(完整版)同济版《高等数学》稿WORD版导数与微分
第二章 导数与微分
教学目的:
1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系.
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.
3、 了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数.
4、 会求分段函数的导数.
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数. 教学重点:
1、导数和微分的概念与微分的关系;
2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;
3、基本初等函数的导数公式;
4、高阶导数;
6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点:
1、复合函数的求导法则;
2、分段函数的导数;
3、反函数的导数
4、隐函数和由参数方程确定的导数.
§2. 1 导数概念 一、引例
1.直线运动的速度
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ),
求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值
000)
()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践
中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值
0)
()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即
0)
()(lim
t t t f t f v t t --=→,
这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2.切线问题
设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT , 直线MT就称为曲线C有点M处的切线.
设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0
000)
()(tan x x x f x f x x y y --=
--=
?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存
在, 设为k , 即
00)
()(lim 0x x x f x f k x x --=→
存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的
倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线.
二、导数的定义
1. 函数在一点处的导数与导函数
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
00)
()(lim 0x x x f x f x x --→.
令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0
0)
()(lim 0
x x x f x f x x --→
成为 x y
x ??→?0lim
或x
x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000.
定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即
x
x f x x f x y
x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim
)(00000,
也可记为0|x x y =',
0 x x dx dy =或0
)
(x x dx x df =. 函数f (x )在点x 0处可导有时也说成f (x )在点x 0具有导数或导数存在.
导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h
x f h x f x f h )
()(lim
)(000
0-+='→,
00)
()(lim
)(0
x x x f x f x f x x --='→.
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述. 如果极限x
x f x x f x ?-?+→?)
()(lim
000
不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.
如果不可导的原因是由于∞=?-?+→?x
x f x x f x )
()(lim
000
,
也往往说函数y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大.
如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导, 这时, 对于任一x ∈I , 都对应着f (x )的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ', dx dy , 或dx
x df )
(. 导函数的定义式:
x x f x x f y x ?-?+='→?)()(lim 0=h
x f h x f h )
()(lim 0-+→.
f '(x 0)与f '(x )之间的关系:
函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.
导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值. 左右导数: 所列极限存在, 则定义 f (x )在0x 的左导数:h x f h x f x f h )
()(lim )(000
0-+='-
→-
;
f (x )在0x 的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(000
0-+='+
→+
.
如果极限h x f h x f h )
()(lim 000
-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.
如果极限h
x f h x f h )
()(lim
000
-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.
导数与左右导数的关系 2.求导数举例
例1.求函数f (x )=C (C 为常数)的导数. 解: h
x f h x f x f h )
()(lim )(0
-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.
例2. 求x
x f 1
)(=的导数.
解: h x h x h x f h x f x f h h 1
1lim )
()(lim )(00-+=-+='→→ 2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数. 解: h
x h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00
lim )
()(lim
)( x
x h x x h x h h h h 211lim )(lim
00=++=++=→→.
例2.求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f a
x --=→)
()(lim
a x a x n n a x --=→lim a
x →=lim (x n -1+ax n -2+ ? ? ? +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1, 即 (x n )'=nx n -1. (C )'=0, 21
)1(x x -=', x
x 21)(=', 1)(-?='μμμx x .
更一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数.
例3.求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )h
x f h x f h )
()(lim 0
-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2
sin )2cos(21lim
0h
h x h h +?=→ x h h
h x h cos 2
2sin )2
cos(lim 0=?+=→.
即 (sin x )'=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例4.求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )h x f h x f h )
()(lim
-+=→h
a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim
0-=→t a h =-1令)
1(log lim
0t t a a t x +→
a a e
a x a x
ln log 1==. 特别地有(e x )=e x .
例5.求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: h
x h x h x f h x f x f a a h h log )(log lim )
()(lim
)(00
-+=-+='→→ h x
a h a h a h x
h x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→
a x e x a ln 1log 1==. 解:h x
h x x f a a h log )(log lim
)(0-+='→)1(log 1lim 0x
h h a h +=→
h x a h x h x )1(log lim 10+=→a
x e x a ln 1log 1==. 即 a x x a ln 1)(log =' . : 特殊地 x
x 1
)(ln ='.
a x x a ln 1)(log =', x x 1)(ln ='.
3.单侧导数: 极限h
x f h x f h )
()(lim 0
-+→存在的充分必要条件是
h
x f h x f h )()(lim 0
-+-
→及h x f h x f h )
()(lim 0-++→ 都存在且相等.
f (x )在0x 处的左导数:h x f h x f x f h )
()(lim )(0
0-+='-
→-
,
f (x )在0x 处的右导数:h
x f h x f x f h )
()(lim )(0
0-+='+
→+
.
如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.
例6.求函数f (x )=|x |在x =0处的导数. 解: 1|
|lim )0()0(lim )0(00
-==-+='--
→→-
h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00
==-+='++
→→+
h h h
f h f f h h ,
因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.
四、导数的几何意义
函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即
其中α是切线的倾角.
如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0. : 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为
过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)
(10x f '-, 从而法线方程为 )()
(10
00x x x f y y -'-
=-.
例8. 求等边双曲线x
y 1
=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法
线方程.
解: 21
x
y -=', 所求切线及法线的斜率分别为
4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .
所求切线方程为)21
(42--=-x y , 即4x +y -4=0.
所求法线方程为)2
1
(412-=-x y , 即2x -8y +15=0.
例9 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程. 解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为
02
12302
323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为 )
(2300
00x x x x x y -=-. 根据题目要求, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(23400
00x x x x -=--,
解之得x 0=4. 于是所求切线的方程为 )4(42
344-=-x y , 即3x -y -4=0.
四、函数的可导性与连续性的关系
设函数y =f (x )在点x 0 处可导, 即)(lim 00x f x
y
x '=??→?存在. 则
00)(lim lim lim
lim 00
000
=?'=????=????=?→?→?→?→?x f x x y x x y y x x x x .
这就是说, 函数y =f (x )在点x 0 处是连续的. 所以, 如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该
点必连续.
另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
例7. 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大
h
f h f h )
0()0(lim
0-+→+∞=-=→h h h 0lim 3
0. §2. 2 函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为
零的点外)都在点x 具有导数, 并且 [u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;
[u (x )?v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );
)()
()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='??????. 证明 (1)h
x v x u h x v h x u x v x u h )]
()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→
??
?
??
?
-+±
-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x )±v '(x ). 法则(1)可简单地表示为 (u ±v )'=u '±v ' . (2)h
x v x u h x v h x u x v x u h )()()()(lim
])()([0-++='?→
)]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h
h -+++-++=→
??
?
-+++???
-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()
()()()(lim 0 h
x v h x v x u h x v h x u h x u h h h )
()(lim )()(lim )()(lim
000-+?++?-+=→→→
=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ),
其中0
lim →h v (x +h )=v (x )是由于v '(x )存在, 故v (x )在点x 连续.
法则(2)可简单地表示为 (uv )'=u 'v +uv '.
(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()
()()(lim )()(00
++-+=-
++='??????→→
h
x v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]
()()[()()]()([lim
0+-+--+=→
)
()()
()()
()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→
)
()
()()()(2x v x v x u x v x u '-'=
.
法则(3)可简单地表示为 2
)(v v u v u v u '
-'='.
(u ±v )'=u '±v ', (uv )'=u 'v +uv ', 2
)(v v u v u v u '
-'='.
定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u (x )、v =v (x )、
w =w (x )均可导, 则有
(u +v -w )'=u '+v '-w '.
(uvw )'=[(uv )w]'=(uv )'w +(uv )w '
=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '. 即 (uvw )' =u 'vw +uv 'w +uvw '.
在法则(2)中, 如果v =C (C 为常数), 则有
(Cu )'=Cu '.
例1.y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '
解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2?3x 2-5?2x +3=6x 2-10x +3.
例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.
解: x x x x x f sin 43)2
(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,
44
3)2 (2-='ππf .
例3.y =e x (sin x +cos x ), 求y '.
解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4.y =tan x , 求y '.
解: x
x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '
-'=
'='='
x x
x x x 2222
2sec cos 1cos sin cos ==+=.
即 (tan x )'=sec 2x .
例5.y =sec x , 求y '.
解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '?-'='='='x
x
2cos sin ==sec x tan x .
即 (sec x )'=sec x tan x .
用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,
(csc x )'=-csc x cot x .
二、反函数的求导法则
定理2 如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且 )
(1])([1y f x f '='-. 或dy
dx dx dy
1=.
简要证明: 由于x =f (y )在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f (y )的反函数y =f -1(x )存在, 且f -1(x )在I x 内也单调、连续.
任取x ∈I x , 给x 以增量?x (?x ≠0, x +?x ∈I x ), 由y =f -1(x )的单调性可知 ?y =f -1(x +?x )-f -1(x )≠0, 于是
y
x
x y ??=??1. 因为y =f -1(x )连续, 故 0lim 0
=?→y x
从而
)
(11lim lim
])([001y f y
x x y
x f y x '=??=??='→?→?-.
上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例6.设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开
区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且
(sin y )'=cos y >0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2
211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='=
'. 类似地有: 2
11
)(arccos x x --
='. 例7.设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在
区间)2
,2 (ππ-内单调、可导, 且
(tan y )'=sec 2 y ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 2
2211tan 11sec 1)(tan 1)(arctan x y y y x +=
+=='=
'. 类似地有: 2
11
)cot arc (x x +-='.
例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且
(a y )'=a y ln a ≠0.
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 a
x a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢?如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求?
三、复合函数的求导法则
定理3 如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为
)()(x g u f dx
dy
'?'=或dx du du dy dx dy ?=.
证明: 当u =g (x )在x 的某邻域内为常数时, y =f [?(x )]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成
立.
当u =g (x )在x 的某邻域内不等于常数时, ?u ≠0, 此时有
x
x g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ?-?+?
-?+-?+=?-?+=??)
()()()()]([)]([)]([)]([ x
x g x x g u u f u u f ?-?+??-?+=)
()()()(,
x
x g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ?-?+??-?+=??=→?→?→?)
()(lim )()(lim lim 000= f '(u )?g '(x ).
简要证明:
x u u y x y dx dy x x ?????=??=→?→?00lim lim )()(lim lim 00x g u f x
u u y
x u ''=?????=→?→?. 例9 3x e y =, 求
dx
dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
322
33x u e x x e dx
du du dy dx dy =?=?=. 例10 212sin x
x y +=, 求dx dy
.
解 函数212sin x x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的,
因此
2
222222212cos
)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +?+-=+-+?=?=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量, 例11.lnsin x , 求dx
dy
. 解:
)(sin sin 1)sin (ln '?='=x x x dx dy
x x x
cot cos sin 1=?=. 例12.3221x y -=, 求dx
dy
. 解:
)21()21(31])21[(2322312'-?-='-=-x x x dx dy 32
2)21(34x x --=.
复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =?(v ), v =ψ(x ),
则
dx
dv dv du du dy dx du du dy dx dy ??=?=. 例13.y =lncos(e x ), 求
dx
dy .
解:
])[cos()
cos(1])cos([ln '?='=x x x e e e dx dy
)tan()()]sin([)
cos(1x x x x x e e e e e -='?-?=
.
例14.x
e y 1sin =, 求
dx
dy . 解:
)1(1cos )1(sin )(1sin
1sin 1sin '??='?='=x
x e x e e dx dy x x x x
e x x 1cos 11sin
2??-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式 (x μ)'=μ x μ-1.
解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以
(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ?(μ ln x )'= e μ ln x ?μ x -1=μ x μ-1.
四、基本求导法则与导数公式
1.基本初等函数的导数: (1)(C )'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1, (3)(sin x )'=cos x , (4)(cos x )'=-sin x , (5)(tan x )'=sec 2x , (6)(cot x )'=-csc 2x , (7)(sec x )'=sec x ?tan x , (8)(csc x )'=-csc x ?cot x , (9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) a x x a ln 1)(log =',
(12) x x 1)(ln =',
(13) 211
)(arcsin x x -=
', (14) 2
11
)(arccos x x --
='. (15) 211
)(arctan x x +=',
(16) 2
11
)cot arc (x x +-='.
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则 (1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '?v +u ?v ', (4)2
)(v v u v u v u '
-'='.
3.反函数的求导法则
设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且
)
(1])([1y f x f '='-. 或dy
dx dx dy
1=.
4.复合函数的求导法则
设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为
dx
du
du dy dx dy ?=或y '(x )=f '(u )?g '(x ). 例16. 求双曲正弦sh x 的导数. 解: 因为)(2
1sh x x e e x --=, 所以
x e e e e x x x x x ch )(21)(21)sh (=+='-='--,
即 (sh x )'=ch x .
类似地, 有
(ch x )'=sh x .
例17. 求双曲正切th x 的导数. 解: 因为x x x ch sh th =, 所以
x
x x x 222ch sh ch )(th -='x 2ch 1
=.
例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数. 解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以 2
2211)11(11)arsh (x x x x x x +=++?++=
'.
由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得1
1
)arch (2-=
'x x . 由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (x
x -='.
类似地可得1
1)arch (2-=
'x x , 211)arth (x x -='.
例19.y =sin nx ?sin n x (n 为常数), 求y '.
解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ? (sin n x )'
= n cos nx ?sin n x +sin nx ? n ? sin n -1 x ?(sin x )'
= n cos nx ?sin n x +n sin n -1 x ? cos x =n sin n -1 x ? sin(n +1)x .
§2. 3 高阶导数
一般地, 函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或2
2dx y
d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' ,
)(22dx
dy
dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ? ? ?, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或
33dx y d , 44dx y d , ? ? ? , n
n dx y
d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶
导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.
y '称为一阶导数, y '', y ''', y (4), ? ? ?, y (n )都称为高阶导数. 例1.y =ax +b , 求y ''. 解: y '=a , y ''=0.
例2.s =sin ω t , 求s ''.
解: s '=ω cos ω t , s ''=-ω 2sin ω t .
例3.证明: 函数22x x y -=满足关系式y 3y ''+1=0. 证明: 因为2
2212222x x x x x x y --=--=
', 22222222)1(2x x x x x
x x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32
321)2(1y x x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.
例4.求函数y =e x 的n 阶导数. 解; y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x , 一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .
例5.求正弦函数与余弦函数的n 阶导数. 解: y =sin x ,
)2
sin(cos π+=='x x y ,
)2 2sin()2 2 sin()2 cos(ππππ?+=++=+=''x x x y ,
)2 3sin()2 2 2sin()2 2cos(ππππ?+=+?+=?+='''x x x y , )2 4sin()2 3cos()4(ππ?+=?+=x x y , 一般地, 可得
)2 sin()(π?+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π?+=n x x n .
用类似方法, 可得)2 cos()(cos )(π?+=n x x n .
例6.求对函数ln(1+x )的n 阶导数
解: y =ln(1+x ), y '=(1+x )-1, y ''=-(1+x )-2, y '''=(-1)(-2)(1+x )-3, y (4)=(-1)(-2)(-3)(1+x )-4, 一般地, 可得
y (n )=(-1)(-2)? ? ?(-n +1)(1+x )-n n
n x n )1()!
1()1(1+--=-, 即 n
n n x n x )1()!
1()1()]1[ln(1
)(+--=+-. 例6.求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式. 解: y '=μx μ-1,
y ''=μ(μ-1)x μ-2,
y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,
y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4, 一般地, 可得
y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n , 即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? (μ-n +1)x μ-n . 当μ=n 时, 得到
(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1=n ! . 而 (x n )( n +1)=0 .
如果函数u =u (x )及v =v (x )都在点x 处具有n 阶导数, 那么显然函数u (x )±v (x )也在点x 处具有n 阶导数, 且
(u ±v )(n )=u (n )+v (n ) . (uv )'=u 'v +uv '
(uv )''=u ''v +2u 'v '+uv '',
(uv )'''=u '''v +3u ''v '+3u 'v ''+uv ''' , 用数学归纳法可以证明
∑=-=n
k k k n k n n v u C uv 0)()()
()(, 这一公式称为莱布尼茨公式.
例8.y =x 2e 2x , 求y (20). 解: 设u =e 2x , v =x 2, 则
(u )(k )=2k e 2x (k =1, 2, ? ? ? , 20),
v '=2x , v ''=2, (v )(k ) =0 (k =3, 4, ? ? ? , 20), 代入莱布尼茨公式, 得
y (20)=(u v )(20)=u (20)?v +C 201u (19)?v '+C 202u (18)?v '' =220e 2x ? x 2+20 ? 219e 2x ? 2x !21920?+218e 2x ? 2
=220e 2x (x 2+20x +95).
§2. 4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
显函数: 形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例如, 方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 31x y -=.
如果在方程F (x , y )=0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y )=0在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化. 隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的. 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来. 例1.求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ? y '+y +xy '=0, 从而 y e
x y
y +-
='(x +e y ≠0). 例2.求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在
x =0处的导数y '|x =0.
解: 把方程两边分别对x 求导数得 5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,
由此得 2
521146
++='y x y .
因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 2
1|2521
1|0460=++='==x x y x y . 例3. 求椭圆191622=+y x 在)32
3 ,2(处的切线方程. 解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得 0928='?+y y x .
从而 y
x y 169-='.
当x =2时, 323=y , 代入上式得所求切线的斜率
43|2-='==x y k .
所求的切线方程为
)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .
解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得
09
2
8='?+y y x . 将x =2, 32
3
=y , 代入上式得
03
141='?+y , 于是 k =y '|x =24
3
-
=. 所求的切线方程为
)2(4
3323--=-
x y , 即03843=-+y x . 例4.求由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数y
的二阶导数.
解: 方程两边对x 求导, 得 0cos 211=?+-dx
dy
y dx dy , 于是
y
dx dy cos 22-=
. 上式两边再对x 求导, 得
3
222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dx dy
y dx y d --=-?
-=. 对数求导法: 这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数.
设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ), 两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y
,
y '= f (x )?[ln f (x )]'.
对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之 积和商的导数.
例5.求y =x sin x (x >0)的导数. 解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ? ln x , 上式两边对x 求导, 得
x x x x y y 1sin ln cos 1?+?=',
于是 )1sin ln (cos x x x x y y ?+?='
)sin ln (cos sin x
x x x x x +?=.
解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:
y =x sin x =e sin x ·
ln x , )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +?='?='?.
例6. 求函数)
4)(3()
2)(1(----=
x x x x y 的导数.
解: 先在两边取对数(假定x >4), 得
ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],
上式两边对x 求导, 得
)41312111(211-----+-='x x x x y y ,
于是 )4
1312111(2-----+-='x x x x y
y .
当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=
; 当2 4)(3() 2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果. 注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y 与x 的函数关系是由参数方程???==)() (t y t x ψ?确定的. 则称此函数关系所表达的函数为由参 数方程所确定的函数. 在实际问题中, 需要计算由参数方程所确定的函数的导数. 但从参数方程中消去参数t 有时会有困难. 因此, 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数. 设x =?(t )具有单调连续反函数t =?-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[?-1(x ) ], 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则 ) () (1t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ?ψ''= ?=?=, 即 ) () (t t dx dy ?ψ''=或dt dx dt dy dx dy =. 若x =?(t )和y =ψ(t )都可导, 则 ) () (t t dx dy ?ψ''= . 例7. 求椭圆? ??==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解: t a b t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-=''=. 所求切线的斜率为 a b dx dy t -==4 π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0. 例8.抛射体运动轨迹的参数方程为?????-==2212 1gt t v y t v x , 求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向. y =v 2t -g t 2 解: 先求速度的大小. 速度的水平分量与铅直分量分别为 x '(t )=v 1, y '(t )=v 2-gt , 所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为 22)]([)]([t y t x v '+'=22 21)(gt v v -+=. 再求速度的方向, 设α是切线的倾角, 则轨道的切线方向为 12)()(tan v gt v t x t y dx dy -= ''==α. 已知x =?(t ), y =ψ(t ), 如何求二阶导数y ''? 由x =?(t ), )() (t t dx dy ?ψ''= , dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ))()(()(22?ψ''== )(1 )()()()()(2t t t t t t ???ψ?ψ'? ''''-'''= ) () ()()()(3t t t t t ??ψ?ψ''''-'''= . 例9.计算由摆线的参数方程? ??-=-=)cos 1() sin (t a y t t a x 所确定 的函数y =f (x )的二阶导数. 解: )()(t x t y dx dy ''=)cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a -='-' -= 2cot cos 1sin t t t =-=(t ≠2n π, n 为整数). dx dt t dt d dx dy dx d dx y d ?==)2(cot )(22 22 )cos 1(1)cos 1(12 sin 21 t a t a t --=-? - = (t ≠2n π, n 为整数). 三、相关变化率 设x =x (t )及y =y (t )都是可导函数, 而变量x 与y 间存在某种关系, 从而变化率dt dx 与dt dy 间也 存在一定关系. 这两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个 变化率之间的关系, 以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升, 其速度为140m/min(分). 当气球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球上升t (秒)后, 其高度为h , 观察员视线的仰角为α, 则 500 tan h =α. 其中α及h 都是时间t 的函数. 上式两边对t 求导, 得 第三章一元函数的导 数和微分【字体:大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题 二、导数的定义 设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,当自变量x在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称这个极限为函数 y=f(x)在点处的导数,记为 即 其它形式 关于导数的说明: 在点处的导数是因变量在点处的变化率,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f(x)在开区间I内的每点处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导。 对于任一,都对应着f(x)的一个确定的导数值,这个函数叫做原来函数f(x) 的导函数,记作 注意: 2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题: 例1、115页8 设函数f(x)在点x=a可导,求: (1) 【答疑编号11030101:针对该题提问】 (2) 【答疑编号11030102:针对该题提问】 三、单侧导数 1.左导数: 2.右导数: 函数f(x)在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103:针对该题提问】 解 闭区间上可导的定义:如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且及都存在,就说f(x)在闭区间[a,b]上可导. 由定义求导数 步骤: 例3、求函数f(x)=C(C为常数)的导数。 【答疑编号11030104:针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105:针对该题提问】 解 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) ()(lim x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当) ()(lim x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→;当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时,)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 作业习题 1、求下列函数的导数。 (1)223)1(-=x x y ; (2)x x y sin = ; (3)bx e y ax sin =; (4))ln(22a x x y ++=;(5)11arctan -+=x x y ;(6)x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 (1)0)cos(sin =+-y x x y ;(2)已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 (1),αx y =求)(n y ; (2),2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 (1))0(,>=x x y x ; (2)2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ,在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f ',其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案: 1、(1)解:])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 (2)解:2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。 (3)解:bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 (一) 函数 1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性); 2、 反函数、复合函数、函数的运算; 3、 初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数; 4、 函数的连续性与间断点; 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类:左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类:左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. (二) 极限 1、 定义 1) 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2) 函数极限 εδδε<-<->?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时,当 左极限:)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限:)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1) 夹逼准则: 1))(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ) a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2) 单调有界准则:单调有界数列必有极限. 3、 无穷小(大)量 1) 定义:若0lim =α则称为无穷小量;若∞=αlim 则称为无穷大量. 2) 无穷小的阶:高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在,则(无穷小代换) 4、 求极限的方法 1) 单调有界准则; 2) 夹逼准则; 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限: a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5) 无穷小代换:(0→x ) a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x - 第四章 导数与微分 第一讲 导数 一,导数的定义: 1函数在某一点0x 处的导数:设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限 ()()0 lim 00→??-?+x x x f x x f (其中()() x x f x x f ?-?+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ?)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/ x f ,若记()()00,x f x f y x x x -=?-=?则 ()0/ x f =()()0 00lim x x x x x f x f →--=0lim →???x x y 解析:⑴导数的实质是两个无穷小的比。 即:函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值 越大,则函数在该点附近变化的速度越快。 ⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/ x f ,0/x x y =,0x x dx dy =。 ⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。 ⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即:①对于点0x 处的自变量增量x ?,求出函数的增量(差分)y ?=()()00x f x x f -?+②求函数增量y ?与自变量增 量x ?之比x y ??③求极限0 lim →???x x y 若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不 存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。 ⑸在求极限的过程中, 0x 是常数, x ?是变量, 求出的极限值一般依赖于0x ⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同,我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在,而导数则不同,因其具有实在的几何意义,故当在某点处左,右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。 ⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。 2 单侧导数:设函数()x f 在某个(]00,x x δ-(或[)δ+00,x x )有定义,并且极限 同济上册高数总结 微分公式与积分公式 三角函数的有理式积分: a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 【最新整理,下载后即可编辑】 作业习题 1、求下列函数的导数。 (1)223)1(-=x x y ; (2)x x y sin =; (3)bx e y ax sin =; (4))ln(22a x x y ++=;(5)11arctan -+=x x y ;(6)x x x y )1( +=。 2、求下列隐函数的导数。 (1)0)cos(sin =+-y x x y ;(2)已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二 阶导数22dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 (1),αx y =求)(n y ; (2),2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 (1))0(,>=x x y x ; (2)2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ,在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f ',其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案: 1、(1)解:])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。 (2)解:2 sin cos )sin (x x x x x x y -= '='。 (3)解:bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 (4)解:][1 ])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(21 1[1222 222'+++++=a x a x a x x 同济高等数学公式大全 Company number:【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 第二章 导数与微分 教学目的: 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系. 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分. 3、 了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数. 4、 会求分段函数的导数. 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数. 教学重点: 1、导数和微分的概念与微分的关系; 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则; 3、基本初等函数的导数公式; 4、高阶导数; 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数. 教学难点: 1、复合函数的求导法则; 2、分段函数的导数; 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数. §2. 1 导数概念 一、引例 1.直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取 比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2.切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT , 直线MT就称为曲线C有点M处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000, 同济高等数学公式大全文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim (1)l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f (x) = 0[)(x g ],称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 (2)l ≠ 0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3)l = 1,称f (x)与g(x)是等价无穷小,记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ,tan x ~ x ,x arcsin ~ x ,x arccos ~ x , 1? cos x ~ 2/2^x , x e ?1 ~ x ,)1ln(x + ~ x ,1)1(-+αx ~ x α 二.求极限的方法 1.两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.(夹逼定理)设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ,则A x f =)(lim 2.两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3.用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4.用泰勒公式 当x 0→时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5.洛必达法则 定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)0)(lim 0 =→x f x x ,0)(lim 0 =→x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3))()(lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 这个定理说明:当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时,)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→;当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时,) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大. 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(H L 'ospital )法则. ∞ ∞ 型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件: (1)∞=→)(lim 0 x f x x ,∞=→)(lim 0 x F x x ; (2))(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导,且0)(≠'x F ; (3)) () (lim 0x F x f x x ''→存在(或为无穷大),则 注:上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则,对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型 同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点: (1)洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式,其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则;) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→ 第二章导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分,作为研究分析函数的工具和方法,其主要包含两个重要的基本概念导数与微分,其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度,即变化率问题,而微分刻画了当自变量有微小变化时,函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 (一)知识 1.记住导数和微分的各种术语和记号; 2.知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系; 3.知道导数的几何意义,知道平面曲线的切线和法线的定义; 4.记住常数及基本初等函数的导数公式; 5.知道双曲函数与反双曲函数的导数公式; 6.知道高阶导数的定义; 7.知道隐函数的定义; 8.记住反函数的求导法则; 9.记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式; 10.知道对数求导法及其适用范围; 11.知道相关变化率的定义及其简单应用; 12.记住基本初等函数的微分公式; 13.知道微分在近似计算及误差估计中的应用; 14.记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 (二)领会 1.领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义; 2.领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系; 3.领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则; 4.领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系; 5.领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系; 6.领会微分形式的不变性; 7.领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系; 8.领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 (三)运用 1.会用导数描述一些物理含义,如速度、加速度等; 2.会用导数的定义求一些极限,证明一些有关导数的命题,验证导数是否存在; 3.会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程; 4.会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在; 5.会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数; 6.会求反函数的导数; 7.会求复合函数的导数; 8.会求隐函数的一阶、二阶导数; 9.会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数; 10.会求函数的高阶导数; 11.会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数; 12.会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13.会用微分定义和微分法则求微分; 14.会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数; 15.会用微分求函数的近似值。 (四)分析综合 1.综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数; 2.综合运用函数导数的定义,左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性; 同济高等数学公式大全 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 高等数学公式 导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 高等数学归纳(第一章~第三章) 2010126137 彭伟奕 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 一 、 集合 ●集合概念:集合(集)是指具有某种特定性质的事物的总体。 ●元素(元):组成某个集合的事物称为该集合的元素(元)。 (a 属于A,记作a ∈A ; a 不属于A ,记作a ?A 。) ●表示集合的方法: (1) 列举法:把集合的全体元素一一列举出来,例:A={}123n a a a a ,, (2) 描述法:集合M={} x x ︱具有性质P ,例:M={} 210x -=︱x ●集合间关系:A 包含于B (A ?B ),A 不包含于B (A ?B ) A 是B 的真子集( A B ?) ,A 等于B (A=B ),空集?是任何非空集合的真子集。 ●集合的运算:并,交,差 {}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =?∈且 A\B={}|x x A x B ∈?且 I\A 为A 的余集或补集,亦记c A ●集合运算法则: 交换律:A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律:(A ∪B )∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律:(A ∪B )∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律:c c (A B)A B c = ccc (AB)=AB 直积(笛卡尔乘积):A ?B={(x,y )|x ∈A 且x ∈B},例:R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合,R ×R 记作2 R。 ● 区间与邻域: (1)区间 开区间:(a,b ),a,b 为开区间(a,b )的端点。 闭区间:[a,b] 半开区间:[a,b ﹚, ﹙a,b] (2)邻域:以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域,记作U (a ) 点a 的δ邻域,记U(a, δ),其中δ为任一正数, U(a, δ)={x|a-δ<x <a+δ}={x| |x-a|<δ} 点a 为邻域的中心,δ为邻域半径。高数第三章一元函数的导数和微分
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