导数在研究函数中的应用 精品教案

《导数在研究函数中的应用》

【教材分析】

导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。

【考纲解读】

1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。

3.会利用导数解决某些实际问题。

【教学目标】

1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程

2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题

【教学重点】

理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题

【教学难点】

原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题

【学 法】

本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

【教 法】

数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

【授课类型】复习课

【教学过程】

一、要点梳理

温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数

在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;

如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0

在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．

2．函数的极值与导数

函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．

函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．

温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．

3．函数的最值与导数

假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断

的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．

温馨提醒：最值与极值的区别与联系：

(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．

(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．

二、课前热身

1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )

A ．x ＝1为f (x )的极大值点

B ．x ＝1为f (x )的极小值点

C ．x ＝－1为f (x )的极大值点

D ．x ＝－1为f (x )的极小值点

2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12

x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]

C ．[1，＋∞)

D ．(0，＋∞)

3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )

A ．11或18

B ．11

C ．18

D ．17或18

4．函数f (x )＝x 33

＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－

173 5.3 三、例题讲解

考点一：利用导数研究函数的单调性

例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.

(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；

(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．

【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .

(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.

令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2

. 方法感悟：

(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：

①求f ′(x )；

②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；

③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．

(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：

①确定函数f (x )的定义域；

②求导数f ′(x )；

③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；

④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．

考点二：由函数的单调性求参数的取值范围

因为t >0，则－t

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x

(－∞，－t ) ????－t ，t 2 ????t 2，＋∞ f ′(x )

＋ － ＋ f (x ) ↗ ↘ ↗

所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，???

?t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是????－t ，t 2.

例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x

＋2的图象关于点A (0，1)对称．

(1)求f (x )的解析式；

(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．

【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋

1－x

＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x

. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，

方法感悟：

函数单调性确定参数范围的方法：

(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．

(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．

考点三：利用导数研究函数的极值(最值)

例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；

(2)求函数f (x )的极值．

【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x

. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x

(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，

所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，

即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．

(2)由f′(x)＝1－a

x＝

x－a

x，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.

方法感悟：

(1)求函数f(x)极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f′(x)；

③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．

(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：

①求函数在(a，b)内的极值；

②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；

③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】

1.函数的单调性与导数

2.函数的极值与导数

3函数的最值与导数

【布置作业】

练习册60练 p19

【板书设计】

课题

一、要点梳理三、例题讲解

二、课前热身四、课堂小结

【教学反思】

以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。变式的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。