第二换元积分法(代入法)
173
换元积分法用的是积分规则
[]=-'??========????()]
1
()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G u
x [代入
其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法
,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。例如
(Ⅰ)
变成有理函数的积分)
若被积函数中含有根式
)0(≠a ，就令
n
b ax t +=
[实际上是代入函数)(1b t a
x n
-=
，0≥t ]
则t a
nt
x n d d 1
-=
.
例13
x ? [t t x t t x x t d 2d ),0(,2
=≥==](1)12
d 2
d 11t
t t t t
t
+-==++??
121d 1t t ?
?=-
?+??
?
[]2ln(1
)t t =-
+[2ln(1t ?+
?
(
换回到原来的自变量)
例14
2[2
(2)2d (2)t t t
x t t t
t
--+?42
2
22
d 2
t t t t
t -=+-?，
其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即
4
2
222
t t
t t -=+-2
2
32(1)2
t t t t
t --+-
+
-
因此，
22
32
(1)d d 2
t x t t t t t
t -=
-+-
+-??
?3
2
27
(21)33d 3
2
2
2
t t
t
t t t t +-
=
-
+-
+-?
[分子上的(21)t +是分母的导数]
3
2
2
2
3
d(2)7
1
d 3222
2(1)(2)t
t
t t t t t t t t +-=-
+-
++--+?
?
3
2
2371
1ln 2d 3
2
2
6
12
t
t
t t t t t t ??=
-
+-
+-+
-
?-+??
?
174
3
2
2
37ln 2ln
3
2
2
6
t
t
t t t =
-
+-
+-+
(223
2
x x ++=
-
+3ln 2
x -+
7ln
6
+
【注1】多项式除法
【注2】拼凑法
42223
32
2
2
2
2(2)222
t t t t t t t t t t t t t t -+--=
=-
+-+-+-222
2
(2)22
t t t t t
t t t +--+=-
+-
22222
t t t t t t -=-+
+-22222(2)32
32(1)2
2
t t t t t t t t t t t t +--+-=-+
=-+-
+-+
-
(Ⅱ)
变成三角函数有理式（*）的积分)
若被积函数中含有根式22x a -或2
2a x ±(0>a )，就用“三角替换”消掉它们： ()i 对于2
2x a -，令)2
2
(sin π
π
≤
≤-
=t t a x 或)0(cos π≤≤=t t a x ；
()ii 对于2
2a x +，令)2
2
(tan π
π
<
<-=t t a x ；
()iii 对于
2
2
a
x -，令)2
2
0(sec ππ
π
<<<
<=t t t a
x 或
。
当然，求
x
?
时，直接套用积分公式⑼就行了。
例15
[sin ]
cos d x a t x a t t ======
?
?
（*）
见下面例18后的说明.
32t -+ 3
32
2t t t t
---+ （被除式）
2
222
t t t t -+-
2
1t t -+ 242
432
2022t t t t t t t
+-+-+- （除式） （商式）
（余式）
175
2
2
cos d a
t t =?2
1cos 2d 2
t
a t +=?
()2cos 2d 2
a t t t =
+?
2sin 222a t t ??=+ ???
其中 a
x t arcsin
=(例15
图)，
sin 22sin cos 2x t t t a a
==?=
因此，
2
arcsin
2
a
x x a
=
+
?
例16 求
(0)x a >?
.
解 [tan ]
2
sec d x a t a t t =?
=
?|
其中a
x t =
tan ，而(见图一)
a
x a a
x t t 2
22
2
1tan 1sec +=
??
? ??+=
+=
所以
x ?
)ln(ln
2
22
2x a x a
x a
x a ++
=
+
+=
(注意，不计常数
a ln 且02
2
>++
x a x )
其次，
[sec ]
sec tan d x a t x t t t ======
?
?
sec d ln sec tan t t t
t
=
=+?
其中，a
x t =sec (注意,||x a >)，而(见图二
)
tan t =
=
a
=
所以
例16图二
t x
a
2
2
a
x -
t
a x
2
2x
a -
例15图
2
2a
x +x
a 例16图一
t
176
ln
x x a
=+
?
ln x =+
(不计常数a ln )
注意，其中x a >或x a <-. 当a x -<时，02
2
<-+
a
x x . 因此，在最后的结果中要添上
绝对值符号。
以后，我们将把例15和例16
的结果作为积分公式。遇到这种形状的积分，直接套公式就行了。 ⒃
(0)x a
>=?
ln x c +
+
⒄
2
(0)arcsin
2
a
x x a c a
>=
+
?
例17
)x
==
?
?
(16)
==
+
)x
==
?
2
(17)
arcsin 2
?==+
?
?
arcsin ?
==
+
?
(Ⅲ)其它情形
有的有理函数的积分经过三角替换变成三角函数有理式的积分。例如， 例18
2
22
d ()
x
a
x +?(tan )
23
2
3
1d 1cos d sec x a t t
t t a
t
a
======
=
??
3
1(1cos 2)d 2t t a
=
+?
311sin 222t t a ??
=
+ ???3
112sin cos 22t t t a
??=+? ???
()3
1sin cos 2t t t a =+ 其中 arctan x
t a
=
,
111cos sec a t t
=
=
=
=
177
sin t===
因此，
222
d
()
x
a x
+
?()
3
1
sin cos
2
t t t
a
=+
3222
1
arctan
22()
x x
a a a a x
=+
+【说明】设(,)
R u v是关于u和v的有理函数，则称
(sin,cos)d
R x x x
?
为三角函数有理式的积分。前面有很多例题和习题都属于这种类型的积分。在那里用的都是凑微分积分法，而这里讲的是一般方法（遇到前面那种情形时，当然还是用凑微分积分法要简单些）。为此，令
tan
2
x
t=（称它为“半角替换”或“万能替换”）
则
2
2
2
2tan
2
2
sin2sin cos2tan cos
22221
1tan
2
x
x x x x t
x
x t
====
+
+
2222
cos cos sin cos1tan
2222
x x x x
x
??
=-=-
?
??
2
2
1tan
2
1tan
2
x
x
-
=
+
2
2
1
1
t
t
-
=
+
2
2
d2d(arctan)d
1
x t t
t
==
+
于是，(sin,cos)d
R x x x
?就变成有理函数的积分，即
2
222
212
,d
111
t t
R t
t t t
??
-
?
+++
??
?
例19 求
1
d(01)
1cos
x
x
ε
ε
<<
+
?.
解令tan
2
x
t=，则
222
2
1121
d d2d
1cos11(1)(1)
1
1
x t t
x t t t
t
εεε
ε
==
+-+++-
+
+
???
2
21
d
1
1
1
t
t
ε
ε
ε
=
+
-
+
-
?
[套用积分公式⑽]
178
2x ??
=
?
??
?2x ??
=
? ???
但是注意．．．．
，求(sin ,cos )d R x x x ?时，在下面情形下，用其它三角变换会更好一些：即若函数(sin ,cos )R x x
满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=时，就令tan t x =; 满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，就令cos t x =;
满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x -=-时，就令sin t x =.
例20 求
sin d sin cos x
x x x +?.
解 这里的被积函数
sin (sin ,cos )sin cos x R x x x x
=
+
满足(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x --=，所以令tan t x =. 于是，
2
1d d 1x t
t
=
+，
1cos sec x x
=
=
=
=
sin x ==
=因此，
(tan )
2
sin d d sin cos (1)(1)
t x x
t
x t x x
t t
=====
+
++??
其中
2
(1)(1)
1t A t t t
=
+
+++2
)
2
(1)()(1)
(1)(1)
A t Bt C t t t ++++===
++通分
由此得恒等式2
(1)()(1)t A t Bt C t ≡++++；比较两端关于t 的同次项系数，则得三元线性方程组
010A C B C A B +=??
+=?+=??（常数项）（一次项系数）（二次项系数）
解方程组得11,2
2
A B C =-
==
. 因此，
179
(tan )
2
sin d d sin cos (1)(1)
t x x
t
x t x x
t t
=====
+++??2
12(12)12d 11t t t t -+??
=+ ?++??
?
2
1d 1
1
d 2
1+t
21t
t t t
-+=+
+??2
2
2
1
1
d (1)
1
d ln 1d 24121+t t
t t t
t
+=-++
+
+?
?
2
111ln 1ln(1)arctan 242t t t =-++++22
111ln arctan 4(1)2t t t +=++ 2
211tan ln
4(1tan )
2
x x x +=+
+
根据提示做习题
1.根据提示，请你接着把题做到底： ⑴
[2
1
(2)d (1)t x t t t
t
-=+??
⑵
[53
2
1
1
6d (1)
t x t t t t
=+
?
?
[
因为同时含有根式
所以令6(0)x t t =≥
]
⑶
[2
tan 22
4d (1)
t t u
t x t t
=====+?
?
⑷
(tan )
x a t x ======?
⑸
(tan )
2
d 2sin cos 5x t x
x x =====-+? ⑹ (tan )
2
d (0)(sin cos )
t x x
ab a x b x =≠====+?
答案：⑴x --1arctan
2；⑵)arctan
(66
6x x -
；⑶2arctan
(1x +-
；
3tan
1
x +1(tan )
a a x
b -
+.
换元积分法(第二类换元法)
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为 有理式[()]()f t t ψψ'的积分 [()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx =
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类) I 授课题目(章节)： § 4.2 换元积分法(第二类换元积分法) n 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 川教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 IV 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时.如果函数g(x)可以化为f[：:(x)]：「(x)的形式.那么 g(x)dx = f[ (x)] (x)dx 二f[ (x)]d ;:(x)^(x\ f (u)du = F(u) C =F[ (x)] C 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想?把被积函数凑出形如 f [- (x)F (x)函数来.对于某些 函数第一换元积分法无能为力，例如..a^x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x二(t)将无理函数f (x)的积分.f (x)dx化为有理式(t)卜(t)的积分.(t)F (t)dt。即卩 f (x)dx= . f「(t)「(t)dt 若上面的等式右端的被积函数f「(t)「(t)有原函数G(t)，则.(t)]：(t)dt = G (t) ? C, 然后再把「(t)中的t还原成4(x)，所以需要一开始的变量代换x = ' (t)有反函数。 定理2设x =?(t)是单调、可导的函数，且；(t) = 0，又设f「：(t)]；(t)有原函数叮」(t)，则.f (x)dx「(t)]，(t)dt =「(t) C_1(x)] C 分析要证明.f(x)dx =叫'4(x)] C ,只要证明叮4(x)]的导数为f (x),
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法 教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。 重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用 教学过程： 一、问题的提出 不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运 算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。本节将介绍第一类换元法。 二、第一类换元积分法（凑微分法） 我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。下面先介绍第一类换元积分法。 定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ??? 证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，?du u f )(=C u F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ?=,所以有 ???+==='?C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([?????? 又) (])([x u du u f ?=?)(])([x u C u F ?=+=C x F +=)]([? 从而推得??=='?) (])([)()]([x u du u f dx x x f ? ?? 证毕 推论 若 ?dx x f )(=C x F +)(成立，则?du u f )(=C u F +)(.也成立，其中u 为x 的 任一可导函数 该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。 该方法的关键在于从被积函数 )()]([x x f ??'中成功地分出一个因子)(x ?'与 dx 凑成微分)(x d ?，而剩下部分正好表成)(x ?的函数，然后令u x =)(?，就将所要求的 不定积分变为基本积分表中已有的形式。 通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。 三、第一类换元积分法的一般步骤: 若某积分?dx x g )(可化为 ?'?dx x x f )()]([??的形式,且 ?du u f )(比较容易积分,那么 可按下列的方法和步骤来计算所给积分 ⑴凑微分 设法将积分 ?dx x g )(变形为?'?dx x x f )()]([??的形式，从而可得：
第二节换元积分法
第二节 换元积分法 要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。 重点：第一、二换元积分法。 难点：选择恰当的变量代换。 作业：习题4－2（252P ）***6)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32)33)35)36)38)39)40)1,2 问题提出： 利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如?xdx 5sin 、? dx xe x 2 2．为了求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算．按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法. 一、第一换元积分法 复合函数的微分 已知函数)(),(x u u F y ?==，则复合函数)]([x f y ?=， 因此导数 )()]([x x f y ??''='， 微分 du u F dx x x F dy )()()](['=''=??． 如 函数2 sin x y =，令2 x u =，得u y sin =， 导数 x x x u dx du du du dx dy 2cos 2cos 2?=?=?=， 微分 xdx x x d 2cos )(sin 2 2 ?=， 上式两边积分得， 22 2 cos 2(cos sin )sin x u x xdx udu u c x C =?===+=+?? . 再如 22 2 2x u x u u x e xdx e du e c e C =?===+=+? ? . 这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量u 来化简运算. 定理1 设函数)(u f 具有原函数)(u F ，且)(x u ?=可导，则函数)]([x F ?是函数 )()]([x x f ??'的原函数，即有换元公式 () [()]()[()][()] u u f x x dx F x C f u du ????='=+=??. 这个公式称第一换元公式（或凑微分法）. 证明思路，上式两边求导，得[()][()]'()dF x f x x dx ???=. 计算方法
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： § 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的 形式 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如? -dx x a 22.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?, 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ，则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1
§4.2 换元积分法(第二类换元法)
§4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ?时, 如果函数g (x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如 [()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如?-dx x a 22. 对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分()f x dx ?化为有理式[()]()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()]()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则
[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+? ,然后再把()t Φ中的t 还原成1()x ψ-， 所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原 函数()t Φ，则??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+?，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? ， ?dt dx = 证明 )(t x ψ= 单调、可导，∴()x t ψ=存在反函数)(1x t -=ψ，且 ) (11t dt dx dx dt ψ'== 11[()][()]()()() d d dt x f t t f x dx dt dx t ψψψψ-Φ'Φ=?==' )]([1x -ψΦ∴是)(x f 是一个原函数?+ψΦ=-C x dx x f )]([)(1. 第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定 (,)22 t ππ ∈- ）则t a x a cos 22=-，tdx a dx cos =，可将原积分化作三角有理函数的积分. 例1 求 ?-dx x a 22 )0(>a 解 令t a x sin = ，(,)22 t ππ ∈-，则t a x a cos 22=- tdt a dx cos = cos cos a ta tdt ∴=?22 2 11(cos 2)sin 22224 a a a t dt t t C =+=++? 222 sin cos arcsin 222a a a x t t t C C a =++=+. 借助下面的辅助三角形把sin t ，cos t 用x 表示.
换元积分法word版
第二节 换元积分法 求解不定积分，能应用直接积分法的函数不多，因此，有必要进一步研究不定积分的求解方法。 1、换元积分法的基本思想 应用换元积分法进行积分是常见的积分方法。其实，换元积分法就是复合函数微分法的逆运算。 回顾复合函数的微分手法，是将复合函数[()]f x ?的复合变量替换为简单变量()x u ?=，然后应用简单函数的微分方法得()'()df u f u du =， 应用替换法，同样可以将复合函数的积分转化为简单函数的积分： [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 于是，得到复合函数的积分法，称为换元积分法。 换元积分法通常分两类：第一类换元法和第二类换元法。 第一类换元法是将复杂变量替换为简单变量：()x u ?=，从而将复合函数的积分转化为简单函数的积分； 第二类换元法是将简单变量替换为复杂变量：()x u ?=，从而将复杂的被积函数转化为可积分的函数。 下面分别进行分析。 一、第一类换元法(P210) 1、第一类换元法的积分思路 第一类换元法并非一种独立存在的积分方法，它建立在直接积分法的基础上，依赖直接积分法去最终完成积分。或者说，它以换元法为主要手段，以直接积分法为解决积分的最终方法。 换言之，第一类换元法的积分思路，就是将含复合函数的积分转换为简
单函数的积分，从而应用直接积分法解决问题。
2、第一类换元法的基本公式 定理1 设()f u 具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式 [()]() () ()f x d x x u f u du ???=?? 或为 [()]'() () ()f x x dx x u f u du ???=?? 公式的要点： ①可以应用第一换元积分法的积分式必须具有结构： [()]()f x d x ??? 或 [()]'()f x x dx ??? ②换元时必须对两个位置的复合变量进行一致替换：一个是复合函数[()]f x ?的第一中间变量()x ?，一个是微分函数()d x ?中的待微分函数()x ?。 ③换元后得到的积分式()f u du ?必须是简单函数的积分，如果仍含有复合函数，那么换元失败或复合变量认定错误。 3、第一类换元积分法的步骤分解 第一类换元法的基本公式在具体运用时，有许多技巧性手法，一下子不容易掌握，但万变不离其宗，根本的是掌握好基本公式的上述三个要点。 为准确理解和掌握第一类换元法的基本公式，下面进行分解说明。 第一类换元法的积分过程分为五个步骤：特征判断，凑微分，变量代换，直接积分，变量回代。 下面分别对五个步骤进行详细的分解分析。 第一步骤：特征判断——检查被积函数是否适合应用第一换元法
第二换元积分法(代入法)
173 换元积分法用的是积分规则 []=-'??========????()] 1 ()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G u x [代入 其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法 ,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。例如 (Ⅰ) 变成有理函数的积分) 若被积函数中含有根式 )0(≠a ，就令 n b ax t += [实际上是代入函数)(1b t a x n -= ，0≥t ] 则t a nt x n d d 1 -= . 例13 x ? [t t x t t x x t d 2d ),0(,2 =≥==](1)12 d 2 d 11t t t t t t +-==++?? 121d 1t t ? ?=- ?+?? ? []2ln(1 )t t =- +[2ln(1t ?+ ? ( 换回到原来的自变量) 例14 2[2 (2)2d (2)t t t x t t t t --+?42 2 22 d 2 t t t t t -=+-?， 其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即 4 2 222 t t t t -=+-2 2 32(1)2 t t t t t --+- + - 因此， 22 32 (1)d d 2 t x t t t t t t -= -+- +-?? ?3 2 27 (21)33d 3 2 2 2 t t t t t t t +- = - +- +-? [分子上的(21)t +是分母的导数] 3 2 2 2 3 d(2)7 1 d 3222 2(1)(2)t t t t t t t t t t +-=- +- ++--+? ? 3 2 2371 1ln 2d 3 2 2 6 12 t t t t t t t t ??= - +- +-+ - ?-+?? ?
换元积分法(第一类换元法)(精选、)
§4.2 换元积分法 Ⅰ 授课题目 §4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求： 1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分”，dx x x d )()(?'=? . 2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第一换元法的思想， 难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容： 一、第一类换元积分法 设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+? .若u 是中间变量，()u x ?=，()x ?可微，则根据复合函数求导法则，有 (())()[()]()dF x dF du du f u f x x dx du dx dx ???'===。 所以根据不定积分的定义可得： ()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ????='=++=?? 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有 [][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ????='=+=+? ?. 以上就是第一换元积分法。 从以上可以看出，虽然 [()]()f x x dx ??'?是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ?'可以看成是()x ?的微分，通过换元()u x ?=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ?'=. 定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ?=可导，dx x du )(?'=，则 [()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ???'==+=+?? (1) 如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ? 时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ??'的形式, 那么
二重积分换元法
感悟二重积分的魅力 定理 设),(y x f 在xOy 平面上的闭区域D 上连续，变换 ),(),,(:v u y y v u x x T == 将uOv 平面上的闭区域'D 变为xOy 平面上的D ，且满足 （1）),(),,(v u y v u x 在'D 上具有一阶连续偏导数； （2）在'D 上雅可比（Jacobi ）式 ;0) ,() ,(),(≠??= v u y x v u J （3）变换D D T →':是一对一的， 则有 .|),(|)],(),,([),(' dudv v u J v u y v u x f dxdy y x f D D ????= 例（高等数学第六版152P 例8）：求由直线)0,0(,,,b a d c bx y ax y d y x c y x <<<<===+=+所围成的闭区域D (图10-26左)的面积. 解 所求面积为 ??D dxdy 令,,x y v y x u = +=则.1,1v uv y v u x +=+= },,|),{('b v a d u c v u D ≤≤≤≤= 如图10-26右所示，又雅可比式
'),(,0)1(),(),(2 D v u v u v u y x J ∈≠+=??= 从而所求面积为 .)1)(1(2) )(()1()1(222' 2b a c d a b udu v dv dudv v u dxdy d c b a D D ++--=+=+=?????? 现对该题做一个拓展延伸。 求由曲线)0,(,,1,122d c b a dy x cy x e y e y bx ax <<<==-=-=所围成的闭区域D 的面积. 解 所求面积为 ??D dxdy 令2,)1ln(y x v x y u =+=，先求雅可比式v y u y v x u x v u y x v u J ????????=??=),(),(),(， 由? ??=-=+-00)1ln(2 x vy y ux 知，这是一个隐函数方程组，其解可写为 ? ? ?==),() ,(v u y y v u x x （*） 又2,)1ln(y x v x y u =+= ，将（*）分别对y x ,求偏导数，即： ??? ????????? ?=??? ? ??-??+???? ??+??=??? ? ??-??+???? ??+??=???? ????+??? ??+-??=???? ????+??? ? ?+-??12)1(10 2)1(101)1ln(11)1ln(332222y x v y y x u y y x v x y x u x y v y x y u y y v x x y u x 令
二第二换元法(变量代换法)
二.第二换元法（变量代换法） 第一换元法是用凑微分的办法，把一个比较复杂的 积分dx x x f )()]([??'??化成)()]([x d x f ???再积分，第二换元法则 是将积分dx x f ?)((看似简单，但是很难积分)用一个适当的变量代换)(t x ?=使dt t t f dx x f )()]([)(??'?=??却容易积分。再将 结果中的t 变回))((1x t -=?x . 例3.20求dx x x ?sin .解令t x =，2t x =，tdt dx 2=，则 dx x x ?sin c x c t dt t tdt t t +-=+-==? =??cos 2cos 2sin 22sin .例3.21计算dx a x ?-221,(0>a ). 解令t a x sec =，2 0π<
（为何不要绝对值？） 例3.22求.)(12 3 22dx x a ?+解令a x t tdt a dx t a x =?=?=tan ,sec ,tan 2.)(1csc ..sin 1cos 1sec sec 1)]tan 1([sec )(12222 32222223222 32222322c x a a x dx x a x x a t x a ctgt c t a tdt a dt t t a dx t a t a dx x a ++=+?+=∴=+===+=+????? 例2.23求?-x x dx 2.解?-x x dx 2?---=4 1)21()21(2x x d （利用例3.20的结果）c x x +--+-=41)21()21(ln 2c x x x +-+-=2)2 1(ln .例3.24计算. 922dx x x ?-.99ln 9393ln sin tan sec ln cos cos 1cos cos 1cos sin ) (cos sin 3sec 9tan 39221222222sec 322c x x x x c x x x x c t t t dt t dt t dt t t dt t t dt t t t t dx x x t x +---+=+---+=+-+=-=-==??-?????=?=画三角形例3.25求 ?-dx x a 22，（)0>a .解∵2 22)(1a x a x a -=-∴可令
§42 换元积分法第二类换元法
§4.２ 换元积分法（第二类） Ⅰ?授课题目（章节）: ?§４.2 换元积分法 (第二类换元积分法） Ⅱ?教学目的与要求： 1．了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ?教学重点与难点: 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容: 第一类换元积分法的思想是：在求积分()g x dx ? 时, 如果函数g （x )可以化为[()]()f x x ??'的形式, 那么 () ()[()]()[()]() ()u x g x dx f x x dx f x d x f u du ?????='==???? ()F u C =+[()]F x C ?=+ 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如[()]()f x x ??'函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力,例如? -dx x a 22．对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要 学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换)(t x ψ=将无理函数()f x 的积分 ()f x dx ?化为 有理式[()] ()f t t ψψ'的积分[()]()f t t dt ψψ'?。即 ()[()]()f x dx f t t dt ψψ'=?? 若上面的等式右端的被积函数[()] ()f t t ψψ'有原函数()t Φ，则[()]()()f t t dt t C ψψ'=Φ+?， 然后再把()t Φ中的t 还原成1 ()x ψ-，所以需要一开始的变量代换)(t x ψ=有反函数。 定理2 设)(t x ψ=是单调、可导的函数，且0)(≠ψ't ，又设)()]([t t f ψ'ψ有原函数()t Φ,则 ??+ψΦ=+Φ=ψ'ψ=-C x C t dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 分析 要证明 1()[()]f x dx x C ψ-=Φ+? ，只要证明1[()]x ψ-Φ的导数为()f x ， 1[()]d d dt x dx dt dx ψ-ΦΦ=? , ?dt dx =
计算二重积分的几种方法
计算二重积分的几种方法 摘要 二重积分的计算是数学分析中一个重要的内容，其计算方法多样、灵活，本文总结了二重积分的一般计算方法和特殊计算方法.其中，一般计算方法包括化二重积分为累次积分和换元法，特殊计算方法包括应用函数的对称性、奇偶性求二重积分以及分部积分法. 关键词 二重积分 累次积分法 对称性 分部积分法 1 引言 本人在家里的职业教育高中实习，发现这里有些专业的的学生要计算很多面积或者体积问题，已经略微涉及到大学的积分问题，如曲顶柱体的体积，他们用最普遍的求面积/体积的方法求解，而用二重积分进行计算求解就会更容易理解，方法和步骤也带给学生一个新的认知领域。职业教育的学生在大学知识中解决实际问题应用积分的方法更频繁。在解决一些几何、物理等的实际问题时，我们常常需要各种不同的多元实值函数的积分，而二重积分又是基本的、常见的多元函数积分，我针对自己在《数学分析》这门课程中的学习，总结了累次积分、根据函数对称性积分、元素法、分部积分法、极坐标下的积分等内容，以下是我对二重积分方法的总结。 2 积分的计算方法 2.1化二重积分为两次定积分或累次积分法 定理 1 若函数(),f x y 在闭矩形域(),R a x b c y d ≤≤≤≤可积，且[],x a b ?∈，定积分 ()(),d c I x f x y dy =?存在，则累次积分 (),b d a c f x y dy dx ?????? ??也存在，且(,)(,)b d a c R f x y dxdy f x y dy dx ??=???? ?? ?? 证明 设区间[],a b 与[],c d 的分点分别是 011011i i n k k m a x x x x x b c y y y y y d --=<