圆锥曲线中的热点问题(总结的非常好)复习课程

第3讲圆锥曲线中的热点问题

【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．

1．直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：

将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．

(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：

将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，

直线与双曲线相离．

②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．

(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：

将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．

②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．

2．有关弦长问题

有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．

(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2

|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1

k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

|x2－x1|＝(x1＋x2)2－4x1x2，

|y2－y1|＝(y1＋y2)2－4y1y2.

(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题

有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．

考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题

例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3

，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l

与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．

解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝6

3.

解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2

4＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .

由?????

y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.

得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①

设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1

因为AB 是等腰△P AB 的底边， 所以PE ⊥AB .

所以PE 的斜率k ＝2－

m

4

－3＋

3m 4＝－1.

解得m ＝2.

此时方程①为4x 2＋12x ＝0.

解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2.

此时，点P (－3,2)到直线AB ：

x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32

2，

所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9

2

.

解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方

程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．

椭圆x 2

2

＋y 2＝1的弦被点????12，12平分，则这条弦所在的直线方程是____________． 答案 2x ＋4y －3＝0

解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.

∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22

＝1. (x 1＋x 2)(x 1－x 2)

2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，

即y 1－y 2

x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)

＝－12，

即直线AB 的斜率为－1

2

.

∴直线AB 的方程为y －12＝－1

2????x －12， 即2x ＋4y －3＝0.

考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题

例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为1

2

，直线l 经过椭圆C 的右焦点F

交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；

(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →

，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；

(3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后

可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →

把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．

解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝1

2，a 2＝b 2＋c 2，

∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，

又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????

y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，

消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2

，

又由MA →＝λAF →

，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 2

1－x 2

，

∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 2

1－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2

＝

8k 2

3＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 2

1－8k

23＋4k 2＋

4k 2－123＋4k 2

＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83

.

(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ????

52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ????52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点????52，0，

∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，

当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·

????－32 ＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)

＝

2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)

2(4－x 1)

＝

－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)

2(4－x 1)

＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.

∴点N ????

52，0在直线l AE 上．

同理可证，点N ????52，0也在直线l BD 上．

∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点????

52，0.

(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要

解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．

(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．

(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．

(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2，

∴

(x －4)2＋y 2＝

x 2＋42，

化简得y 2＝8x (x ≠0)．

又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .

(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.

由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2

，

①

x 1x 2＝b 2

k

2，

②

因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2

x 2＋1，

即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0

③

将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，

∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题

例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)

的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；

(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．

解 (1)由题意得?????

b ＝1，

a ＝2.

所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝

1k 2＋1

，

所以|AB |＝24－d 2＝2

4k 2＋3k 2＋1

.

又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.

由?

????

x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2

＝4.

消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.

所以|PD |＝

8

k 2＋14＋k 2

.

设△ABD 的面积为S ，则S ＝1

2·|AB |·|PD |

＝8

4k 2＋3

4＋k 2

，

所以S ＝

324k 2＋3＋

134k 2＋3

≤322

4k 2＋3·

134k 2＋3

＝

1613

13

， 当且仅当k ＝±

10

2

时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±

10

2

x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参

数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．

已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐

标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：

x 1 －6 4 3 y

－3

－6

1

(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π

6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以

线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．

解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 2

2＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .

(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝

3

3

(x －m )， 由???

y ＝33(x －m )x 2

6＋y

2

2＝1，

消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23

①

而x 1x 2＝m 2－6

2，x 1＋x 2＝m ，

故y 1y 2＝

33(x 1－m )·3

3

(x 2－m ) ＝1

3[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66

.

欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，

又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②

由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．

1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项

(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足

的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．

(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法

定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．

3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.

设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>

3k 2

1＋3k 2

； (2)若AC →＝2CB →

，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，

故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1

k

y －1.

将x ＝1

k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，

得????3＋1k 2y 2－2y

k

＋1－a 2＝0，

①

由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4

k 2－4????1k 2＋3(1－a 2)>0， 整理得????1

k 2＋3a 2>3， 即a 2>3k 2

1＋3k

2

. (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①， 得y 1＋y 2＝2k

1＋3k 2

，

因为AC →＝2CB →

，得y 1＝－2y 2， 代入上式，得y 2＝－2k

1＋3k 2

.

于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝3

2|y 2|

＝

3|k |1＋3k 2≤3|k |23|k |＝3

2

. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±3

3.

由y 2＝－2k

1＋3k 2，可得y 2＝±3

3. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－3

3， y 2＝

3

3

这两组值分别代入①， 均可解出a 2＝5.

所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.

(推荐时间：70分钟)

一、选择题

1． 已知方程x 2k ＋1＋y 2

3－k

＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( )

A ．k <1或k >3

B ．1

C ．k >1

D ．k <3

答案 B

解析 若椭圆焦点在x 轴上，则????

?

k ＋1>03－k >0

k ＋1>3－k ，

解得1

2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹

方程是

( )

A.x 29－y 2

16＝1

B.x 216－y 2

9

＝1 C.x 29－y 2

16＝1(x >3)

D.x 216－y 2

9

＝1(x >4) 答案 C

解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 2

16

＝1(x >3)．

3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半

径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是

( )

A ．(0,2)

B ．[0,2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

答案 C

解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，

又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.

4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23

＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP

→

的最大值为

( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8 答案 C

解析 设P (x 0，y 0)，则

x 204＋y 2

03＝1，即y 2

0＝3－3x 204

， 又因为F (－1,0)，

所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝1

4

(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →

∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.

5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在

第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是

( )

A ．(0，＋∞)

B ．(1

3，＋∞)

C ．(1

5，＋∞)

D ．(1

9

，＋∞)

答案 B

解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52

c

2<4，

∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c

5－c ；

e 1＝

2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c

. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2

－1>1

3

.

二、填空题

6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2

m

＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．

答案 m ≥1且m ≠5

解析 ∵方程x 25＋y 2

m ＝1表示椭圆，

∴m >0且m ≠5.

∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12

m

≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.

7． 设F 1、F 2为椭圆x 24

＋y 2

＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，

当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →

2的值等于________． 答案 －2

解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF →

2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2.

8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴

的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案

52

2

－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得

d 1＋d 2＝|P A |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝52

2，

所以d 1＋d 2的最小值为52

2

－1.

9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得

∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)

解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，

由?????

y ＝x

2x 2＋(y －a )2＝a

得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知?

??

a >0a －1≥0，解得a ≥1.

三、解答题

10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C

的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝10

3分

别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)求线段MN 的长度的最小值．

解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，

设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k

3)，且将直线方程代入椭圆C 的方

程，

得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.

设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－4

1＋4k 2.

由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝

4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k

1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－1

4k (x －2)，

联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－1

3k )．

∴|MN |＝????16k 3＋13k ＝16k 3＋1

3k ≥2

16k 3·13k ＝8

3

. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为8

3.

11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与

PB 的斜率之积为－1

2

.

(1)求动点P 的轨迹E 的方程；

(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解 由题知：y x ＋2·y x －2＝－1

2.

化简得x 22

＋y 2

＝1(y ≠0)．

(2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2

＝1(y ≠0)整理得

(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1

m 2＋2，

MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2

x 1－x 2(x －x 1)，

令y ＝0，

得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)

y 1＋y 2

＝my 1＋1＋my 1(y 2－y 1)y 1＋y 2＝2my 1y 2

y 1＋y 2＋1＝2.

∴直线MQ 过定点(2,0)．

方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2

＝1(y ≠0)整理得

(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 2

1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，

MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2

x 1－x 2(x －x 1)，

令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)

y 1＋y 2

＝x 1＋k (x 1－1)(x 2－x 1)k (x 1＋x 2－2)

＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1＋x 2－2＝2.

∴直线MQ 过定点(2,0)．

12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外

切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |，

∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.

∴P 的轨迹曲线C 的方程为x 24＋y 2

3＝1(x ＝－2)．

(2)由(1)知：2r ＝(|PM |－|PN |)＋2≤|MN |＋2＝4， ∴圆P 的最大半径为r ＝2.此时P 的坐标为(2,0)． 圆P 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. ①当l 的方程为x ＝0时，|AB |＝23， ②设l 的方程为y ＝kx ＋b (k ∈R )，

?????

|－k ＋b |

1＋k

2＝1|2k ＋b |

1＋k

2

＝2

解之得：???

??

k ＝24

b ＝2或?????

k ＝－24

b ＝－2

.

∴l 的方程为y ＝

24x ＋2，y ＝－2

4

x － 2. 联立方程???

x 24＋y 2

3

＝1y ＝2

4x ＋

2

化简：7x 2＋8x －8＝0

∴x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－8

7，

∴|AB |＝

1＋k 2

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝18

7

.