北京大学量子力学课件_第26讲
第 二 十 六 讲
Ⅰ. 全同粒子的交换不变性的后果
(1) 两全同粒子的波函数
若两全同粒子,它们的相互作用是变量可 分离型的,即
S
Sm 21z 22z 11)r ,r (u )s ,r ,s ,r (χψ=
可以证明:若粒子自旋为 ,则 在两粒子自旋交换时的对称性为 。若两粒子都处于 态,而总角动量为 ,其交
换对称性为 ,则 应满足
偶 (2) 由于全同粒子交换不变性,而使体系可能处的状态数目不同.
例:设有三个粒子处于(不同量子数单态)
s S Sm χS s 2)
1(-- lm nl Y R L L l 2)1(--S L Sm Lm u χ=ψL
S s 2)1(+--∴=+L S
A. 玻色子 3个处 2个处 各处
同一态 同一态 一个态
B. 费米子
1
各处一个态3
?10
1233=+?+,2?,1?
(3) 由于全同粒子交换不变性,而使体系的几率分布不一样。
(4) 由于全同粒子交换不变性,在散射时,散射截面不一样。
当两粒子散射时,粒子 散射到①处,即偏转角 的散射几率为 ;粒子 1 如散
射到②处,其偏转角为
,散射几率为θ2)(f θθπ-2
)(f θπ-
A. 玻色子(自旋为0)
散射几率为
(即 ②, ①分不出。由于, , 为偶) 如自旋为1,非极化散射几率为 2
)(f )(f θπθσ-+=→1→20S =L 222)
(f )(f 95)(f )(f 93)(f )(f 91θπθθπθθπθσ-++--+-+=
°自旋
, 自旋 自旋 (5) 由于全同粒子交换不变性,使体系所处的状态结构也不同
元素周期表的规律正是由于电子为费米子, Pauli exclusion Principle 起作用的结果。
90=θ2101 2)2(f π2)2(f 4π2
)2(f 38π
例:粒子处于一维谐振子势中。单粒子波函数相应能量为 对 个玻色子( ),基态是所有粒子都处于 态 ,
每个粒子平均能量为
s sm n )r (u χ ω )21n (E n +=N 0s =0n =ω 2
1N E g ?=ω 2
1
B. 费米子(自旋 ) 自旋为 的费米子非极化的散射几率
)](f )(f )(f )(f [31)(f )(f **2
2θπθθπθθπθ-+-+-+=2
12122)(f )(f 4
3)(f )(f 41θπθθπθσ--+-+=)](f )(f )(f )(f [21)(f )(f **2
2θπθθπθθπθ-+---+=
但对 个无相互作用的费米子( )。基态是二个处于 , 二个处于
… , N 为偶
N 21s =0n =1n =?????--为偶
个处于最后为奇
个处于最后N N N N 22
2211ω
= 42
N
E g
N 为奇
所以,每个粒子平均能量为ω
+= 412N E g ω
4N
Ⅱ.定态微扰论
这里讨论的是 与 无关 设: ,要求其本征值和本征函数
其中 很接近 ,且有解析解。而 是小量, 为易于表达其大小的量级
)P ?,r (H ?H ?=ψψE H
?= 1
0H ?H ?H ?+=0
H ?H ?1H ?H ?t
(1)非简并能级的微扰论
设:的本征值和本征函数为 , 构成一正交,归一完备组。 现求解
即 0H ?0k E 0k ?0k 0k 0k 0E H ???=0k
?k
k k E H ?ψψ=
k k k 10E )H ?H ?(ψψλ=+
求 , 的步骤是通过逐级逼近来求精确解,即将 , 对 展开(即对 矩阵元展开)。 从 , 出发求 , 。当 , 即 , , 非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的(或即使有简并,但相应的简并态并不影响处理的结果)。
k E k ψk E k ψλ1H ?λ0k E 0k ?k E k ψ0→λ0H ?1→0k k ?ψ→0k
k E E →
A. 一级微扰近似
以 标积
以 ( )标积
0k 1k )1(ik i 0i 0k 0k 1)1(ik i 0i 0E a 'E H ?a 'H ?????+=+∑∑0k ?0k
10k 0k 1*0k 1k H ?r d H ?E ????==?0i ?k i ≠)1(ik
0k 0k 10i )1(ik 0i a E H ?a E =+??
因此,在一级近似下
0i
0k ik 10i 0k 0k 10i )1(ik E E )H ?(E E H ?a -=-=??0k
100k kk 10k k H ?H ?)H ?(E E ??+=+=0i 0k ik 1i
0i 0k )1(k 0k k E E )H ?('-+=+=∑????ψ
(归一化 准至一级) 所以,在 这条能级为非简并时,其能量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。
1N =0k E 1H ?0k ?
例1:考虑一个粒子在位势
?????>≤=a
x a m 21a x x m 21
)x (V 2
22
2ωω
???????
>+≤+=a x a m 21
m 2P
a x x
m 21m 2P
H ?2
22
x 2
22x ωω∴
1
0H ?H ?+=2
22021
21x m P m H ?x ω+=
北京大学量子力学教材 第四章
第四章 量子力学中的力学量
第四章目录 §4.1表示力学量算符的性质 (3) (1) 一般运算规则 (3) (2) 算符的对易性 (5) (3) 算符的厄密性(Hermiticity) (7) §4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10) (2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12) §4.3 连续谱本征函数“归一化” (15) (1) 连续谱本征函数“归一化” (15) (2) δ函数 (18) (3) 本征函数的封闭性 (22) §4.4 算符的共同本征函数 (24) (1) 算符“涨落”之间的关系 (24) (2) 算符的共同本征函数组 (27) (3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28) (4) 力学量的完全集 (34) §4.5 力学量平均值随时间的变化,运动常数(守恒量),恩费斯脱定理(Ehrenfest Theorem) .36 (1) 力学量的平均值,随时间变化;运动常数 (36) (2) Vivial Theorem维里定理 (37) (3) 能量—时间测不准关系 (38) (4) 恩费斯脱定理(Ehrenfest Theorem) (38)
第四章 量子力学中的力学量 §4.1表示力学量算符的性质 (1) 一般运算规则 一个力学量如以算符O ?表示。它代表一运算,它作用于一个波函数时,将其变为另一波函数 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ??=ψ。 它代表一个变换,是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (O ???→?ψ 例: /p ?ia x e O ?-=,于是 )x (e )x (O ?dx d a ψ=ψ- ∑∞ =ψ-=0n n n n )x (dx d !n )a ( )a x (-ψ= )x (?= 即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a . A. 力学量算符至少是线性算符;量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理,所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符,即 ψ=ψO ?c )c (O ? 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ?c O ?c )c c (O ? 例如1: ψ=?ψ?H ? t i 若1ψ是方程解,2ψ也是方程解,则2211c c ψψ+是体系的可能解。事实上
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲
北京大学物理学院量子力学系列教学大纲 课程号: 00432214 新课号: PHY-1-044 课程名称:量子力学 开课学期:春、秋季 学分: 3 先修课程:普通物理(PHY-0-04*以上)、理论力学(PHY-1-051)、电动力学(PHY-1-043)基本目的:使得同学掌握量子力学的基本原理和初步的计算方法,适合于非物理类专业的同学选修。 内容提要: 1.量子力学基本原理:实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2.一维定态问题:一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3.轨道角动量与中心势场定态问题:角动量对易关系、本征函数、中心势、三维方势阱、三维谐振子、氢原子 4. 量子力学中的近似方法:定态微扰论、跃迁、散射。 5.全同粒子与自旋:全同性原理、自旋的表述、自旋与统计的关系、两个自旋的耦合、磁场与自旋的相互作用 教学方式:课堂讲授 教材与参考书: 曾谨言,《量子力学教程》,北京大学出版社, 1999. 学生成绩评定方法:作业10%、笔试90% 课程号: 00432214 新课号: PHY-1-054 课程名称:量子力学I 开课学期:春、秋季 学分: 4 先修课程:普通物理(PHY-0-04*以上)、高等数学、数学物理方法(PHY-1-011或以上)基本目的: 使得同学掌握量子力学的基本理论框架和计算方法。适合物理学院各类型同学以及非物理类的相关专业同学选修。 内容提要: 1.量子力学基本原理:实验基础、Hilbert空间、波函数、薛定谔方程、算符、表象变换、对称性与守恒律 2.一维定态问题:一般讨论、自由粒子、一维方势阱、谐振子、一维势垒3.轨道角动量与中心势场定态问题:角动量对易关系、本征函数、中心势、