分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题 2
分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件
的拉普拉斯方程的边值问题
33 隋沆锐34 程文博29袁盼盼
分离变量法又称fourier 级数法，是求解数学物理定解问题问题的一种最普遍最基本的方法之一。从数学的角度来说，其基本的思想是降低自变量的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。
● 分离变量法的主要步骤：
（1） 根据区域边界的形状，适当选择坐标系。选取的原则是使坐标面与边界面一致，这
样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式最为简单。
（2） 将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定
解问题。
（3） 确定特征指和特征函数。当边界条件是齐次时，求特征值和对应的特征函数就是求
一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。
（4） 定出特征值和特征函数后，再求其他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘，
得到变量分离的特解。
（5） 为了得到原定解问题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中
任意常数有其他条件确定。
（6） 为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相容性要求，
以保证微分运算得以进行，并使微分后的级数任然是收敛的。
● 用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律： 1.设)(),...,('),(x f x f x f n 在区间【0，L 】上连续，)0(1
+m f
在【0，L 】上分段连续，
,22....2,0,0)()0(??
?
???===m n L f f n n
其中【x 】表示不超过x 的最大整数。那么，如果函数f （x ）在区间【0，L 】上可以张开傅里叶正弦级数
)1(],,0[,sin
~)(1
L x L
x
n b x f n n ∈∑∞
=π 则级数
∑∞
=1
||n n m
b n
是收敛的。类似的，如果)(x f 在],0[L 上可以展开成傅里叶余弦级数
)2(],,0[,cos 2~)(10L x L
x n a a x f n n ∈+∑∞=π
则级数||1n n m a n ∑∞
=是收敛的。这里??
???
====??.....2,1,0,sin )(2,....2,1,0,cos )(200n dx L x n x f L b n dx L x n x f L a L n L n ππ
?
+∞
-+=
2
2;cos y x y
xd e y ααα
;2
cos ,2sin ix
ix ix ix e e x i e e x --+=-=
?
∞
+-
-=
4.2cos 2
2
b
x b e
b
xdx e απ
α
2．给出拉普拉斯方程二维极坐标边值齐次方程：
?????
≤≤=≤≤≤≤=++)2(0
)(),()
20,(0 0112πθθθπθθθf l u l r u r
u r u r rr 其中)(θf 为已知函数且有).2()(πθθ+=f f 得解的公式是
??θ?π
θπ
d r
lr l r l f r u 2
22
220
)cos(2)(21),(+---=
?
●1. 解二维齐次方程的拉普拉斯方程的边值问题： 题目1：求解下列边值问题
??
?
??≤≤==≤≤==<<<<+=?;0,0),(),0(,0),(),(),()0,(,0,0,b y y a u y u a x x g b x u x f x u b y a x u u u x x yy xx （1） 其中f(x),g(x)是给定的已知函数。
解：设解u=X(x)Y(y),代入式（1）中的方程，得
λ-=-=)
()
('')()(''y Y y Y x X x X , 由此得
,0)()(''=-y Y y Y λ 0 和 ,0)()(''=+x X x X λ 0 由边值问题（1）中的齐次边界条件，得 X ’(0)=X ’(a)=0. （4） 由（3）和（4），得特征值和对应的特征函数为 )5...(2,1,0,0,cos )(,2 =≠=? ? ? ??==n An a x n An x Xn a n n ππλλ 此时式（2）变为 0,Y(y)a n )(''2 =?? ? ??-πy Y 0 其通解为 ,....2,1,e C Yn(y) D y C (y)Y a y n n 0,00=+=+=- n e D a y n n ππ 利用叠加原理，设边值问题（1）的形式解为 ∑∑∞ =∞ =??? ? ??+++==01a y n - a y n 00cos )()(),(n n n n a x n e b e a y b a y Yn x Xn y x u πππ （6） 由（1）中的非齐次边界条件，得 ∑∑∞ =-∞ =??? ? ??+++==++==1a b n 001 000cos ),()(, cos )()0,()(n a b n n n n a x n e b e a bb a b x u x g a x n b a a x u x f ππππ 由此可得（n=1,2,…） ?=a dx x f a a 0 0,)(1 和 ???=+=+= +-a a x n n a x n n a n n a dx a x n x g a e b e a dx a x n x f a b a dx x g a bb a 00000. cos )(2,cos )(2,)(1ππππ 从中可以定出an,bn(n=0,1,2…),从而得到边值问题（1）的级数形式解（5） 我们取a=b=π,f(x)=x,g(x)=0;则 ? ? --= = += = π π π ππ π0 2 0)1)1((2cos 2 ,2 1 n n n n nxdx x b a xdx a 和 .0,000=+=+-ππ πn n n n e b e a b a 解得 ,..2,1,,) 1()1)1((2,212220=-=---=-=n e a b e n a b n n n n n n π ππ 代入式（5），得到所求的解为 ∑ ∞=---+-=12 c o s s i n h ) (s i n h )1)1((2)(21),(n n nx n y n n y y x u ππππ 题目2：关于圆的Neumann 问题 考虑圆的Neumann 问题 ??? ??==??=??<=?.),(,,0R r f r u n u R r u θ 在确定Neumann 问题的解之前，首先建立关于解存在的必要条件。这对于从实际问题中提 出数学问题，给出适当的Neumann 问题边界值是很重要的。由高等数学知， ds y u x u ds n u B B )cos cos (βα??+??=???? ?? =+= D yy xx dxdy u u ,0)( 其中B 为区域D 的正向边界。 于是，得出Neumann 问题的相容条件为 .0? =B fds 这就是Neumann 问题有解之必要条件。 对于圆域，有 ,0)(20 ? =π θθd f R 即 ,0)(20 ? =π θθd f 其次，求Neumann 问题的解。 设),()(),(θθΘ=r R r u 同Dirichlet 问题一样，Laplace 方程的解为 )1(1 ),sin cos (2),(0∑∞=++=k k b k a r a r u k k k θθθ 上式对r 微分，得 ∑∞=+=??-1 ),sin cos (1 k k b k a kr r u k k k θθ 代入边界条件 )2(1 ).sin cos ()(1∑∞=+==??-=k k b k a kR f r u k k k R r θθθ 因此 ,2,1,cos )(1 20 1== ?-k d k f R k a k k πτττπ .,2,1,sin )(1 201 ==?-k d k f R k b k k πτττπ 注意，若设)(θf 的Fourier 系数为2 0A ,k k k a kR A 1-=，k k k b kR B 1 -=，由Neumann 问题的必要条件，立刻有 ,0)(1 20 0? == π ττπ d f A 这是)(θf 可能展成（2）的原因。 将k k b a ,的值代入（1），得 )3(,)(1)(c o s 12),(200?∑??? ?????∞=-??? ??+=πτττθπθd f k k R r k R a r u k 其中0a 是任意常数。 因为Neumann 问题是以导数的形式给出边界条件，所以Neumann 问题的解有一个自由常数 是合理的。顺便指出，对一般区域的Neumann 问题 ??? ??=??=??=?.),(,,0上在内在B f r u n u D u θ 若u 为解，则u+c 也是解，可见解不唯一，但诸解之间仅相差一个常数，故可以说Neumann 问题的解，除任意常数外是唯一的。 另外，式（3）中的被积表达式可以化成 [] )4(,)cos(21ln 21 1)(cos 12τθρρτθρ--+-=∞=-∑k k k k 其中 R r = ρ. 下面给出上述等式的证明。 从上式得到的公式 2 2 )cos(2111 )(cos 21ρτθρρτθρ+---=∞ =-+∑k k k 于是 2 1)cos(21) cos(22211)(cos ρ τθρτθρτθρ+----- =∞ =-∑-k k k ， 对上式两端积分 ?∑? +----- =∞ =--ρρ ξξ τθξτθξξτθξ020 1)cos(21) cos(22211 )(cos d k d k k . 则有 [] ,)c o s (21ln 211 )(cos 12 τθρρτθρ--+-=∞=-∑k k k k 将（4）应用到（3）中去，有 ? ????? ?+---=π τττθπ θ20 220)()c o s (21ln 22),(d f R r R r R a r u [] ? +---= π τττθπ 20 220)()cos(2ln 22d f r r R R a . 这就是圆域上Neumann 内问题的解 ●2. 解三维齐次方程的拉普拉斯方程的边值问题： 考虑立方体内的稳态温度分布问题 ????? ????======<<<<<<=++=?). ,()0,,(0),,(, 0),,(),0,(,0),,(),,0(0,0,0,0y x f y x u y x u z x u z x u z y u z y u z y x y u u u zz yy xx ππππππ 设u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z), 代入方程得 ,0''''''=++XYZ Z XY YZ X 两边同除XYZ 得 因为右边是Z 的函数，左边是x,y 的函数，若两边相等，必须有 )(''''''常数λ=-=+Z Z Y Y X X 同样 （常数）μλ=-=Y Y X X ' ''' 因此方程分离成下面三个常微分方程 . 0'',0)('', 0''=+=--=-Z Z Y Y X X λμλμ 再分离边界条件，得到关于X 的固有值问题 ? ? ?===-.0)()0(0''πμX X X X ， 求得固有值,...)2,1(-2 ==m m μ ，对应的固有值函数.sin mx 类似的，得到关于Y 的固有值问题 ? ? ?===--.0)()0(0)(''πμλY Y Y Y ， 得固有值(),,...2,1--2 ==n n μλ 对应固有值函数 .sin ny 由上面两个固有值有） （2 2--n m -=μλ，于是 (),22F z n m Csh Z ++= 代入条件，）（0Z =π得 )(22z n m Csh Z -+=π 于是，满足齐次边界条件的Laplace 方程的解取下面的形式 ∑∑∞=∞ =-+=11 22.sin sin )(),,(n n mn ny mx z n m sh a z y x u π 最后应用非齐次边界条件得： ∑∑∞=∞ =+=11 22.sin sin )(),(n n mn ny mx n m sh a y x f π 将上式两边乘以，ly kx sin sin 对应y x ,分别0从π积到，由固有函数系的正交性，得 ,sin sin ),(4 2 22lydxdy kx y x f l k sh a kl ?? = +ππ π π 将k,l 换成m,n ，并设,22πn m sh a b mn mn +=因此，得立方体的Dirichlet 问题的解为 ∑∑∞=∞ =+-+=12 2 221 .sin sin )(),,(n n mn ny mx n m sh z n m sh b z y x u π π ● 3.相关应用： 题目1：矩形上的Laplace 方程的边值问题 考虑由下述定解问题描述的矩形平板（0≤x ≤a ，0≤y ≤b ）上的温度分布的平衡状态： ?? ? ??≤≤==≤≤==<<<<=+;0,0),(),()0,(,00),(,0),0(, 0,0,0a x b x u x f x u b y y a u y u b y a x u u yy xx 其中f(x)是已知的连续函数，且满足相容性条件f(0)=f(a)=0. 分离变量，令u(x,y)=X(x)Y(y)，代入方程得 ;0)()()('')(''''=+y Y x X y Y x X 即 .) () ('')()(''y Y y Y x X x X = 同上知，该比值是常数，记为－λ，即 ? ??=-=+.0)()('', 0)()(''y Y y Y x X x X λλ 利用边界条件知，X(0)=X(a)=0，这样就得到特征值问题 ?? ?==<<=+. 0)()0(, 0,0)()(''a X X a x x X x X λ 由例 知， ,2,1,0,2 2 =>?? ? ??=n def a n n n n ββπλ 是其全部特征值，对应的特征函数是 ,2,1,sin )(==n x x X n n β 方程0''2 =-Y Y n β的通解为 ,2,1,)(=+=-n e D e C y Y y n y n n n n ββ 至此，得到一列特解 ,2,1,s i n )()()(),(=+==-n x e D e C y Y x X y x u n y n y n n n n n n βββ 叠加后得到 .sin )(),(1 ∑∞ =-+= n n y n y n x e D e C y x u n n βββ 下面利用Fourier 级数来确定系数n C 和n D 由边界条件知 ??? ???? +==+==∑∑∞ =-∞ =,sin )(0),(,sin )()()0,(11 n n b n b n n n n n x e D e C b x u x D C x f x u n n ββββ 所以 ,0,=+=+-b n b n n n n n n e D e C f D C ββ 其中 ?= a n n zdz z f a f 0 .sin )(2β 解之得 ,,n b b b n n b b b n f e e e D f e e e C n n n n n n ββββββ----=--= 从而 .sin sin )()(2),(10∑?∞=?? ????-=n n a n n n x zdz z f b sh y b sh a y x u ββββ 为问题的形式解，其中./a n n πβ= 题目2：球体内的Dirichlet 问题 球体内的电位问题： ???? ??? =<<<<<≤+=+++),,(),,(,20,0,0,sin 1cot 12222?θ?θπ?πθθθ??θθθf a u a r u r u r u r u r u u r rr 其中 θθ?θ? c o s ,s i n s i n ,s i n c o s r z r y r x ===。 设),()()(),,(?θ?θΦΘ=r R r u 代入方程，得 ;0"sin 1'cot '2"222=ΘΦ+ΦΘ+ΘΦ+ ΘΦR r R r R r R θ θ 上式两边同除ΘΦ"R ，再乘以2 r ，得， ,"sin 1'cot " '2"22λθθ=?? ????ΦΦ+ΘΘ+ΘΘ-=+R R r R R r 于是，得 )1(,0'2"2=-+R rR R r λ ." sin 'cos sin "sin 22μθλθθθ=Φ Φ-=+ΘΘ+ΘΘ 上式整理得 ) 3(. 0") 2(,0)sin ('cos sin "sin 22=Φ+Φ=Θ-+Θ+Θμμθλθθθ 方程（3）的通解为 ,sin cos )(μ?μ??B A +=Φ 由周期条件，得 ......)2,1,0(==m m μ 根据（1）是Euler 方程，设解为R （r ）=,β r 代入方程（1），得 .02=-+λββ 解得根为)411(2 1 λβ++-= 和)1(β+-。因此，方程的通解为 .)() 1(ββ +-+=Dr Cr r R 对于方程（2），设θξcos =，则方程化为 ,01)1('2")1(222 =Θ??? ?? ?--++Θ-Θ-ξββξξm 这是连带的Legendre 方程，当......),2,1,0(==n n β通解 )(cos )(cos )(θθθm n m n FQ EP +=Θ。 )(θΘ在πθ,0=时连续，相应地要求)(ξΘ在1±=ξ处连续，但)(ξm n Q 在1±=ξ处是无 界的，所以取F=0，于是 ).(cos )(θθm n EP =Θ 所以定解问题的解为 )sin cos )((cos ),,(00??θ?θm b m a P r r u nm nm m n n n m +=∑∑ ∞=∞ = （4） 代入边界条件，有 ),sin cos )((cos ),(00 ??θ?θm b m a P a f nm nm m n n n m += ∑∑ ∞ =∞ = 将上式两边同乘以,cos )(cos ?θm P m n 并对θξcos =从-1到1及对?从0到2π积分，得 , sin cos )(cos )sin cos )((cos sin cos )(cos ),(20 00 20 1 1 ?θθ?θ??θ?θθ?θ?θπ π πd d m P j bij j aij P a d d m P f m n m n i j n m n ? +=? ? ∑∑?? ∞=∞ =-由固有函数（Legendre 函数）系的正交性，有 [],sin cos )(cos ),()!(2)!)(12(sin cos )(cos sin cos )(cos ),(200 20 2 2 20 ?θθ?θ?θπ?θθ?θ?θθ?θ?θππππ π π d d m P f m n a m n n d d m P d d m P f m n n m n m n nm a ?????? +-+== m,n=0,1,2…, (5) 同样 （6） 因此，球坐标系中的laplace 方程的解为级数（4），其系数有（5）和（6）确定。 4.习题： 题目1：求下列矩形区域上拉普拉斯方程的边值问题的解： ??? ??≤≤==≤≤==<<<<=+; 0,0),(,0)0,(,0, ),(,0),0(,0,0,0a x b x u x u b y Ay y a u y u b y a x u u y y yy xx 解：设)()(y Y x X u ?=，代入上述方程中， λ-=-=) ()(")()("y Y y Y x X x X 由此得.0)()(",0)()("=+=-x X x X y Y y Y λλ 又因为0)()0('==b Y Y ......3,2,1,0,0,cos )(,)( 2=≠===n A b y n A y Y b n n n n n ππλλ 所以.0)()( )("2 =-y Y b y n y Y π 其通解为 b y n n b y n n n e D e C Y D y C y Y ππ- +=+=0 00)( 所以)()(),(0 y Y x X y x u n n n ∑∞ == 。 b y n b a a x f n n n πcos )()(10∑∞ =++= b ny e b e a b b a y a u x g n b y n n b y n n π ππcos )(),()(1 00∑∞ =-+++== 所以 . 220000000) 1(]1)1[(2. cos 2, 0cos )(2. 2,cos )(1, 0n n n n a b na n b na n a n n a b e n a dy a y n Ay a e b e a dx b x n x f a b a a Ab b dx b x n x f a bb a a -=---==+==+==+=???-ππ πππππ 所以∑∞ =--+= 1 222}cos sinh sinh ]1)1[({2),(n n Ab b y n b nx b na n x a Ab y x u ππππ 题目2：求解圆域内定解问题： ???? ? ??<<=??+????? ?????+==.0,011,sin 22 2a r u u B A u a ρρρρρρ θρ 解：设方程的解为 ),()(),(θρθρΦ=R u 代入方程，得 ,01 1 ''2 '=Φ+ Φ+ ΦR R R ρ ρ ’‘ 即 ,''' ''2λρρ=Φ Φ-=+R R R ???=-+=Φ+Φ?0 , 0' ' '2''R R R λρρλ 对0' '=Φ+Φλ进行讨论 （1） 当λ<0时，方程的通解为 ,)(e e Be Ae λλθ--- +=Φ 因为A 与B 是任意常数。很显然，不满足周期性条件，因此，不成立 ,)(00A =Φθ （2） 当λ=0时，方程的通解为 ,)(000θθB A +=Φ 代入周期性条件，可得0B =0.此时，方程的解为 ,)(00A =Φθ （3） 当λ>0时，方程的通解为 ,s i n c o s )(θλθλθB A +=Φ ,2,1,0,s i n c o s )(=+=Φ?n n B n A n n n θθθ 02'''2=-+R n R R ρρ的通解为 ()()). ,2,1(,0,ln 2 000 ====+=n n c R d c R n n n λρρλρρ当，当 利用叠加原理，得 ),2,1(1 ),sin cos (2),(0 =∞=++=∑n n n b n a a u n n n θθρθρ 令θθsin )(B A f += 代入边界条件，得 ),(1 )sin cos (2),(0θθθρθρf n n b n a a u n n n =∞=++=∑ 由傅里叶级数知 ?? ? ? ? ? ???===???; sin )(1,cos )(1, )(1200200 200πππ θθθπρθθθπρθθπd n f b d n f a d f a n n n n .1),,(=∴+∞-∞∈n 可令θ 因此解得??? ? ??? ===;,0,20a B b a A a n n θρθρsin ),(a B A u +=∴ 题目3：解第一边值问题 ???? ?? ?===-=<<<<=?0 ),1(),0(0)1,()1()0,(10,10;0y u y u x u x x x u y x u 分离变量)()(),(y Y x X y x u =代入泛定方程得 0)()('',0)()(''=+=+y Y y Y x X x X λλ 由边值问题0)1()0(==X X 得 对应的特征值和特征函数为 ,...2,1,sin )(;)(2====n x n A x X n n n n ππλλ 此时式0)()(''=-y Y y Y λ变为 0)()()(''2=-y Y n y Y π 其通解为 y n n y n n n e D e C Y D y C Y ππ-+=+=;000 利用叠加原理得方程的解为 πππn e b e a y b a y Y x X y x u n y n n y n n n n n sin )()()(),(1 1 00∑∑∞ =-∞=+++== 由非齐次边界条件得 x n e b e a b a x u x n b a a x x x u n n n n n n n n ππππsin )(0)1,(sin )()1()0,(1 001 0∑∑∞ =-∞ =+++==++=-= 由此可得 ????==+--+==-=+==-=-=-+1 1 021 001 000 0sin 2)1cos (sin 1)(4 sin )1(20 0; 6 1 )1(x dx e b e a n n n n n xdx n x x b a dx b a dx x a n n n n n n ππππ ππππ 则 ,....2,1);1(cos )(4 );12(sin 2;612 0=-=-==n n n b n n n a b n n πππππ 带入原方程得所求解为 ∑∞ =??? ???--+-+-=1)1(cos )(4)12(sin 2)1(61),(2 n y n e n n y n e n n n y y x u πππππππ 题目4：解Neumann 问题 ??? ??=≤≤=<<=? 0),2(20 sin ),1(2r 1 0θπθθθr r u u u 解：应用分离变量法，设 )()(),(θθθ?=r R r u 将上式代入拉普拉斯方程，得 λθθθθ-==?-?-) ()(")()(')()("2r R r R r r R r R r 式中λ为常数。由此，得到两个常微分方程 0)()(')( 0)()("2=-+=+r R r rR r R r λθλθθθ 又因为0)()2('),2(=?=θθθR u r ，即0)2('=R ， θθθθs i n )()1('),1(=?=R u r ， 根据条件，可知,0>λ时成立，设0,2 >=ββλ 通解分别得 βθβθθθsin cos )(21C C += ββ-+=Br Ar r R )( 得)()('βββ--=Br Ar r R ， 所以0)22()2('=*-*=-βββB A R 即β 22*=A B 又因为θθθθsin )()1('),1(=?=R u r ，即 θβθβθββsin )sin cos ()21(212=+?-?C C A 因为)2 1(2β β-?A 为常数，与θ无关，所以01=C ，一一对应，可知β=1，3 12-=?C A ， 所以得θθθθsin )4()()(),(12?+*?=?=-r r C A r R r u ，又因为所给的条件均为偏导，所以C r r r u +?+*- =-θθsin )4(3 1 ),(1，C 为任意常数 题目5：求解边值问题 ?? ???≤≤==≤≤==<<≤<<<=++=?--.,0),(,0)0,(, 0,sin ),(,0),(20,0,02 21b r a r u r u a b u a u b r a u r u r u u r r rr αθθθθπαθθθ 解：应用分离变量法，设 )()(),(θθθ?=r R r u 将上式代入拉普拉斯方程中，分离变量得 λθθθθ-==?-?-) ()(")()(')()("2r R r R r r R r R r 式中λ为常数。由此，得到两个常微分方程 0)()(')( 0)()("2=-+=+r R r rR r R r λθλθθθ 由0),(,0)0,(==αr u r u ，得到0)()0(==αθθ，得到边值问题 ?? ?===+0 )()0(0 )()("αθθθλθθθ 固有值及固有函数为 .)1,2,3,....(n sin )(,)( 2====α πθ θθα π λλn n n n 将λ的值代入另一个常微分方程0)()(')( 2 =-+r R r rR r R r λ，求得它的通解为 .....2,1,)(=+=- n r B r A r R n n n n n α π απ 利用叠加原理，设边值问题的形式解为 α πθ θθθα π απ n r B r A r R r u n n n n n n n sin )()()(),(1 1 ∑∑∞ =- ∞ =+=?= 又因为 0sin )()()(),(1 1 =+=?=∑∑∞ =- ∞=α πθ θθθα π α π n a B a A a R a u n n n n n n θα πθ α π θθθα π απ 21 1 sin sin )()()('),(=-?= ?=∑∑∞ =- ∞ =n a B a A n b R b u n n n n n n r 解得 )2cos cos sin 2()(42 2πα ππαππn a a n n a n a n a a A n -+?-= α π πα ππαππn n a n a a n n a n a n a a B 22 2)2cos cos sin 2()(4?-+?-= 所以α πθ θα π απ n r B r A r u n n n n n sin )(),(1 ∑∞ =- += ，其中 )2cos cos sin 2()(422πα ππαππn a a n n a n a n a a A n -+?-= α π πα ππαππn n a n a a n n a n a n a a B 22 2)2cos cos sin 2()(4?-+?-= 题目6：在矩形域内求解下列定解问题： ??? ??? ?====<<<<=+)3.(0),(,sin )0,() 2(,0),(),0() 1(,0,0,0b x u x a x u y a u y u b y a x u u yy xx π 解：设 ()4 )()(),(y Y x X y x u ?= 将式（4）代入方程（1），分离变量得 λ-=-=) () ("X (x )(x )X"y Y y Y 式中λ为常数。因此，得到两个常微分方程 (5) 0Y(y)-(y)Y"0,X(x)(x)X"==+λλ 由边界条件（2）得0)()0(==a X X ，这样就得到边值问题 (6) 0 )()0(0 )()("?? ?===+a X X x X x X λ 固有值及固有函数为 ....)3,2,1(sin )(,)( 2====n a x n x X a n n n ππλλ 将2 )( a n n πλλ==代入另一个常微分方程,0)()("=-y Y y Y λ求得它的通解为 ()......3,2,1 )(=+=- n y e D e C y Y a n n y a n n n ππ 这样就得到方程（1）满足边界条件（2）的一系列特解 ()......3,2,1 sin )(),(=+=- n a x n y e D e C y x u a n n y a n n n πππ 由于方程（1）和边界条件（2）都是线性齐次的，因而函数 sin )(),(1 a x n y e D e C y x u a n n y a n n n πππ- ∞ =+=∑ 依然满足原方程，应用边界条件（3）和傅里叶系数公式得 ??? ???? =+?=+??-a a b n n a b n n a n n dx a x n e D e C dx a x n x a a D C πππππsin 0sin sin 20 求得n n D C , 参考文献： 第一段题目1改自 [例4.2.5, P96]； 第一段题目2改自文献[22][ P113] 第二段题目改自文献[22][P123] 第三段题目1改自[数学物理方程，清华大学出版社][P44] 第三段题目2改自文献[22][P127] 第四段题目1选自课本[P123，25] 第四段题目2选自[数学物理方程与特殊函数，5，P50] 第四段题目3选自文献[22]【31，P133】 第四段题目4选自文献[22]【29，P132】 第四段题目5选自课本[P123，27] 第四段题目6选自[数学物理方程与特殊函数，4，P50] 2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为 变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数 方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表 示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则 碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分 法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有 （2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有 §7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律. 第四章 拉普拉斯方程的格林函数法 在第二、三两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法，本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 在第一章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程 2222 2220.u u u u x y z ????o++=??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。 （1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域W 的边界G 上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭域W +G （或记作W ）上连续，在W 内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，在G 上与已知函数f 相重合，即 . (4.1)u f G = 第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。 拉普拉斯方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数，称为调和函数。所以狄氏问题也可以换一种说法：在区域W 内找一个调和函数，它在边界G 上的值为已知。 （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面G 上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在G 内部的区域W 中是调和函数，在W +G 上连续，在G 上任一点处法向导数u n ??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： , (4.2)u f n G ?=? 这里n 是G 的外法向矢量。 第二边值问题也称牛曼（Neumann ）问题。 以上两个边值问题都是在边界G 上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法。例如，当确定某 第6单元 变量分离的方程 一. 教学目标 1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。 2． 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。 二. 知识点 1. 分离变量法 三. 教学重点、难点 对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P （2.2.1） 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X （2.2.2） 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？ 一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X （2.2.3） （2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( （2.2.4） 由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除（2.2.2）式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 （2.2.6） 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知a x =（或b y =）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上. 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。 通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：▽p=γ（1/R1+1/R2）式中γ是液体表面张力。该公式成为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程拉普拉斯方程为：Δ u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中Δ为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：其中Δ称为拉普拉斯算子. 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator或简称作Laplacian。 狄利克雷问题 拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。 第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==>< 拉普拉斯方程应该和泊松方程是同胞兄弟了，都是扩散方程，用来描述散度场的。只不过拉普拉斯方程是无源场，泊松方程是有源场。预备内容：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子在曲线坐标下的表达式： 如果在某个曲线坐标系内位移微元（其中是坐标），那么便有： 梯度：散度：旋度：拉普拉斯算符： 对于直角坐标系、球坐标系和柱坐标系来说，的值为： 于是，我们便可以轻松地默写球坐标下拉普拉斯算符的表达式\^o^/ 下面进入正题 1.直角坐标系 当出现金属平板之类的边界条件时，使用直角坐标系较为方便。 在直角坐标系下，拉普拉斯方程的表达式为： i）二维问题 假设沿z轴平移V保持不变，于是方程便简化为二维形式： 我们假设V可以写成两个函数相乘的形式： （乍看之下这不是一个很合理的假设。但是我们很快可以看到为什么可以这样做） 代入原方程并在两边除以V: 因为两部分之和为0，因此我们可以假设一个是正数另一部分是负数：（这里以含x的部分为正含y的部分为负为例） 很显然，这两个方程的解就是： 注记：这里决定哪一部分是正数哪一部分是负数要由边界条件来确定。比如说，沿x方向到达无限远时电势为零，x就应该含有指数衰减项，因此令含x的部分为正数。 于是，方程的一个解是 对所有可能的k求和，可以得到通解： 常数A,B,C,D的值需要由边界条件来确定。通常情况下，通过边界条件可以把k化成含有正整数的式子。将求和号改成对n求和，可以看到，第二个括号里的项便是傅里叶级数。狄利克雷定理保证了这个级数可以拟合任何边界条件。傅里叶系数可以由积分来确定。 ii)三维问题 三维问题的处理方法与二维的情形类似。 同样，假设是这种形式： 同样，代入方程并在两边同除以V: 2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc 第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此 拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。 拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。 曲面称为曲面。通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。液面的弯曲可以用R1和R2表示。如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。压力。其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。 在数学公式中 拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ ?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为谐波函数。 如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即： 然后将该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉 普拉斯算子。 方程解 它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。这种非常有用的特性称为叠加原理。根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。 §2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值 1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ? 用分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： ）， ，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点 ),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y ' - =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 y x =+2 2 2 其中c 为任意正数，如图1. 拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量电磁场拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出，如 果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-V高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， , 式中i ，j 指分界面两边的不同分区，σ 为界面上的自由电荷密度，n 表示边界面上的内法 线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物 理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷 ，叫做诺埃曼边界条件。 静电场的唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布)(x ，在V 内电势满足泊松方程 或拉普拉斯方程,在V 的边界S 上给定电势 ,或V 边界上给定电势的法线方向偏导数 ,则V 内场（静电场）唯一确定。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。 各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任 何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI 制中，静磁场满足的方程为 ,式中j 为传导电流密度。第一式表明静磁 场可引入磁矢势r)描述： 。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程 为 。 选用库仑规范，，则得磁矢势A 满足泊松方程 ，式中纯数μr 为媒质的相对磁导率， 真空磁导率μo =1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上 式简化为拉普拉斯方程 。 §2 变量分离的方程 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2( 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2( 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对)2.2(如何求解？ 一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X )3.2( )3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( )4.2( 由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上. 例1 求解微分方程 0)1)(1(2 2=+-+xydy dx y x )7.2( 解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程 拉普拉斯方程 拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。 [1] 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。 中文名 拉普拉斯方程 外文名 Laplace's equation 别称 调和方程、位势方程 提出者 拉普拉斯 关键词 微分方程、拉普拉斯定理 涉及领域 电磁学、天体物理学、力学、数学 目录 .1基本概述 .?在数理方程中 .?方程的解 .2二维方程 .3人物介绍 基本概述 一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为： ，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。 在数理方程中 拉普拉斯方程为： ，其中?2为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ： 其中?2称为拉普拉斯算子。 拉普拉斯方程的解称为调和函数。 如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即： 则该方程称为泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子 （可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。 方程的解 称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。 [2] 二维方程 拉普拉斯方程和泊松方程 摘要：拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象的性质。 关键词：分离变量 电磁场 拉普拉斯 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量m k 除以它们到任意观察点P 的距离r k ，并且把这些商加在一起，其总和 m k r k n k=1 = V x ，y ，z 即P 点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P 点的质点所受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ?2V ?x +?2V ?y +?2V ?z =0，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.D.泊松撰文指出， 如果观察点P 在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为?2V ?x 2 + ?2V ?y 2 + ?2V ?z 2 =?4πρ， 叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势函数 V 在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-?V 高斯定理微分式??E =ρ/εr ε0，即可导出静电场的泊松方程：?2V ?x 2+?2V ?y 2+?2V ?z 2=?2V =?ρ/εr ε0 式中ρ为自由电荷密度，纯数 εr 为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo =8.854×10-12 法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程?2V =0 。 在各分区的公共界面上，V 满足边值关系V i =V j ， ε0εri ?V ?n i ?ε0εrj ?V ?n j =??, 第五讲补充常微分方程求解相关知识。 第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==>< 21变量分离方程及可化为变量分离方程的 方程求解 第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离 方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 ?Skip Record If...? (或?Skip Record If...?) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?分别是?Skip Record If...?的连续函数. 2) 求解方法 如果?Skip Record If...?，方程(2.1)可化为， ?Skip Record If...? 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ?Skip Record If...?（2.2） 把?Skip Record If...?分别理解为?Skip Record If...?的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数?Skip Record If...?满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，可知?Skip Record If...?也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题 例1 求解方程?Skip Record If...? 解将变量分离，得到 ?Skip Record If...? 两边积分，即得 ?Skip Record If...? 因而，通解为 ?Skip Record If...?这里的?Skip Record If...?是任意的正常数. 或解出显式形式 ?Skip Record If...? 例2 解方程 ?Skip Record If...? 并求满足初始条件：当?Skip Record If...?时.?Skip Record If...?的特解. 实验四 拉普拉斯方程与泊松方程的求解 一、拉普拉斯方程的求解 例题：求解定界问题： ()()()()()00,030,0,,sin 3,00,,sin cos xx yy u u x a y b y u y u a y b x x u x u x b a a πμππμ??+=≤≤≤≤????==? ?????????==? ? ?????? 任意选取定界问题中参数的值，例如取1,1,1a b μ===。用偏微分方程工具箱来求解的步骤如下。 1、画求解区域 在指令窗口中，输入pdetool ，打开偏微分方程工具箱的界面， 图1 微分方程工具箱的界面 选择菜单Options/Axes Limits ，打开对话框如图2所示。 图2 设置坐标变化范围的对话框 在X-axis range 和Y-axis range 栏中都输入[-0.1 1.1]，单击按钮Apply 确认，再关闭对话框。 单击左上角画矩形框按钮，在pdetool 的窗口中画一个矩形，然后，在刚画出的灰色矩形区域内部双击鼠标左键，出现如图3所示的对话框，设置左边界（Left ）参数为0，下边界（Bottom ）参数为0，宽度（Width ）参数为1，高度（Hight ）参数为1，点击OK 按钮，画出一个边长为1的正方形区域01,01x y ≤≤≤≤，这个正方形被自动命名为R1，并显示在区域上方的公告栏（Set Formula ）中。 图3 确定正方形区域的边界位置和名称的对话框 2、设定方程类型 单击按钮，打开如图4所示的对话框。 图4 设置方程类型的对话框 在方程类型中选择椭圆型，这时方程的形式为 ()c u au f -???+= 取1,0,0c a f ===，设置好参数后，单击OK 即可。 3、设定边界条件 单击按钮，进入边界模式。这时区域由灰色变成白色，而边界变成红色。选择菜单Boundary/Show Edge Labels ，给四条边界标上序号1,2,3,4。根据题意，双击边界1，打 泊松方程和拉普拉斯方程 势函数的一种二阶偏微分方程。广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。 简史 1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点 的质量m k除以它们到任意观察点P的距离r k，并且把这些商加在一起，其总和 即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所 受总引力的相应分力。1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程： ，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。1813年，S.-D.泊松撰文 指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为 ，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。文中要求重视势 函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。 静电场的泊松方程和拉普拉斯方程 若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程： ， 式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854 ×10-12法／米。在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。在各分区的公共界面上，V满足边值关系， ， 式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。 边界条件和解的唯一性 为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄 利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。 边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。 除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。各类物理本质完全不同的势场如果具有相似的边界条件，则因拉普拉斯方程解的唯一性，任何一个势场的解，或该势场模型中实验测绘的等热面或流线图，经过对应物理量的换算之后，可以通用于其他的势场。 静磁场的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，静磁场满足的方程为 式中j为传导电流密度。第一式表明静磁场可引入磁矢势r)描述：。 在各向同性、线性、均匀的磁媒质中，传导电流密度j 0的区域里，磁矢势满足的方程为 选用库仑规范，墷?r)=0，则得磁矢势r)满足泊松方程， 式中纯数μr 为媒质的相对磁导率，真空磁导率μo=1.257×10-6亨／米。在传导电流密度j=0的区域里，上式简化为拉普拉斯方程?2Α=0。3-5 -可分离变量型方程及其解法
高数可分离变量的微分方程教案
1拉普拉斯方程边值问题的提法
变量分离的方程word版
拉普拉斯方程
第二章 分离变量法(§2.1)
拉普拉斯方程
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
拉普拉斯方程
第二章 分离变量法(§2.2,§2.3)
用分离变量法解常微分方程
泊松方程和拉普拉斯方程
变量分离的方程
拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程
(整理)数学物理方程第二章分离变量法word版
最新21变量分离方程及可化为变量分离方程的方程求解汇总
chenpc_文件下载_数理方法_实验四、拉普拉斯方程与泊松方程的求解
泊松方程拉普拉方程