朱刘算法(最小树形图)

图论是ACM竞赛中比较重要的组成部分，其模型广泛存在于现实生活之中。因其表述形象生动，思维方式抽象而不离具体，因此深受各类喜欢使劲YY的Acmer的喜爱。这篇文章引述图论中有关有向图最小生成树的部分，具体介绍朱刘算法的求解思路，并结合一系列coding技巧，实现最小树型图O（VE）的算法，并在最后提供了该算法的模版，以供参考。

关于最小生成树的概念，想必已然家喻户晓。给定一个连通图，要求得到一个包含所有顶点的树（原图的子图），使之所构成的边权值之和最小。在无向图中，由于边的无向性质，所以求解变得十分容易，使用经典的kruskal与prim算法已经足够解决这类问题。而在有向图中，则定义要稍微加上一点约束，即以根为起点，沿给定有向边，可以访问到所有的点，并使所构成的边权值之和最小，于是问题开始变得不一样了，我们称之为最小树型图问题。

该问题是由朱永津与刘振宏在上个世纪60年代解决的，值得一提的是，这2个人现在仍然健在，更另人敬佩的是，朱永津几乎可以说是一位盲人。解决最小树型图的算法后来被称作朱刘算法，也是当之无愧的。

首先我们来阐述下算法的流程：算法一开始先判断从固定根开始是否可达所有原图中的点，若不可，则一定不存在最小树形图。这一步是一个很随便的搜索，写多搓都行，不加废话。第二步，遍历所有的边，从中找出除根结点外各点的最小入边，累加权值，构成新图。接着判断该图是否存在环。若不存在，则该图便是所求最小树型图，当前权为最小权。否则对环缩点，然后回到第二步继续判断。

这里存在一系列细节上的实现问题，以确保能够达到VE的复杂度。首先是查环，对于新图来说只有n-1条入边，对于各条入边，其指向的顶点是唯一的，于是我们可以在边表中添加from，表示该边的出发点，并考虑到如果存在环，则对环上所有边反向，环是显然同构的，于是最多作V次dfs就能在新图中找到所有的环，并能在递归返回时对顶点重标号进行缩点，此步的重标号可以用hash数组映射。然后就是重要的改边法，对于所有不在环上的边，修改其权为w-min(v)，w为当前边权，min(v)为当前连接v点的最小边权。其数学意义在于选择当前边的同时便放弃了原来的最小入边。我们可以知道，每次迭代选边操作O(E)，缩点操作O(V)，更新权操作O(E)，至少使一个顶点归入生成树，于是能在V-1步内完成计算，其复杂度为O(VE)。

以上为定根最小树型图，对于无固定根最小树型图，只要虚拟一个根连所有的点的权为边权总和+1，最后的结果减去(边权+1)即可。另外对于求所定的根标号，只要搜索被选中的虚边就可以判断了。

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

const int N=101,M=10001,inf=2147483647;

struct edge {int u,v,w;} e[M];

int n,m,ans,id[N],pre[N],v[N],inw[N];

void zhu_liu(int root)

{

int s,t,idx=n;

while (idx)

{

for (int i=1;i<=n;++i) inw[i]=inf,id[i]=-1,v[i]=-1;

for (int i=1;i<=m;++i)

{

s=e[i].u;t=e[i].v;

if (e[i].w>inw[t] || s==t) continue;

pre[t]=s;

inw[t]=e[i].w;

}

inw[root]=0;pre[root]=root;

for (int i=1;i<=n;++i)

{

if (inw[i]==inf)

{

printf("impossible\n");

return;

}

ans+=inw[i];

}

idx=0;

for (int i=1;i<=n;++i)

if (v[i]==-1)

{

t=i;

while (v[t]==-1) v[t]=i,t=pre[t];

if (v[t]!=i || t==root) continue;

id[t]=++idx;

for (s=pre[t];s!=t;s=pre[s]) id[s]=idx;

}

if (idx==0) continue;

for (int i=1;i<=n;++i)

if (id[i]==-1) id[i]=++idx;

for (int i=1;i<=m;++i)

{

e[i].w-=inw[e[i].v];

e[i].u=id[e[i].u];

e[i].v=id[e[i].v];

}

n=idx;

root=id[root];

}

printf("%d\n",ans);

}

int main()

{

scanf("%d%d",&n,&m);

for (int i=1;i<=m;++i)

scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);

zhu_liu(1);

return 0;

}