新课标八年级数学竞赛讲座：第十六讲 完美的正方形
第十六讲完美的正方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，换句话说：正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的一切性质．
矩形、菱形，正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处，一些判定和性质定理又是可逆的，所以在学习中注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系．
连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质，具有代数风格，体现数形结合思想．熟悉以下基本图形，基本结论：
例题求解
【例1】如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．(北京市竞赛题)
思路点拨图中还有等腰三角形，利用等腰三角形性质计算．
注可以证明，在所有用长相等的四边形中，正方形的面积最大．
我们熟悉的“七巧板”，那是把一块正方形板切分成三角形、正方形、平行四边形的7块，用它可以拼出许多巧妙的图形，“七巧板”是我国古代人民智慧的结晶．
【例2】如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OC⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF的长为( )
A．7 B．5 C．4 D．3
(江苏省泰州市中考题)
思路点拨AE、CF、EF不在同一个三角形中，运用全等三角形寻找相等的线段，使分散的条件集中到同一个三角形中．
【例3】如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AC+FC，DG⊥EF于G，求证：DC=DA．
(重庆市竞赛题)
思路点拨构造AE+FC的线段是解本例的关键．
【例4】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM 且交∠CBZ的平分线于N(如图甲)．
(1)求证：MD=MN
(2)若将上述条件中的“M是AB中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变(如图乙)，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由．(上海市闽行区中考题)
思路点拨对于图甲，取AD中点F，通过构造全等三角形证明MD=MN；这种证法能否迁移到图乙情景中去?从而作出正确的判断．
注探索是学习的生命线，深入探究、学会探索是时代提出的新要求．数学解题中的探索活动可从以下几个方面进行：
(1)在题设条件不变情况下，发现挖掘更多的结论；
(2)通过强化或弱化来改变条件，考查结论是否改变或寻求新的结论；
(3)构造逆命题．
对于例3，请读者思考，在不改变题设条件的前提下，
(1)∠EDF等于多少度?
(2)怎样证明明逆命题?
例4改变点的位置，赋以运动，从特殊到一般，(1)的结果为(2)的猜想提供了借鉴的依据，又为猜想设置了障碍，前面的证明思路是后面的证明模式．
【例5】操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A，P两点间的距离为x
(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察得到的结论；
(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围；
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；
如果不可能，试说明理由(图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2、图3备用)．
思路点拨 本例是探究式的操作型试题，第(1)问需抓住滑动中∠BPQ 是直角这一不变量，画出滑动中一般情形的图形，通过观察提出猜想，再给予论证，第(3)问需要在操作中观察出使△PCQ 是等腰三角形的两种情形．
注 数学学习是一个生动活泼的过程，动手实践，自主探索是学习数学的重要形式，它说明了存在的事实是怎样被发现和被发现的现象又是怎样获得证实的，解这类问题，需边操作，边观察、边思考，综合运用相关知识方法探究结论．
学力训练
1．如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB=3，则PP ′= ． 河南省中考题)
2．如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，CE=CF ，若∠BEC=60°，则∠EFD 的度数为 ． (苏州市中考题)
3．如图，∠POQ=90°，边长为2㎝的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上，C 在OQ 上，且∠OBC=30°，则A 、D 到OP 的距离分别为 ． (南京市中考题)
4．如图，正方形ABCD 中，CE ⊥MN ，若∠MCE ＝35°，则∠ANM 的度数是 ．
5．如图，E 是边长为l 的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值为( ) (河北省中考题)
A ．
22 B ．21 C ．23 D ．3
2
6．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=∠CDA=90°，BE ⊥AD 于E ，8 ABCD S 四边形，则BC 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．3
D ．22 (武汉市选拔赛试题)
7．如图，在正方形ABCD 中，C 为CD 上的一点，延长月C 至F ，使CF=CE ，连结DF ，BE 与DF 相交于G ，则下面结论错误的是( )
A ．BE=DF
B ．BG ⊥DF
C ．∠F+∠CEB=90°
D ．∠FDC+∠ABG ＝90°
(山东省临沂市中考题)
8．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是( )
A．15 B．12 C ．11 D．10
9．(1)如图甲，若点P为正方形ABCD边AB上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H，求证：DH⊥BF；
(2)如图乙，若点P为正方形ABCD内任一点，其余条件不变，(1)的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(泰州市中考题)
10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，PF⊥CD，PE⊥BC，C、F分别为垂足，探索AP与EF的关系．
11．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，
∠DAF=15°，求△AEF的面积．
( “希望杯”邀请赛试题)
12．如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF= ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，
正方形的中心为O，OC=2
4，则BC边的长为．
( “希望杯”邀请赛试题)
14．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7㎝2和11㎝2，则△CDE的面积等于cm2．(武汉市选拔赛试题)
15．如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若GF 的长为13cm ，则线段CE 的长为 ． (北京市竞赛题)
16．将一个正方形分割成n 个小正方形(n>1)，则n 不可能取( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．9
(江苏省竞赛题)
17．如图，正方形ABCD 中，P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，若∠PAQ=45°，∠BAP=20°，则∠AQP=( )
A ．65°
B ． 60°
C ．35°
D ．70°
18．如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE=a ，AF=b ，若S EFGH =
32，则a b 等于( ) A ．22 B ．32 C ．23 D ．3
3 ( “希望杯”邀请赛试题) 19．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE=AC ，CF ∥AC ，则∠BCF 等于( )
A ．150°
B ．135°
C ． 105°
D ．120°
20．图甲中，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为17，10，13，图乙中，DPQR 为矩形，对照图乙，计算图甲中六边形ABCIGH 的面积．
(江苏省竞赛题)
21．如图，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一点，且AP=BC+CP ，Q 为CD 中点，求证：∠BAP=2∠QAD ．
22．如图，有4个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的4个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动．
(1)判定四边形PQEF 的形状；
(2)PE 是否总是经过某一定点，井说明理由；
(3)四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少?
23．如图a，D为线段AE上任一点，分别以AD、DE为边作正方形ABCD和正方形DEFG，连结BF、AG、CE、BG、BE、BG、BE分别交AD，DC于P、Q两点．
(1)①找出图中三对相等的线段(正方形边长相等除外)；
②找出图中三对相等的钝角；
③找出图中一对面积相等的钝角三角形，这两个三角形全等吗?
(2)如图b，当正方形ABCD和正方形DEFG都变为菱形，且∠GDE=∠ADC时，(1)中的结论哪些成立，哪些不成立?请对不成立的情况说明理由．
(3)如图“当正方形ABCD和正方形DEFG都变为矩形，且DA＞DC，DE>DG，△ABD∽△EFD时，(1)中的结论哪些不成立，哪些成立？．如果成立，请证明．
(郴州市中考题)
24．如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍，试确定∠HAF的大小，并证明你的结论．(北京市竞赛题)
新课标人教版小学五年级数学竞赛试题
新课标人教版小学五年级数学竞赛试题 学校 班级 姓名 一、填空题（每空格2分） 1、一个四位数，给它加上小数点比原来数小2003.4，这个四位数是（ ）。 2、一个分数，分子加分母等于168，分子、分母都减去6，分数变成 7 5，原来的分数是（ ）。 3、一个三位小数，四舍五入到百分位后是3.90，那么这个三位 小数最大是（ ），最小是（ ）。 5、规定：符号“△”为选择两数中较大的数，“○”为选择两数中较小的数。例如： 3△5=5，3○5=3。那么 [（7○3）△5]×[5○（3△7）]= 5、计算（6分） （1）567×789789-789×567567＝( ) （2）0.036×250＋3.6×7.5＝（ ） （3）100＋99－98＋97－96＋95＋……＋3－2＋1＝（ ） 6、仔细观察，找出规律并填空。 （1）0.1，0.2，0.3，0.5，0.8，（ ），2.1，（ ） （2）4×9=36 44×99=4356 444×999=443556 4444×9999=44435556 44……44×99……99=（ ） 2005个 2005个 7、新来的教学楼管理员，拿15把不同的钥匙去开15个教室门，但不知哪一把钥匙开哪一个门，他最多试开（ ）次，就可将钥匙与教室门锁配对。
8、用1元、5元、10元、50元、100元人民币各一张，2元、20元的各两张，在不找钱的情况下，最多可以支付（）种不同的款额。 9、一个同学在计算2.37加一个一位小数时，由于粗心将数的末尾对齐，结果得2.93，那么正确的结果比错误结果多（）。 10、有七个数，平均数为49，前4个数的平均数为28，后4个数的平均数为68.25，那么第4个数为（）。 11、正方形的一条对角线长是13cm，这个正方形的面积是（）cm2 12、育才小学买10只羽毛球和25只乒乓球共付49.5元，人民路小学买同样的20只羽毛球和20只乒乓球共付54元，1只羽毛球比1只乒乓球便宜（）元。 13、将1、2、3、4、5、6分别填在右图内， 使折叠成的正方形中对面数字和相等。 14、右图中，每个字母代表一个数， 任何三个相邻方格中的数之和都是21， 那么A+B+C+D=（）。 15、小红用平底锅烙饼，每次只能放2张饼。烙一张饼需要2分钟（正、反面各需1分钟）。为了节约时间，小红要烙7张饼最少需要（）分钟。 16、环形跑道一周长400米，李明和王伟从同一处同时起跑，李明每分跑300米，王伟每分跑250米，（）分钟后两人第二次跑在同一处。 17、有三个人，他们是A、B、C，一个是医生，一个是护士，还有一个是病人。C比病人老；A和护士不同岁；护士比B年轻。那么（）是护士，（）是病人，（）是医生。 18、甲堆棋子是乙堆的3倍，如果从甲堆拿20粒给乙堆，则两堆同样多，那么甲堆原来有（）粒。
分数运算的技巧——小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座
小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧 分数的四则混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数四则混合运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等。 【例1】计算2002× ［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。 ［解］方法—：2002×＝2002×（1－） ＝2002×1－2002× ＝2002－1 方法二：2002×＝（2001＋1）× ＝2001×＋1× ＝2000 点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和或两数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计算目的。 【例2】计算3×25＋37.9×6
［分析］注意观察3和6，它们的和为10，但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，才能运用乘法分配律来进行简算，因此不难想到把37.9分拆成25.4和12.5两部分。当12.5与6.4相乘时，又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。 ［解］3×25＋37.9＋6 ＝3＋25＋（25.4＋12.5）×6.4 ＝3.6×25.4＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋85 ＝334 点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。 【例3】× ［分析］可以发现181818，818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约数18与81，同样，218218和182182分别有约数218与182，所以先把各分子、分母写成乘积的形式，把相同因数约分后再计算。 ［解］×＝× ＝ ＝ 点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来化简运算。同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。 【例4】计算＋＋＋＋……＋
新课标八年级数学竞赛讲座：第六讲 实数的概念及性质
第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数p q 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数 p q 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解 【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组． 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( ) A ．小于0的有理数 B ．大于0的有理数 C ．小于0的无理数 D ．大于0的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且0320 91412)121341()233 1(=---++ b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程 组． 【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题) (2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程． 注： 设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．
数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)
第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。 华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献． 纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别． 字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用． 例题讲解 【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础． 【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％ 思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．
九年级数学竞赛讲座锐角三角函数附答案
【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 13 5，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，B C=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=13 12，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC= AC AD =1312，引入参数可设AD=12k ，A C ＝13k ． 【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件； (2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约
浙江省九年级数学竞赛辅导系列 讲座九 圆练习
数学竞赛辅导系列讲座九——圆 1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（ ） A 、a B 、 2 a C 、 3 2 a D 、12 a 2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（ ） A 、63 B 、2 3 C 、1 3 D 、 1010 3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P （22 ，22 ），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ） A 、π－1 B 、π－2 C 、4 3 π－1 D 、4 3 π－ 3 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），则点P 的坐标是（ ） A 、（5，3） B 、（3，5） C 、（5，4） D 、（4，5） 5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是（ ） A 、2π B 、 4 2 C 、4 3 D 、5 6、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心 7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2 2 ，AC=3 2 ，BC=6，则⊙O 的半径是（ ） A 、3 B 、4 C 、4 3 D 、2 3 D A C P D E Y X A O P B y x N M O P Q
新课标八年级数学竞赛讲座：第三十四讲 分式方程(组)
第三十四讲 分式方程（组） 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用． 【知识拓展】 分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元． 解分式方程一定要验根． 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等． 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一． 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1．拆项重组解分式方程 【例1】解方程6 4534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 解析 直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如7 2175-+=--x x x ，这样可降低计算难度．经检验211=x 为原方程的解． 注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x ．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路． 2．用换元法解分式方程 【例2】解方程08 1318218111222=--+-++-+x x x x x x ． 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法． 解 令x 2+2x —8=y ，原方程可化为0151191=-+++x y y x y 解这个关于y 的分式方程得y=9x 或y=－5x ． 故当y=9x 时，x 2+2x —8=9x ，解得x 1=8，x 2=—1． 当y=－5x 时，x 2+2x —8=－5x ，解得x 3=—8，x 4=1． 经检验，上述四解均为原方程的解． 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化． 3．形如a a x x 11+=+ 结构的分式方程的解法 形如a a x x 11+=+的分式方程的解是：a x =1，a x 12=． 【例3】解方程 3 10511522=+++++x x x x ． 解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解． 11=x ，22=x 均为原方程的解． 4．运用整体代换解分式方程组
九年级数学竞赛讲座讲直线与圆附答案
注：点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形”，勾股定理的逆定理也具有这一特点． 【例题求解】 【例1】如图，AB是半圆O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若EA=1，ED=2，则BC的长为． 思路点拨从C点看，可用切线长定理，从E点看，可用切割线定理，而连OD，则OD⊥EC，又有相似三 角形，先求出⊙O的半径． 注：连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计算中有广泛的应用． 【例2】如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是( ) A．65° B．115° C．60°和115° D．130°和50° (山西省中考题) 思路点拨略 【例3】如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是
⊙O 的切线． 问：(1)若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 为半径的圆的交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如果AB=AC=5cm ，sinA=5 3，那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O 与AC 相切? (2001年黑龙江省中考题) 【例4】 如图，已知Rt △ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，P 是AB 边上的动点(与点A 、B 不重合)，Q 是BC 边上的动点(与点B 、C 不重合)． (1)当PQ ∥AC ，且Q 为BC 的中点时，求线段PC 的长； (2)当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由． (广州市中考题) 思路点拨 对于(2)，易发现只有点P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型——以CQ 为直径的圆与线段AB 的交点就是符合要求的点P ，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定CQ 的取值范围． 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径． 一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次设问的问题，需整体考虑；
《小学数学竞赛辅导》教学大纲
《小学数学竞赛辅导》教学大纲 课程编号：12307057 总学时： 14 课程学分：1 开课对象：小学教育专业本科学生 课程类别：专业任选课 课程英文译名：Tutorship of Mathematics Competition in Primary School 一、课程任务和目的 任务：使学生了解小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略，了解小学数学竞赛题型，掌握小学数学竞赛题的解题规律，培养学生研究小学数学的兴趣，提高学生的解题能力和数学思维能力。 目的：小学数学竞赛辅导是为将来从事小学数学教学打下坚实基础。 二、课程教学内容与要求 (一)绪论（2学时） 教学要求：明确开设小学数学竞赛辅导课程的意义，教学的方式和要求，了解小学数学竞赛的内容，发展趋势，以及小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学重点：小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。 教学难点：数学竞赛的题型 教学内容： 1.课程的意义 2.小学数学竞赛的教学内容，发展趋势 3.小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略 4.小学数学竞赛的题型介绍 (二) 假设法问题（２学时） 教学要求：掌握假设法解题的方法、步骤，了解应用假设法解决的典型题型及基本解法。 教学重点：假设法解题的方法、步骤。 教学难点：假设法解题。 教学内容： 1.假设法解题的方法、步骤 2.鸡免同笼问题的解决方法及推广 3.分数应用题应用假设法解题举例 (三) 盈亏、还原问题（2学时）
教学要求：掌握盈亏、还原问题的类型，解法，介绍应用方程思想解决此类问题的方法及典型题的介绍。 教学重点：掌握盈亏、还原问题的类型，解法。 教学难点：确定类型 教学内容： 1.盈亏、还原问题的类型 2.盈亏、还原问题的解题思想、方法 3.典型题的介绍，应用方程思想解决的方法 (四)相遇和追及问题（2学时） 教学要求：掌握相遇和追及问题的类型，解法，以及变异问题。 教学难点：较难相遇与追及问题的解法。 教学重点：变异问题—追及问题在钟面上数学问题中的应用。 1.相遇和追及问题的类型，求解的方法 2.典型题的介绍 3.钟面上的数学问题 (五) 整除问题（2学时） 教学要求：深刻理解整除的概念、性质、数的整除特征，以及整除问题的具体应用实例。 教学重点：数的整除特征及其应用。 教学难点：数的整除特征。 教学内容： 1.整除的概念、性质 2.数的整除特征 3.整除问题的应用实例 4.典型题的介绍 (六) 工程问题（2学时） 教学要求：掌握工程问题的类型、计算公式，解法。 教学重点：工程问题的分数应用题。 教学难点：工程问题的分数应用题。 教学内容： 1.工程问题的类型 2.工程问题的计算公式、解法 3.工程问题的分数应用题 4.典型题的介绍 (七) 抽屉原理（2学时）
八年级数学下册竞赛试题 人教新课标版
八年级数学竞赛练习题 一、选择题： 1.如果a ＞b ，则2a -b 一定是（ ） A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 2.n 是某一正整数，由四位学生分别代入代数式n 3-n 算出的结果如下，其中正确的结果是 （ ） A.337414 B.337415 C.337404 D.337403 3.三进位制数201可表示为十进位制数21023031319?+?+?=，二进位制数1011可表示为十进位制数32101202121211?+?+?+?=，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a ，b 的大小关系是（ ） A.a ＞b B.a=b C.a ＜b D.不能比较 4.若2x+5y+4z=6，3x+y-7z=-4，则x+y-z 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.4 5.过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） A.1条 B.2 条 C.3条 D.4条 6.已知731 -的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2 +（1+7）ab=（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 7.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，单片软件至少买3片，盒装磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 8.如图，是一个边长为2的正方体，现有一只蚂蚁要从一条棱的中点A 处沿正方体的表面到C 处，则它爬行的最短线路长是（ ） A.5 B.4 C.13 D. 17 二、填空题: 9.如果整数a(a ≠2)使得关于x 的一元一次方程ax+5=a 2+2a+2x 的解是整数，则满足条件 的所有整数a 的和是__________. 10. 对于所有的正整数k ，设直线kx+(k+1)y-1=0与两坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则 S 1+S 2+S 3+…+S 2006= ．
高中数学竞赛专题讲座---竞赛中的数论问题
竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲 有 理 数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？ 例2、 将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 第一讲有理数 一、有理数的概念及分类。 二、有理数的计算： 1、 善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆 法等）。 三、例题示范 1、数轴与大小 例1、 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3， 那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少 个？ 例2、 将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。 提示1：四个数都加上1不改变大小顺序； 提示2：先考虑其相反数的大小顺序； 提示3：考虑其倒数的大小顺序。 例3、 观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个 数c a b ab 1,1,1-的大小关系。 分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。 例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号 在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。 例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非 负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧 例6、 计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。 例7、 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。 例8、 计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则 例10、 计算 （1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。 常用裂项关系式： （1）n m mn n m 1 1+=+； （2）111)1(1+-=+n n n n ； （3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。 例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数） 例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。 例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。 提示：错项相减：计算S 2 1 。 第二讲绝对值 一、知识要点 第二十二讲直角三角形的再发现 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有： 1．同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2． 2．角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD． 3．线段的等积式：由面积得AC×BC=AB×CD； 由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB．以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识． 注直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中． 例题求解 【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C 以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为．(江苏省常州市中考题) 思路点拨为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题) 思路点拨从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式． 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°． (1)求证：BD×BC＝BG×BE； (2)求证：AG⊥BE； (3)若E为AC的中点，求EF：FD的值．（盐城市中考题） 第二讲 创造的基石——观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的． 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性． 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． “要想成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家，数学家的创造性工作的结果是论证推理，是一个证明，但证明是由合情推理、由猜想来发现的．”______G ．波利亚 链接：G ．波利亚，美籍匈牙利人，现代著名数学家，他的《怎样解题》等著作，被誉为第二次世界大战后的数学经典著作之一． 观察、实验、猜想是科学技术创造过程中一个重要方法，通过观察和实验提出问题，再提出猜想和假设，最后通过推理去证明假设和猜想． 举世瞩目的“数学皇冠上的明珠”——哥德巴赫（德国数学家）猜想，就是从下面这些等式：6=3+3,8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11．归纳得出：“任何不小于6的偶数均可以表示成两个奇质数的和．”我国数学家陈景润于1973年证明了“1+2”，离解决哥德巴赫问题，即“1+1”仅一步之遥． 例题讲解 【例1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问：前2001个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l ，…叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变；（2）每个三角形数可用若干个数表示． 【例2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 像这样，10条直线相交，最多交点的个数是( )． A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． ．．．．．．四条直线相交，最多有六个交点 三条直线相交，最多有三个交点两条直线相交，最多只有一个交点 第十七讲解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1．为线段、角的计算提供新的途径． 解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限． 2．解实际问题． 测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形． 【例题求解】 【例1】如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4m，BC＝(2 4-)m，则电线杆AB 6 2 的长为． 思路点拨延长AD交BC于E，作DF⊥BC于F，为解直角三角形创造条件． 【例2】如图，在四边形ABCD中，AB=2 4-，BC-1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，则∠D等于( ) A．60°B．67．5°C．75°D．无法确定 思路点拨通过对内分割或向外补形，构造直角三角形． 注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除． 在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解． 【例3】如图，在△ABC中，∠=90°，∠BAC=30°，BC=l，D为BC边上一点，tan∠ ADC 是方程2)1(5)1 (322=+-+x x x x 的一个较大的根?求CD 的长． 思路点拨 解方程求出 tan ∠ADC 的值，解Rt △ABC 求出AC 值，为解Rt △ADC 创造条件． 【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB=3米，BC=0．5米 ，车厢底部距离地面1．2米，卸货时，车厢倾斜的角度θ=60°．问此时车厢的最高点A 距离地面多少米?(精确到1米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路 【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求： (1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高? (2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处A 点的影子落在乙楼的C 处，则图中CD 的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A 的影子落在地面上某一点C ，求BC 即可． 注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等． 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力． 第三十五讲 应用题 在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧． 当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点． 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心． 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型．其求解程序如下： 在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等． 例题求解 一、用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言，由于它能够有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法． 【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示： 是怎样计算的？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？ （3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 思路点拨 （1）风景区是这样计算的： 调整前的平均价格：()元1652520151010=++++，设整后的平均价格：()元165 30251555=++++ ∵调整前后的平均价格不变，平均日人数不变． ∴平均日总收入持平． （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160（千元） 现平均日总收入：5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175（千元） ∴平均日总收入增加了%4.9160 160175≈- （3）游客的说法较能反映整体实际． 二、用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程<组)的知识，它可以帮助人们从数量关系和相等关系的角度去认识和理解现实世界． 【例2】 (重庆中考题)某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2min 内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4mln 内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20％．安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5min 内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门整否符合安全规定?请说明理由． 思路点拨 列方程(组)的关键是找到题中等量关系：两种测试中通过的学生数量．设未知数时一般问什么设什么．“符合安全规定”之义为最大通过量不小于学生总数． (1)设平均每分钟一道正门可以通过x 名学生，一道侧门可以通过y 名学生，由题意得： ???=+=+800)(4560)2(2y x y x ,解得：? ??==80120y x (2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440(名)． 拥挤时5min4道门能通过． 5×2(120+80)(1－20％)=1600(名), 因1600>1440，故建造的4道门符合安全规定． 三、用不等式模型解应用题 现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题有比较清楚的认识． 【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3m ／s 的时间共约160天，其中日平均风速不小于6m ／s 的时间占60天．为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A 、B 两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表： 根据上面的数据回答： (1)若这个发电场购x 台A 型风力发电机，则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦·时； (2)已知A 型风力发电机每台O.3万元，B 型风力发电机每台O.2万元．该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案． 根据上面的数据回答：-初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)
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