反比例函数题型解题技巧

反比例函数题型解题技巧

反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点，面对这样的问题，本人经过一些题目的观察和总结，对以下的几类目有

自己的见解，若有不当之处还请各位高人批评指教。

关键词：反比例函数、函数图象、函数性质

一、给出自变量x 的取值范围，让我们判断函数值y 的范围；

如果每位学生都能把函数的图像正确的画出来，我们解决这种问题就相对比较直观，也比较简单，但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握，因此这种题目很容易出错。也是学生最容易失分的地方，下面我就对这类问题分以下几种情况来逐一介绍：

1、反比例函数y= x

k ( k ＞0),当x ＞a 或x ＜b （a 、b 是非零常数）时，求y 的取值范围。这种问题只需要把这里的a 或b 代入函数的解

析式中，得到y 的值a k 或b k ，对应的y 的取值范围就是y ＜a k 或y ＞b k

，

由于反比例函数y= x

k

当k ＞0时，y 随x 的增大而减小。例如：函数

y=x

2

,当x ＞-1时，y 的取值范围就是y ＜-2；当x ＜2时y 的取值范围就是y ＞1。

2、反比例函数y= x

k ( k ＜0),当x ＞a 或x ＜b （a 、b 是非零常数）时，求y 的取值范围。我们同样把这里的a 或b 代入函数的解析式中，得到y 的值a

k

或b

k ，对应的y 的取值范围就是y ＞a

k 或y ＜b

k ，由于反

比例函数y= x k 当k ＜0时，y 随x 的减小而增大。例如：函数y=

x

2

-,当x ＞-1时，y 的取值范围就是y ＞2；当x ＜2时y 的取值范围就是y ＜-1。

3、反比例函数y= x

k （k ≠0），当a ＜x ＜b ，a 、b 同号时，求y 的取值范围。我们还是把这里的a 、b 代入函数的解析式中，得到y 的值a

k 、b

k ，然后对a

k 、b k 按小到大排序，排好序后他们之间用“＜y ＜”连接即可。若a

k ＞b

k ，则y 的取值范围就是b

k ＜y ＜a

k 。例如：函数y=x

2，当-3＜x ＜-1时求y 的取值范围，把-3和-2代入解析式得到的y 的值为

32-和-2,则y 的取值范围就是-2＜y ＜3

2

-。 4、反比例函数y= x k

（k ≠0），当a ＜x ＜b ，a*b ＜0时，求y 的

取值范围。同样先是把这里的a 、b 代入函数的解析式中，得到y 的

值a k 、b

k ，然后对这里的a k 、b k 进行大小比较，y 的取值范围是“大

于大的，小于小的”。若a k ＜b k 则y 的取值范围就是y ＜a k ，y ＞b

k

。

例如：函数y=x

2

，当-2＜x ＜2时求y 的取值范围，把-2和2代入解

析式得到的y 的值为-1和1,则y 的取值范围就是y ＜-1，y ＞1。 二、已知反比例函数图像上的若干个点，知道横坐标的大小关系，让我们来判断纵坐标的大小关系；

对于这种问题，如果能正确的画出反比例函数的图像，并会熟练的分析反比例函数的图像，那么这类问题也很容易解决，但面对一些实际情况，我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式，下面我就对这些问题稍作分析：

1、反比例函数y= x

k

( k ＞0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )

都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜X 3……＜X n （X 1、X 2、X 3……X n 同号），求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k ＞0时，y 随着x 的增大而减小），很容易得到Y 1＞Y 2＞Y 3＞……＞Y n 。例如：已知函数y=x

2，点A(1,Y 1),B(2

1,Y 2),C(2, Y 3)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3的大小关系。由于2

1＜1＜2，按照上面方法很容易得到Y 2＞Y 1＞Y 3。

2、反比例函数y= x

k ( k ＜0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜X 3……＜X n （X 1、X 2、X 3……X n 同号），求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质（当k ＜0时，y 随着x 的增大而增大），很容易得到

Y 1＜Y 2＜Y 3＜……＜Y n 。例如：已知函数y=

x

2 ，点A(1,Y 1),B(21

,Y 2),C(2,

Y 3)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3的大小关系。由于2

1

＜1＜2，按照

上面方法很容易得到Y 2＜Y 1＜Y 3。

3、反比例函数y= x

k ( k ＞0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜…＜X k ＜0＜X k+1＜…＜X n ,求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系。这个问题就不能像上面一样直接比较，A 1、A 2……A n 这些点的横坐标中间被“0”隔开，做这类问题要分两块来进行解决。我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y= x

k

，当k ＞0时，它的图像在一、三象限，并且在函数图象的每一支上，y 随着x 的增大而减小。但不论怎样，第一象限内图像的每一个点对应的y 值都比第三象限内图像的每一点对应的y 值要大。

值要大。Y 1，Y 2……Y k 的大小顺寻很容易判断是：Y 1＞Y 2＞……＞Y k ；Y k+1, Y k+2 ……Y n 的大小顺序是：Y k+1＞ Y k+2 ＞……＞Y n 。综上我们得到Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系是：Y k+1＞ Y k+2 ＞……＞Y n ＞Y 1＞Y 2＞……＞Y k ；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y= x

k ，k ＞0时，图像上任意的点，横坐标为正的点对应的y 值比横坐标为负的点对应的y 值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=

x

2

，点A(-1,Y 1),B(-2

1

,Y 2),C(2, Y 3)，D(2.5,Y 4)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系。解析：k=2是大于零的，A,B,C,D 四点的横坐标有正有负，横坐标为正的点对应的y 值比横坐标为负的点对应的y 值要大，因此肯定有Y 3，Y 4要大于Y 1，Y 2，当k ＞0时在反比例函数图像的每一支上，y 随着x 的增大而减小，因此有Y 4 ＜Y 3, Y 2＜Y 1 ,进而Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系是：Y 2＜Y 1＜Y 4 ＜Y 3。

4、反比例函数y= x

k ( k ＜0)，点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上，已知X 1＜X 2＜…＜X k ＜0＜X k+1＜…＜X n ,求Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系。同样A 1、A 2……A n 这些点的横坐标中间被“0”隔开，首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限，在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y= x

k

，当k ＞0时，它的图像在二、四象限，并且在函数图象的每一支上，y 随着x 的增大而增大。但不论怎样，第二象限内图像的每一个点对应的y 值都比第四象限内图像的每一点对应的y 值要大。

值要大。Y 1，Y 2……Y k 的大小顺寻很容易判断是：Y 1＜Y 2＜……＜Y k ；Y k+1, Y k+2 ……Y n 的大小顺序是：Y k+1＜ Y k+2 ＜……＜Y n 。综上我们得到Y 1，Y 2，Y 3……Y n 的大小关系是：Y k+1＜ Y k+2 ＜……＜Y n ＜Y 1＜Y 2＜……＜Y k ；如果不考虑这么多，用一句简单化来概括的话就是：反比例函数y= x

k ，k ＜0时，图像上任意的点，横坐标为负的点对应的y 值比横坐标为正的点对应的y 值要大，若横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如：已知函数y=

x

2

，点A(-1,Y 1),B(-2

1

,Y 2),C(2, Y 3)，D(2.5,Y 4)在函数的图像上，求Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系。解析：k=-2是小于零的，A,B,C,D 四点的横坐标有正有负，横坐标为负的点对应的y 值比横坐标为正的点对应的y 值要大，因此肯定有Y 1，Y 2要大于Y 3，Y 4，当k ＜0时在反比例函数图像的每一支上，y 随着x 的增大而增大，因此有Y 1 ＜Y 2, Y 3＜Y 4 ,进而Y 1，Y 2，Y 3，Y 4的大小关系是：Y 3＜Y 4＜Y 1 ＜Y 2。