勾股定理画图
勾股定理作图
1.如图1，数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为（）
A. √2
B. -√2
C. 2
D. -2
2.如图2，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（）
图1 图2
A．2.5 B C D 1
3.如图3，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B为网格线的交点，则AB的长为（）A．3 B．5 C．7 D．12
图3 图4
4．如图4，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）A．1.6B．1.4C．1.5D．2
5.在数轴上作出表示√20的点。
八年级数学下册利用勾股定理作图或计算练习题及解析
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图或计算 学习目标：1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题； 2.灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 重点：会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题. 难点：灵活运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 一、知识回顾 1.我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,- 2.5的点吗？ 2.求下列三角形的各边长. 一、要点探究 探究点1：勾股定理与数轴 想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗？2 呢？(提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.) 2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数？ 3.以下是在数轴上表示出 13的点的作图过程，请你把它补充完整. (1)在数轴上找到点A,使OA=______; (2)作直线l ____OA,在l 上取一点B ，使AB=_____; (3)以原点O 为圆心，以______为半径作弧，弧与数轴交 于C 点，则点C 即为表示______的点. 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 （见幻灯片3-4） 2.探究点1新知讲授 （见幻灯片5-12）
要点归纳：利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在 交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 类似地，利用勾股定理可以作出长2,3,5L为线段,形成如图 所示的数学海螺. 典例精析 例1如图，数轴上点A所表示的数为a，求a的值. 易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因而所表示的数不是斜边长. 针对训练 1.如图，点A表示的实数是（） A. 3 B. 5 C. 3 D.5 -- 2.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为 半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（） A.2 B.5 1 C.10 1 D.5 -- 3.你能在数轴上画出表示17的点吗？ 探究点2：勾股定理与网格综合求线段长 典例精析 例2 在如图所示的6×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，写出格点△ABC各顶点的坐 标，并求出此三角形的周长． 方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中， 利用勾股定理求其长度. 例3 如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求AB边上的 高. 教学备注 配套PPT讲授 3.探究点2新 知讲授 （见幻灯片 13-17）第1题图第2题图
第84讲、勾股定理与弦图---加深版
第84讲、勾股定理与弦图 -----加深版 一、基础知识； 我国是最早了解勾股定理的国家之一，在直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。 二、图形的构造定理； 1、勾股定理: 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方和。 a c 2 2 2c b a= + b 2、勾理的证明：大家注意到，每个长方形可用一条对角线分为两个同样大小的直角三角形，如下图。设这个直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则4个直角三角形可以拼成一个斜边为c的正方形。中间空一格边长为a-b的小正方形。显然这个图形是大正方形ABCD的一部分。由图中可见。 证明：ab b a c 2 4 ) (? + - = ab b a2 ) (2+ - = ab b ab a2 22 2+ + - = =a2-2ab+b2+2ab =a2+b2 完全平方和公式： 完全平方差公式：
1. 四个完全一样的长方形木板，拼成如图的正方形，大正方形周长32厘米，小正方 形周长24厘米。求：每块长方形木板的面积和周长。 2. 如图，在△ABD 中，∠A 是直角，AB ＝3，AD ＝4，BC ＝12，DC ＝13，求四边形 ABCD 的面积 3、以直角三角形ABC 各边为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知AC 长3厘米，长4米．则新月形（阴影部分）的面积和是多少平方厘米。
4、同样大小的长方形小纸片摆成了下图所示的图形，已知小纸片的宽是12厘米，求阴影部分的总面积。 1、所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为 cm2． 2、如下图所示，小圆直径与大圆直径在同一条直线上，弦AB=10厘米，弦AB 与直径平行且与小圆相切，求阴影面积。
勾股定理与弦图练习题
勾股定理与弦图练习题 选择题（12×3′=36′） 1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A、25 B、14 C、7 D、7或25 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（） A、a=1.5，b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3．若线段a，b，c组成Rt△，则它们的比为（） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（） A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5．如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n>1），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1 7．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（） A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48 C、40 D、32 9．三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 1．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、2cm2 2．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△A BC=________。 2．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 3．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m。
初二数学勾股定理压轴题冲刺满分训练
一．填空题（共9小题） 1．△ABC是等腰三角形，腰上的高为8cm，面积为40cm2，则该三角形的周长是cm． 2．如图，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为． 3．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是．
6．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的． 7．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则△CDE的面积等于平方厘米． 8．等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为秒． 9．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为． 二．解答题（共3小题） 10．已知△ABC中，AB=AC． （1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE； （2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长； （3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
勾股定理及弦图题库
勾股定理及弦图题库Last revision on 21 December 2020
勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形MNPQ的面积是多少cm2 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，APB的面积是90cm2，CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形 ABCD的面积是多少cm2 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为
【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S1； 【例】（2009安顺）下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：① x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长； （ 2）求正方形MNPQ的面积．
八年级数学经典压轴题勾股定理综合
勾股定理（3）勾股定理及逆定理的综合 民棊市在“I日城改中卄划在市内一块如囲17-3-7所示的三角率空她上胛植 某秒耳良以灵比药填^其中ZApl5（T,Jl￡f = l?（｝来川C = 30米■已知这 棘常皮需平方米倍价a亓+则胸买这种茸皮至少需要元. 乳如图17-3-8所示，艮方形片附?门中用"=乩班：=仁将桩方形沿At?折養? 点D蔣应”址刚巫獰部 分^AfC的面积是 _____________ 10. 17-3-9所示，把长方殛AHCD迓片祈是使点B蒋在点D如点＜?摧在C'处，折痕EF与BD交 于点O?已知AE = 1趴AD=］盒则折锻EF的怅为___________ ? 1134EJ 17^3-10 所示*在ZXABC 屮上丸CH = g（TMC二EGP 是ZV1迟C 内的一点，且PB=UPC=2：尸人"3,桁△円垃骁点C旋转后，与△AFC重合，连播P严，则PP f = _______________ ，Z-BPC的度数为________ * 12. 等慣三角形的一边氏蹙12,另一边快挺10*则其面积均_____________ ， 13. 如图1Z-311所吾*公路昭N和公賂PQ在点P处交汇*且ZQPN=30\点A赴有一所中学.AP = 1仙m.假没拖拉机行餐时J剤出】00m以内空受到噪音的申响?那么检拉机牲公路上沿PN方向 行观时?学校抠否会受剰囁芦喲叙诸说明理由，如廉覺烹鞘’已知拖拉机的速度为 18km/h f W么学 校受影响的时间为多少秒? 14. 如图L7-3-1Z所示’在-篷直妁公貉MN的同一旁冇两个新开堤区片*為巳知4fi = 10千米，直銭AE与公路 MJV的夹甬Z_4CWW = 3OJ新开发区B到公路肋片的跑离EC=3千米. （D滾新开发区A到公路阿挖的距离* ■熄）现磐在丽闻上某点尸处向新开发区AE修两条公賂尸使点尸到新开发IKA,B的亜离之彌故矩■诸似用尺规悴團在亜呻找出点户的位豎:不用证期「不写作搖，谏苗作囲痕迹4并求出此 ■ 时PA+PB的值. “、 估' 3] 17 3 12图17-i 8ffl 17 3 !>
“二次函数+勾股定理”型压轴题汇编[1]
“二次函数+勾股定理型”的压轴题分析 一、基础题（15分钟内自主学会得30分，提示、互助中学会得25分，听懂20分，书写规范另外奖励5至10分） 如图1，已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，与y 轴交于点)3,0(C . （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧抛物线上是否存在点P ，使得PDC ?是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标.
二、提高题（15分钟内自主学会得30分，提示、互助中学会得25分，听懂20分，书写规范另外奖励5至10分） 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴相交于)0,1(-A 、)0,2(B 两点，与y 轴交于点)2,0(-C .如图2所示. （1）求这个抛物线的表达式及其顶点M （2）若点N 为线段BM 上一点（如图3），过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B 、点M 重合），设OQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使P A C ?为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在请说明理由. 三、拓展题（15分钟内自主学会得30分，提示、互助中学会得25分，听懂20分，书写规范另外奖励5至10分） 已知抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C （如图4），且当2=x 和0=x 时，y 的值相等.直线73-=x y 与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M . （1）求这个抛物线的表达式；
几种简单证明勾股定理的方法
几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中 据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！ 一、拼图法证明（举例12种） 拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图2拼法。 问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？ 分析图2：S 正方形=（a+b ）2= c 2 + 4×2 1ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像左 图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 a 2+ b 2+4×21ab = c 2+4×21ab 整理得 a 2+b 2 = c 2 拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图3拼法。 问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a 2+b 2=c 2吗？ 分析图3：S 正方形= c 2 =（a-b ）2+ 4×21ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 图1 图2 图3 图4 b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a
勾股定理及弦图题库
勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，得到一些面积问题的解题思路。 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图 所示，它由四个相同的直角三角形拼成的（直角边的长度分别为2和3），问大正方形的面积是多少？ 【例】在边长为10的正方形ABCD中，内接着6个大小 相同的正方形，P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，则这6个小正方形的总面积 是。 【例】.如图，如果长方形ABCD的面积是56cm2，那么四边形 MNPQ的面积是多少cm2 【例】点P是正方形ABCD外一点，PB=12cm，APB的面积 是90cm2，CPB的面积是48cm2。请你回答：正方形 ABCD的面积是多少cm2？ 【例】如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD 的面积为 【例】如下图，正方形ABCD的面积是S，A、B、C、D
分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点，试用S表示四边形EFGH的面积S ； 1 【例】（2009安顺）下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是—— 【例】（ 2010年广西河池）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（ x>y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x－y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（）.A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】（ 2011年浙江温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” ．图7由“弦图” 变化得到的，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=10，则S2的值是______ 【例】小明遇到这样一个问题：如图13，在边长为a （ a＞2）的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形． 请回答： （ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），求这个新的正方形的边长； （ 2）求正方形MNPQ的面积． （ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图15，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作 BC，AC，AB 的垂线，得到等边△RPQ，若S△RPQ=3，则AD的长为______ 【例】如图，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两条边是分别是a，b，则a+b和的平方的值（） A．13 B．19 C．25 D．169 【例】“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）
勾股定理简单应用
勾股定理应用的教学设计 教学目标 1 ?会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究，会运用勾股定理解释生活中的实际问题 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究，研究勾股定理在实际中的应用 一、 复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 ⑴勾股定理： ____________________________________________________ (2)求出下列直角三角形中未知的边. 通过四个问题，让学生明白勾股定理在实际生活中的应用，以及如何去使用勾股定理 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口， 则圆形盖半径至 少为多少米? ？ 问题2.如图所示，一旗杆在离地面 5 m 处断裂，旗杆顶部落在离底部 12 m 处，问旗杆 折断前有多咼？ 合作探究 B A 2 C C C
问题4.如图，一个5米长的梯子AB 斜着靠在竖直的墙A0上，这时A0的距离为3米. ① 球梯子的底端B 距墙角0多少米？ ② 如果梯的顶端A 沿墙下滑1米至C,请同学们猜一猜，底端 B 也将滑动1米吗？ 算一算，底端滑动的距离。（结果保留 1位小数）. 三. 深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺 ， 引 葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 四、课堂小结 本节课你有什么收获？你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么? 五、运用新知 1校园里有两棵树，相距15米，一棵树高10米，另一棵树高18米，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ___________ 米。 2如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 问题3.如下图，要将楼梯铺上地毯，则需要 _____ 米长的地毯.
人教版八年级数学下册课时作业：17.1 第3课时 勾股定理作图与计算
第3课时勾股定理作图与计算 知识点 1 勾股定理与实数 1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是. 知识点 2 勾股定理与网格 3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为() A.16 B.12+4√2 C.7+7√2 D.5+11√2 5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点
处,则AC边上的高为cm. 6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13. 知识点 3 勾股定理与图形折叠 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为. 8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长. 9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)
初二数学 勾股定理常考压轴题专题练习汇总(含解析)
初二数学勾股定理常考压轴题专题练习汇总(含解析) 一．选择题（共8小题） 1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ） A．6B．8C．D． 2．下列说法中正确的是（ ） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（ ） A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm 4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（ ） A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺 5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+ 6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（ ） A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米 7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ） A．2B．2.6C．3D．4 8．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ） A．13B．19C．25D．169 二．填空题（共5小题）
新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-
新人教版八年级下第十七章 勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析) 一．选择题（共8小题） 1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（） A．6 B．8 C．D． 2．下列说法中正确的是（） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（） A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm 4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（） A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺 5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+ 6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（） A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米 7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（） A．2 B．2.6 C．3 D．4 8．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（） A．13 B．19 C．25 D．169 二．填空题（共5小题） 9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-
初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解 析) 一．选择题（共8小题） 1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（） A．6 B．8 C．D． 2．下列说法中正确的是（） A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2 B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方 C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2 D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2 3．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（） A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm 4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（） A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺 5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）
A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+ 6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（） A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米 7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（） A．2 B．2.6 C．3 D．4 8．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（） A．13 B．19 C．25 D．169 二．填空题（共5小题）
勾股定理(基础)知识讲解
勾股定理（基础） 撰稿：吴婷婷 责编：常春芳 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么2 2 2 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中 ，所以 ． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中 ，所以 ． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理2 2 2 a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2 2 2 2 2 51225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以2 2 2 2 2 2624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2 2 2 2 2 10664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 2 2 2 a b c +=． 即2 2 2 (3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明
勾股定理与弦图练习(含答案)
勾股定理与弦图练习（含答案） 判断题 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角． ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半．”的逆命题是真命题． ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形． ⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形． 答案：对，错，错，对； △ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（） A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形． B．如果c2=b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°． C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形． D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形． 答案：D 1、下列四条线段不能组成直角三角形的是（） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a= ，b= ，c= D．a：b：c= 2：3：4 答案：D 2、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？
⑴a= ，b= ，c= ；⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b= ，c= ；⑷a=5，b= ，c=1． 答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A． 叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确． ⑴如果a3＞0，那么a2＞0； ⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等． 答案：⑴如果a2＞0，那么a3＞0；假命题． ⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题． ⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题． ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题． 1、填空题． ⑴任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有． ⑵“两直线平行，内错角相等．”的逆定理是． ⑶在△ABC中，若a2=b2－c2，则△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，则∠B是． ⑷若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则△ABC是三角形． 答案：⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，∠B，钝角；⑷直角．
三角比勾股定理压轴题(含答案)
A B D 10月6日、7日 月考模拟卷 班级 学号 姓名 1、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列正确的是( ) A 、B CD AD sin = B 、B CD AD cos = C 、B CD AD tan = D 、B CD AD cot = 2、在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，AD ∶BD = 1:3，那么S △DBE :S △CBE 等于( ) A 、1:4； B 、1:3； C 、1:2； D 、1:6． 3、下列命题中，说法正确的个数为( ) (1)两个等边三角形一定相似； (2)有一个角相等的菱形一定相似； (3)腰上的高和腰对应成比例的两个等腰三角形一定相似； (4)两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； (5)三条垂线对应成比例的两个三角形相似. A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 4、如图，P 、D 分别在等边△ABC 的边BC 、AC 上，∠APD =60°，BP =1，CD =3 2，则△ABC 的边长为( ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 5、如图，E F 、H 、G 分别为为正方形ABCD 的边上，且AE =BF =CH =DG =3 1AB ，则图中阴影部分的 面积与正方形ABCD 的面积之比为( ) A 、5 3 B 、9 4 C 、2 1 D 、5 2 6、在△ABC 中，已知tan A =4 5，cos B =10 9，那么△ABC 的形状为( ) A 、锐角三角形； B 、直角三角形； C 、钝角三角形； D 、无法判定. 7、图纸上某个零件的长是 320mm ，如果比例尺是 1:20，这个零件的实际长 米. 8、计算：2sin 230°－cos 2 60°+tan30°·cot30°= 9、如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于H ，则AH :HE 等于 10、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠ACD =∠B ，AC =6，BD =2.5，则AD 的长为 11、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，O 为对角线AC 、BD 的交点，若S △ACD =10，S △BOC =9，那么 S 梯形ABCD = 12、正方形ABCD 中，E 在边BC 所在的直线上，BE :EC =2:1，AE 交BD 于F ，则△AFD 与由D 、F 、E 、C 为顶点的四边形的面积之比为
勾股定理(提高)知识讲解
勾股定理（提高） 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=. 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线 段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解 决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段. 【典型例题】 类型一、勾股定理的应用 1、如图所示，在多边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，求多边形ABCD的面积．
五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(C级).学生版
华盛顿的傍晚 亲爱的小朋友们： “在那山的那边海的那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”，那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是加菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 具体方法如下： 两个全等的 Rt △ ABC 和Rt △BDE 可以拼成直角梯形ACDE ， 则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。即 （AC ＋DE ）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2 （a ＋b ）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2 化简整理得a 2＋b 2＝c 2 课前预习 勾股定理与弦图
点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2． 而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？ 在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五． 三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实． 汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦． 句股各自乘，并，而开方除之，即弦。 勾股定理的证明：