2单摆共振第二讲

一、知识梳理

1．如果细线的质量与小球相比________________；球的________与线的长度相比也可以

忽略，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的____________________．为了尽量使实际摆接近理想化，我们尽量选择____________、____________的球和____________且____________的线做成摆．

2．单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧________方向的分力，在偏角很小时，单摆所受的

回复力与它偏离平衡位置的位移成________，方向总是指向________________，即F ＝

________.

3．单摆在偏角很小时做________运动，其振动图象遵循________函数规律，单摆的周期

与摆球质量______，在振幅较小时与振幅________，与摆长l的二次方根成________，与重力加速度g的二次方根成______，即T＝______________________.

4．如果振动系统不受__________的作用，此时的振动叫做固有振动，其振动频率称为________________，它是由__________________________决定的，相应地周期叫

________________．

5．振动系统在振动

过程中由于受到________作用，而不断损失机械能，致使________不断减小，这种振动叫做________振动．

6．振动系统在________性外力作用下，得到了能量补偿，使振动持续下去，这种外力叫

________力，系统在________力作用下的振动叫做________振动，受迫振动的频率与系统的固有频率____关而等于____________的频率，当驱动力的频率________系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做________．

二、类型题讲解

（一）知识点一单摆的回复力

1．对于单摆的振动，以下说法中正确的是()

A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等

B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力

C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零

D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零

2．关于单摆，下列说法中正确的是()

A．摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力

B．摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度相等

C．摆球在运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置

D．摆球经过平衡位置时，加速度为零

知识点二单摆的周期公式

3．有一单摆，其摆长l＝1.02m，摆球的质量m＝0.10kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8s，试求：

(1)当地的重力加速度；

(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2s)，摆长应怎样改变，改变多少．

4.已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6m，则两单摆长l a与l b分别为()

A．l a＝2.5m，l b＝0.9mB．l a＝0.9m，l b＝2.5m

C ．l a ＝2.4m ，l b ＝4.0m

D ．l a ＝4.0m ，l b ＝2.4m 方法技巧练

一、单摆周期的求解方法 5．如图2所

图2

示，倾角为θ的光滑斜面上，将单摆上端固定在O 点，平衡位置在O ′点做简谐运动时，

周期为________．

图3

6．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方l

摆长处有一个能挡住摆线的钉子P ，

如图3所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )

A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小

B ．摆球在左右两侧上升的最大高度一样

C ．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相等

D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍二、摆钟快慢的调整方法

7．将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球记录的时间是1h ，那么实际上的时间应是______h ．已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.若要把此摆钟调准，应使摆长L 0调节为________．

8．某一准确的摆钟，从北京移到南京，它是走快了还是慢了？应如何调整？

（二）知识点一对阻尼振动的理解

1．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( ) A ．振幅越来越小，周期也越来越小 B ．振幅越来越小，周期不变

C ．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变

D ．振动过程中，机械能不守恒，周期不变

2．如图3所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是( )

图3

A ．摆球A 时刻的动能等于

B 时刻的动能 B ．摆球A 时刻的势能等于B 时刻的势能

C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能

D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能

知识点二受迫振动和共振

3．如图4所示是用来测量各种电动机转速计的原理图．在同一铁支架MN上焊有固有频

率依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、b、c、d.将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片振幅最大，

图4

(1)电动机的转速为多大？

(2)四个钢片a、b、c、d的振动频率分别是________、________、________、________.

4．如图5为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是()

图5

A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线

B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4

C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1m

D．若摆长均为1m，则图线Ⅰ是在地面上完成的

方法技巧练

利用共振趋利避害

5．如图6所示，为共振筛的示意图，把筛子用四根弹簧支起，在筛架上安装一个偏心轮，

就形成了共振筛，请解释共振筛的工作原理．

图6

6．支撑列车车厢的弹簧固有频率为2Hz，若列车行驶在每根长为12.5m的铁轨连成的铁道上，则当列车运行速度多大时，车厢振动的剧烈程度最大？

三、课后练习

1．影响单摆周期的因素有()

A．振幅B．摆长

C．重力加速度D．摆球质量

图4

2．如图4所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)组成了所谓的双线摆，若摆线长为l ，两线与天花板的左右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，周

期为( )

A ．2πl g

B ．2π2l

C ．2π2l cos αg

D ．2πl sin α

3．将秒摆(周期为2s)的周期变为1s ，下列措施可行的是( ) A ．将摆球的质量减半B ．振幅减半

C ．摆长减半

D ．摆长减为原来的1

4．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取t ＝0)，当振动至t ＝

3π

时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下图中的( )

5．如图5所

图5

示为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l ，沙筒的质量为m ，沙子的质量为M ，M ?m ，沙子逐渐下漏的过程中，摆的周期为( ) A ．周期不变 B ．先变大后变小 C ．先变小后变大 D ．逐渐变大

图6

6．如图6所示，用绝缘细丝线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( ) A ．当小球每次通过平衡位置时，动能相同 B ．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同 C ．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同 D ．撤去磁场后，小球摆动周期变大

7．一个单摆的摆球偏离到最大位置时，正好遇到空中竖直下落的雨滴，雨滴均匀附着在

摆球的表面，下列说法正确的是( )

A ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期也增大，振幅也增大

B ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期减小，振幅也减小

C ．摆球经过平衡位置时速度没有变化，周期也不变，振幅要增大

D ．摆球经过平衡位置时速度要增大，周期不变，振幅要增大

图7

8．图7为甲、乙两单摆的振动图象，则( )

A ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝2∶1

B ．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l 甲∶l 乙＝4∶1

C ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝4∶1

D ．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g 甲∶g 乙＝1∶4

图8

9．如图8所示，光滑槽的半径R 远大于小球运动的弧长．今有两个小球(视为质点)同时

由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O 远些，则它们第一次相遇的地点在( ) A ．O 点 B ．O 点偏左 C ．O 点偏右

图9

(1)单摆的振幅为__________，频率为__________，摆长约为______；图中所示周期内位

移x 最大的时刻为______．

(2)若摆球从E 指向G 为正方向，α为最大摆角，则图象中O 、A 、B 、C 点分别对应单摆

中的__________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是 ________．势能增加且速度为正的时间范围是__________． (3)单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是( ) A ．位移B ．速度 C ．加速度D ．动能 E ．摆线张力

(4)若在悬点正下方O ′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且O ′E ＝1

OE ，则单摆周

期变为______s ，挡后绳张力______．

11．一根摆长为2m 的单摆，在地球上某地摆动时，测得完成100次全振动所用的时间为284s.

(1)求当地的重力加速度g ；

(2)将该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60m/s 2，单摆振动的周期是多

少？

12.

图10

摆长为l的单摆在平衡位置O的左右做摆角小于5°的简谐运动，当摆球经过平衡位置O(O在A点正上方)向右运动的同时，另一个以速度v在光滑水平面运动的小滑块，恰好

经过A点向右运动，如图10所示，小滑块与竖直挡板P碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问：

(1)A、P间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回A点时，摆球也同时到达O点且

向左运动？

(2)AP间的最小距离是多少？

1．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是()

A．振动的机械能逐渐转化为其他形式的能

B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能

C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能

D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能

2．下列说法正确的是()

A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关

B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关

C．某物体发生共振时的频率等于其自由振动的频率

D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动

3．下列振动中属于受迫振动的是()

A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的摆动

B．打点计时器接通电源后，振针的振动

C．小孩睡在自由摆动的吊床上，小孩随着吊床一起摆动

D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动

4．下列说法正确的是()

A．实际的自由振动必然是阻尼振动

B．在外力作用下的振动是受迫振动

C．阻尼振动的振幅可以保持不变

D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件有关

5．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱

动力，这就做成了一个共振筛，筛子在做自由振动时，20s内完成了10次全振动．在某

电压下电动偏心轮转速是36r/min，已知如果增大电压可以使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，那么，要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是

()

A．提高输入电压B．降低输入电压

C．增加筛子质量D．减少筛子质量

6．部队经过桥梁时，规定不许齐步走，登山运动员登高山时，不许高声叫喊，主要原因

是()

A．减轻对桥的压力，避免产生回声

B．减少对桥、雪山的冲量

C．避免使桥、使雪山发生共振

D．使桥受到的压力更不均匀，使登山运动员耗散能量减少

7．正在运转的机器，当其飞轮以角速度ω0匀速转动时，机器的振动并不强烈，切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续变慢，机器的振动也随之减弱．在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从零较缓慢地增大到ω0，在这一过程中()

A．机器不一定会发生强烈振动

B．机器一定会发生强烈的振动

C．若机器发生强烈振动，强烈振动发生在飞轮的角速度为ω0时

图7

A．驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态

B．驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3

C．假如让振子自由振动，它的频率为f2

D．振子做自由振动时，频率可以为f1、f2和f3

9．任何物体都有一定的固有频率，如果把人作为一个整体来看，在水平方向的固有频率

约为3～6Hz，竖直方向的固有频率约为4～8Hz，拖拉机驾驶员、风镐、风铲、铆钉机等操作工在工作时将做____________振动，这时若操作工的振动频率跟振源的频率____________就会对操作工的身体造成伤害，为保障操作工的安全与健康，有关部门做出规定，用手操作的各类振动机械的频率必须大于20Hz，这是为了防止____________ 所造成的危害．

10．如图8所示，轻直杆OC的中点悬挂一个弹簧振子，其固有频率为2Hz.杆的O端有固定有光滑轴，C端下边由凸轮支持，凸轮绕其轴转动，转速为n.当n从0逐渐增大到5转/秒过程中，振子M的振幅变化情况将是____________．当n＝________转/秒时振幅最大．若转速稳定在5转/秒，M的振动周期是________．

图8

11．如图9所示是一个单摆的共振曲线．

图9

(1)若单摆所处环境的重力加速度g取9.8m/s2，试求此摆的摆长．

(2)若将此单摆移到高山上，共振曲线的峰将怎样移动？

12．汽车的质量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝

1.5×105N/m.汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝1

2π

(l为弹簧的压缩长度)．若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2Hz，已知汽车的

质量为600kg，每个人的质量为70kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受？(已知π2＝10，g取10m/s2)

机械振动知识点

简谐运动及其图象知识点一：弹簧振子（一）弹簧振子如图，把连在一起的弹簧和小球穿在水平杆上，弹簧左端固定在支架上，小球可以在杆上滑动。小球滑动时的摩擦力可以，弹簧的质量比小球的质量得多，也可忽略。这样就成了一个弹簧振子。注意：（1）小球原来的位置就是平衡位置。小球在平衡位置附近所做的往复运动，是一种机械振动。（2）小球的运动是平动，可以看作质点。（3）弹簧振子是一个不考虑阻力，不考虑弹簧的，不考虑振子（金属小球）的的化的物理模型。（二）弹簧振子的位移——时间图象（1）振动物体的位移是指由位置指向_的有向线段，可以说某时刻的位移。说明：振动物体的位移与运动学中位移的含义不同，振子的位移总是相对于位置而言的，即初位置是位置，末位置是振子所在的位置。（2）振子位移的变化规律曲线。知识点二：简谐运动（一）简谐运动如果质点的位移与时间的关系遵从函数的规律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲线，这样的振动，叫做简谐运动。简谐运动是机械振动中最简单、最基本的振动。弹簧振子的运动就是简谐运动。（二）描述简谐运动的物理量（1）振幅（A）振幅是指振动物体离开位置的距离，是表征振动强弱的物理量。一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是变的，而位移是时刻在变的。（2）周期（T）和频率（f）振动物体完成一次所需的时间称为周期，单位是秒（s）；单位时间内完成的次数称为频率，单位是赫兹（H Z）。周期和频率都是描述振动快慢的物理量。周期越小，频率越大，表示振动得越快。周期和频率的关系是：

（3）相位（φ）相位是表示物体振动步调的物理量，用相位来描述简谐运动在一个全振动中所处的阶段。（三）固有周期、固有频率任何简谐运动都有共同的周期公式：2 T=m是振动物体的，k是回复力系数，对弹簧振子来说k为弹簧的系数。对一个确定的简谐运动系统来说，m和k都是恒量，所以T和f也是恒量，也就是说简谐运动的周期只由本身的特性决定，与振幅关，只由振子质量和回复力系数决定。T叫系统的周期，f叫频率。可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是2 T=。这个结论可以直接使用。（四）简谐运动的表达式 y=Asin（ωt+φ），其中A是，f ω==，φ是t=0时的相位，即初相位或初相。 T 知识点三：简谐运动的回复力和能量（一）回复力：使振动物体回到平衡位置的力。（1）回复力是以命名的力。性质上回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力。如在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧在伸长和压缩时产生的力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧力和力的合力。（2）回复力的作用是使振动物体回到平衡位置。回复力的方向总是“平衡位置”。（3）回复力是是振动物体在方向上的合外力，但不一定是物体受到的合外力。（二）对平衡位置的理解（1）平衡位置是振动物体最终振动后振子所在的位置。（2）平衡位置是回复力为的位置，但平衡位置是合力为零的位置。（3）不同振动系统平衡位置不同。竖直方向的弹簧振子，平衡位置是其弹力于重力的位置；水平匀强电场和重力场共同作用的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。（三）简谐运动的动力学特征 F回＝，a回＝－kx/m，其中k为比例系数，对于弹簧振子来说，就等于弹簧的系数。负号表示回复力的方向与位移的方向。也就是说简谐运动是在跟对平衡位置的位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的力作用下的振动。 = 。当振子振动过程中，位移为x时，由胡克定律（弹簧不超出弹簧振子在平衡位置时F 回 = ，k为弹簧的劲度系数，所以弹弹性限度），考虑到回复力的方向跟位移的方向相反，有F 回簧振子做简谐运动。（四）简谐运动的能量特征振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，总的机械能。振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越。知识点四：简谐运动过程中各物理量大小、方向变化情况（一）全振动振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。（二）弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况过程：物体从A由静止释放，从A→O→B→O→，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处：取OB方向为正：

二、单摆、受迫振动与共振

二、单摆、受迫振动与共振（一）单摆 1．装置：悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多。 2．做简谐运动的条件：最大摆角θ<10°。 3．回复力：回复力由重力的切向分力来提供，大小为x l mg F -=，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力不为零，方向指向悬点，作为圆运动的向心力。 4．单摆的周期：g l T π2=（与单摆的振幅、摆球的质量无关） 5．小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同，只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动，这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 。（二）受迫振动与共振 1．受迫振动：（1）含义：物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。（2）特点：物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 2．共振（1）共振曲线及特点 ①当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫共振。 ②物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。 ③产生某一振幅可能有两个不同的驱动力频率（2）共振的利用和防止 ①利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千…… ②防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢…… 1．等效单摆周期的求解在有些振动系统中l 不一定是绳长，g 也不一定为9.8 m/s 2 ，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题. （1）等效摆长：在振动平面内物体重心到旋转中心的距离. 例1．求出下述两种情况的振动周期

①在甲图中，三根等长的绳l 1、l 2、l 3共同系住一密度均匀的小球m ，球直径为d ，l 2、l 3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，其周期T 1= ．若摆球做垂直纸面的小角度摆动，其周期T 2= ． ②如图乙所示，已知单摆摆长为L ，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期T 3= ．解析：①若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在O 1处，故等效摆长为l 1＋2d ，周期T 1＝2πg d l /)2 (1+. 若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O 处，故等效摆长为l 1＋l 2sin α＋2d ，周期T 2＝2πg d l l /)2 sin (21++α. ②该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为g l T π 21=和g l T π=2，因此周期为：g l T T T 232221π =+= （2）等效重力加速度g ′：由单摆所在的空间位置和环境决定，g ′变化与否，关键是看加某种因素后对回复力又无影响。单摆位于天体表面附近摆动时，设天体的质量为M ，半径为R ，摆球的质量为m ，则其等效重力mg ′=GMm/R 2,等效重力加速度g ′=GM/R 2 例2．求出下述两种情况的振动周期： ①若给摆长为l 、摆球质量为m 的单摆带上电荷量为q 的正电荷，将其放在竖直向下的匀强电场E 中 ②若在上述单摆的悬点处或悬点的正上方固定另一正的点电荷或加一方向垂直于振动方向所在平面的匀强磁场解析：①让单摆平衡，将此时摆线张力大小写成与等效重力相等，即F=mg+qE=m （g+m qE ）=mg ′，将g ′=g+m qE 换下单摆周期公式中的g ，即为此种情况下单摆周期的大小：m qE g l T +=π2 ②若在悬点处固定点电荷或加上面所述磁场后，摆球除受重力、摆线拉力作用外，又增加了库仑力或洛伦兹力.但由于库仑力或洛伦兹力始终沿摆线方向，在摆球运动的圆弧轨迹切线方向均无分力，也就是说，加上上述点电荷或磁场后，对单摆振动的回复力无任何影响，因此对单摆振动的快慢无任何影响，即单摆周期应不变，仍为.g l T π 2= 2．利用振动图象分析单摆的有关问题例3．如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：

大学物理实验报告~单摆测重力加速度

西安交通大学物理仿真实验报告 ——利用单摆测重力加速度班级：：学号：

交通大学模拟仿真实验实验报告实验日期：2014年6月1日老师签字：＿＿＿＿＿同组者：无审批日期：＿＿＿＿＿实验名称：利用单摆测量重力加速度仿真实验一、实验简介单摆实验是个经典实验，许多著名的物理学家都对单摆实验进行过细致的研究。本实验的目的是学习进行简单设计性实验的基本方法，根据已知条件和测量精度的要求，学会应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，学习累积放大法的原理和应用，分析基本误差的来源及进行修正的方法。二、实验原理用一根绝对挠性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点，在重力作用下在铅垂平面作周期运动，就成为单摆。单摆在摆角小于5°（现在一般认为是小于10°）的条件下振动时，可近似认为是简谐运动。而在实际情况下，一根不可伸长的细线，下端悬挂一个小球。当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，此种装置近似为单摆。单摆带动是满足下列公式：进而可以推出： g L T π2=22 4T L g π=

式中L为单摆长度（单摆长度是指上端悬挂点到球重心之间的距离）；g 为重力加速度。如果测量得出周期T、单摆长度L，利用上面式子可计算出当地的重力加速度g。三、实验容 1.用误差均分原理设计单摆装置,测量重力加速度g. 设计要求: (1)根据误差均分原理,自行设计试验方案,合理选择测量仪器和方法. (2)写出详细的推导过程,试验步骤. (3)用自制的单摆装置测量重力加速度g,测量精度要求△g/g<1%. 可提供的器材及参数: 游标卡尺,米尺,千分尺,电子秒表,支架,细线(尼龙线),钢球,摆幅测量标尺(提供硬白纸板自制),天平(公用). 假设摆长l≈70.00cm;摆球直径D≈2.00cm;摆动周期T≈1.700s; 米尺精度△米≈0.05cm;卡尺精度△卡≈0.002cm;千分尺精度△千≈0.001cm;秒表精度△秒≈0.01s;根据统计分析,实验人员开或停秒表反应时间为0.1s左右,所以实验人员开,停秒表总的反应时间近似为△人≈0.2s.

单摆测重力加速度实验报告

一、实验目的 1.学会秒表、米尺的正确使用。 2.理解单摆法测定重力加速的原理。 3.研究单摆振动的周期与摆长、摆角的关系。 4.学习系统误差的修正及在实验中减小不确定度的方法。二、实验仪器单摆装置，停表（精度为0.01s ），钢卷尺（精度为0.05cm ），游标卡尺（精度为0.02mm ）。三、实验原理单摆的振动周期决定于重力加速度g 和摆长L ，只需要量出摆长L 并测定摆动周期，就能够得到g 。如图：当θ<5?时，圆弧可近似的看成直线，f 也可近似的看成沿着这条直线，则有sin θ=x L ，f=Fsin θ= -mg x L =-m g L x 由牛顿第二定律得：a=f m 则有 a=-g L x 令ω=g L x 最终得单摆的运动方程为 X=A cos(ωt +2π+φ) 其中T=2π ω =2π√ g =4π2 L T 考虑到摆球是有大小的，故g =4π2 L+ d 2T 摆长L 用米尺测量，摆球直径d 用游标卡尺测量，周期T 用停表测量。四、实验步骤 1.测量摆长L 。用米尺测量摆线支点与摆球顶点的距离l 。用游标卡尺测量小球的直径d ，则摆长L=l+d 2 。 2.测量摆动周期T 。用手把摆球拉直偏离平衡位置5度左右，让其在

一个垂直面内自由摆动，小球越过平衡位置瞬间开始计时，连续默数。 100次全振动时间t，T=t 100 3.为了减小误差，重复测量5次将数据记录于下表中。五、数据记录与处理

六、结果与讨论兰州的重力加速度g=9.973±0.005m/s2,结果有偏差，原因有以下几点; 1、测量单摆周期时的反应时间。 2、在测量摆线长度时对最后一位数字的估读。 3、环境方面，温度、湿度、空气阻力的变化都会影响实验结果。 4、悬线质量的影响。 5、摆角角度的影响。七、试验问题 1、直接测量单摆往返一次的时间会受到人的反应时间的影响，通过多次测量求平均值的方法可以减小误差。 2、1 11.4 3、受空气阻力影响摆幅越来越小，但其周期不变；用木球代替铜球时，因木球密度较小，受空气阻力的影响会变大。

如何演示共振现象

第30卷　第8期2001年8月中学物理教学参考Physics Teaching in Middle School Vol.30　No.8 Aug.2001 ●实验研究● 如何演示共振现象朱　红 (江苏常州师范学校　213004) 在演示共振现象时,一般我们是在一根张紧的细绳上悬挂几个固有频率相同和不同的图1 单摆,如图1所示,让单摆A 先摆动起来,对其它的单摆产生驱动力,其它的单摆也会振动起来,振幅越来越大,并且单摆B 、C 的振幅大于单摆D 、E 的振幅,同时单摆A 的振幅逐渐减小,直到为零;当单摆A 的振幅为零时, 单摆B 、C 的振幅达到最大,之后又逐渐减小,直到为零;此时,单摆A 和单摆D 、E 的振幅不为零,即单摆D 、E 的振幅又大于单摆B 、C 的振幅.在整个过程中,出现单摆B 、C 的振幅有时大于单摆D 、E 的振幅,有时又小于单摆D 、 E 的振幅,那么什么时候能说明产生了共振现象呢?有些老师从能量的观点来分析,指出当单摆B 、C 的振幅明显大于单摆D 、E 的振幅时,就可以认为产生了共振,实验就可以结束了.笔者认为,这种观点是不恰当的.严格地讲,如图1所示的这个实验装置是一种耦合振动系统,虽然与单摆A 固有频率相同的单摆B 、C 的最大振幅的确是最大的,但是其中每一个单摆都通过绳子受到了周期性的强迫力矩的作用,其运动现象是频率相近的两个同方向的简谐振动合成的“拍”,即振幅时大时小,做周期性的变化,而单摆B 、C 的振幅在某一瞬时最大并不是共振现象,因为共振时的振幅最大且不应该随时间的变化而变化.所以,笔者认为用上述实验装置来演示共振现象是不科学的.下面笔者介绍两种演示共振现象的小实验. 一、竹条(钢锯条)摆找一块硬泡沫塑料做底座,用两根窄的竹条竖直地插在泡沫底座上,再用两只小夹子夹在竹条上不同的位置处,做成“竹条摆”,如图所示实验时用手拿住底座,水平地往复运动,逐渐提高振动频率.你将会看到在某一特定的频率时,其中的一只摆振幅最大,这就是共振现象.当改变夹子的位置时,摆的固有频图2 率就发生改变,要发生共振,就必须改变往复运动的频率,即驱动力的频率.如果找不到竹条,也可用钢锯条来代替竹条,做成钢锯条摆,其效果也是一样的. 二、拍吊球用一根橡皮筋像绕线团一样绕在一只小橡胶球上,并将橡皮筋与球接触的根部用线拴图3牢,再将橡皮筋的另一端系在中指根部,把小球吊起来,如图3所示,然后像拍球一样上下摆动手掌.开始时以很低的频率拍球(如f =0.5Hz ),再逐次提高频率,在每次改变频率后,保持稳定一段时间,并且尽力维持驱动振幅大致相等.观察在驱动频率变化的过程中球所做受迫振动的情况,可以看到,在某一特定的频率时,球能够大幅度地上下运动,这时就是发生了共振,而在低于或者高于这个频率时,球的振幅反而变小,即使你使劲地拍也无济于事. 由于上述两种实验装置的制作与取材均非常容易,可以多准备几套,以便把演示实验改为学生随堂小实验,让学生自己去体会共振现象及其产生的条件.在实验过程中随着驱动力频率的变化,竹条摆和小吊球的振幅也随着发生变化,只有当驱动力的频率与他们的固有频率相等时,振幅才达到最大(并且在此频率时振幅不随时间的变化而变化),发生共振.利用这个过程,可以让学生自行探究出驱动力的频率与振幅之间的关系,从而帮助学生理解共振曲线2.. 84

音叉的受迫振动与共振实验

2.13音叉的受迫振动与共振实验受迫振动与共振等现象在工程和科学研究中经常用到。如在建筑、机械等工程中，经常须避免共振现象，以保证工程的质量。而在一些石油化工企业中，常用共振原理，利用振动式液体密度传感器和液体传感器，在线检测液体密度和液位高度，所以受迫振动与共振是重要的物理规律受到物理和工程技术广泛重现。【实验目的】（1）研究音叉振动系统在周期性外力作用下振幅与强迫力频率的关系，测量及绘制振动系统的共振曲线，并求出共振频率和振动系统振动的锐度，运用计算机进行实时测量，自动分析扫描的曲线。（2）音叉共振频率与对称双臂质量关系曲线的测量，求出音叉共振频率与附在音叉双臂一定位置上相同物块质量的关系公式。（3）通过测量共振频率的方法，测量一对附在音叉固定位置上物块的质量。【实验原理】 1．简谐振动与阻尼振动许多振动系统如弹簧振子的振动、单摆的振动、扭摆的振动等，在振幅较小而且在空气阻尼可以忽视的情况下，都可作简谐振动处理，即此类振动满足简谐振动方程（1） 02022=+x dt x d ω（1）式的解为（2）) cos(0?ω+=t A x 式中，A 为系统振动最大振幅，为圆频率，为初相位。 0ω?对弹簧振子振动圆频率，为弹簧劲度，为振子的质量，为弹簧的等效0 0m m K += ωK m 0m 质量。弹簧振子的周期满足T （3） )(402 2m m K T +=π但实际的振动系统存在各种阻尼因素，因此（1）式左边须增加阻尼项。在小阻尼情况下，阻

尼与速度成正比，表示为，则相应的阻尼振动方程为dt dx β2（4）022022=++x dt dx dt x d ωβ式中为阻尼系数。 β2．受迫振动与共振阻尼振动的振幅随时间会衰减，最后会停止振动，为了使振动持续下去，外界必须给系统一个周期性变化的力（一般采用的是随时间作正弦函数或余弦函数变化的力），振动系统在周期性的外力作用下所发生的振动称为受迫振动，这个周期性的外力称为策动力。假设策动力有简单的形式：，为策动力的角频率，此时，振动系统的运动满足下列方程 t F f ωcos 0=ω（5） t m F x dt dx dt x d ωωβcos '202022=++（5）式中，为振动系统的有效质量。 m ′式（5）为振动系统作受迫振动的方程，它的解包括两项，第一项为瞬态振动，由于阻尼存在，振动开始后振幅不断衰减，最后较快地为零；而后一项为稳态振动的解，其为) cos(?ω+=t A x 式中（6）()22222004ωβωω+?′= m F A 3．共振由式（6）可知，稳态受迫振动的位移振幅随策动力的频率而改变，当策动力的频率为某一特定值时，振幅达到极大值，此时称为共振。振幅达到极大值时的角频率为（7） 2 202βωωγ?=振幅最大值为图1共振曲线的锐度

单摆实验报告

广州大学学生实验报告院（系）名称物理系班别姓名专业名称物理教育学号实验课程名称普通物理实验I 实验项目名称力学实验：单摆实验时间实验地点实验成绩指导老师签名一、实验目的（1）学会用单摆测定当地的重力加速度。（2）研究单摆振动的周期和摆长的关系。（3）观察周期与摆角的关系。二、实验原理如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将小球自平衡位置拉至一边（摆角小于5°），然后释放，小球即在平衡位置左右往返作周期性的摆动，这里的装置就是单摆设摆点O 为极点，通过O 且与地面垂直的直线为极轴，逆时针方向为角位移的正方 mg cos θ mg sin θ L θ θ mg

向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合力必沿着轨道的切线方向且指向平衡位置，其大小 θ sin mg f = 设摆长为L ，根据牛顿第二定律，并注意到加速度的切向方向分量2 2dt d l a θθ?= ，即得单摆的动力学方程 θθ sin 22mg dt d ml -= 结果得 θωθ22 2=-=l g dt d 由上式可知单摆作简谐振动，其振动周期 g l T π ω π 22== 或 T l g 2 4π= 利用上式测得重力加速度g ，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆长L ，利用多次测量对应的振动周期T ，算出平均值，然后求出g ；第二，选取若干个摆长i l ，测出各对应的周期i T ，作出 i i l T -2图线，它是一条直线，由该直线的斜率K 可求得重力加速度。三、实验仪器单摆，秒表，米尺，游标卡尺。

单摆和受迫振动

网络课程内部讲义单摆及受迫振动教师：宋晓垒

https://www.360docs.net/doc/9f15398756.html, “在线名师”→ 资料室免费资料任你下载第5讲单摆及受迫振动一、知识要点 1．弹簧振子（1）周期：k m T π2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。（2）恢复力：在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。F = ?kx 2．单摆（1）单摆的恢复力：单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。（2）单摆的周期：当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期g l T π2=，与摆球质量m 、振幅A 都无关。其中l 为摆长，表示从悬点到摆球质心的距离，要区分摆长和摆线长。（3）等效摆：小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l 应该是圆弧半径R 和小球半径r 的差。（4）摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单： l l g f n 121 ∝=∝π 二、典型例题例1．摆长为L 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时（取作t =0），当振动到32L t g π= 时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图像是（）

https://www.360docs.net/doc/9f15398756.html, “在线名师”→ 答疑室随时随地提问互动例2．图（a ）为单摆的振动图象，图（b ）为单摆简谐运动的实际振动图示，试在（b ）图中标出t 时刻摆球所在的位置___________．例3．如图为一单摆的振动图象，设t 3=3π/2秒，则单摆的摆长为米，其动能变化的周期为秒，速度变化的周期为秒。三、单摆练习题1 1．关于回复力的说法正确的是（） A ．回复力是指与位移大小成正比的力 B ．回复力是指物体所受到的合外力 C ．回复力是从力的作用效果命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦力，还可以是几个力的合力或某个力的分力 D ．回复力的实质是向心力图 1 图 2 图3

高二物理选修3-4 受迫振动共振

高二物理选修3-4 受迫振动共振【教学目标】一、知识与技能 1、掌握阻尼振动的概念，知道阻尼振动中的能量转化的情况； 2、知道在什么情况下可以把实际的振动看作简谐运动； 3、知道受迫振动和共振的概念；特点以及它们的区别和共同点； 4、知道受迫振动的频率等于驱动力的频率；与固有频率不同； 5、知道发生共振的条件；知道共振的应用和防止的实例。二、过程与方法 1、通过再现实际振动情景，让学生知道实际的振动一般是阻尼振动 2、通过实际演示，总结归纳得到受迫振动的频率决定于驱动力的频率； 3、通过演示、举例，了解什么是共振, 并大致画出共振曲线，认识共振曲线的物理意义。 4、了解共振的应用和防止。三、情感态度与价值观 1、培养学生善于观察与思考的学习习惯。 2、通过受迫振动的频率由驱动力的频率决定，认识内因和外因的关系。通过共振的应用和防止的教学，渗透一分为二的观点； 3、懂得进行物理实验是学习与掌握物理知识的主要途经。【教学重点、难点】 1、重点：受迫振动的概念；共振的概念及产生共振的条件。 2．难点：受迫振动的频率由驱动力的频率决定；当f驱=f固时，物体受迫振动的振幅最大。【教学用具】 CAI课件、受迫振动演示仪、共振演示仪、两个相同的带有共鸣箱的音叉、小槌。【教学过程】一、创设情境，了解受迫振动我们刚刚学过了弹簧振子和单摆。在忽略到它们所受的空气阻力和摩擦力时，系统的机械能守恒，它们会以不变的振幅永不停息地振动下去。这种振动我们称为等幅振动。但是实际情况下这两种振子在振动过程中，肯定是要受到空气阻力的作用，

因此它们的振幅会越来越小，最后静止振动。这类振动我们称为阻尼振动。提问：是不是所有的振动，只要有空气阻力存在，它们的振动都会越来越慢，最终停止的呢？（稍作停顿，让学生思考）通过两个实例来帮助学生思考：事例一：机械钟摆在摆动过程中，虽然受空气阻力，但是我们只要定期给这座钟上发条，它会不会停下来？事例二：如果一个人坐在秋千上玩，那秋千荡了一会就会停下来，那是因为秋千在荡的过程中要受到空气阻力的作用。但如果旁边有一个人帮助推一下，只要他不停的推一下，那秋千摆动就不会停下来。一般情况下，在空气中的振动最终都要停下来，但如果定期给它一个动力，用来补偿空气阻力所造成的能量损失，这个振动就可以一直维持下去。这种周期性的外力就叫做驱动力；这种情况下振子的振动已非己愿，它是被迫振动，所以物体在驱动力作用下的振动就称之为受迫振动。 (5) ⑤机器底座在机器运转时发生的振动 . 二、进一步认识受迫振动通过刚才的学习，我们知道物体在周期性的驱动力作用下所做的振动叫受迫振动；那么做受迫振动的物体还是不是按自身的固有频率振动的呢？受迫振动实验：介绍实验装置，先让振子做自由振动，说明振子做自由振动时周期与振幅无关，振子的频率或周期是振子的本身的属性，所以他们的频率或周期称之为固有频率或固有周期。说明摇柄的作用，再摇动摇柄，让学生注意观察摇柄的节奏和下面所挂弹簧振子的振动关系。从而定性说明摇得越快，下面的弹簧振子振动得也越快。同学们可以这样想：如果我用手握住下面所挂的勾码，让勾码振动起来，那是不是要它快就快，要慢就慢呢？这时振子的振动频率就和我的手的频率或周期保持一致。能够从这个实验中得出什么结论？

18单摆实验报告

实验：练习使用游标卡尺用单摆测定重力加速度班级姓名座号. 一、实验目的： 1．练习使用游标卡尺，掌握读数方法。 2．用单摆测定当地的重力加速度。二、实验原理：（一）游标卡尺游标卡尺，是一种测量长度、内外径、深度的量具。游标卡尺由主尺和附在主尺上能滑动的游标两部分构成。主尺一般最小分度值为豪米，而游标上则有10、20或50 个分格，根据分格的不同，游标卡尺可分为十分度游标卡尺、二十分度游标卡尺、五十分度格游标卡尺等，游标为10分度的有9mm，20分度的有19mm，50分度的有49mm。游标卡尺的主尺和游标上有两副活动量爪，分别是内测量爪和外测量爪，内测量爪通常用来测量内径，外测量爪通常用来测量长度和外径。游标卡尺的读数可分为三步：第一步读出主尺的零刻度线到游标尺的零刻度线之间的整毫米数a（如右图，a＝10mm）；第二步根据游标尺上与主尺对齐的刻度线读出毫米以下的小数部分b（如右图，b＝17×＝，其中“17” 为游标尺与主尺对齐的游标尺的刻度，“”为游标卡尺的精度）；第三步把两者相加就得出待测物体的测量值c （c＝a+b＝）．游标卡尺的读数结果一般先以毫米为单位，然后再换算成所需要的单位。游标卡尺的读数一般不用估读。（二）测当地重力加速度当单摆偏角很小时（θ<5°），单摆的运动为简谐运动，根据单摆周期T＝2π l g得g ＝4π2l T2，因此，只需测出摆长l和周期T，便可测定g。三、实验器材：中心有小孔的金属小球、长约1米的细线、铁架台（带铁夹）、刻度尺、秒表、游标卡尺。四、实验步骤： 1．制作单摆：让细线的一端穿过小球的小孔，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂．且在单摆平衡位置处作标记，如右图所示． 2．观察单摆运动的等时性． 3．测摆长：用米尺量出摆线长l′，精确到毫米，用游标卡尺测出小球

高中物理-机械振动-简谐振动-单摆

单摆单摆的概念单摆是一种理想的物理模型，它由理想化的摆球和摆线组成。单摆是能够产生往复摆动的一种装置，将无重细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端固结一个重小球，就构成单摆。单摆的周期公式若小球只限于铅直平面内摆动，则为平面单摆，若小球摆动不限于铅直平面，则为球面单摆。单摆运动近似的周期的公式：其中L指摆长，g是当地重力加速度。从公式中可看出，单摆周期与振幅和摆球质量无关。

受力角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，加速度（gsinθ）越大，在相等时间内走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效可以套用单摆的周期公式，这类问题称为“等效单摆”。等效单摆在生活中比较常见．除等效单摆外，单摆模型在其他问题中也有应用。绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，但其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为l且不能伸长的细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5°，放手后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T 只和l和当地的重力加速度g有关，即而和质块的质量、形状和振幅的大小都无关系，其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。如果振动的角度大于5°，则振动的周期将随振幅的增加而变大，就不成为单摆了。如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，就成为复摆（物理摆），周期就和摆球的尺寸有关了。利用单摆测当地重力加速度的实验单摆只在最大摆角小于等于5°时，单摆的振动才可以近似看为为简谐振动。单摆的固有周期公式：由该式可推导：

单摆共振联系整理

【例2】下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是……………………………（） A 、回复力是重力和摆线拉力的合力 B 、回复力是重力沿圆弧方向的一个分力 C 、单摆过平衡位置时合力为零 D 、回复力是摆线拉力的一个分力【例4】甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角αα>乙甲，（αα乙甲、都小于10）由静止开始释放，则……………………………………… （） A 、甲先到达平衡位置 B 、乙先到达平衡位置 C 、甲、乙同时到达平衡位置 D 、无法判断【例5】将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是…………………（） A 、将摆球的质量减半 B 、振幅减半 C 、摆长减半 D 、摆长减为原来的14 【例6】一个打磨得很精细的小凹镜，其曲率很小可视为接近平面．将镜面水平放置如图所示．一个小球从镜边缘开始释放，小球在镜面上将会往复运动，以下说法中正确的是（） A ．小球质量越大，往复运动的周期越长 B ．释放点离最低点距离越大，周期越短 C ．凹镜曲率半径越大，周期越长 D ．周期应由小球质量、释放点离平衡位置的距离，以及曲率半径共同决定 1．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的12 ，则单摆振动的 A ．频率不变，振幅不变 B ．频率不变，振幅改变 C ．频率改变，振幅改变 D ．频率改变，振幅不变 2．在一个单摆装置中，摆动物体是个装满水的空心小球，球的正下方有一个小孔，当摆开始以小角度摆动时，让水从球中连续流出，直到流完为止，则此摆球的周期将 A ．逐渐增大 B ．逐渐减小 C ．先增大、后减小 D ．先减小、后增大 5．关于单摆的周期和频率，下列说法正确的是：（） A ．将单摆从地球北极移到赤道时，振动周期变小 B ．将单摆从地面移到距离地面高度为地球半径时，振动周期变为原来的2倍 C ．同一单摆，在同一地点冬天气温低时的频率比夏天气温高时的频率要低 D ．将单摆移到绕地球运行的卫星中时，它将不振动 6．如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a 、b 、c 、d 、e 五个单摆，让a 摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有（） A ．各摆的振动周期与a 摆相同 B ．各摆的振幅大小不同，c 摆的振幅最大 C ．各摆的振动周期不同，c 摆的周期最长 D ．各摆均做自由振动 4．细长轻绳下端拴一个小球构成单摆，在悬挂点正下方12 摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图2所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法正确的是 A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小 B ．摆球在左右两侧上升的最大高度一样 C ．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等 D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍【例9】一只单摆在第一行星表面上的周期为T 1，在第二行星表面上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比M 1∶M 2=4∶1，半径之比R 1∶R 2=2∶1，则（） ∶T 2=1∶1 ∶T 2=4∶1 ∶T 2=2∶1 ∶T 2=22∶1 6．一个摆长约1 m 的单摆，在下列的四个随时间变化的驱动力作用下振动，要使单摆振动的振幅尽可能增大，应选用的驱动力是

受迫振动与共振教学设计

1.5 受迫振动与共振【教学目标】 (一)知识目标 1.知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例； 2.知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关； 3.知道什么是共振以及发生共振的条件； 4.知道共振的应用和防止的实例。（二）能力目标 1.通过分析实际例子，得到什么是受迫振动和共振现象，培养学生联系实际，提高观察和分析能力； 2.了解共振在实际中的应用和防止，提高理论联系实际的能力。（三）德育目标 1.通过共振的应用和防止的教学，渗透一分为二的观点； 2.通过共振产生条件的教学，认识内因和外因的关系。【教学重点】 1.受迫振动概念的建立； 2.什么是共振及产生共振的条件。【教学难点】 1.物体发生共振决定于驱动力的频率与物体固有频率的关系，与驱动力大小无关； 2.当f＝f＇时，物体做受迫振动的振幅最大。【教学方法】实验演示、总结归纳与多媒体教学相结合【教具准备】受迫振动演示仪、共振演示仪、两个相同的带有共鸣箱的音叉、橡皮槌、CAI课件

【教学过程】（一）导入新课实际的振动系统不可避免地要受到摩擦阻力和其他因素的影响，系统的机械能损耗，导致振动完全停止，这类振动叫阻尼振动。物体之所以做阻尼振动，是由于机械能在损耗，那么如果在机械能损耗的同时我们不断地给振动系统补充能量，物体的振动情形又如何呢?本节课我们来学习这一问题。（二）新课教学 1、受迫振动演示：用如图所示的实验装置，向下拉一下振子，观察它的振动情况。现象：振子做的是阻尼振动，振动一段时间后停止振动。演示：请一位同学匀速转动把手，观察振动物体的振动情况。现象：现在振子能够持续地振动下去。分析：使振子能够持续振动下去的原因，是把手给了振动系统一个周期性的外力的作用，外力结系统做功，补偿系统的能量损耗。 (1)驱动力：使系统持续地振动下去的外力，叫驱动力。 (2)受迫振动：物体在外界驱动力作用下所做的振动叫受迫振动。要想使物体能持续地振动下去，必须给振动系统施加一个周期性的驱动力作用。受迫振动实例：发动机正在运转时汽车本身的振动；正在发声的扬声器纸盒的振动；飞机从房屋上飞过时窗玻璃的振动；我们听到声音时耳膜的振动等。 (多媒体展示几个受迫振动的实例) ①电磁打点计时器的振针；②工作时缝纫机的振针；③扬声器的纸盒；④跳水比赛时，人在跳板上走过时，跳板的振动；⑤机器底座在机器运转时发生的振动。 (3)受迫振动的特点做简谐运动的弹簧振子和单摆在振动时，按振动系统的固有周期和固有频率振动。通过刚才的学习，我们知道物体在周期性的驱动力作用下所做的振动叫受迫振动；那么周期性作用的驱动力的频率、受迫振动的频率、系统的固有

大学物理实验报告-单摆测重力加速度

大学物理仿真实验实验报告拉伸法钢丝测杨氏模量

实验名称：拉伸法测金属丝的杨氏模量一、实验目的 1、学会测量杨氏模量的一种方法； 2、掌握光杠杆放大法测量微小长度的原理； 3、学会用逐差法处理数据；二、实验原理任何物体（或材料）在外力作用下都会发生形变。当形变不超过某一限度时，撤走外力则形变随之消失，为一可逆过程，这种形变称为弹性形变，这一极限称为弹性极限。超过弹性极限，就会产生永久形变（亦称塑性形变），即撤去外力后形变仍然存在，为不可逆过程。当外力进一步增大到某一点时，会突然发生很大的形变，该点称为屈服点，在达到屈服点后不久，材料可能发生断裂，在断裂点被拉断。人们在研究材料的弹性性质时，希望有这样一些物理量，它们与试样的尺寸、形状和外加的力无关。于是提出了应力F/S（即力与力所作用的面积之比）和应变ΔL/L（即长度或尺寸的变化与原来的长度或尺寸之比）之比的概念。在胡克定律成立的范围内，应力和应变之比

是一个常数，即 L S FL L L S F E ?=?=/)//()/(（1） E 被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅与材料的结构、化学成分及其加工制造方法有关。某种材料发生一定应变所需要的力大，该材料的杨氏模量也就大。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。通过式（1），在样品截面积S 上的作用应力为F ，测量引起的相对伸长量ΔL/L ，即可计算出材料的杨氏模量E 。因一般伸长量ΔL 很小，故常采用光学放大法，将其放大，如用光杠杆测量ΔL 。光杠杆是一个带有可旋转的平面镜的支架，平面镜的镜面与三个足尖决定的平面垂直，其后足即杠杆的支脚与被测物接触，见图1。当杠杆支脚随被测物上升或下降微小距离ΔL 时，镜面法线转过一个θ角，而入射到望远镜的光线转过2θ角，如图2所示。当θ很小时， l L /tan ?=≈θθ（2）式中l 为支脚尖到刀口的垂直距离（也叫光杠杆的臂长）。根据光的反射定律，反射角和入射角相等，故当镜面转动θ角时，反射光线转动2θ角，由图可 D b =≈θθ22tan （3）式中D 为镜面到标尺的距离，b 为从望远镜中观察到的标尺移动的距离。

单摆-问题

单摆单摆振动周期振幅环境讨论高中物理课本把悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这种装置叫单摆，如图1所示。单摆在振动过程中，回复力由重力在速度方向的分力提供。当摆球运动到任一点P 时重力沿速度方向的分力θsin 2mg G =，在 05<θ时，L x ≈ θsin ,回复力x L mg F -=，单摆做简谐振动，振动周期表示为g L T π2=，跟振幅和摆球的质量无关。一、周期与振幅的关系关于简谐振动的周期与振幅无关的结论，只是在一定条件下的近似，严格说来，其周期与振幅是有关的。由牛顿第二定律可知，单摆的运动方程为 θθ sin 22mg dt d mL -= ① 即0sin 22=+θθL g dt d ，当振幅很小时，摆角θ也很小，θθ≈sin ,方程由非线性振动转化为线性振动，即022=+θθL g dt d ② 其解为)cos(0?ωθθ+=t ，式中θ0为最大摆角（振幅），角频率L g = ω，?为初相位，符合简谐振动的特点，其周期为g L T π ω π 22==，在摆角θ小于50时，周期T 与振幅和摆球的质量无关。值得指出的是，当摆角较大时，θθ≠sin ，由方程①知单摆做非线性振动，振动周期随振幅变化，周期T ’表示为 ?? ? ???+++?= 2sin 6492sin 41120402'θθπ g L T . G G 1图1

相对误差 2 sin 410 2'θη≈-=T T T . 当0θ取不同的值时，相对误差如下表所示：显然，当005<θ时，相对误差小于1‰，单摆由非线性振动转化为线性振动，周期T 与振幅和摆球的质量无关，这就是单摆线性振动的等时性。荷兰物理学家惠更斯正是利用了单摆的这种等时性发明了带摆的计时器，通过改变摆长可以很方便地调节摆的周期。二、周期与地理位置的关系常见的问题有两类： 1、把单摆由赤道移向两极时周期发生变化由于越靠近两极，重力加速度越大，周期变小。对于纬度相同或相近的不同地区，由于地质构造不同，重力加速度也存在着差别。 2、把一单摆分别置于半径为1R 、2R ，质量分别为1M 、2M 的两行星表面上，求振动周期之比。从公式g L T π 2=中不难看出，周期的大小取决于行星表面的重力加速度，若忽略行星自转的影响，则有 2 2 222111,R m GM mg R m GM mg == . 即 2121221)(M M R R g g ?=,所以周期之比 2 1 12211 21 222M M R R g g g L g L T T ? == =π π. 三、周期与高度的关系例如，一单摆在地球表面的振动周期为0T ，把它移到h 米高处的周期是多少？（设地球半径为R ）设地球质量为M ，由牛顿第二定律，有 mg r Mm G =2，

单摆教学中的几个等效问题

单摆教学中的几个等效问题魏自成在物理问题中，一个过程或一个状态的确定，往往由多个因素所决定，在这些因素中，有些或某一个因素是等效的，他们可以互相代替，而对过程中发展规律和状态的确定及最后结果无影响，这种研究问题的方法就是等效法。尤其是一些问题，从正面分析求解时，演算冗长，计算复杂或超出中学数学知识范畴。若用等效替代法，则能独辟路径，化繁为简，收到事半功倍的效果，本文以单摆为例，阐明存在的几个等效问题。一、l 为等效摆长例1、如图1、三根等长的绳L 1、L2、L 3匀的小球m ，球的直径为d ，L 1、L2、与天花板的夹角α＜30若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则振动周期T 1= ；若摆球在垂直于纸面的平面内小角度摆动，则振动的周期T 2= ！解析：摆球在纸面内做简谐运动，O 1为L 1+d/2，周期T 1= 摆球做垂直于纸面的简谐振运动，摆动圆弧的圆心在O 点，所以等效摆长为L 1+L 2sin α+d/2,周期T 2= 例2、如图2、一双线摆两摆线长都是L 与水平天花板夹角为α了，当摆球在垂直纸面内做简谐运动时，此摆周期T= 解析：此悬点等效在O 点，摆长为l ,=α.从而T= 二、g 理解为等效加速度例如单摆置于加速度为a 且匀加速上升的升降机中，处于超重状态，加速度g ’= g d L 2/21+π g d L L 2 /221++πg L /sin 2απA B M L αo 图一 ! 图二

(g+a),此时回复力切向分力视重为m(g+a),不论摆处于什么情况下，在其平衡位置 “产生”加速度可等效为单摆的“重力”加速度，例3、如图3 ，在倾角为α的光滑斜面上，有一摆长为l 的单摆，球的质量为m ，当单摆运动时，求其周期。解析：小球在振动时，静止在o 点，所以其平衡位置是o 点，等效重力是（mg ）’= Mgsina,等效加速度g ’=gsina,则单摆周期T=2π 例4 如图4 所示，光滑斜面倾角为θ了，斜面上有一挂有单摆的小车，在小车下滑过程中，单摆同时振动，已知摆长为l ，求单摆的振动周期。解析：小球若不摆动，随小车一起加速下滑，其平衡位置如图所示，悬线拉力即视重T=mgscos θ,单摆做简谐运动时，等效重力加速度g ’= =gcos θ则小球周期 T=2π 三、模型的等效￥很多振子的振动，虽然不是单摆的真实振动，但有一些振动可以等效成单摆振动，振动规律与单摆振动规律是相同的。例5 如图5 ，一个半径为R 的光滑圆形槽，O 点是弧形槽中最低点，半径R BOA 的弧长，一个球由静止从A 点开始释放，小球就在弧形槽内来回运动，求质点A 第一次到达O 点经历的时间。解析：质点从A 点开始释放后，振子将左右来回振动，由于AOB ＜R ，这样，满足单摆的条件θ＜5° 图五支持力N 等效成绳的拉力T ，O ‘ 点等效成单摆的悬点，半径R 等月效成单摆的摆长L 从而等效成单摆振动，则振动周期T=2π a g l sin /m T cos /g l o 'o α g R /O P A R B O ' ^ 图三图四

2单摆 共振 第二讲