
P
O
C M D
∴
t y '=t x x x x x x x x x x x '?????
?
??????----+--2)32sin ()32cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ( 当π
4
3=
x 时，v x t ='
，代入上式得点
M 的速度v y t 2
2
)
43()
843(2---=
'
πππ
。
例8．已知5)(23-+-=x x kx x f 在
R 上单调递增，记ABC ?的三内角C B A ,,的对应
边分别为c b a ,,，若ac
b c a +≥+2
2
2时，不等式[]
)4
332()cos(sin
2
+
<+++m f C A B m f 恒
成立．
（Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）求角B cos 的取值范围； （Ⅲ）求实数m 的取值范围．
解：(1)由5)(23-+-=x x kx x f 知123)(2+-='x kx x f ，
)(x f 在
R 上单调递增，
∴0)(>'x f 恒成立，∴03>k 且0k 且0124<-k ，∴3
1>k ， 当0=?，即3
1=
k 时，2
2
)
1(123)(-=+-='x x kx x f ，
∴1
1=k 时，能使)(x f 在R 上单调递增，
3
1≥
∴k ．
(2) ac
b c a +≥+2
2
2
，由余弦定理：2
122cos 2
22=
≥
-+=
ac
ac ac
b
c a B ，∴30π
≤
(3)
)(x f 在
R 上单调递增，且[]
)4332()cos(sin
2
+
<+++m f C A B m f ，
所以
2
2
3333sin cos()sin cos()4
4
m B A C B A C +++<--++
2
2
3329sin cos cos cos 4
4
B B B B =-++
=++
=
87)2
1(cos 2
≥++B ，
故82<-m m ，即9)1(2<-m ，313<-<-m ，即40<≤m ，即160<≤m ．
例9．已知函数14)(2
34-+-=ax
x x x f 在区间)1,0[单调递增，在区间)2,1[单调递减.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若点A （x 0,f(x 0)）在函数f(x)的图象上，求证点A 关于直线x=1的对称点B 也在函数f(x)的图象上；
（Ⅲ）是否存在实数b ，使得函数1)(2
-=bx x g 的图象与函数
f(x)的图象恰有3
个交点，若存在，请求出实数b 的值；若不存在，试说明理由. 解：（Ⅰ）由函数)2,1[,)1,0[,14)(3
34在区间单调递增在区间-+-=
ax
x x x f 单调递减，
32
1,().(1)0.
()4122,
41220 4.
x f x f f x x x ax a a '∴=∴='=-+∴-+=?=时取得极大值
（Ⅱ）0000(,())1(2,()),A x f x x B x f x =-点关于的对称点坐标为
4
3
2
00002
2
004320
0(2)(2)4(2)4(2)1
(2)[(2)2]1441().
1().
f x x x x x x x x x f x A x B f x -=---+--=----=-+-=∴=点关于直线的对称点也在函数的图象上
（Ⅲ）函数等价于方程
个交点的图象恰有的图象与函数,3)(1)(2
x f bx x g -=
43224
3
2
2
4
3
2
2
44113,44114(4)0,0,
4(4)00.164(4)0,0 4.
40.
x x x bx x x x bx x x b x x x x b b b b b -+-=--+-=-?++-==∴-+-=?=-->?∴∴>≠?
-≠? 恰有个不等实根是其中一个根方程有两个非不等实根且
四、专题训练
1．一质点在运动中经过的路程S 和经历的时间t 有关系S=5－3t 2，则它在[1,+△t]内的平均速度为（ C ）
（A ）3△t+6 （B ）－3△t+6 （C ）3△t －6 （D ）－3△t －6
提示：22
[53(1)][531]
63t V
t
t
-+--?=
=-+ 选（C ）
2．曲线y=1
3
x 3－x 2+5，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角
为 （ D ）
（A ） 3
π （B ）4
π （C ）2
π （D ）
34
π
提示：y'=x 2－2x. 当x=1时，y'=－1 选（D ） 3．设曲线2
x
y
=在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为 （ C ）
A ．（3，9）
B ．（－3，9）
C ．（4
9,23） D ．（4
9
,23-
）
4．某质点的运动方程是2
)
12(--=t t S ，则在t=1s 时的瞬时速度为（ B ）
A ．－1
B ．－3
C ．7
D ．13
5．函数)0,4
(
2cos π
在点x y
=处的切线方程是
（ D ）
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--π
y x
D ．024=-+π
y x
6．某物体的运动方程为233+=t s ，则该物体在2=t 时的瞬时速率是（ A ）
（A ）36 （B ）26 （C ）14 （D ）28 7．曲线2
x
y
=与曲线3
x
y
=的公共切线的条数是 （ B ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．0条
8．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P 0点的坐标是（ B ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4) 9．给出下列命题：
(1)若函数f(x)=|x|，则f ’(0)=0；
(2)若函数f(x)=2x 2+1，图象上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则x
y ??=4+2
Δx
(3)加速度是动点位移函数S(t)对时间t 的导数；
(4)y=2cosx +lgx ，则y ’=-2cosx 〃sinx+x 1
其中正确的命题有（ B ）
A. 0个
B.1个
C.2个
D.3个 8．函数)0,4
(
2cos π
在点x y
=处的切线方程是
（ D ）
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--π
y x D ．024=-+π
y x
9．已知函数bx
ax
x x f --=2
3
)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ A ）
A ．极大值
27
4，极小值0
B ．极大值0，极小值27
4
C ．极小值－27
4，极大值0
D ．极大值－
27
4，极小值0
10．已知二函数3
44,3x
y a x y =+=，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为 （ C ） A ．0 B ．12
C ．0或12
D ．4或1
11．如果曲线03
2
23x x x y x y
=-=+=在与处的切线互相垂直，则
x 0的值为 .
（
6
363
）
12．曲线5
51x
y
=上一点M 处的切线与直线x y -=3垂直，则切线的方程是
_______________________ 0455(=--y x 或)0455=+-y x 13．求曲线y = sinx 在点x=π处的切线方程。
提示：根据导数的几何意义求出曲线y = sinx 在点x=π处的切线斜率。 解：∵y ′=cosx ，∴切线的斜率k=π='x y |= -1， ∴切线方程为 y- 0=- (x- π)，即x+y-π=0。 14．求过点P （2，2）且与曲线y=x 2相切的直线方程. 解：y'=2x ，过其上一点（x 0，x 2
）的切线方程为
y －x 20
=2x 0(x －x 0)，过P （2，2），故2－x 20
=2x 0（2－x 0）
x
0=2. 故切线方程为y=(4－(6).
15．由y=0，x=8，y=x 2围成的曲边三角形，在曲线弧OB 上求一点M ，使得过M 所作的y=x 2的切线PQ 与OA ，AB 围成的三角形PQA 面积最大。 答案：（16/3，256/3）
16．路灯距地面8m ，一身高1.6m 的人沿穿过灯下的直路以84m/min 的速度行走，则人影长度变化速率是多少？（要求以m/s 为单位） 解：
851.6
O M B M
B M
+==.
∴OM= 4BM
同理ON=4CN
两式相减，知，影长变化BM －CN=1
4
(OM －ON)
=1
4
MN=1
4
·△t ·84m/min
∴0
21/m in 7lim
21/m in /20
t m t
V m m s
t
→===
.
17．已知直线y=3x+1是曲线y=x 3－2x+a 的一条切线，求a 的值.
解：y'=3x 2－2. 令3x 2－2=3， x=3
.代入切线方程知y 0=1
∴a=y 0+2x 0－x 3
18．设曲线S ：y=x 3－6x 2－x+6，S 在哪一点处的切线斜率最小？设此点为P （x 0，y 0）求证：曲线S 关于P 点中心对称.
解：y'=3x 2－12x －1当x=2时有最小值.故P ：（2, －12）.
S在（2，－12）处的切线斜率最小，为－13.
又y=(x－2+2)3－6(x－2+2)2－(x－2+2)+6
=(x－2)3－13(x－2) －12
故曲线C的图象按向量=(－2，+12)平移后方程为y'=x－13x'为奇数，关于原点对称，
故P（2，－12）为曲线S的对称中心.
19．曲线y=x(x+1)(2－x)上有一点P，它的坐标均为整数，且过P点的切线斜率为正数，求此点坐标及相应的切线方程.
解：y=－x3+x2+2x y'=－3x2+2x+2
令y'＞0 知x∈(， )
又x∈z ∴x=0或1 ∴P点坐标为（0，0）或（1，2）.
切线斜率k=2或1，
切线方程为y=2x或y=x+1.
20．曲线：y=ax3+bx2+cx+d在（0，1）点处的切线为l1：y=x+1，在（3,4）点处的切线为l2：y=－2x+10，求曲线C的方程。
分析：已知两点均在曲线C上，y'=3ax2+2bx+c f'(0)=c，
f'(3)=27a+6b+c
l1：y=cx+1 l2：y=(27a+6b+c)(x－3)+4
与已知比较，分别求出d=1，c=1，a=－1
，b=1.
3
x3+x2+x+1.
答案：C：y=－1
3
说明：求曲线过一点处的切线，先求斜率——即导函数在x0处的值，再用点斜式写出化简.
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
人教版2017年高考数学真题导数专题
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且 ∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x） =e x f（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
高中导数及其应用教案
教育教师备课手册 教师 姓名 学生姓名填写时间2012.2.1 学科数学年级高三上课时间 10:00-12:00 课时 计划 2小时 教学目标 教学内容中考复习三角形 个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析 教学重点、难点 教学过程 导数及其运用 知识网络 第1讲导数的概念及运算 ★知识梳理★ 1.用定义求函数的导数的步骤. （1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率 x y ? ? .（3）取极限，得导数f'（x0）= lim → ?x x y ? ? . 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处 的 解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数 函数的单调性研究 函数的极值与最值研究 导数的定义 导数的物理及几何意义 导数的运算 导数的四则运算法则及复合函数的导数 导数的应用 最优化问题 计算定积分 定积分与微积分 的基本定理 定积分的应用
3. 几种常见函数的导数 'c =0（c 为常数）；()n x '=1 n nx -（R n ∈）； '(sin )x = ；'(cos )x = ； (ln )x '= 1x ； (log )a x '=1 log a e x ； '()x e =x e ；'()x a =ln x a a . 解析：cos ;sin ;x x - 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则： ' ()u v ±=' ' u v ±；' ()uv = ；' u v ?? = ??? (0)v ≠. 解析：' ' u v uv +； '' 2 u v uv v - ②复合函数的求导法则：'(())x f x ?=''()()f u x ?或x u x u y y '''?= ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法 2.难点：切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题. （1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题1.比较函数()2x f x =与()3x g x =,当[1,2]x ∈时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量21x x x ?=- (2)计算对应函数值的改变量22()()y f x f x ?=- (3)计算平均增长率: 2121 ()()f x f x y x x x -?=?- 对于()2x f x =,2111223,21y x ?-==?-又对于()3x g x =,212 233821 y x ?-==?- 故当[1,2]x ∈时, ()g x 的平均增长率大于()f x 的平均增长率. （2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题2. 已知2 )2cos 1(x y +=,则='y . 点拨：复合函数求导数计算不熟练,其x 2与x 系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
《导数的应用》教学设计
导数 一、考纲要求 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题. 二、知识梳理 1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数． 问题探究：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？ 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值，和统称为极值． 3．函数的最值与导数 函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值． 三，考点探究 考点一：函数的单调性与导数 【例1】设函数f(x)＝x3—3x2－9x－1．求函数f(x)的单调区间．
导数的应用(习题课)优秀教学设计
§1.3 导数的应用（习题课）教学设计 【教材分析】 本节课是人教A版选修2-2第一章第三节内容，前面已经学习了利用导数求解函数的单调性、极值、最值、零点等问题，本节课是在前节内容的基础上，进一步学习如何利用导数研究不等式恒成立问题。这个问题属于高考压轴题的范畴，本节主要从“套路”和“模型”的角度出发，体现导数的工具性特征。 【学情分析】 学生已经学习了导数的基础知识，知道了一些解题的基本思路，但如何利用导数来解决一些较难的问题，完成对压轴题的“破冰”，学生还是无能为力，这是本节课的困难，需要进行不断的引导与强化。 【教学目标】 1、知识与技能： （1）能利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题及不等式恒成立问题； （2）能够利用导数作图，反之可以利用图像来研究函数的性质； 2、过程与方法： 导数作为一种工具，是高中数学诸多知识的一个交汇点。通过教师思路上的引导，小组合作探究，能让学生从诸多条件中抽丝剥茧，发现解决方法，从而提高学生发现问题、解决问题的能力，深化对问题的认识，在过程中获得思维能力的提高。 3、情感与价值观： 培养学生主动学习，合作交流的意识，互相启发，相互促进，充分发挥各自的主观能动性，激发学生的学习兴趣，完善学习成果。 【教学重点】 利用“套路”和“模型”来研究导数研究不等式恒成立问题。 【教学难点】 （1）基本模型的熟悉与应用；（2）问题如何转化成“模型”来处理。 【课时设计】 两个课时，其中一个0.5个课时完成课堂练习，1.5个课时完成后面内容。 【教学策略】 采用练、评、讲的教学方法，利用几何画板、多媒体投影仪辅助教学。
【教学过程】 一、课堂练习（提前印发给学生） 问题 设计意图师生活动1、解决导数在函数中的应用问题的一般步骤：构造函数 求 求导 求 →→→ 求极值、最值 求问题的解 →→回顾定义，明确方法。 学生自主完成。 2、曲线在处的切线方程为 .x x y ln 2=e x =3、函数的单调递减区间为 . 1ln -=x x y 4、函数的极小值点为( ) x x e y x 2-=A. 1 B. C. D.2-e )2,1(-e ) ,1(e 5、函数的零点个数为( )x xe y =A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、若不等式恒成立,则实数的取值范围为0ln >-x ax a ( ) A. B. C. D.??????+∞,1e [)+∞,e ??? ??+∞,1e ??? ? ? ∞-e 1,左边5个题均是导数应用中的基础题型， 练习的目的如下：1、巩固求解切线、单调区间、极值点、 零点的一般步骤；2、熟练掌握简单复合函数的求导，并能根据导函数画出原函数图像，深化对导数的理解。 学生自主完成，并 总结求解步骤，注意事项。 二、列表比较常考函数的图像与性质：（课堂完成） 教师：通过以上5个题目我们发现，含对数指数的复合函数出现的频率很高，事实上在高考中考查的也很频繁，下面我们对这几类函数进行单独研究，后期就会有意想不到收获。 学生：独立完成下表，小组内部讨论结论是否正确。 设计意图：针对高考的热点问题进行练习，先追根溯源，找到构成问题的“基本元素”，再由简到繁，引导学生体会解题思路，有意识去提炼总结，提高学生解题能力的同时增强自信心。原函数 x xe y =x e y x = x e x y = x x y ln =x x y ln = x x y ln = 定义域
高中数学文科导数练习题
数学导数练习（文） 一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在 ),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内 有极小值点（ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、11．函数3 2 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________. 14. 曲线3 x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 __________。 15. 已知曲线3 1433 y x = + ，在点(2,4)P 的切线方程是______________ a b x y ) (x f y '=O
导数及其应用 复习课 教案
导数及其应用复习课教案 【教材分析】 导数及其应用内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用. 先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题. 该部分共分三节，第三节则是“导数的应用”，内容包括利用导数求切线方程；判断函数的单调性；利用导数研究函数的最值、极值；导数的实际应用. 在“利用导数求切线方程”中介绍了利用导函数的几何意义求切线的斜率，进而求解切线方程；在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题. 【考纲解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 1.导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等. 2.与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目． 【教学目标】 1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程 2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学重点】 理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题 【教学难点】 原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题 【学法】 本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。 在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。【教法】 数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老
高考文科数学导数全国卷
导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；
(II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，
高中数学导数及其应用电子教案
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
导数的综合应用 公开课教案
§3.4 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 )(' x f ； (2)在函数)(x f 的定义域内解不等式)('x f >0或)(' x f <0； (3)根据(2)的结果确定函数)(x f 的单调区间 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域；(2)求导数 )('x f ；(3)解方程)(' x f ＝0，求 出函数定义域内的所有根；(4)列表检验)('x f 在)(' x f ＝0的根x 0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在x 0 处取极大值，如果左负右正，那么)(x f 在x 0 处取极小值． 3．求函数f (x)在闭区间[a ，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 )(x f 在闭区间[a ，b]内连续、可导； (2)求函数)(x f 在开区间(a ，b)内的极值； (3)求函数)(x f 在[a,b]端点处的函数值f (a)，f (b);
(4)比较函数 )(x f 的各极值与f (a)，f (b)的大小，其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值. 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式y ＝)(x f ； (2)求导数 )(' x f ，解方程)(' x f ＝0； (3)判断使)(' x f ＝0的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定 义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 基础自测 1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________． 2．若 )(x f ＝x 3 ＋3ax 2 ＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 __________________________． 3．若函数 )(x f ＝x ＋asin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为 4.设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )
(完整版)高三文科数学导数专题复习
高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标.
4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系；
导数在实际生活中的应用1教案
导数在实际生活中的应用1 教学目标 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 理利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学过程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 1、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方 面： （1）与几何有关的最值问题； (2)与物理学有关的最值问题； (3)与利润及其成本有关的最值问题； (4)效率最值问题。 2、解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域， 通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 3三．例题讲解 4、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张 贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。如何设计海报的 尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为 128x dm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++> 求导数，得'2512()2S x x =-。 令'2512()20S x x =-=，解得16(16x x ==-舍去）。 于是宽为128128816x ==。
高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案
§1.1.1平均变化率 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这
样的感觉，这是什么原因呢? 3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.5 0.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5 321 -≈-33.418.6 7.4 3432-≈-
高考数学专题导数题的解题技巧
第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力.
导数及其应用教案设计
课题：变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一、情景导入 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二、知识探究 探究一：气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 探究二：高台跳水： 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述