随机环境中分枝过程灭绝概率的性质
某类遗传环境下的两性分支过程：有关伴Y基因的灭绝概率问题
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｂ ｓ ｘ ａ 】 ｃ ｉｇ ｐ ｏ ｅ ｓｓ Ｐ ｏ ａ ｉ ｔ ｔ ｃｉｎ Ｍ ａ ｇ ｆｎ ｔ ｎ ｙ ｒｓ ｉｅ ｕ ｌｂ ｍｌｈｎ ｒｃ ｓｅ ｒ ｂ ｂｌ ｙ ｏ ｅ ｉ ｔ ａ ｎ ｃ ｏ ｉ ｆ ｘｎ ｏ ｕ ｉ
因此 ， Ｇ ｎ ｌ 等［１ １ Ｍ．ｏｚ ｅ ａ ｚ ２ ￣进并研究 了配对单元类型多于一种的情况 ， 但作为研究 的起步 ， 他们 仅对伴 Ｙ基因的情况进行了讨论 ， 配对单元 的类型只与雄性有关 ， ｊ 即 生育的后代所带 的等位
基因由雄性决定， 同样本文也只考虑这种情况并在此模型的基础上研究 了与其带不同配对函 数遗传环境下的两性分支过程的相关灭绝概率问题。
Ｔｈ ｔｎ ｔｏ ｏ ｌｍ ｏ — Ｌｉ ｋ ｄ Ｇｅ ｅ ｅ Ｅｘ ｉ ｃ ｉ ｎ Ｐｒ ｂ ｅ ｆ ｒ Ｙ ｎ ｅ ｎｓ
ＬｕＸ ａ ＬｕＪ ｇｏｇ Ｍ ａ ａｊ ｉ ｕｎ ｉ ｉ ｎｎ ｉ Ｘｕｉ ｎ ｏ ￣
（ ｃｏｌ ｆ ａ ｅ ａｃｌ ｉ ｃ ｎ ｏ ｐｔｇＴｃｎｌ ｙ Ｃ Ｕ Ｃ ａｇ ａ４０７ ） Ｓｈｏ ｏ Ｍ ｔ ｍ ｔａ Ｓ ｅ ｅａｄＣ ｍ ｕ ｎ ｅｈｏ ｇ， Ｓ ， ｈｎｓ ，１０５ ｈ ｉ ｃ ｎ ｉ ｏ ｈ
＊ 李俊平 教授推荐 收稿 日期 ：Ｏ ８ ３月 王 ２Ｏ 年 ２日
பைடு நூலகம்
维普资讯
某类遗传环境下 的两性分 支过程 ： 有关伴 Ｙ 因的灭绝概率 问题 基
３ ｌ
引进的两性分支模型考虑 了配对因素 ， 但这 种模 型只考虑 了配对单元 的类 型是单一的情况。
随机过程及其概率密度
随机过程及其概率密度随机过程是一种随机现象的数学模型，用于描述随机变量随时间的演化规律。
概率密度则是随机过程的重要属性之一，用于描述随机变量取值的概率分布情况。
下面我们将详细介绍随机过程及其概率密度。
一、随机过程的概念及表示随机过程（random process）是一种随机变量集的集合，表示为{X(t), t∈T}，其中T为时间的取值范围。
随机过程中的每一个随机变量X(t)表示在不同时间点t时随机现象的取值。
随机过程可以用一条曲线表示，曲线上每一个点的横坐标表示时间，纵坐标表示相应时间点的随机变量的取值。
二、随机过程的分类根据时间变量的值域，随机过程又可分为离散时间过程和连续时间过程两类。
1.离散时间过程离散时间过程是指时间变量的取值范围为离散的，如自然数集合、整数集合或有限集合等。
在离散时间过程中，随机变量在不同时间点的取值是相互独立的。
2.连续时间过程连续时间过程是指时间变量的取值范围为连续的，如实数集合。
相比于离散时间过程，连续时间过程中的随机变量在不同时间点的取值往往是相关的。
三、随机过程的特性随机过程可以通过分布函数或概率密度函数来描述。
1.一维分布函数一维分布函数F(x,t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于x的概率，即F(x,t)=P(X(t)≤x)。
2.一维概率密度函数一维概率密度函数f(x, t)表示随机变量X(t)在时间点t时取值在[x, x+dx]范围内的概率，即f(x, t) ≈ P(x < X(t) ≤ x+dx) / dx。
一维概率密度函数可以通过一维分布函数的偏导数得到，即f(x, t) = dF(x, t) / dx。
3.二维分布函数和二维概率密度函数随机过程的二维分布函数F(x, y, s, t)表示随机变量X(s)在时间点s时取值小于等于x，随机变量X(t)在时间点t时取值小于等于y的概率，即F(x, y, s, t) = P(X(s) ≤ x, X(t) ≤ y)。
随机环境中分枝随机游动的极限定理
随机环境中分枝随机游动的极限定理
张美娟
【期刊名称】《《数学年刊A辑》》
【年(卷),期】2013(034)006
【摘要】假定环境平稳遍历,考虑随机环境中的分枝随机游动.在此模型中,粒子以上临界的GaltonWatson过程分枝产生后代,而以一维紧邻随机环境中的随机游动进行运动.令Z_n(B)表示时间n落于B中的粒子数,其中B为R中任一子集.得到了计数测度Z_n(·)经过适当的规范化之后,在"annealed"情形下的中心极限定理.【总页数】10页(P727-736)
【作者】张美娟
【作者单位】中央财经大学统计与数学学院北京100081
【正文语种】中文
【中图分类】O211.6
【相关文献】
1.随机环境分枝过程中的极限定理与大偏差定理新解 [J], 高莹莹
2.带形上随机环境中随机游动的内蕴分枝结构 [J], 洪文明; 张美娟
3.随机环境中有界跳幅的分枝随机游动 [J], 张小玥;张美娟
4.随机环境中分枝过程的几个极限定理 [J], 吕平;胡迪鹤
5.随机环境中多物种分枝随机游动 [J], 吕平;胡迪鹤
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高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。
作为高等数学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。
在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础知识。
概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机事件的发生规律和概率计算方法。
在概率论中，有一些基本概念和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率概率是指一个事件发生的可能性大小。
通常用P来表示，它的取值范围是0到1。
当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。
例如，掷一枚硬币正面朝上的概率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
通常用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。
例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。
在不同的情况下，概率分布也是不同的。
例如，在离散型随机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量随机变量是一种随机事件的数学描述。
它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。
根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型和连续型。
离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、扔骰子等等；而连续型随机变量可以取到任意实数值，如身高、体重等等。
二、随机过程的基本概念2.1 随机过程的定义随机过程是一种描述随机事件随时间变化的方法。
它可以看作是有限维随机变量序列的无限集合，其中每个随机变量代表系统在某个时刻的状态。
随机过程的定义包括两个方面：空间（状态集合）和时间（时刻集合）。
随机过程的分支过程和泊松过程
随机过程的分支过程和泊松过程随机过程，指的是随时间而变化的一系列随机事件的集合。
随机过程的数学模型可以用随机变量的集合来描述。
其中，分支过程（branching process）和泊松过程（Poisson process）是随机过程中比较经典并且应用广泛的两种模型。
一、分支过程分支过程最早出现在爱尔兰数学家戈尔登的研究中。
他在研究人口增长的过程中发现，如果假设每个人在他的有生之年内可以产生若干个子女，那么就可以把人口增长的过程看作是一个分支过程。
分支过程是一类离散时间的随机过程，可以描述由一个个独立的、概率相同的“父代”产生的“子代”数目的随机变化过程。
具体来说，在分支过程中，每个父代独立地产生一个随机整数，表示它将会产生的子代数目。
每个子代的产生也是独立的，并且都遵循与父代相同的分布。
这个过程一直持续下去，一直到所有的后代都无法再产生新的子代为止。
对于一个分支过程，我们可以定义一个生成函数G(x)，表示从一个父代生成的所有子代的数目的概率分布。
对于一个父代可以生成k个后代的概率为pk，则G(x)可以表示为：G(x) = p0 + p1x + p2x2 + ... + pnxn其中，pn表示最后一代后代数目为n的概率。
我们可以根据这个生成函数来计算分支过程的很多性质，如在每个时刻，所有后代的数目的期望、方差和协方差等等。
二、泊松过程泊松过程是一个连续时间的随机过程，它具有无记忆性（memorylessness）和独立增量（independent increments）的性质，这使得它成为了极其重要的一种数学模型。
在泊松过程中，事件发生的时间无规律，但是平均每单位时间内事件发生的次数是固定的。
具体来说，对于一个泊松过程，我们定义一个速率参数λ，表示在单位时间内事件发生的平均次数。
我们假设事件是独立发生的，并且事件发生的时间间隔服从指数分布。
这样，我们就可以用泊松分布来描述在任意时间段内事件发生的次数。
随机环境中随机指标分枝过程矩的渐近性
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｒａ ｄ ｍ ｙ ｉ ｄ ｘ ｄ ｙ ｒｓ ｎｏ ｌ ｎ ｅ ｅ
Ｒ ｎ ｏ ｅ ｖｒ ｎ ｎ Ｍｏ ｎ ｓ ａ ｄ ｍ ｎ ｉ ｍｅ ｔ ｏ ｍｅ ｔ
１ 问题 的提 出
１９ ９ ６年 Ｅ ｐ 提 出指标 服从 泊松 过程 的随机指 标分 枝 过程 ， ｐｓ 文献 ［ ］ 明 了随机 指 标下 的 １证 临界 分枝 过程矩 的渐近 性 。本文 提 出随 机环境 中 随机指 标分 枝 过 程 ， 考 虑它 的条 件 矩 和矩 并
一
设 Ｊ＝｛ｉ ≥１ 为正的独立同分布随机变量序列， Ｊ， ｉ ｝ 且具有分布函数 Ｆ （ ）：Ｐ ， ≤ 。 （ ） 假定 ＿ ， 与 ， ｚ相互独立。
对应的 过 更新 程为：ｏ ｏＳ ＝∑ ： ≥１ 任意的ｔ ， （ ＝ ｕ｛≥０ Ｓ： ， Ｊ凡 ， ｏ 对 ≥ｏ令Ⅳ ｆ ｓ ： ） ｐ
的一些 性 质ห้องสมุดไป่ตู้。
设 （ ５ Ｐ 为概率空 间， ＝ ｛ ，，…｝ ，， ） Ｅ ０ １２ 为状态集 ， Ｅ 为状态空间， ， 是一个 （ ，） （ ） 可测空 间， ＝ ｛ ； 凡≥０ 为定义在 （ 弓 Ｐ 上取值于 （ ， ｝ 力，， ） ）的随机环境序列 。记 （ ） ‘
第３ ０卷 第 １期 ２１ ０ ０年 ３月
数 学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴＣＡＬ ＨＥＯＲＹ ＡＮＤ Ｐ ＣＡＴ１ Ｉ ｒ ＡＰ Ｕ ０ＮＳ
Ｖ０ ． ０ Ｎｏ １ 】３ ． Ｍ８ ．２ Ｏ ｒ Ｏ１
随机 环 境 中随机 指标 分 枝 过 程 矩 的渐 近性
刘贵兰 胡杨 利 尹 悦
＝Ｐ 。Ｉ） （ ）＝Ｅ ・Ｉ）ｒｒ ‘ （ ， ‘ （ ， ｅ ）＝ｖｔ Ｉ） ａ（ ａ（ ｏ
概率论中的随机过程分析
概率论中的随机过程分析概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律和性质。
而随机过程是概率论中的一个核心概念，它是描述随机现象随时间变化的数学模型。
在概率论中，随机过程的分析是一个重要的研究领域，本文将对概率论中的随机过程进行分析和讨论。
一、随机过程的定义和基本概念随机过程可以看做是一组随机变量的集合，其中每个随机变量表示系统在不同时间点的状态。
随机过程通常使用符号X(t)来表示，其中t表示时间。
在随机过程中，t可以是一个连续的变量，也可以是一个离散的变量。
随机过程的基本概念包括状态空间、状态转移概率和随机过程的分布函数。
状态空间是随机变量的取值范围，表示系统可能的状态的集合。
状态转移概率描述在给定某个状态下，系统在下一个时刻转移到其他状态的概率。
而随机过程的分布函数描述了随机变量在不同时间点的概率分布。
二、常见的随机过程模型在概率论中，有很多经典的随机过程模型被广泛应用于各种实际问题的分析和建模。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，在当前状态下，未来的演变只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程在许多领域中有着广泛的应用，如排队论、信号处理等。
2. 随机游走随机游走是一种简单的随机过程模型，它描述了在一系列随机决策下的随机移动。
在随机游走中，每一步的移动是随机的，并且移动的方向和大小取决于一个特定的概率分布。
3. 泊松过程泊松过程是一种独立增量的随机过程，在给定时间段内事件发生的次数是一个服从泊松分布的随机变量。
泊松过程在描述独立事件发生的情况下有着广泛的应用，比如电话呼叫、客流、交通流量等。
三、随机过程的性质和性质分析在概率论中，随机过程的性质和性质分析是研究随机过程的重要内容之一。
1. 平稳性平稳性是随机过程的一个重要性质，它表示随机过程的统计特性在时间上是不变的。
具有平稳性的随机过程在很多情况下更容易进行分析和建模。
2. 马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程的另一个重要性质，它表示在给定当前状态下，未来的行为与过去的行为无关。
关于随机环境中的马尔可夫过程的简介
关于随机环境中的马尔可夫过程的简介
胡迪鹤
【期刊名称】《《数学物理学报》》
【年(卷),期】2010(030)005
【摘要】该文系统地介绍随机环境中的马尔可夫过程.共4章,第一章介绍依时的随机环境中的马尔可夫链(MCTRE),包括MCTRE的存在性及等价描述;状态分类;遍历理论及不变测度;p-链的中心极限定理和不变原理.第二章介绍依时的随机环境中的马尔可夫过程(MPTRE),包括MPTRE的基本概念;随机环境中的q-过程存在唯一性;时齐的q-过程;MPTRE的构造及等价性定理.第三章介绍依时的随机环境中的分枝链(MBCRE),包括有限维的和无穷维的MBCRE的模型和基本概念;它们的灭绝概念;两极分化;增殖率等.第四章介绍依时依空的随机环境中的马尔可夫链(MCSTRE),包括MCSTRE的基本概念、构造;依时依空的随机环境中的随机徘徊(RWSTRE)的中心极限定理、不变原理.
【总页数】32页(P1210-1241)
【作者】胡迪鹤
【作者单位】武汉大学数学与统计学院武汉 430072
【正文语种】中文
【中图分类】O211.62
【相关文献】
1.多重随机环境中的马尔可夫链 [J], 费时龙
2.随机环境中受控分枝过程的极限性质 [J], 谭珂; 陈晔; 王玉苹
3.随机环境中的泊松过程 [J], 单超超;吕平
4.随机环境中带迁入加权分枝过程的收敛性 [J], 徐乐群;彭点江;吴金华
5.随机环境中受传染性疾病影响的分枝过程的极限性质 [J], 任敏
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性 质．
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３年 １月 １ ５日
量序列．｛ Ｐ （ ） ： ∈ ｝ 是关于 ｉ Ｅ Ｅ的概率分布列． 记Ｐ （ ‘Ｉ ）＝Ｐ ｆ （ ・ ） ， 对应地 ， 有记号
（ ‘ ） ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设 ＝｛ ， 凡∈Ｔ ｝ 是概率空间 （ ， ， ， Ｐ ） 上 的环境 ， ｛ Ｚ ， ｌ ｔ ＇ ∈Ｔ ｝ 和｛ Ｘ ， ｌ ＇ ｔ Ｅ ， ｉ ∈Ｎ｝ 均
是 （ ， ， ， Ｐ）上 的 值 随机 变 量序列 ， 且满 足
Ｚ“
ｉ ） Ｐ （ ｚ ０ ＞ ０ ）＝ １ ， Ｚ ＝∑Ｘ ，
‘ ｌ
ｉ ｉ ） （
＝＿ 『 ）＝ （ ）， ａ ． ｓ ． ， 其中． 『∈Ｅ ， 例外 集 与 几 ， ｉ ， ｊ 无关．
型 的灭绝 概率 问题 ， 并且 建 立 了一些 与经 典分 枝 过 程 的 极 限定 理 平 行 的相 应 定 理 ． 近 几年 来 ， 随机 环境 中分 枝模 型 引起 了越来 越 多 的数 学 及相 关 学 科 工 作 者 的浓 厚 兴趣 ， 得 到 了一 系 列 重
要的研究成果 ， 详见文献［ ４ — ８ ］ 及其后 的参考文献．
１ 引 言
作为经典分枝过程的推广 ， Ｗｉ ｌ ｋ ｉ ｎ ｓ ｏ ｎ 和Ｓ ｍ ｉ ｔ ｈ ［ １ ０ ］ 在１ ９ ６ ９ 年最早提 出了后代分布随环境 变化的随机环境中分枝过程这一模 型， 此时的环境 序列为独立 同分布环境． Ａ ｔ ｈ ｒ ｅ ｙ ａ和 Ｋ ａ ｒ ｌ ｉ ｎ
［ １— ２ ］ 将上 述模 型 推广 到 了平稳 遍 历 的随 机环 境 中 ， 接 连 发 表 了两 篇 文 章 ， 讨 论 了这 种新 模
李应求 王 月娇 尹 悦
（ 长 沙理 工 大学数 学与计 算科 学 学院 ， 长沙， ４ １ ０ １ １ ４ ）
摘 要 本 文 给 出 了随 机 环 境 中分枝 过 程 概 率 母 函数 以及 灭 绝 概 率 的 性 质
概 率 母 函数 灭 绝概 率
关 键 词 随 机 环 境
Ｐｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ Ｅｘ ｔ ｉ ｎｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ Ｂｒ ａ ｎ ｃ ｈｉ ｎ ｇ
Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ４ １ ０ １ １ ４ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ
Ｉ ｎ ｔ ｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ，ｗ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｐ ｏｂ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎｄ ａ ｔ ｈ ｅ ｅ ｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ ａ －
ｉ ｉ ｉ ）Ｖｍ Ｅ Ｎ， ｋ Ｅ Ｔ ， Ｊ 。 ｏ １ ， …， Ｊ ｏ ｎ ｉ ， …， ． 『 …√ Ｅ Ｅ，
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＝ ， １≤ ｉ ≤ ｍ， ０≤ ， 善 ≤ ）＝ ｎ ｎ尸 ｆ （
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Ｐｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ Ｒａ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｅｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ
Ｌ ｉ Ｙ ｉ ｎ ｇ ｑ ｉ ｕ Ｗａ ｎ ｇ Ｙ ｕ ｅ ｊ ｉ ａ ｏ Ｙ ｉ ｎ Ｙ ｕ ｅ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍｐ ｕ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ，
第３ ３卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 ３月
数 学 理论 与 应 用
ＭＡＴＨＥＭＡＴ １ ＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰ Ｐ ＬＩ ＣＡＴ Ｉ ＯＮＳ
Ｖ０ １ ． ３ ３ Ｎｏ ． １
Ｍａ ｒ ．２ ０ １ ３
随 机 环 境 中分 枝 过 程 灭 绝 概 率 的 性 质
２
数学理论 与应 用
在研究 概率母 函数 的性 质 之前 ， 我们首 先给 出一些 基本 的记 号和 基本 知识 ． 设 Ｔ＝ ｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为时 间集 ， Ｎ＝｛ １ ， ２ ， …｝ 为正 整数 集 ， Ｅ ＝｛ ０ ， １ ， ２ ， …｝ 为状 态． 设 （ ， ， ， Ｐ）为概率 空 间 ，（ ， ）是一 个可 测空 间 ， ＝｛ ； ｎ≥ ０ ｝为定义 在 （ ， ， ， Ｐ）上取值 于 （ ， ）的随机 变
ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ａ ｂ ｒ ａ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｎ ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｅ ｎ ｖ ｉ ｒ ｏ ｎ ｍｅ ｎ ｔ ｓ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ Ｒａ ｎ ｄ ｏ ｍ Ｅ ｎ ｖ ｉ ｏｎ ｒ ｍｅ ｎ ｔ Ｐ ｏｂ ｒ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ Ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｎ ｇ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅｘ ｔ ｉ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｐ ｒ ｏ ｂ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ