北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题及参考答案

海淀区2018－2019高一年级期末统一考试数

学

2019.01

学校 班级 姓名 成绩 0

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A

B = ( )

（A ）{1} （B ）{1,2}

（C ）{0,1,2}

（D ）{02}x x <≤

（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a

b ，则m = ( )

（A ）18 （B ）2 （C ）18-

（D ）2-

（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）

（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x =

（C ）()lg f x x =

（D ）()sin f x x =

（4）命题2:2,10p x x ?>->，则p ?是 （ ）

（A ）22,10x x ?>-≤ （B ）22,10x x ?≤-> （C ）22,10x x ?>-≤

（D ）22,10x x ?≤-≤

（5）已知3

tan 4α=

，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45-

（6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）

（A ）sin α （B ）cos α

（C ）tan α

（D ）sin(π)α+

（7）为了得到函数π

sin()3

y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点 （ ）

（A ） 向左平移

2π

3

个单位长度 （B ） 向左平移

π

3

个单位长度

（C ） 向右平移π

3

个单位长度 （D ） 向右平移

5π

3

个单位长度

（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终

边与单位圆O 相交于点P ．过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α．则下列关于函数()f α的说法正确的是 （ ）

（A ）()f α的定义域是π

{|2π,}2k k αα≠+

∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π

(π,0),2

k k +∈Z

（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z

（D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-=

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上． （9）已知()ln f x x =，则2

(e )f = ．

（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则?=a b ______；2-=a b ______． （11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A 1

ì，S

B A =．则一个满足条件的

集合S 是 ．

（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x 3时，()f x x x =

+，则不等式()20f x ->的

解集是 ．

（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为 弧度；

若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ?-?取得最大

值时，,OA OP <>= ．

（14）已知函数12

2, ,

()2,.x x a f x x a x a -?<=?-+≥?

（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；

（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在

2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =．

T

P

y x

O P

B

A

O

在①12-

； ②12；③1；④2；⑤3

2

中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题共11分）

已知函数π

()2sin(2)3

f x x =+

． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；

（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ

()([,])66

f x x T ∈-

-+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2

[,π]63

上的取值范围．

（16）（本小题共10分）

已知函数2

()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=．

（Ⅰ）求b 的值；

（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明；

（Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c

f 的大小关系．

（17）（本小题共11分）

如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=?，且1BO AD ==．

（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；

（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值．

（18）（本小题共12分）

设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ?，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得

12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的?区间．

（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31x

y =+的?区间；

（Ⅱ）若1

[,2]2

是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的?区间，求a 的取值范围；

（Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的?区间，求ω的取值范围．

附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）

声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知．声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描

述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310-?秒）．

① ②

声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍．下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始．已知点()800,0位于图④中波形曲线上．

③ ④

（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）

（Ⅱ）请你选择适当的函数模型()y f x =，[0,2000]x ∈来模仿图④中的波形曲线： ()f x =___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）．

高一年级期末统一练习

数 学

参考答案及评分标准 2019.01

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案

A

D

B

C

D

B

A

B

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

（9）2 （10）11；61 （11）{1,2,3,4}（或{1,2,4,5}或{1,2,4}） （12）{|1,x x <-或1}x > （13）2；0 （14）0a <或2a >；②③

注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出1x <-，或1x > ），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。

三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）2π

π2

T =

=． ……………………2分 （Ⅱ）由πππ2π22π232

k x k -+≤+≤+，k ∈Z 得 ……………………4分

5ππ

ππ1212

k x k -

+≤≤+， k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间是：5ππ

[π,π]1212k k -++，

k ∈Z ．……………………6分

（Ⅲ）函数ππ

()([,])66

f x x T ∈-

-+的简图如图所示． ……………………8分

函数()f x 在区间π2

[,

π]63

上的取值范围是[2,3]-． -π6

1

1y x

O

……………………11分

注：[2,3]-中每一个端点正确给1分，括号正确1分。

（16）（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）因为 实数0x 使得00(2)()f x f x -=，

所以 22

0000(2)(2)x b x c x bx c -+-+=++， ……………………1分

即0(24)(1)0b x +-=． 因为 01x ≠，

所以 240b +=，即2b =-． ……………………3分 经检验，2b =-满足题意，所以 2b =-．

（Ⅱ）函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，证明如下： ……………………4分 任取1x ，2x (1,)∈+∞，当12x x <时，12120,20x x x x -<+->．

所以 1212()(2)0x x x x -+-<． ……………………6分

所以 22

121122()()2(2)f x f x x x x x -=--- ……………………7分

22

12121212(22)()(2)0x x x x x x x x =---=-+-<，即12()()f x f x <．

所以 函数()f x 在(1,)+∞上单调递增． ……………………8分

（Ⅲ）当0c =时，(3)(2)c c

f f =；

当0c ≠时，(3)(2)c c

f f >． ……………………10分 注：直接答(3)(2)c c f f ≥，给2分；若只有(3)(2)c c

f f >，给1分。

（17）（本小题满分11分） （Ⅰ）因为 2OA AD =， 所以 3

2

D O A O =

． ……………………1分 因为 2CD BO =，

所以 =++CB CD DO OB ……………………3分 3

22

BO AO OB =+

+

32

OA OB =--． ……………………5分

（Ⅱ）因为 2CD BO =， 所以 OB

CD ． ……………………6分

因为 2OA AD =， 所以 点,,O A D 共线． 因为 90D ∠=?， 所以 90O ∠=?．

以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

因为 1BO AD ==，2CD BO =，2OA AD =， 所以 (2,0), (0,1), (3,2)A B C ．

所以 (1,2)AC =，(2,1)AB =-．……………7分 因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =，

所以 121

(,)333

AP AB ==- ． ……………………8分 所以 55

(,)33

CP AP AC =-=--． ……………………9分

因为 (3,1)CB =--，

所以 55253cos 552103

CP CB PCB CP CB +

?∠===

??． ……………………11分 （18）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）(,)-∞+∞不是函数31x

y =+的?区间，理由如下： ……………………1分

因为 对(,)x ?∈-∞+∞，30x

>，

所以 311x

+>． ……………………2分 所以 12,(,)x x ?∈-∞+∞均有12(31)(31)2x

x

+++>， 即不存在12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=．

所以 (,)-∞+∞不是函数31x y =+的?区间． ………………………3分

（Ⅱ）由1[,2]2

是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的?区间，可知 存在121,[,2]2

x x ∈，12x x ≠，使得12log log 2a a x x +=．

所以 2

12x x a =． ……………………4分

y

x

P

D

C

B

A

O

因为 12121

2,21

2,2

,x x x x ?≤≤???≤≤??≠???

所以 12144x x <<，即21

44a <<． ……………………5分

又因为 0a >且1a ≠，

所以 1

(,1)(1,2)2

a ∈． ……………………6分

（Ⅲ）因为 [π,2π]是函数cos y x ω=的?区间，

所以 存在12,[π,2π]x x ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=．

所以 12

cos 1,cos 1.x x ωω=??=? ……………………7分

所以 存在,k l ∈Z ，使得122π,

2π.

x k x l ωω=??

=?

不妨设12π2πx x ≤<≤． 又因为 0ω>，

所以 12π2πx x ωωωω≤<≤． 所以

222k l ωω≤<≤．

即在区间[,2]ωω内存在两个不同的偶数． ……………………8分 ①当4ω≥时，区间[,2]ωω的长度24ωω-≥，

所以区间[,2]ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意． ……………………9分 ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以 2,2{2,4,6}k l ∈． （i ）当24,26k l =??

=?时，有4,

62,ωω≤??≤?即34ω≤≤．

所以 34ω≤<也符合题意． ……………………10分 （ii ）当22,24k l =??=?时，有2,

42,ωω≤??≤?

即2ω=．

所以

2ω=符合题意．

（iii ）当22,26k l =??

=?时，有2,62,ωω≤??≤?即2,

3.

ωω≤??≥?此式无解．

综上所述，ω的取值范围是{2}[3,)+∞． ……………………12分

附加题

（Ⅰ）②……………………2分（Ⅱ）cos0.03x（答案不唯一）……………………5分

注：对于其它正确解法，相应给分．