现代控制理论 第三章 3 能观性

3.3 系统的能观性

实际中常常遇到系统的状态变量不能直接测量的问题。能否根据系统的输出（输出一般均可直接测量）把这些状态变量的值计算出来，这即能观测性问题。在现代控制理论中，这个问题很重要。若通过系统的输出可以计算出系统状态变量的值，则尽管系统状态不能直接测得，但可把计算出的值进行反馈，从而实现优良的控制效果；否则，只能由输出变量进行反馈，难以获得最优的效果。

1.能观性定义

设线性定常连续系统的动态方程为

???+=+=DU

CX Y BU AX X

能观性定义：系统的状态00≠X 被称为在区间[]10t t ，上能观的(01t t T ?=为有限时间) ，如果在[]10t t ，上的输入)(t U 和输出)(t Y 提供的信息足以确定0X 。否则，称状态0X 在区间[]10t t ，上不能观。

若系统在区间[]10t t ，上的每一状态)(0t X 均能观，

则称系统在[]10t t ，上完全能观。

若根据[]10t t ，上的输入)(t U 和输出)(t Y 提供的信息足以确定1()X t ，则称系

统具有能构性。

讨论：

① 能观与能测量是不同的概念，比如状态变量不一定能测量，但它可能能观。

②由输出信息确定其以前的状态，称为能观；由输出信息确定其以后的状态，称为能构。在线性定常连续系统中，能观性与能构性是等价的。

○

3能控性：U X →；能观性：Y X →。 例3-18 试判别图3-18所示电路系统的能观性

图3-18

例3-18 系统的状态图如图3-19所示，试判别其能控、能观性。

图3-19

系统的状态方程为：

[]10101101X X u y X ??????=+????????????=?

系统的传递函数为： 1()1

Y G s U s ==+ 从系统的状态方程可知，系统既不完全能控（在u 的作用下，x1=x2）、又不完全能观。其既不完全能控又不完全能观部分为上部分。

2.能观性判据之一

(1)定理（能观性判据）：线性定常连续系统{A,B,C }状态完全能观的充要条件是

其能观性矩阵n

nl n CA CA C V ×?????????????=1 满秩，即n V rank =][。 证明： ∫??+=t

t t A t t A d Bu e t X e t X 00)()()()(0)(τττ∵ ∫??+=∴t

t t A t t A d Bu e C t X Ce t Y 00)()()()(0)(τττ （1）

我们研究的目的是从输入u(t)和输出y(t)把状态)(0t X 确定出来。因u(t)是给定函数，（1）式右边中的积分部分是与)(t Y 维数相同的已知函数，所以仅据

)(t Y 来求解)(0t X 与据∫??t t t A d Bu e C t Y 0

)()()(τττ来求解)(0t X 是完全等价的。这就是说，系统的能观性可看作只涉及)(t X 和)(t Y 而与u(t)无关。所以，讨论能观性问题时，只用到A、C 阵，系统可用｛A，C｝表示。

又因为所讨论系统是线性定常的，不失一般性，可以假设00=t ，这样，问题就变成了由方程：)0()(X Ce t Y At = 来确定)0(X 。 )0()()(1

0X CA t b t Y j n j j ∑?=凯－哈定理 （2）

〔1〕 SO 系统时： 即 n C ×1。

此时，下列的几个量都是标量：

)0(),0(),0(1110X CA CAX CX n n ??===βββ （3）

(3)(2)→：

)()()()(111100t b t b t b t Y n n ??+++=βββ

∵ 可以证明 )(),(),(110t b t b t b n ? 是线性独立的（参见 ［日］须田信英，《自动控制中的矩阵理论》，科学出版社，1979年9月，PP.253－254）。

10,?∴n ββ 这几个标量是由观测)(t Y 唯一确定的常数。

∴方程（3）实际上代表n 个方程，其矩阵形式为：

)0()

0(1110X CA CA C VX n

n n n ×??????????????=????????????= ββββ （4）

∴ )0(X 有唯一解的充分必要条件是n V rank =][.

〔2〕 MO 时：即n l C ×。

此时（4）式是 nl 个方程，n 个未知数。当测量值)(t Y 有误差时，无解。只有当n V rank =][时，存在唯一的最小二乘解：

1(0)[],(0,)()T T X V V V t Y t ββ?=据的测量值求出。

即此时从)0()(X t Y →是最小二乘意义下的。

例3-15 试判别能观标准型实现的能观性。

解:因为 n

n n a a a a A ×????????????????????=100010001000321 ，[]n C ×=1100 所以，能观性矩阵为

n nl n CA CA C V ×?????????????=1 =n

n ×???????????? 110 系统的能观性矩阵V 为下三角阵。因为1=V ，所以[]n V rank =。即能观标准型实现一定是状态完全能观的。

(2)定理：SISO 线性定常连续系统如果状态能观，则存在一个非奇异变换矩阵x T x T n n =×，使，可将系统变为能观标准型。

单输入、单输出系统的能控标准型和能观标准型是唯一的。这是因为其能控性矩阵S和能观性矩阵V都只有唯一的一组n个线性无关的向量，由它们的线性组合可导出两组基，变换矩阵Q和T分别由这两组基构成，而能控标准型和能观标准型则是在这两组基下系统所具有的两种标准型式。

但是，对于多输入、多输出系统，由于其能控性矩阵和能观性矩阵中n个线性无关向量的选择可以不同，即不是唯一的，所以其能控标准型和能观标准型也不是唯一的。

3.能观性判据之二

判别系统{A、C}状态能观性的另一种方法是利用线性非奇异变换将A阵对角化或约当化，然后根据变换后的C阵来判别系统的能观性。

(1)定理：线性非奇异变换不改变系统的能观性。

(2)定理：设线性定常连续系统{A、C}的特征值各不相等，则其状态能观的充要条件是系统经线性非奇异变换后的对角标准型运动方程

U B X X n +????

??????=λλ001 X C Y = 的矩阵C 中不包含元素全为零的列。

注意，当A 阵含有重特征值，且仍能对角化时，上述结论不成立。在单输出系统中，更有结论：即使C 中不含0元素，},{C A 也是不能观的；在MO 系统中，若重根λ对应的C 中各列独力，则系统能观。

(3)定理：设n 维系统{A 、C }有重特征值为：11m 为λ重根，…，k k m 为λ重根，∑==k

i i n m 1；且当j i ≠时，有j i λλ≠。则系统状态完全能观的充要条件是在

系统经线性非奇异变换后的约当标准形 U B X J J J X n +?????

???????= 21，X C Y = 中，和每个约当块i J ),,2,1(k i =的首行相对应的C 阵中的那些相应列，其每列元素不全为零。

若两个约当块有相同特征值，上述结论不成立；若想要上述结论成立，则需要对应的C 阵中相应列是线性独立的。

综上可知，能观标准型实现一定能观；能观，则通过线性非奇异变换一定能化成能观标准型实现。能控标准型实现一定能控；能控，则通过线性非奇异变换一定能化成能控标准型实现。线性非奇异变换不改变系统的能控能观性。

例3-16 判别下列各系统的状态能观性。

解：

（1） C1=0，不能观，x1不能观。

（2） 能观

（3） 不能观。因为特征值相等而能化为对角阵，且C1、C2相关。

（4） 不能观。因为特征值相等而能化为约当阵，且C1、C3相关

（5） 不能观。因为J1首行对应的C 的列元素全为零。

（6） 能观

4．线性系统能控性与能观性的对偶关系

线性系统能控性与能观性不是两个独立的概念，在定义、概念和判据形式上，两者有很多相似之处，有一种内在的联系。

○

1 对偶系统定义： 对于线性定常连续系统{A,B,C}和{C B A ,,},若 T

T T

B C C B A A ===

则称此二系统为对偶系统。

○

2 互为对偶的系统有相同的特征方程： 0=?=?=?A I A I A I T λλλ

○

3 互为对偶的系统的传递矩阵互为转置： ()()()()()()()()111111()T T T T T T T T T

T T G s C sI A B

G s C sI B B

sI A C B sI A C B sI A C C sI A B G s ??????=?=?=?????=?=?????

??=?=??

○

4 互为对偶的系统能控能观性的关系 定理：互为对偶的二系统{A,B,C}、{C B A ,,}，当系统{A,B,C}状态完全能控（完全能观）时，系统{C B A ,,}状态完全能观（完全能控）。

证：设{A,B,C}状态完全能控，即rank[s]=rank[B AB … A n-1B]=n ∵11n T T T n T T C B C A B A V B A C A ??????????????===?????????????

??? 1T

n B AB A B ?????

∴ rank[V ]=rank[T S ]=rank[S]=n ∴{C B A ,,}状态完全能观。

反之亦成立。

○

5 对偶原理的意义： 现代控制理论中的一个重要概念：利用对偶原理，可使系统的能控（观）性研究转化为对偶系统的能观（控）性的研究。从而沟通了最优控制与最优估计之间的内在联系。

5．系统的可控、可观性与传递函数（矩阵）的关系

描述系统内部结构特性的能控性和能观测性，与描述系统外部特性的传递函数(矩阵)之间，是存在内在关系的。指示这种内在关系，可用来判断系统的能控性和能观测性。这是一种在s 城内的判据。

前面已述，线性系统总可以通过线性交换化为特征值规范型。为了简便起见，下面给出的系统都是特征值规范型。

以上三种情况都使i i c b ＝0，(i＝1，2，…，n)，此时传递函数中必存在零极点对消的现象。也就是说，由状态方程表示出的n 阶系统，但其传递函数的分母

阶次却小于n。

因此，当由动态方程导出的传递函数存在零极点对消时，该系统或是能控不能观、或是能观不能控、或是不能控不能观，三者必居其一。

当由可约的传递函数列写其实现方式时，也可列写出以上三种类型的动态方程，视状态变量的选择而定。

当0i b ≠，0i c ≠时（i＝1，2，…，n），系统状态既能控又能观测。这时由动态方程导出的传通函数，不存在零极点对消现象。

第二种情况：A 阵具有重特征值。将动态方程中的A、b、c 表示如下：