圆锥曲线定点定值 技巧方法
高考圆锥曲线定点定值技巧
一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法
1．“特殊”探求
例1．已知直线过点)0)(0(>m m M ，且与抛物线)0(22
>=p px y 交于
)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，求证：1x ·2x ，1y ·2y 均为定值，并求这个定值．
解：①特殊位置的探讨：如图1，当过点)0)(0(>m m M ，的直线与x 垂直时，1x ·2x ＝2
m ，1y ·2y ＝pm 2-；
②一般性的证明：如图2，当过点)0)(0(>m m M ，的直线与x 垂直时，设过点)0)(0(>m m M ，的直线方程为：m ty x +=【
“基本特征式”的运算】． 由???=+=px
y m ty x 22?0222=--pm pty y ?1y ·2y ＝pm 2-?1x ·2x ＝2
m ．
小结：①定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况； ②“特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥→正四面体)、初始值(如数列问题，首先用1a 、2a 、3a 求出满足条件的参数，再证明一般的情况)；
③华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状态，退到最简单的位置”，即“特殊”探路；
④直线与x 轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数．有了“特殊”探路的解题意识，相反能提高警惕，提高得分能力； ⑤相关结论：当直线过焦点时，1x ·2x ＝
4
2
p
，1y ·2y ＝2
p -；当直线过点
)02
(，p -
时，1x ·2x ＝
4
2
p
，1y ·2y ＝2p ；
例2．（09、辽宁）已知椭圆C ：
2
2
14
3
x
y
+
=．F E 、是椭圆C 上的两个动点，
点)2
31(，A 是椭圆上的一个定点．如果直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明直线
EF 的斜率为定值，并求出这个定值．
解：①“特殊”探讨：取点)02(，F (即右顶点)2
32
3=
?-
=?AE AF k k ?直线
AE 的方程：x y 23=．由????
?
?
=+=12
432322y x x y 2
31-
=?-=y x ?
F E EF F E
y y k x x -=
-)
1(2)
23
(0---
-=
21=． ②一般性的证明：设过点)2
31(，A 的直线方程为：2
3)1(+-=x m y
由??
???
=++-=12
4323)1(22y x x m y ?222
33+4+4(32)4()1202m x m m x m -+--=（）．
设方程的两根为1x 、A x ，则1x ·A x ＝1x ?1x ＝2
2
3
4(
)12
2
34m m
--+．
分别用“k ”“k -”替换“m ”
2
2
3
4()12
2
34E k x k
--=
+＝
3
43
1242
2
+--k k k
，32
E E y kx k =+
-＝
3
429662
2
++
--k k k
，
F x ＝
3
43
1242
2
+-+k k k ，F y ＝
3
42
9662
2
++
+-k
k k ．所以直线EF 的斜率
F E EF F E
y y k x x -=
-=
21
)
3124()3124()
29
66()29
66(2
2
2
2
=----++
---++-k k k k
k k k k
．即直线EF 的斜率为定值，其值为12
．
小结：①取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序； ②上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维负担． 2．“与参数k 无关”
例3．已知直线L 与抛物线)0(22>=p px y 交于)(11y x A ，、)(22y x B ，两点，且1x ·2x ＝
4
2
p
．求证：直线L 经过定点，并求出这个定点的坐标．
解：①直线x L ⊥轴，设其方程为m x =)0(>m ??)0()0(，，，m B m A
1x ·2x ＝2
m ．又1x ·2x ＝
4
2
p
?2
m ＝
4
2
p
?由0>m ?2
p m =
?直线L
过定点)02
(
，p ．
②当直线L 不垂直于x 轴时，设其方程为m kx y +=，由????=+=px
y m
kx y 22
0)22(2
2
2
=+-+m
x p km x k ?2
221k
m x x =
，又1x ·2x ＝
4
2
p
?
4
2
p
＝
2
2k
m
?2
4
2
2kp m m k m ±
=?=
?直线L ：m kx y +=?)2
(p x k y ±
=．
当2
p x ±
=时，0=y ，“与参数k 无关”?直线L 过定点)02
(，p ，或定点
)02(，p -
．
小结：①“与参数k 无关”，是初一年级关于方程“b ax =”解状讨论的直接应用：R x b a ∈?==0；
②“与参数k 无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论． 例4．例10．(07、湖南理21）已知双曲线2
2
2x y -=的左、右焦点分别为1F ，
2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．【直接法求轨迹】
（1）若动点M 满足1111F M F A F B F O =++
（其中O 为坐标原点），求点M 的轨
迹方程；
(2)在x 轴上是否存在定点C ，使C A ·C B
为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．设()M x y ，．
第一歩：“基本特征式”：设11()A x y ，，22()B x y ，，直线AB ：2+=ty x ．
由???=-+=2
22
2y x ty x 024)1(22=++-?ty y t ? ??
?
??--=+≠-140
12
212t t y y t ?142
21--=+t x x …………(*1)； 第二歩：“向量特征式”：1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+
，，
1(20)F O =
，，122(2)F B x y =+ ，， 由
1111F M F A F B F O =++ ?121226
x x x y y y +=++??
=+?? ??
?=+-=+y y y x x x 21
214
……（*2） 第三歩：代入(整体)：
由（*1）与(*2)????
????
--=--=-)
2(14)1(1
4422 t t y t x ；
第四歩：消参：（1）÷（2）?4
-=x y
t ，代入（1）：22(6)4x y --=．
所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．
【(2)在x 轴上是否存在定点C ，使C A ·C B
为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由】
解：假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使C A ·C B
为常数． 第一歩：先特殊探讨．
当A B 与x 轴垂直时，点A B ，
的坐标为(2
，(2-，?
C A ·C B
＝)21(，·)21(-，＝－1＝常数；
第二歩：再解决一般情况．【以下是基本“特征式”的运算】 当A B 不与x 轴垂直时．
①两设：设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±，11()A x y ，，22()B x y ，． ②方程组→一元二次方程→基本“特征式”
由???=--=2)1(22y x x k y ?2222
(1)4(42)0k x k x k -+-+=????
?
?????
-+=-=+≠-12414012
2
212
2
212k k x x k k x x k ； ③运用基本“特征式”求解问题： C A ·C B
2222
1212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
?C A ·C B 222222
22
(1)(42)4(2)
411
k k k k m k m k k +++=-++-- 2
2
2
2(12)2
1
m k m k -+=
+-
2
2
442(12)1
m
m m k -=-+
+-
因为C A ·C B 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时C A ·C B ＝－1．【与例1的注⑥，用“与k 参数无关”的方法求定值】
综合：在x 轴上存在定点C ，使C A ·C B
＝－1．
小结：①定点、定值的题目中，若存在(大多数是“隐含”条件)“与k 参数无关”类的语句，求解方法是：第一歩，将表达式→关于“参数k ”的多项式；第二歩，令含“参数k ”的项的系数为零，即得到求解结论； ②其理论依据：
若关于x 方程b ax =的解为0==?b a R ，即“零”多项式理论；
若关于x 方程02=++c bx ax 的解为0===?c b a R ，即“零次”多项式理论； 若关于x 的函数k m x k x m x f ++++-=2)22()12()(2的值与x 无关?函数)(x f 是常数函数?所有含x 项的系数＝0，即“零次”多项式理论；
③一般地，这类题目的运算结果，总是含有两个参数：“无关参数k ”和“待求参数m ”．而本题很特殊：含“无关参数k ”是关于“参数k ”分式，增加了问题的难度．
例5．(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点00(,)P x y 是椭圆2
2
:
12
x
E y +=上任意一点001x y ≠，
直线l 的方程为0012
x x y y +=．(1)判断直线l
与椭圆E 交点的个数；(2)直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （－1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒过一定点G ，求点G 的坐标．
解：(1)由22
00
121
2
x y x x y y ?+=????+=???2222
00002104x y x x x y +-+-=?△＝0?直线l 与
椭圆E 只有一个交点．
(2)直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=- ?000020y x x y x y --=．
设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n ?
00
0001212022x n
m y x n m y x y ?=-?+??-??--=???32
00020432
00002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-?
?直线P N 的斜率432
000003
2
00042882(34)
n y x x x x k m x y x x -++--=
=
---+?
直线P N 的方程为：
4
3
2
0000003
2
0004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=
---+
即3
2
0004
3
2
00002(34)14288
y x x x y x x x x --+=+++--?
直线P N 恒过定点(1,0)G ．
小结：①这道题是证明的圆锥曲线的光学性质，先猜想直线P N 经过另一个焦点G(1，0)，然后再给予证明；
②本题虽然计算量很大，但有了猜想的导向，运算方向清晰，中间过程可以猜想性的表述．
二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部→整体的重组” 小学解应用题的方法“先列分歩式，再列综合式”，是数学解题的基本要求．数学思维的有序性体现为解题的顺序性．“先解决一个子问题，再解决一个子问题，…．当把所有的子问题完成，一个综合性的难题得到了解决”．
数学顺序非常重要，“设问语句干扰性”的题目，曾经使我们吃亏不小．究其原因，是选择题设条件的顺序不当造成的．“数学是模式与顺序的科学”，在处理复杂的问题时，更应遵守这条原则．
从功利性目标考虑，每一个子问题的解决，都是得分哇！
解析几何中的数学顺序，表现为“由局部→整体的重组”，“整体消参”．而“对称运算”与“对偶运算”是强力支撑．
例5．(08、武汉模拟)过双曲线22x m －2y ＝2m 的右顶点A ，作两条斜率分别为1k 、2k 的直线AM 、AN ，交双曲线于M 、N ．其中1k ·2k ＝－2m ，1k ＋2k 0≠，且1k ＞2k ，求直线MN 的斜率为定值，并求这个定值．
解：【分析：题设条件是1k ·2k ＝－2m ，提示了解题顺序．先局部地分别求出1k 、2k ，然后重组为1k ·2k ＝－2
m ．可以预定：一定能消除参数2
m 】
设过右顶点A (1，0)的直线方程：)1(-=x k y ，由方程组： ??
?-==-)
1(2
222x k y m y x m ? 0)(2)(2
2222=+-+-m k kx x k m ? 1x ·2x ＝－
2
2
22k
m k m -+．由1x ＝1(？)?2x ＝－
2
2
22k
m k m -+?
M x ＝－
21
2
2
12k
m
k m -+?N x ＝－
22
2
2
22k
m
k m -+【注：用的是“对偶”运算】．
又2
m ＝－1k ·2k ，代入上式：M x ＝－
2
1
21212
1k k k k k k ---＝
2
121k k k k +-，N x ＝
1
212k k k k +-．
所以M y ＝)1(1-M x k ＝－
2
121k k k k +，【注：用的是“由局部→整体的重组”下的
“整
体消参”】由对称性：N y ＝－
2
112k k k k +?M y ＝N y ?MN ∥x 轴，
得直线MN 的斜率k 0=.
小结：①本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；
②在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部→整体的重组”有效合成为一体；
③本题可以先取2m ＝4，1k ＝1，2k ＝－4，求出直线MN 的斜率k 后，再有目标地运算．
三、“代点配凑、代入消参”的运算定式
“代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算．“点差法”，本质上是这种定式的先期运用．反之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化．
同时，“代点配凑、代入消参”的运算定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化．
复杂一点的问题，其题型特征是：①曲线上有两个动点；②于是很容易误导 “直线与曲线相交于两点”运算模式；③一旦用上式，得到的是无效运算． 先看下面的一道“定值”形式的题，做完后再小结，期望得到解题定式． 例6．（09、宣武）已知Q P 、是椭圆T ：2x ＋22y 1=上两个不同的点，满足
2
||OP ＋2
||OQ ＝
2
3，求证：|OP K ·OQ K |是定值，并求这个定值．
解：设)y (
11，x P 、)(22y x Q ，? (2
1x ＋2
1y )＋(22x ＋2
2y )＝
2
3；
①代点：2
1x ＋2
12y 1=，2
2x ＋2
22y 1= ②配凑：[212
1x ＋
2
1(21x ＋2
12y )]
＋[2
12
2x ＋2
1(2
2x ＋2
22y )]＝
2
3；
(
212
1x ＋
2
1)＋(
2
12
2x ＋
2
1)＝
2
3?21x ＋2
2x ＝1．
③代入消参：OP K (·2
)OQ K ＝2
2
121)(
x x y y ＝
22
21
2221x
x y y ＝2
2
21
2
22
1)
1(2
1)1(2
1
x x x x -?
-＝
2
2
2
12
2
2
12
22
1)(14
1x x x x x x ++-?
＝
2
2
2
122
2
1114
1x x x x +-?
＝
4
1?|OP K ·OQ K |4
1=
=定值．
小结：“代点配凑、代入消参”的解题定式：
①代点：因为)(11y x A ，、)(22y x B ，在曲线0)(=y x F ，上?0)(11=y x F ，， 0)(22=y x F ，；
【21x ＋212y 1=，22x ＋2
22y 1=】 ②配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于1x 、2x 、1y 、2y 的整体关
系式；【(21x ＋21y )＋(2
2x ＋22y )＝
2
3】
把上述关系式，整合为含有)(11y x F ，、 )(22y x F ，的式子，经过配凑得到一
个新的关系式0)(2211=y x y x f ，，，；【21x ＋22x ＝1】
③代入消元：把配凑得到的结果，代入求解目标，继续运算．【OP K (·2
)OQ K ＝
2
2
121)(
x x y y ＝
2
2
2
1222
1x x y
y ＝2
2
212
22
1)
1(2
1)1(2
1
x x x x -?
-＝
4
1】(是“点差法”运算的复制)
小结：①“代点配凑、代入消参”的解题定式，在求定点定值和轨迹方程时常常用到．
同时还要注意：用“特殊”探求处理定点、定值、定形问题，仅仅是一种方法，并不是所有的问题都必须采用，不要构成错误的“思维定势”； ②“代点配凑、代入消参”的解题定式是“点差法”运算的深化，所以求解时，可以按照“点差法”的模式，“先局部，后整体，有序地运算”； ③“代点配凑、代入消参”的解题定式，仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消参”环节，从而得到常数；【注：还有另外一种形式上的“代点配凑、代入消参”】 例7．(09、全国1)过定点)(n m P ，作直线L 与椭圆C ：
2
2a
x ＋
2
2b
y 1＝相交于
不同的两点B A 、，点Q 在线段AB 上，且||·||||·||PB AQ QB AP =．求证：点Q 总在定直线
2
2
b
ny a
mx +
1＝上．
证明：记λ＝
|
|||PB AP ＝
|
|||QB AQ ，则λ＞０，且λ≠１．
由B Q A P 、、、四点共线?AP ＝－λPB ，AQ ＝λQB ． 设点)(y x Q ，，)(11y x A ，，)(22y x B ，?
①代点：2
21a
x ＋
2
2
1b
y 1=，
2
22a
x ＋
2
2
2b
y ；
②配凑：AP ＝－λPB ，AQ ＝λQB
?m ＝λ
λ--121x x ，n ＝λ
λ--121y y ，
x ＝
λ
λ++121x x ，y ＝
λ
λ++121y y ?
2
a
mx ＝
)
1(2
2
2
2
2
2
1λλ--a x x ，
2
b
ny ＝
)
1(2
2
2
2
2
2
1λλ--b y y ；
③代入消参：
2
2
b
ny a
mx +
＝
)
1(2
2
22
2
2
1λλ--a x x ＋
)
1(2
2
2
2
2
2
1λλ--b y y
＝
2
11λ
-·[（
221a
x ＋
2
2
1b
y ）－2
λ(
2
22a
x ＋
2
2
2b
y ）]＝
2
11λ
-·（1－2λ）＝1，
所以：点Q 的轨迹方程为：2
2
b
ny a
mx +
＝1．
小结：①把线段的比，转化为向量关系．然后直接采用“定式”运算．这里没有使用“基本特征式”参与运算； ②根据求解目标：“
2
2
b
ny a
mx +
”， 代入、配凑、消元，一气呵成．
四、“代点配凑、代入消参”与求轨迹方程 高考试卷中的解析几何题，是干扰学生得高分的“瓶颈”．两种情况： ①无法取得适当的运算途径，往往是只做第一问，得到4～5分，心安理得；
②期望突破第二问，但运算途径不合理，越算越复杂，耽误时间，耗时耗精力．运气好，得到2～3分．
1．“代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元” 例8．(09、江西）已知点),(001y x P 为双曲线
182
22
2=-
b
y b
x
上任一点，
F 2为双曲线的右焦点．过1P 作右准线的垂线，垂足为A ．连接A F 2并延长交y 轴于2P ．
(1) 求线段21P P 的中点P 的轨迹的方程；
(2) 设轨迹E 与x 轴交于D B 、两点，在E 上任取一点)(11y x Q ，，直 线QB 、QD 分别交y 轴于N M 、两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点． 解：(1)【分析：点P 的运动，是因为已知曲线上的已知运点1P 生成的，标准的“相关点法”求轨迹问题】 由已知得)3
8(
)03(02y b A b F ，，，．则直线A F 2的方程为：03(3)y y x b b
=-
-，
令0x =得09y y =，即20(0,9)P y ．
由)(y x P ，是21P P 的中点?0000
2
952x x y y y y
?
=???
+?==??
?0025x x y y =??
?=
??
代入22002218x y b b -=?22
22
1225x y b b -=为轨迹E 的方程． (2) 【设轨迹E 与x 轴交于D B 、两点，在E 上任取一点)(11y x Q ，，直 线QB 、QD 分别交y 轴于N M 、两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点】
解：在
222
2
1225x
y
b
b
-
=中令0y =得22
2x b =．设)02(，b B -，)02(，
b D ?直线QB 的方程为：)2(211b x b
x y y ++
=,直QD 的方程为：
)2(211b x b
x y y -
-
=
．?)220(11b
x by M +，)，N (0，b x by 2211
--)
?以MN 为直径的圆的方程为：
y x (2
+－
b
x by 2211+
)(y ＋
0)2211=-
b
x by ．【注：圆的直径式】
令0y =?2
22
1
2
2
122b y x x b
=
-．【注：为什么想到0y =？】
而)(11y x Q ，在
222
2
1225x
y
b
b
-
=上?22
2
112225
x b y -=
?b x 5±=?
M N 为直径的圆过两定点(－5b ，0)、(5b ，0)．【注：“代入消参”】
小结：(1)“相关点法”(也叫“代入法”)求轨迹(注：求轨迹方程与求轨迹的关联与递进关系)的条件特征：
①两个已知：已知的动点)(00y x P ，在已知的曲线0)(=y x F ，上运动； ②“真动点”)(y x P ，在已知的动点)(00y x P ，的“带动”、“帮助”下运动． (2)“相关点法”求轨迹的始终如一地“围绕求出???==)()(0
0y x g y y x f x ，，”，然后整体代
入消除参数；
(3)第二问“求证：M N 为直径的圆过定点”的难点：
① “以MN 为直径的圆的方程：y x (2
+－
b
x by 2211+
)(y ＋
0)2211=-
b
x by ” 求
出后，为什么“令0y =”？【“整体代入消元”的思维定式】；
②在得到“以MN 为直径的圆”与x 的交点的横坐标“2
22
1
2
2
122b y x x b =
-”后，为
什么会想到“而)(11y x Q ，在
222
2
1225x
y
b
b
-
=上?22
2
112225
x b y -=
”的运算歩
骤？【“整体代入消元”的思维定式】． 2．“参数法”求轨迹方程中的“整体消元” 例9．(08、山东文22)已知曲线1C ：
||||1(0)x y a b a b
+=>>所
围成的封闭图形的面积为
，曲线1C
的内切圆半径为
3
，记
2C 为以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆2C 的标
准方程【几何量】；
(2)设AB 是过椭圆2C 中心的任意弦，L 是线段AB 的 垂直平分线，M 是L 上异于椭圆中心的点．
①若|MO|＝λ|OA|(O 为坐标原点)，当点A 在椭圆2C 上运动时，求点M 的轨迹方程；【代点法、k 参数】
②若M 是L 与椭圆2C 的交点，求△AMB 的面积的最小值．
解：(1)
由题意得23ab ?=??=?452
2==b a ，
?椭圆方程：
2
2
5
4
x
y
+
＝1．
(2)若AB 所在的斜率存在且不为零，设 AB 所在直线方程为y ＝kx (k≠0)，A(A A y x ，)．
①由22
154,
x y y kx ?+=???=?
?2
22
22
20204545A A k x y k k ==++， ?2
2
222
20(1)||45A A
k OA x y k
+=+=
+．
设M (x ，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)? |MO|2
＝λ2
|OA|
2?
2
222
2
20(1)45k x y k
λ
++=+．
由L 是AB 的垂直平分线，所以直线L 的方程为y ＝1x k
-
?k ＝x y
-
，代入上式：
222
22
2
2
2
22
2
2
20(1)20()4545x x y y
x y x y x
y
λ
λ
+
++==++?
，由022≠+y x ?
222
5420x y λ+=．当k ＝0或不存时，上式仍然成立.．
综上所述，M 的轨迹方程为
2
2
2
4
5
x
y
λ+
=，（λ≠0）．
②当k 存在且k ≠0时，22
22
2
20204545A
A
k
x y k
k
=
=
++，?
|OA|2
＝2222
20(1)45A A k x y k ++=+．由22
1541x y
y x
k ?+=????=-??
? 22
22
2
20205454M
M
k
x
y
k
k
=
=
++，?2
2
2
20(1)||54k O M k
+=
+．
?
2
2
2
2
22111120(1)20(1)4554k k O A
O M
k
k
+
=
+
++++＝
20
9．
2
2
2119||||
20
O A O B O A
O M
≤
+
=
??||||OB OA ?≥
9
40．
||||22
1OB OA S AMB ???=
?＝||||OB OA ?≥9
40，
当且仅当4＋5k 2＝5＋4k 2时，即k ＝±1时等号成立．
当140022
9
A M
B k S ?==
?=>
，；
当k
不存在时，140429
A M
B S ?=
?
=>．
综上所述，AMB ?的面积的最小值为40
9
．
小结：①椭圆的一个性质、极角、椭圆的参数方程的说明；
②“22
154x y y kx
?+=???=?
?2222220204545A A k x y k k ==++，，2
222
2
20(1)||45A A k OA x y k +=+=+”是由局部→整体，为实施“整体消参”作准备； ③不要忘记斜率为零和不存在的特殊情况．
本节内容小结：这节内容的难度较高，有题型、有方法、有运算定式．归纳起来： 1．“曲线过定点”、“定点、定值”问题，两种常用方法：①先用特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置、极限位置、特殊值、特殊图形，求出定点、定值．然后有目标地运算；②“与k 参数无关”问题的求解方法； 2．先局部，后整体，有序地运算：“由局部→整体的重组”，是解题方法．熟练地运用，功能很大；
3．“先局部，后整体，有序地运算，由局部→整体的重组”是“先列分歩式，再列综合式”的高级形式；
4．由“点差法”、“局部→整体的重组”的解题思想，生成了“代点配凑、代入消参”的解题定式．运算过程比“点差法”多了“消参”．模式化为： ①代点：因为)(11y x A ，、)(22y x B ，在曲线0)(=y x F ，上?0)(11=y x F ，，
0)(22=y x F ，；
②配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于1x 、2x 、1y 、2y 的整体关系式；
把上述关系式，配凑为含有)(11y x F ，、 )(22y x F ，的式子，从而整体消除部分表达式，得到一个新的关系式0)(2211=y x y x f ，，，；
③代入消参；
6．“代点配凑、代入消参”的方法，主要运用于“定点、定值”、求轨迹方程两个方面，增加了“对称、对偶运算”、“代点配凑、代入消参”的方法；
6．本节内容，还巩固了“代入法”求轨迹方程、“参数法”求轨迹方程问题．同时深化了求轨迹方程中的整体消元问题；
圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲
圆锥曲线中的定值定 点问题
2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=
3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.
<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。
专题3：圆锥曲线中的定值定点问题(解析版)
专题3：圆锥曲线中的定值定点问题（解析版） 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 的离心率为2 ，短轴一个端点到右焦点F 的 . （1）求椭圆C 的标准方程 ； （2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设 12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由． 【答案】（1）2 212 x y +=；（2）是定值-4，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由题意可得a ， c ，b ，可求得椭的圆方程. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-，与椭圆的方程联立整理得： ()2 2 22124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 由一元二次方程的根与 系数的关系可得2122 212241222 12k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ，再根据向量的坐标运算表示出1111x x λ=-， 2 22 1x x λ= -， 代入计算可求得定值. 【详解】 （1 ）由题可得a = ，又2 c e a = = ，所以1c = ，1b ==， 因此椭圆方程为2 212 x y +=， （2）由题可得直线斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =-， 由()22 112 y k x x y ?=-??+=??消去y ，整理得：()2222124220k x k x k +-+-=，
设()11,A x y ，()22,B x y ， 则2122 2 1224122212k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+? ， 又()1,0F ，()0,P k -，则()11,PA x y k =+，()111,AF x y =--， 由1PA AF λ=可得()1111x x λ=-，所以1111x x λ=-，同理可得2 22 1x x λ=-， 所以 12121211x x x x λλ+= +--()()()12 121212121212 22111x x x x x x x x x x x x x x +-+-==---++2222 22 22 422 2121242211212k k k k k k k k --?++=--+ ++4=-， 所以，12λλ+为定值-4. 【点睛】 本题考查直线与椭圆的定值问题，关键在于联立方程组，得出交点的坐标的关系，将目标条件转化到交点的坐标上去，属于中档题. 2．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点31,2??-- ???， （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点()1,0作直线l 与椭圆相较于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）22 143 x y +=； （2）存在(4,0)Q ，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称. 【解析】 【分析】 （1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及222a b c =+ ，即可求出2,a b ==，进而可求得椭圆C 的标准方程； （2）设直线l 的方程为1x my =+，与椭圆联立，可得12y y +，12y y 的表达式，根据
高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)
高考圆锥曲线中的定点定值问题 定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和b 的一次函数关系式，代入直线方程即可 类型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+?? +=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：2 2 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =-时，2 :()7 l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)(( 2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。 ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。
圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+
高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题
圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法
寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B
圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型
2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
(完整版)专题——圆锥曲线定值问题
高三二轮一一圆锥曲线中的“定值”问题 概念与用法 圆锥曲线中的定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难 点.解决这个难点的基本思想是函数思想， 可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系等不受变量所影响的一个值，就是要求 的定值?具体地说，就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数，化简消去 变量即得定值. 基本解题数学思想与方法 在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中， 不受相关变元的制约而恒定不变， 则称该变量具有定值特征. 解答此类问题的基本策略有以下两种： 1、 把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量 的定值，再证明结论与特定状态 无关. 2、 把相关几何量用曲线系里的参变量表示，再证明结论与求参数无关. 题型示例 一?证明某一代数式为定值： 1、如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. 解：由已知条件，得 F(0, 1), Z>O ?设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2).由 AF =入FB , 即得 (一x 1, 1 — y) = ?(X 2, y 2 — 1),所以 —X1=入2 ① 1 — y1 =心2— 1)② 若M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值; 解：设M (y 0 ,y o ),直线 ME 的斜率为 k(l>0)，直线 MF 的斜率为—k , 直线 ME 方程为y y o k(x y (). ???由 y o k (x yo) ，消 x 得 ky 2 y o (i ky o ) o 解得 y F 1 ky o X F 2 (1 ky o ) 厂； 同理 1 ky ,X F 1 ky 2 y E y F X E X F 1 k (1 ky 。) ky o 1 ky o 2 (1 ky °) 2 k 4ky o 2y o (定值) k 2 所以直线EF 的斜率为定值 k 2 ▲利用消元法 2、已知抛物线x 2= 4y 的焦点为 F , A 、B 是抛物线上的两动点, 且AF =入FB B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M .证明FM -AB 为定值
圆锥曲线定点、定直线、定值问题
定点、定直线、定值专题 1、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，2 2,1,3a c b ===22 1.43 x y ∴+ = (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -?+=-?=++222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，1212122 y y x x ∴ ?=---， (最好是用向量点乘来)1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +->. 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2 (,0).7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 2、已知椭圆C 的离心率e = ()1A 2,0-，()2A 2,0。（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
圆锥曲线中的定值定点问题
圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析
试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.
圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)
第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，
第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．
圆锥曲线中的定点,定值问题
圆锥曲线中的定点，定值问题 《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固： 题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？ 问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ． 问题4 .证明： 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -
活动二 根深叶茂： 问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________． 问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）略 （2）略 （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
圆锥曲线中的定值定点问题
2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 ??????1?0a?b:C22,C上的离心率为在, 已知椭圆1.. 22yx2 点22ba2C的方程；）求（I lOlCABABM, ,与线段有两个交点,（II）直线中点为不经过原点,且不平行于坐标轴,OMl的斜率乘积为定值证明：直线. 的斜率与直线 22yx??1过点A（2,0），B（0,1）两点已知椭圆2.C：. 22ba）求椭圆C的方程及离心率；（I ，求轴交于点直线轴交于点M，PB与xNyPA上，为第三象限内一点且在椭圆设（Ⅱ）PC直线与. 证：四边形的面积为定值ABNM
????2,1P0a?1b??C:?10，其左焦点到点椭圆3.的距离为的离心率为 22yx1 22ab2C的标准方程I）求椭圆（C A,BA?m,Bl:y?kx AB为直径的圆与椭圆相交于，且以（Ⅱ）若直线不是左右顶点）两点（Cl过定点，并求出该定点的坐标. 过椭圆的右顶点。求证：直线
<圆锥曲线中的定值定点问题>答案22yx 1（II）见试题解析）【答案】（1.I2248 试题解析：
2222b,a,ab,,本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于通过解方程组求出的两个方程【名师点睛】解析几何中的证明问题通常有以下几类：解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,. 证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题 2. c3??e．2a ????的面积为定值．从而四边形再证明定点、定值、定线，解决定值定点方法一般有两种：(1)
从特殊入手，求出定点、【名师点睛】直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线与变量无关；(2)应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的定值、定线.. 运用可有效地简化运算 1c??,0?cF:1:3ce??2??a:b:），设左焦点3.解：（112a 22????1c?10PF???c?20??1?，解得122yx1??3a?2,b???椭圆方程为34??2,0D 1）可知椭圆右顶点（2）由（??????2,0y,y,BDxA,x AB，以设为直径的圆过21210??DB?DA DBDA?DBDA??即 ????y?2,xDA?yx?2,?,DB2211 ???????4?yy?x??x?yy?2????DADBxx2?x2x0①2121211212 y?kx?m?????222??0?8mkx?3?4k43xm?联立直线与椭圆方程： ?22123y?x?4???23m?48mk?x?x??,xx? ??????22mx?mk?kx?mx?k?x?yy?xkx?m 212122?334k4k? 21212211??2234km?22k?mk3m128mk?2???m?，代入到① ??23m4?22k?3m128mkDA?DB??2??4??0 2224k?34k4?3k?3 2224k?34k?34k?32222km12??12?34m16?12?16mk?k??0 ????22?02kkmk?0??7m?m?72?16mk?4 2?34k 2m??2k k???m或72222?????l,0k?l:y?kxx?k?km??恒过当时，????
圆锥曲线中的定点定值问题
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 、直线恒过定点问题 例1.已知动点E 在直线l : y 2上，过点E 分别作曲线C : x 2 4y 的切线EA, EB ， 直线10过P 点与直线I 垂直，点M （ -1 , 0）关于直线10的对称点为 N 直线PN 恒 过一定点G 求点G 的坐标。 x ° (y y °) 2y °(x 沧)，即 2y °x x °y ^y 。2 2 解：设 E(a, 2), AX,竺)，B%,^), 4 4 2 x y 4 1 y 1 X 2 2 过点A 的抛物线切线方程为y x1 4 1 X 1(X 2 xj, 切线过E 点, 切点为A 、B ,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标; 2 X i 1 2 x 1(a x 1),整理得：x 1 2ax 1 8 0 2 4 同理可得： 2 x 2 2ax 2 8 0 2ax 8 0的两根 X 1 2 a, X 1 x 2 8 可得AB 中点为（a, 4 ），又k AB 上 y X 1 x 2 2 X 1 X 1 X | X 2 a 4 2 2 直线AB 的方程为y e 2) 評a ） ，即y 即2 AB 过定点（0,2 ）. 例1改为：已知A 、B 是抛物线y 2 定点（2p,0）. 2 px （ p 0）上两点，且OA OB ,证明：直线AB 过 x 2 例2、已知点P （x 0,y °）是椭圆E : 一 2 1上任意一点，直线 x °x 的方程为2 解：直线l 0的方程为 x 1, x 2是方程x 2
设M( 1,0)关于直线I 。的对称点 N 的坐标为N (m, n) 2y o x o 2y o 1 X °n 2x 。3 3x o 2 4x o 4 解得 直线 x °y ° x o 2 4 2x o 4 4x 。3 4x o 2 8x o 2 2y o (4 x o ) PN 的斜率为 y o x o 4 x o 4x 03 2x 02 8x 0 8 3 2 2y o ( x o 3x o 4) 从而直线 PN 的方程为: y o x 04 4x 03 2x 02 8 x 0 8 (x x o ) 3 2 2y o ( X o 3x o 4) 2y o ( X 。3 3x o 2 4) X o 4 4x o 3 2x o 2 8x 。8 从而直线PN 恒过定点G(1,0) 二、恒为定值问题 例3、已知椭圆两焦点 F |、F 2在y 轴上，短轴长为2 2，离心率为 一， 2 P 是椭圆在第 UJU UULU 象限弧上一点，且 PF 1 PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。 (1) 求P 点坐标; (2) 求证直线 AB 的斜率为定值; 解：(1) 2 设椭圆方程为占 a 2 x _ 1，由题意可得 b 2 a 2,b ■ 2, c 2 2 ，所以椭圆的方程为 2 y 4 则 F 1(0, 2),F 2(0, 2)，设 P(x o ,y o )(x o o, y o 0) uju r UULT l U UUT 则 PF 1 (心」2 y o ), PF 2 x o , y o ), UU LU UUU UUUU … … PF 1 PF 2 x 2 (2 y 2) 1 2 Q 点P(X o , y o )在曲线上，则' 2 2 y o 4 1. 2 X o 2 y o
圆锥曲线定值定
圆锥曲线定值定
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圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好， 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012?菏泽一模）已知直线l：y=x+，圆O：x2+y2=5，椭圆E：过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．（2012?自贡三模）；过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． 3．（2013?眉山二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2， O为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点． 6．（2011?新疆模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭 圆的短半轴为半径的圆与直线相切． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q； 7．已知椭圆Ω的离心率为，它的一个焦点和抛物线y2=﹣4x的焦点重合． （1）求椭圆Ω的方程； （2）若椭圆上过点（x0，y0）的切线方程为 ． ①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C； ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ?|AC|?|BC|，若存在，求出入的值；若不存在，说明理由．