全等三角形性质与判定(二)-教师版

一、全等三角形的性质

全等三角形对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，周长相等，面积相等．

二、全等的性质和判定

（1）全等三角形的判定方法：

()

t

SSS SAS ASA AAS HL R

、、、、△

（2）全等三角形的图形变换形式：

平移、对称、旋转

（3）由全等可得到的相关定理：

①角平分线定理

②等腰、等边三角形性质和判定

③垂直平分线定理

共顶点等腰三角形旋转模型——“手拉手”模型

证明全等的基本思想“SAS”

等边三角形共顶点

全等三角形性质与判定知识回顾

知识讲解

共顶点等腰直角三角形

共顶点等腰三角形

共顶点等腰三角形

【例1】 如图，等边三角形ABC ?与等边DEC ?共顶点于C 点．求证：AE BD =．

【解析】通过“SAS ”证明BCD ACE ≌△△，得到AE BD =.

【例2】 已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形． 求证：（1）AN BM =；（2）DE AB ∥；（3）CF 平分AFB ∠．

同步练习

【解析】通过“SAS ”证明MCB ACN ≌△△，得到AN BM =.

通过“SAS ”证明MCE ACD ≌△△，得到CE CD =，从而推出DCE △为等边三角形， ?=∠=∠60NCB DEC DE AB ∥.

【变式练习】如图，B ，C ，E 三点共线，且ABC ?与DCE ?是等边三角形，连结BD ，AE 分别交AC ，

DC 于M ，N 点．求证：CM CN =．

【解析】通过“SAS ”证明BCD ACE ≌△△，得到CBD CAE ∠=∠. 再通过“SAS ”证明CAN CBM ≌△△，得到CM CN =.

【例3】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形，D 是AN 中点，E 是BM 中

点，求证：CDE ?是等边三角形．

【解析】通过“SAS ”证明MCB ACN ≌△△，得到CMB CAN MB AN ∠=∠=，.

再通过“SAS ”证明CAD CME ≌△△，得到MCE ACD CE CD ∠=∠=，，从而推出?=∠60DCE .

【变式练习】(2008年全国初中数学联赛武汉CASIO 杯选拔赛)如图，ABD ?和CED ?均为等边三角形，

AC BC =，AC BC ⊥．若2BE =，则CD = ．

【解析】通过“SAS ”证明BDE ADC ≌△△，得到1322-====CD AB BE AC ，，．

【例4】 平面上三个正三角形ACF ，ABD ，BCE 两两共只有一个顶点，求证：EF 与CD 平分．

【解析】通过“SAS ”证明，得到ACB AFD △≌△，DF CB CE ==； 再通过“SAS ”证明，得到BCA BED △≌△，DE AC CF ==； 得到四边形ABCD 为平行四边形，对角线互相平分．

【例5】 已知：如图，ABC ?、CDE ?、EHK ?都是等边三角形，且A 、D 、K 共线，AD DK =．求

证：HBD ?也是等边三角形．

【解析】连接CH 交AD 于M

通过“SAS ”证明FCH FDK △≌△，得到CH DK AD ==，60AMC ∠=?,推出DAB HCB ∠=∠； 再通过“SAS ”证明，得到ABD CBH △≌△，HB HD BHC BDA =∠=∠，； 进一步推出HBD △也是等边三角形．

【例6】 (2008年怀化市初中毕业学业考试试卷)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、

CG ．求证：AE CG =．

【解析】通过“SAS ”证明CDG ADE ≌△△，得到DG AE =.

【变式练习】以△ABC 的两边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 、ACFG ，求证：CE =BG ，且CE ⊥BG ．

【解析】通过“SAS ”证明ABG AEC ≌△△，得到ABG AEC BG CE ∠=∠=，， 再通过“8”字图导角得到BG CE ⊥.

【例7】 (2004河北)如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，

且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．

【解析】通过“ASA ”证明ADE ABF △≌△，得到DE BF =．

【变式练习】如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=?，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四

边形ABCD 的面积是16，求DP 的长．

【解析】过点D 作DE BC ⊥交BC 延长线于

通过“AAS ”证明DPA DEC △≌△，得到DE DP =，从而推出四边形ABCD 是正方形 =164ABCD DPBE S S DP ==，

【例8】 如图所示．正方形ABCD 中，在边CD 上任取一点Q ，连AQ ，过D 作DP ⊥AQ ，交AQ 于R ，

交BC 于P ，正方形对角线交点为O ，连OP ，OQ ．求证：OP ⊥OQ ．

Q

R

P

O

D C

B

A

【解析】通过“ASA ”证明ADQ DCP △≌△，得到DQ CP =，

再通过“SAS ”证明，得到ODQ OCP △≌△，POC QOD ∠=∠从而推出OP OQ ⊥．

【变式练习】如图，正方形OGHK 绕正方形ABCD 中点O 旋转，其交点为E 、F ，求证：AE CF AB +=．

【解析】通过“ASA ”证明AOE BOF △≌△，得到AE BF =，从而推出AE CF AB +=．

【例9】 如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =?∠，AB a =，

O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．

【解析】连接OB

通过“SAS ”证明BOE COF △≌△，得到BE CF =. BE BF BF CF BC a +=+==

【变式练习】等腰直角三角形ABC ，90ABC =?∠，AB a =，O 为AC 中点，45EOF =?∠，试猜想，

BE 、BF 、EF 三者的关系．

【解析】过点O 作OD OE ⊥交BC 于D

通过“SAS ”证明BOE COD △≌△，得到OE OD BE CD ==，. 再通过“SAS ”证明0E F DOF △≌△，得到EF DF =. 可以推出BE BF EF CD DF BF BC AB a ++=++===

【例10】 已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =?∠，AH EF ⊥，H 为垂

足，求证：AH AB =．

【解析】延长EB 至M ，使得BM DF =，

通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AM AF =. 再通过“SAS ”证明AME AFE △≌△，得到AB AH =.

【例11】 (1997年安徽省竞赛题)如图，在△ABC 外面作正方形ABEF 与ACGH ，AD 为△ABC 的

高，其反向延长线交FH 于M ，求证：(1)CF BH =;(2)MH MF =

M E

F

H

G

D C

B

A

【解析】(1)通过“SAS ”证明AFC ABH △≌△，得到CF BH =. (2)过F H 、分别作FN MD D HK MD K ⊥⊥于，于,

再通过“AAS ”证明BDA ANF HKA ADC △≌△，△≌△，得到FN HK =. 再通过“8”字全等证明FNM HKM △≌△，从而得到MF MH =.

【注】这道题有很多重要的结论，条件结论互换依然成立，2,ABC AFH BC AM S S ==△△

【例12】 (1997年安徽省初中数学竞赛题)在等腰Rt ABC ?的斜边AB 上取两点M 、N ，

使45MCN ∠=?，记AM m =，MN x =，BN n =，则以x 、m 、n 为边长的三角形的形状是( )．

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．随x 、m 、n 的变化而变化

【解析】见下题 【答案】B

【例13】 (通州区2009一模第25题)请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=?．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ?绕点A 顺时针旋转90?，得到ABE '?，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

【解析】（1）过点A 作AD 的垂线AF ，使得AD AF =，连接EF CF 、

通过“SAS ”证明ABD ACF △≌△，得到45B ACF BD CF ∠=∠==，. 再通过“SAS ”证明ADE AFE △≌△，得到DE EF =.

在Rt ECF △中满足勾股定理，，得到222.CE CF EF +=，故222.CE BD DE += （2）同理可证222.CE BD DE +=

【例14】 在等边ABC ?的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC ?外一点，且60MDN ∠=?，

120BDC ∠=?，BD CD =，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，NC ，MN

之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．

⑴如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM =DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式__________；此时

L

Q

=_________ ⑵如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DN DM ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

⑶如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN =x ，则Q =_________(用x ，L 表示．

图③图②

图①

A

B

C

D M

N

A

B

C

D M

N

N M

D C

B

A

【解析】（1）MN BM CN =+，

Q 2

=L 3

（2）延长AC 至E ，使得CE BM =，连接DE

通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到DE DM =.

再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN NE BM CN ==+ 2

223

Q MN AN AM ME AN AC BM NC L x =++=+++==+ （3）在AC 上截取CE BM =，连接DE

通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到DE DM =.

再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN NE CN BM ==- 2

223

Q MN AN AM NE AN AC BM NC L x =++=+++==

+

【变式练习】（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的

点，且∠EAF =

1

2

∠BAD ．求证：EF ＝BE ＋FD ; （2）如图在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，

且∠EAF =

1

2

∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明． （3）如图在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长

线上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

F

E

D C

B

A

F E

D

C

B

A

【解析】（1）延长BC 至M ，使得DK BM =，连接AM 通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AF AM =.

再通过“SAS ”证明AME AFE △≌△，得到EF EM BE DF ==+ （2）同理可证 （3）同理可证

【变式练习】如图所示，在四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C =90°，∠B =135°，K 、N 分别是AB 、

BC 上的点，若△BKN 的周长为AB 的2倍，求∠KDN 的度数．

【解析】延长BC 至E ，使得CE AK =，连接DE 、BD 通过“HL ”证明ABD CBD △≌，得到AD CD =.

通过“SAS ”证明ADK CDE △≌△，得到DK DE ADK CDE =∠=∠，.

再通过“SSS ”证明KDN EDN △≌△，得到1

22.52

NDK NDE KDN ADC ∠=∠∠=∠=，

【例15】 (北京市初二数学竞赛试题) 如图所示，在五边形ABCDE 中，90B E ∠=∠=?，

AB CD AE ===1BC DE +=，求此五边形的面积．

【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 、AD 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△， 1

2212

ABCDE ADE S S DF AE

==??=△

同步课程˙全等三角形性质与判定 【变式练习】(江苏省数学竞赛试题)如图，已知五边形ABCDE 中，∠ABC =∠AED =90°，

AB =CD =AE =BC +DE =2．求该五边形的面积．

【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 、AD 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△， 1

2242

ABCDE ADE S S DF AE ==??

=△

【变式练习】(希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，

BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．

【解析】延长DE 至F ，使得BC EF =，连接AC 、AF 通过“SAS ”证明ABC AEF △≌△，得到AC AF =. 再通过“SSS ”证明ACD AFD △≌△，得到ADC ADF ∠=∠.

【习题1】如图，已知ABC ?和ADE ?都是等边三角形，B 、C 、D 在一条直线上，

试说明CE 与AC CD +相等的理由．

【解析】通过“SAS ”证明ABD ACE △≌△，得到BD CE AC CD ==+.

【习题2】已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线

于点F ．求证：DE DF =．

F

E

D

C

B

A

【解析】通过“ASA ”证明ADE CDF △≌△，得到DE DF =.

【习题3】已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ?、CBN ?是等边三角形．CG 、CH 分别是ACN ?、

MCB ? 的高．求证：CG CH =．

课后练习

【解析】通过“SAS ”证明ACN MCB △≌△，得到CAN CMB ∠=∠. 再通过“AAS ”证明CAG CMH △≌△，得到CG CH =．

【习题4】如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．

Q

P D

C

B

A

【解析】延长AB 至M ，使得BM DQ =，连接CM 依题可知：PQ DP BP =+

通过“ASA ”证明CDQ CBM △≌△，得到,CQ CM DCQ BCM =∠=∠. 再通过“ASA ”证明CQP CMP △≌△，得到45QCP MCP ∠=∠=

【习题5】在等腰直角ABC ?中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，

MQ MP ⊥ 交AC 于点Q ，试说明MPQ ?的形状和面积将如何变化．

【解析】通过“ASA ”证明MBP MCP △≌△，得到BMP CMQ BM CM ∠=∠=，，从而推出 MPQ ?是等腰直角三角形，点P 从B 出发向C 运动，MP 先变小在变大， 故MPQ ?的面积先变小再变大．

同步课程˙全等三角形性质与判定

【习题6】如图，正方形ABCD 中，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．

【解析】延长EB 至M ，使得BM DF =，

通过“SAS ”证明ADF ABM △≌△，得到AFD M DAF BAM ∠=∠∠=∠，. 通过导角推出M EAM ∠=∠，从而推出AE ME =，故BE DF AE +=．

【习题7】等边ABD ?和等边CBD ?的边长均为1，E 是BE AD ⊥上异于A D 、的任意一点，F 是CD 上

一点，满足1AE CF +=，当E F 、移动时，试判断BEF ?的形状．

【解析】依题可知，AE DF =，通过“SAS ”证明ABE DBF △≌△，得到ABE DBF BE BF ∠=∠=，. 从而推出BEF △为等边三角形．

【习题8】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC

?是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长．

同步课程˙全等三角形性质与判定

【解析】延长AC 至E ，使得BM CE =，通过“SAS ”证明DBM DCE △≌△，得到BDM CDE ∠=∠. DM DE =，再通过“SAS ”证明MDN EDN △≌△，得到MN EN MN BM CN ==+，.